Уравнения переноса массы в теории массообмена

Московский государственный технический университет
имени Н.Э. Баумана

В.М. Гремячкин

УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА МАССЫ
В ТЕОРИИ МАССООБМЕНА

Методические рекомендации
к изучению курса «Теория тепломассообмена»

Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2011

УДК 536.7
ББК 22.317
Г80

Г80

Рецензенты: В.И. Хвесюк, С.Е. Якуш

Гремячкин В.М.
Уравнения переноса массы в теории массообмена : метод.
рекомендации к изучению курса «Теория тепломассообмена» /
В.М. Гремячкин. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011. –
15, [1] с. : ил.

Рассмотрены уравнения тепло- и массопереноса массы при
использовании массовых и объемных концентраций.
Для студентов, изучающих курс «Теория тепломассообме-
на».
Рекомендовано Учебно-методической комиссией факультета
«Э» МГТУ им. Н.Э. Баумана.

УДК 536.7
ББК 22.317

Учебное издание
Гремячкин Виктор Михайлович

УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА МАССЫ
В ТЕОРИИ МАССООБМЕНА

Редактор О.М. Королева
Корректор
М.А. Василевская
Компьютерная верстка В.И. Товстоног

Подписано в печать 16.03.2011. Формат 60×84/16.
Усл. печ. л. 0,93. Тираж 100 экз. Изд. № 160.
Заказ

Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана.
105005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5.

c⃝ МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011

ВВЕДЕНИЕ

Процессы
массообмена
характерны
для
технологических
процессов химической, металлургической и других отраслей промышленности, 
где происходит преобразование веществ за счет
протекания химических реакций.
Несмотря на подобие уравнений и граничных условий процессов 
тепло- и массообмена, существует ряд особенностей, связанных 
прежде всего с протеканием химических реакций, которые,
как правило, присутствуют в этих процессах.
В настоящих указаниях будут рассматриваться некоторые проблемы 
процессов массообмена, связанные с протеканием химических 
реакций и влиянием их на перенос массы.

3

1. УРАВНЕНИЯ ТЕПЛО- И МАССОПЕРЕНОСА

Скорость химических реакций зависит от процессов теплопереноса, 
реагирующих веществ и продуктов реакции, поскольку эти
процессы определяют температуру и концентрации реагентов в зоне 
протекания химической реакции. В некоторых случаях процессы 
тепло- и массопереноса могут полностью лимитировать скорость 
химической реакции. В этих случаях кинетика химических
реакций может не рассматриваться при определении скорости реакции, 
и тогда говорят о диффузионном режиме протекания хими-
ческой реакции в отличие от кинетического режима, когда скорость
реакции лимитируется кинетикой химических реакций [1].
Можно записать, что поток реагирующего вещества в зону про-
текания химической реакции определяется выражением

I = β(z(0) − z),
(1)

где β — коэффициент массообмена; z(0) — концентрация реагиру-
ющего вещества в окружающей среде; z — концентрация реагента
в зоне химической реакции.
Если порядок химической реакции равен единице, то для ско-
рости W химической реакции может быть записано выражение

W = Kz,
(2)

где K — константа скорости реакции.
В стационарном случае скорость химической реакции долж-
на быть равна потоку реагирующего вещества в зону протекания
реакции:
Kz = β[z(0) − z].
(3)
Из условия (3) можно определить концентрацию реагирующего
вещества в зоне протекания реакции и, следовательно, скорость

4

химической реакции:

z = z(0)
β
K + β;
W = z(0) K β
K + β.
(4)

Таким образом, если K ≫ β, то z = 0, W = β z(0). Cледо-
вательно, диффузионный режим протекания химической реакции
реализуется, так как скорость реакции не зависит от константы
скорости реакции. Если же K ≪ β, то z = z(0), W = K z(0),
имеет место кинетический режим протекания реакции, посколь-
ку скорость реакции полностью определяется кинетикой реакции.
В общем случае скорость протекания химической реакции может
зависеть как от кинетики реакции, так и от процессов массо- и
теплообмена.
Для определения потоков теплоты и реагирующих веществ не-
обходимо рассматривать уравнения теплопроводности и диффузии,
а также и уравнения гидродинамики.
В теории уравнение теплопроводности обычно рассматривает-
ся в виде [2]

ρcdT
dt + div(ρucT − λgradT) = QW,
(5)

где ρ — плотность газа; c — теплоемкость; u — скорость потока
газа; λ — коэффициент теплопроводности; Q — тепловой эффект
реакции.
Такой вид уравнения теплопроводности (5) учитывает как кон-
вективный теплоперенос в газе, движущемся со скоростью u, так
и кондуктивный теплоперенос, который происходит в связи с на-
личием градиента температуры и может осуществляться и в не-
подвижном газе, а также и в направлении, противоположном дви-
жению газа. В правой части уравнения (5) находится функция,
учитывающая тепловыделение в результате экзотермической хи-
мической реакции, протекающей со скоростью W.
Конечно, вид уравнения теплопроводности (5) не является полным, 
так как тепловыделение может происходить и в результате
диссипативных процессов в вязком газе. Однако этими явлениями
обычно пренебрегают в теории (исключая, конечно, случаи движения 
газов со сверхзвуковыми скоростями), так как рассматриваемые 
скорости движения газа обычно существенно ниже скорости
звука.

5

Оценка коэффициента теплопроводности может быть осуществлена 
с помощью выражения, получаемого в кинетической теории 
газов [3]. В кинетической теории газов уравнение теплопроводности (
5) получается из решения уравнения Больцмана методом
Чепмена — Энскога, который рассматривает состояния, близкие к
равновесным.
Для решения уравнений теплопроводности необходимо задать
начальные условия, определяющие распределение температуры в
начальный момент времени, а также граничные условия, определяющие 
поведение решения на границах исследуемой области.
Граничные условия для уравнений теплопроводности могут
быть записаны в разных формах в зависимости от условий поставленной 
задачи. В курсе уравнений математической физики рас-
сматриваются три вида граничных условий: 1-го; 2-го и 3-го рода.
Граничные условия 1-го рода задают значения температуры на
границах исследуемой области:

T|Г = T.
(6)

Граничные условия 2-го рода задают значения производной на
границах исследуемой области:

dT
dn = A(t).
(7)

Граничные условия 3-го рода определяют соотношение между
температурой и производной температуры на границах исследуе-
мой области:
λdT
dn = α(T − T0).
(8)

Применительно к условиям теплообмена граничные условия
1-го рода означают следующее: теплообмен между телом, в кото-
ром рассматривается процесс теплопередачи, и окружающей сре-
дой настолько интенсивен, что температура поверхности тела прак-
тически равна температуре окружающей среды. Граничные усло-
вия 2-го рода подразумевают, что интенсивность теплообмена с
окружающей средой невелика и, следовательно, поток теплоты на
поверхности тела определяется теплообменом тела с окружающей
средой. Граничные условия 3-го рода устанавливают связь между
потоком теплоты на поверхности тела и интенсивностью теплооб-
мена тела с окружающей средой. Следует отметить, что коэффици-

6

ент теплоотдачи α не является постоянной величиной и может за-
висеть от температуры. Поэтому при определении коэффициентов
теплоотдачи обычно указывается диапазон температур, в котором
коэффициент теплоотдачи можно приближенно считать величиной
постоянной.
При введении безразмерных переменных в уравнение тепло-
проводности, а также в граничные условия возникают безразмер-
ные параметры, которые называются числами подобия. Для про-
цессов теплообмена такими числами подобия являются число Пе-
кле Pe = νl/a, число Нуссельта Nu = αl/λ и число Прандтля
Pr = ν/a.
Уравнения диффузии, которые описывают перенос различных
компонентов газовой смеси, могут быть записаны в разной фор-
ме в зависимости от того, какие концентрации компонентов рас-
сматриваются: массовые или объемные. Если рассматриваются от-
носительные массовые концентрации z, то уравнение диффузии
записывается в виде [2]:

ρdz
dt + div(ρuz − ρDgradz − DT
T gradT) = −W,
(9)

где D — коэффициент диффузии; DT — коэффициент термодиффу-
зии; эти коэффициенты могут быть оценены из выражений, при-
водимых в кинетической теории газов [3].
Следует отметить, что коэффициент термодиффузии пропорци-
онален разности молекулярных масс диффундирующих компонен-
тов, поэтому термодиффузионный эффект обычно рассматривают,
когда одним из компонентов газовой смеси являются легкие газы,
такие, как водород или гелий. Но даже и в этом случае значение
термодиффузионного члена в уравнениях, как правило, не превы-
шает 10 % диффузионного члена [1]. В связи с этим в большин-
стве практически важных случаев термодиффузионный эффект в
теории не рассматривается за исключением тех ситуаций, когда
термодиффузионный эффект исследуется специально или когда в
системе присутствуют легкие газы.
Уравнение диффузии может быть записано в другой форме,
если использовать объемные концентрации, например парциаль-
ные давления pi:
dpi
dt + div(vpi − Dgradpi) = −Φ.
(10)

7

Используя известные соотношения между относительными
массовыми концентрациями и относительными парциальными
давлениями
zj =
pj μj
ˉμ ,
(11)

где ˉμ = pj μj, можно перейти от уравнения диффузии (9) к
уравнению (10) при условии замены выражения для определения
скорости движения газа, тогда

v = u + D
ˉμ gradˉμ.
(12)

В кинетической теории газов [3] существует два определения
скорости газа:
среднемассовая скорость

u =
njmjwj/
njmj
и
среднечисловая скорость газа

v =
njwj/
nj,

где nj, mj и wj — число, масса и скорости молекул газа. Реальный
физический смысл имеет среднемассовая скорость газа, так как
именно эта скорость газа измеряется в экспериментах, поскольку
приборы, измеряющие скорость газа, реагируют на изменение им-
пульса газового потока. Скорость физических объектов, например
частичек пыли, движущихся вместе с газом, определяется именно
среднемассовой скоростью. В связи с этим более правильно ис-
пользовать в уравнениях диффузии относительные массовые кон-
центрации, так как в эти уравнения входит реальная гидродинами-
ческая скорость движения газа. Объемные концентрации также мо-
гут быть использованы при записи уравнений диффузии. Однако в
этом случае нужно быть осторожным, особенно тогда, когда, наря-
ду с диффузионными, рассматриваются и гидродинамические эф-
фекты. При использовании объемных концентраций следует иметь
в виду, что в уравнение диффузии (10) входит некоторая фиктивная
скорость движения газа.
При решении уравнений диффузии используются граничные
условия 1-го, 2-го и 3-го рода, как и при решении уравнения тепло-
проводности. Однако физическая интерпретация этих граничных

8

условий может быть иной. Так, граничные условия 1-го рода

z|Г = zs
(13)

могут соответствовать условию интенсивного массообмена тела
с окружающей средой по сравнению со скоростью гетерогенной
реакции на поверхности тела. В этом случае концентрация реа-
гирующего вещества на поверхности тела близка к концентрации
вещества в окружающей среде. Кроме этого, граничные условия
(13) могут соответствовать и высокой скорости гетерогенной реак-
ции. В этом случае концентрация реагирующего вещества в зоне
протекания реакции будет близка к минимально возможной (при
заданных температуре и давлении) концентрации, имеющей место
при химическом равновесии реакции.
Граничные условия 2-го рода

dz
dn = B(t)
(14)

могут быть записаны в таком виде, если скорость потока вещества
на поверхности тела равна нулю, что, как будет показано в разд. 2,
реализуется не всегда. Условия (14) означают, что поток веще-
ства в зону протекания реакции есть величина постоянная. Такие
условия (14) могут соответствовать случаю малой интенсивности
процесса массообмена, который лимитирует скорость реакции, ли-
бо постоянной (при заданных температуре и давлении) скорости
реакции.
Граничные условия 3-го рода

ρuz − ρD dz
dn = β(z − z0),
(15)

где β — коэффициент массообмена, определяют связь между пото-
ком массы в зону протекания реакции и интенсивностью массооб-
мена.
При введении безразмерных переменных в уравнения диф-
фузии и в граничные условия возникают безразмерные парамет-
ры — числа подобия. Числа подобия в диффузионных процессах в
основном аналогичны числам подобия в процессах теплообмена.
Однако названия этих чисел подобия иные. Это диффузионное
число Пекле PeD = vl/D, число Шервуда Sh = βl/D, число
Шмидта Sc = ν/D. Кроме того, в рассмотрение вводится число

9

Льюиса Le = D/a, которое и определяет условия подобия между
процессами тепло- и массообмена. Следует отметить, что число
Шмидта может меняться весьма сильно в зависимости от состоя-
ния рассматриваемых веществ, так как коэффициент диффузии в
жидких и особенно твердых веществах — величина малая.

2. СТЕФАНОВСКИЙ ПОТОК

Известно, что гидродинамика существенно влияет на процесс
массообмена, но возникает вопрос: могут ли процессы переноса
массы влиять на гидродинамику течения жидкости и газа. В тео-
рии теплообмена полагают, что рассмотрение гидродинамики те-
чения и процессов теплопереноса можно разделить, если принять,
что коэффициент кинематической вязкости не зависит от темпера-
туры. При рассмотрении процессов массообмена предположения
о том, что коэффициент кинематической вязкости не зависит от
состава газа, часто оказываются недостаточными, так как влияние
процессов массообмена на гидродинамику течения может осуще-
ствляться через граничные условия.
Если на поверхности твердого топлива протекает гетерогенная
химическая реакция, то гидродинамические эффекты могут воз-
никнуть даже в том случае, когда первоначально газ покоился. Это
явление носит название «стефановский поток» по имени автора,
впервые его описавшего. Стефановский поток играет важную роль
в теории массообмена, так как его учет дает возможность более
точно определить температуру поверхности тела и потоки реаги-
рующих веществ на поверхность тела.
При практическом рассмотрении и использовании стефанов-
ского потока возникает вопрос о том, что является причиной воз-
никновения стефановского потока: изменение массы газа или из-
менение объема газа в результате протекания химической реакции.
Действительно, при протекании химической реакции может
происходить изменение объема газа. Например, в реакции
2H2 + O2 = 2H2O
в реакцию вступают 3 моля газа (2 моля водорода и 1 моль ки-
слорода), а в результате получаются только 2 моля водяного пара.
Интуитивно можно полагать [4], что в результате такого изменения

10