Параметрический анализ композитных структур

Московский государственный технический университет 
имени Н.Э. Баумана 
 
 
 
 
 
А.А. Смердов 
 
 
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 
КОМПОЗИТНЫХ СТРУКТУР 
 
 
 
 
Методические указания 
к выполнению домашнего задания 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва  
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана  
2011 

С50 
 

УДК 624.04 
ББК 38.112 
        С50 
 

 

Рецензент Б.С. Сарбаев 

 

Смердов А.А. 
Параметрический анализ композитных структур : метод. 
указания к выполнению домашнего задания / А.А. Смердов. — 
М. : Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011. — 20 с. : ил. 
 
Рассмотрено аналитическое решение задач оптимального 
проектирования элементов несущих конструкций в виде сжатых 
стержней. 
Для студентов старших курсов факультета «Специальное ма-
шиностроение» МГТУ им. Н.Э. Баумана, выполняющих домашнее 
задание «Параметрический анализ композитных структур».  
Рекомендовано Учебно-методической комиссией факультета 
СМ МГТУ им. Н.Э. Баумана. 
 
 
 
УДК 624.04 
                                                                                              ББК 38.112 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

          © МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011 

ВВЕДЕНИЕ 

Цель домашнего задания — отработка навыков управления 
свойствами композитных материалов (композитов) на примере про-
стейших перекрестно армированных и ортогонально армированных 
структур. 
В процессе выполнения домашнего задания и подготовки его к 
защите студенты должны усвоить такие основные понятия, как 
технические константы упругости, коэффициенты матрицы же-
сткости, коэффициенты линейного термического расширения, ко-
эффициенты термических напряжений, перекрестно армированная 
структура, ортогонально армированная структура, параметриче-
ский анализ, управление свойствами композитных материалов, а 
также научиться ставить и решать задачи исследования композит-
ных структур, к жесткостным и термоупругим характеристикам ко-
торых предъявляются различные требования. 
Содержание домашнего задания заключается в определении 
параметров композитных структур с заданными свойствами и вы-
боре оптимальной композитной структуры по совокупности предъ-
являемых к ней требований. 
Исходными данными домашнего задания являются характери-
стики однонаправленного материала, из которого будут строиться 
перекрестно армированные и ортогонально армированные структу-
ры, а также два требования к свойствам этих структур: основное и 
дополнительное. 
Основное требование заключается в необходимости обеспечить 
заданное значение какой-либо одной характеристики из шести, входящих 
в следующий список: 
 модуль упругости в продольном направлении структуры Ex; 
 модуль упругости в поперечном направлении структуры Ey; 
 модуль сдвига Gxy; 

 коэффициент Пуассона xy; 

 продольный коэффициент линейного термического расширения (
КЛТР) x; 
 поперечный КЛТР y. 
Дополнительное требование состоит в пожелании обеспечить 
как можно более высокое или как можно более низкое значение еще 
одной характеристики из приведенного списка. 
Как для перекрестно армированной, так и для ортогонально армированной 
структуры возможно управление всеми характеристиками 
в достаточно широких пределах [1]. В частности, можно подобрать 
такие структурные параметры, чтобы основное требование 
в точности было удовлетворено для обеих структур. Однако прочие 
характеристики у этих структур будут разными. Таким образом, из 
обеих структур должна быть выбрана та, которая обеспечивает 
лучшее соответствие дополнительному требованию. 
Алгоритмы расчета характеристик перекрестно армированных 
и ортогонально армированных структур приведены в разд. 1. Там 
же приведены типовые графики свойств в зависимости от структурных 
параметров; подобные графики должны быть построены каждым 
студентом при выполнении домашнего задания. 
В разд. 2 описана методика выполнения и оформления задания, 
а в разд. 3 включен пример его выполнения. 

1. ОСНОВНЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ 

1.1. Перекрестно армированные  
и ортогонально армированные структуры  
как частные случаи многослойных композитов 

Свойства любого традиционного материала можно определить 
набором констант. В отличие от таких материалов проектируемый 
композит представляет собой материал с варьируемой внутренней 
структурой. Целенаправленно изменяя структурные параметры 
композитного материала, можно управлять его свойствами.  
Многослойный композит (или многослойный пакет) изображен 
на рис. 1, а. Он включает в себя набор плоских слоев, каждый из 
которых отличается от остальных либо свойствами материала, либо 

направлением их ориентации. Всего в пакете содержится n различных 
слоев. Каждый слой представляет собой однонаправленный 
материал, свойства которого считаются заданными, — монослой [2], 
показанный на рис. 1, б. Считается, что свойства монослоя не изме-
няются при изменении структурных параметров многослойного па-
кета. Этими структурными параметрами являются толщины от-
дельных слоев hi и углы их ориентации i.  
 

 
                        а                                                   б                                  в 

Рис. 1. Многослойный пакет (а) и его слои в различных системах коорди-
нат (б); ортотропный перекрестно армированный слой (в) 
 
На рис. 1, б показаны две системы координат: система координат 
пакета (или элемента конструкции) (x, y) и система координат одно-
направленного слоя (1i, 2i) (естественная система координат слоя), 
где i — номер текущего слоя. Оси естественной системы координат 
слоя (1i, 2i) направлены по направлению армирующих волокон и по 
нормали к нему в плоскости слоя. Угол i между осью x и осью 1i  
определяет ориентацию i-го слоя в системе координат пакета.  
В большинстве случаев представляет интерес проектирование 
ортотропных пакетов, т. е. таких материалов, для которых оси ко-
ординат (x, y) являются осями симметрии: свойства материала оди-
наковы в любых двух направлениях, симметричных относительно 
этих осей. Такой материал может содержать продольные слои од-
нонаправленного материала, ориентированные в направлении оси x 
пакета ( = 0), поперечные слои однонаправленного материала, 
ориентированные в направлении оси y пакета ( = 90), и перекре-
стно армированные слои с углами i, в которых половина волокон 
ориентирована под углом +i к направлению оси x, а вторая поло-
вина — под углом –i. Такой слой показан на рис. 1, в. Перекрестно 

армированные слои образуются, например, при спиральной намотке 
однонаправленной ленты. Если многослойный материал получен 
выкладкой однонаправленных слоев, то в качестве перекрестно ар-
мированного слоя может быть принята пара слоев с углами +i и –
i, расположенных рядом (если число слоев в пакете достаточно 
велико). 
Каждый слой пакета характеризуется толщиной hi. Поскольку 
проектируется материал, свойства которого приводятся к элемен-
тарному объему, целесообразно рассматривать не абсолютные, а 
относительные толщины 
,
ih  каждая из которых представляет собой 
отношение толщины данного слоя к толщине пакета. 
При любых изменениях структуры пакета должно соблюдаться 
условие нормирования относительных толщин 

 

1
1.

n

i
i
h



 
 
(1) 

Таким образом, в общем случае, если варьируются все толщи-
ны и углы армирования, число независимых варьируемых пара-
метров, определяющее размерность задачи оптимизации [3], равно 
2n – 1. 
В любой задаче проектирования композитных материалов и 
конструкций чрезвычайно полезно исследование двух одномерных 
структур: 
 перекрестно армированной структуры, для которой n = 1 и 
имеется единственный варьируемый параметр — угол ; 
 ортогонально армированной структуры, для которой n = 2, 
но оба угла фиксированы и сохраняют постоянные значения 0 и 
90, так что с учетом (1) остается единственный независимый варь-
ируемый параметр — относительная толщина продольного слоя 
0.
h  
Две эти одномерные структуры представляют собой как бы два 
полюса, между которыми находится большинство решений задач 
оптимизации: при формулировке многомерной задачи общего вида 
в качестве решения часто (но не всегда!) получается одна из этих 
структур [1].  
Для каждой одномерной структуры решение задачи выбора оп-
тимальных параметров и исследования возможностей компромисс-

ного сочетания требований может быть получено методами пара-
метрического анализа [3]. 
Более подробно представленные в пособии подходы, понятия и 
определения рассмотрены в учебных пособиях [1, 3]. 

1.2. Алгоритм расчета жесткостных характеристик 

Во всех нижеследующих формулах верхним индексом i обозна-
чаются характеристики i-го слоя; символами без верхнего индекса 
— свойства многослойного пакета. 
Жесткостные свойства многослойного ортотропного материала 
в плоской задаче характеризуются четырьмя техническими кон-
стантами упругости: Ex, Ey, Gxy и xy (Exyx = Eyxy). 
Для расчета жесткостных характеристик пакета необходимо знать 
технические константы жесткости каждого слоя: 
( )
( )
( )
( )
1
2
12
12
,
,
,
i
i
i
i
E
E
G

 


( )
( )
( )
( )
1
21
2
12 .
i
i
i
i
E
E



 

Сначала по известным значениям технических констант жест-
кости вычисляются коэффициенты матрицы жесткости каждого 
слоя в его естественной системе координат: 

 

( )
( )
( )
( )
1
2
11
22
( )
( )
( )
( )
12
21
12
21
;
;
1
1

i
i
i
i
i
i
i
i
E
E
g
g


  
  
 
 

 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
12
12
22
21
11
66
12
;
.
i
i
i
i
i
i
i
g
g
g
g
G
 
 

 
 

Затем определяют коэффициенты матриц жесткости слоев в 
системе координат многослойного материала: 

 


( )
( )
4
( )
4
( )
( )
2
2
11
22
12
66
cos
sin
2
4
sin
cos
;
i
i
i
i
i

xx
i
i
i
i
g
g
g
g
g

 
 


  

 




( )
( )
( )
( )
2
2
( )
4
4
11
22
66
12
4
sin
cos
sin
cos
;
i
i
i
i
i

xy
i
i
i
i
g
g
g
g
g




 
 

 

 


( )
( )
4
( )
4
( )
( )
2
2
11
22
12
66
sin
cos
2
4
sin
cos
;
i
i
i
i
i
yy
i
i
i
i
g
g
g
g
g

 
 


  
 

 




2
( )
( )
( )
( )
2
2
( )
2
2
11
22
12
66
2
sin
cos
sin
cos
.
i
i
i
i
i
ss
i
i
i
i
g
g
g
g
g




 
 

 

 (2) 

 (3) 

Следующий шаг — вычисление коэффициентов матрицы жесткости 
многослойного пакета: 

 
( )

1
;

n
i

xx
xx
i
i

g
g
h


 
  

 
( )

1
;

n
i

xy
xy
i
i

g
g
h


 
  

 
( )

1
;

n
i
yy
yy
i
i

g
g
h


 
  
 

 
( )

1
.

n
i

ss
ss
i
i

g
g
h


 
  

Технические константы жесткости многослойного ортотропно-
го пакета: 

 
Ex
 = gxx – gxy
2 / gyy;    Ey
 = gyy – gxy
2 / gxx; 

 
xy = gxy / gyy;    yx = gxy / gxx;    Gxy = gss. 
 

Следует подчеркнуть, что формулы (3)—(5) справедливы только 
для ортотропных пакетов; если в пакете имеются слои общего вида 
(см. рис. 1, б), следует использовать более общие зависимости [2]. 
Формулы для расчета характеристик перекрестно армированных 
и ортогонально армированных материалов могут быть получены как 
частные случаи алгоритма (2)—(5): в первом случае отсутствует 
суммирование (4), а во втором — в формулах (3) sin 1 = cos 2 = 0; 
cos 1 = sin 2 = 1, что существенно упрощает вычисления. 
Типичные графики изменения жесткостных характеристик перекрестно 
армированных и ортогонально армированных материалов 
показаны на рис. 2—4. Графики изменения поперечного модуля упругости 
Ey симметричны соответствующим зависимостям для Ex. 
Продольный и поперечные модули упругости обеих одномерных 
структур изменяются в пределах от E2 до E1, однако характер и скорость 
их изменения существенно различаются.  
Модуль сдвига перекрестно армированного материала при  = 
= 0 и  = 90 равен модулю сдвига однонаправленного материала 

 (4) 

 (5) 

G12; при приближении угла армирования к 45 модуль сдвига материала 
определяется в большей мере величиной E1. Модуль сдвига 
ортогонально армированного материала не зависит от относительных 
толщин слоев и равен модулю сдвига монослоя G12.  
 

                         а                                                                   б 

Рис. 2. Модули упругости в продольном Ex и поперечном Ey направлениях 
перекрестно армированных (а) и ортогонально армированных (б) 
композитов 
 

                         а                                                                   б 

Рис. 3. Модули сдвига Gxy перекрестно армированных (а) и ортогонально 
армированных (б) композитов 
 

а                                                                   б 

Рис. 4. Коэффициенты Пуассона xy перекрестно армированных (а) и орто-
гонально армированных (б) композитов 
 
Следует обратить внимание на весьма значительные величины 
коэффициента Пуассона перекрестно армированных материалов: 
при углах армирования 20…30 для углепластиков и органопла-
стиков они могут существенно превосходить единицу (для стекло-
пластиков и материалов на основе иных волокон обычны меньшие 
значения коэффициентов Пуассона). Коэффициенты Пуассона ор-
тогонально армированных материалов всегда находятся в диапазоне 
от 21 до 12. 

1.3. Алгоритм расчета характеристик 
термического деформирования 

Характеристики термического деформирования многослойного 
ортотропного материала определяются коэффициентами линейного 
термического расширения (КЛТР) x и y или коэффициентами 
термических напряжений x и y [1]. 
Для расчета термоупругих характеристик пакета необходи-
мо знать коэффициенты линейного расширения и технические 
константы жесткости каждого слоя: 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
2
1
2
12
12
,
,
,
,
,
i
i
i
i
i
i
E
E
G



 


( )
( )
( )
( )
1
21
2
12 .
i
i
i
i
E
E



 Необходимо отметить, что величины 1 для 

большинства современных углепластиков и органопластиков отрица-
тельны (при нагреве они не расширяются, а сжимаются в продольном