Материалы для подготовки к теоретическим коллоквиумам модульно-рейтингового контроля по дисциплине «Прикладная механика сплошных сред». Раздел «Основы механики сплошых сред». Модули 1 и 2


Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана





А.В. Бабкин, В.В. Селиванов

Материалы для подготовки к теоретическим коллоквиумам модульно-рейтингового контроля по дисциплине «Прикладная механика сплошных сред»

Раздел «Основы механики сплошных сред»

Модули 1 и 2

Методические указания




Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2012

УДК 531
ББК 22.22

    Б13

Рецензент В.Д. Баскаков

          Бабкин А.В.
      Б13 Материалы для подготовки к теоретическим коллоквиумам модульно-рейтингового контроля по дисциплине «Прикладная механика сплошных сред». Раздел «Основы механики сплошных сред». Модули 1 и 2 : метод. указания / А.В. Бабкин, В.В. Селиванов. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012. — 60, [4] с.

             В методических указаниях представлены материалы для самостоятельной проработки дисциплины «Прикладная механика сплошных сред» и для подготовки к теоретическим коллоквиумам по ее первому разделу — «Основы механики сплошных сред» (модули 1 и 2). По каждому модулю приведены вопросы и задачи для самоконтроля. Даны билеты для подготовки к теоретическим коллоквиумам рубежного контроля.
             Для студентов 3-4-го курсов, обучающихся на кафедре «Высокоточные летательные аппараты» (СМ-4).
             Рекомендовано Учебно-методической комиссией НУ К СМ МГТУ им. Н.Э. Баумана.


УДК 531
ББК 22.22

















© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012

                ПРЕДИСЛОВИЕ





   Дисциплина «Прикладная механика сплошных сред» изучается студентами кафедры «Высокоточные летательные аппараты» (СМ-4) МГТУ им. Н.Э. Баумана на протяжении четырех семестров — с пятого по восьмой.
   В пятом семестре рассматривается первый раздел указанной дисциплины — «Основы механики сплошных сред». Изучаемый материал разбит на три модуля.
   1.    Предмет, цель, роль и значение дисциплины, ее основные гипотезы. Математический аппарат механики сплошных сред.
   2.    Основные общие положения, уравнения и соотношения механики материального континуума.
   3.    Модели сплошных сред, их физические соотношения. Постановка задач механики сплошных сред.
   По итогам изучения каждого модуля учебным планом предусмотрен рубежный контроль в форме теоретического коллоквиума. На каждом коллоквиуме студентам предлагается 8-10 вопросов разной степени сложности — от самых простых до достаточно сложных, требующих основательных выводов и преобразований. Вопросы охватывают весь рассматриваемый в пятом семестре теоретический и практический материал.
   Работа на коллоквиуме выполняется письменно, с обязательной последующей защитой. Защита проводится в завершение контрольного мероприятия в форме примерно пятнадцатиминутной беседы преподавателя со студентом: преподаватель задает уточняющие вопросы, студент конкретизирует ответы, оцениваемые в баллах. Максимально возможная сумма баллов на первом коллоквиуме — 30, на втором — 30, на третьем — 40.
   Совокупность трех коллоквиумов образует систему модульнорейтингового контроля по разделу «Основы механики сплошных

3

сред». Время на подготовку студентов к контрольным мероприятиям предусмотрено учебным планом кафедры СМ-4 (самостоятельная проработка материала дисциплины).
   Студентам, своевременно и успешно сдавшим три коллоквиума в пятом семестре, предоставляется право получения экзаменационной оценки по их итогам — согласно набранной сумме баллов. Критерий своевременности — сдача коллоквиума на неделе, установленной учебным планом. Критерий успешности — получение на каждом коллоквиуме не менее половины возможной суммы баллов. Общая сумма баллов, набранных на трех коллоквиумах, должна быть не менее 60. При этом сумме баллов 60-69 соответствует итоговая оценка «удовлетворительно», сумме баллов 70-84 — оценка «хорошо», а сумме баллов 85-100 — оценка «отлично».
   Студенты, которые по неуважительной причине сдали хотя бы один коллоквиум несвоевременно или набрали общую сумму баллов менее 60, должны в обязательном порядке сдавать экзамен по «Основам механики сплошных сред». При этом для допуска к экзамену необходимо сдать все три коллоквиума и получить на каждом из них не менее половины возможной суммы баллов.
   В методических указаниях представлены материалы для самостоятельной проработки раздела «Основы механики сплошных сред» и для подготовки к теоретическим коллоквиумам рубежного модульно-рейтингового контроля в пятом семестре (модули 1 и 2). В каждом модуле порядок следования вопросов для самоконтроля и задач соответствует порядку рассмотрения теоретического материала в пятом семестре. Приведенные в методических указаниях билеты для рубежного контроля по компоновке и содержанию соответствуют реальным билетам, предлагаемым студентам.

                1. ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ ПРИ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ ПРОРАБОТКЕ
                МАТЕРИАЛА МОДУЛЯ 1.




ПРЕДМЕТ, ЦЕЛЬ, РОЛЬ И ЗНАЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ, ЕЕ ОСНОВНЫЕ ГИПОТЕЗЫ. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
АППАРАТ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД

   1. В чем состоит предмет механики сплошных сред?
   2.    В чем заключается основное отличие механики сплошных сред от теоретической механики?
   3.    Какова сущность статистического подхода к изучению движения деформируемых сред?
   4.    В чем заключается сущность феноменологического подхода к изучению движения деформируемых сред?
   5. Определите понятие материального континуума.
   6.    С чем связана необходимость введения такой идеализации реальной деформируемой среды, как «материальный континуум»?
   7.    С чем связана возможность введения такой идеализации реальной деформируемой среды, как «материальный континуум» или «сплошная среда»?
   8. Сформулируйте основные гипотезы механики сплошных сред.
   9. Что понимается под геометрическим пространством?
   10. Чем определяется мерность пространства?
   11. Какие геометрические пространства называют евклидовыми?
   12.   Чем принципиально отличаются двумерные геометрические пространства совокупностей точек, образующих плоскость и сферическую поверхность?
   13.   Почему при решении прикладных задач механики сплошных сред время можно считать абсолютным и не зависящим от выбора системы отсчета?


5

   14.    В чем состоит преимущество феноменологического подхода к изучению движения деформируемых сред по сравнению со статистическим подходом при решении технических задач?
   15.    Определите понятия системы координат, координатных линий и координатных поверхностей.
   16.    Постройте три координатные линии, проходящие через произвольную точку пространства, в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат.
   17.    Постройте три координатные поверхности, проходящие через произвольную точку пространства, в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат.
   18.    Как показать, что цилиндрическая и сферическая системы координат являются криволинейными?
   19.    Почему математические объекты аппарата механики сплошных сред должны быть инвариантными относительно преобразования координат? Как следует понимать это требование?
   20.    Каково основное свойство тензорных математических объектов в физическом отношении?
   21.    Сформулируйте основную идею, используемую при введении в рассмотрение тензорных математических объектов.
   22.    Определите понятия: вектор, его составляющие, компоненты вектора, направляющие косинусы.
   23.    Сформулируйте основные правила проведения алгебраических операций с векторами: сложение, вычитание, умножение вектора на скаляр, скалярное и векторное умножение векторов.
   24.    В чем заключается геометрический смысл векторного произведения векторов?
   25.    В чем заключается геометрический смысл смешанного скалярно-векторного произведения трех векторов?
   26.    Приведите выражения скалярного и векторного произведения двух векторов, а также скалярно-векторного произведения трех векторов через их компоненты в декартовой прямоугольной системе координат.
   27.    Докажите взаимную перпендикулярность векторов a — 2i -- 4j + 5к и b - 4i -3j - 4k.
   28.    Определите площадь параллелограмма, построенного на отложенных от одной точки векторах a — 2i - 4j + 5к и b — 4i - 3j - 4к.

6

   29.    Определите объем параллелепипеда, построенного на отложенных от одной точки векторах a — 1 i + 2j + 3k, b — -2i + 3j + k, c — 2 i - 5j + 2 k.
   30.    Сформулируйте понятия: векторная функция скалярного аргумента, скалярная и векторная функции векторного аргумента.
   31.    Определите понятие поля, приведите примеры скалярных и векторных полей.
   32.    В связи с чем в механике сплошных сред приходится иметь дело с полями физических величин?
   33.    Каким образом графически представляются скалярные и векторные поля?
   34.    Как будут выглядеть векторные линии скорости движения частиц абсолютно твердого тела при вращении его вокруг закрепленной оси?
   35.    Как будут выглядеть в пространстве поверхности уровня для поля температуры с равномерным распределением T — T(x, y, z) -= const?
   36.    Задано поле температуры T — T(x, y, z) — 2x + 3y - 5z. Что будут представлять собой поверхности уровня? Каково значение температуры на изотермической поверхности, проходящей через начало координат?
   37.    Каков физический, геометрический и аналитический смысл градиента скалярной функции векторного аргумента?
   38.    Задано поле скалярной величины p — p (x, y, z) — 2xy + z. Для точки пространства с координатами x — 1, y — 2, z —3 определите значение производной по направлению, задаваемому единичным вектором s — i / л/2" + j / V2".
   39.    Задано поле скалярной величины T — T(x, y, z) — xy - 5z. В точке пространства x — 2, y — 3, z — 0 определите максимально и минимально возможные значения производной по направлению.
   40.    В точке пространства с координатами x — y — z — 0 задано значение давления p — 10⁵ Па и градиент давления grad p = 10⁵* х(1 i + 3j + 4k) (в Па/м). Определите приближенно значение давления в точке, расположенной в малой окрестности данной точки и имеющей координаты (в метрах) x = 0,01; y = 0,02; z = -0,01.
   41.    Определите понятия: поток вектора через поверхность, циркуляция вектора по какому-либо контуру.

7

   42.    Дайте определения дивергенции и ротора вектора. Приведите выражения для дивергенции и ротора через компоненты вектора в декартовой системе координат.
   43.    Каков физический смысл дивергенции вектора скорости течения жидкости (в случае отсутствия источников массы в потоке)?
   44.    Каков физический смысл ротора вектора скорости движения частиц среды (на примерах вращения абсолютно твердого тела вокруг закрепленной оси и движения деформируемой среды)?
   45.    Чему равны дивергенция и ротор вектора скорости движения частиц абсолютно твердого тела при вращении его вокруг закрепленной оси с угловой скоростью ю?
   46.    Определите поток вектора напряженности электрического поля точечного заряда E = q/(4nss₀r²), находящегося в центре сферической поверхности радиуса R, через эту поверхность. Чему будет равна циркуляция вектора напряженности электрического поля по замкнутому контуру, лежащему на этой сферической поверхности?
   47.    Для некоторого момента времени задано векторное поле скорости течения жидкости v = vₓi + vyj + vzk = 3xyi - 5yj + xzk. Что можно сказать о характере движения частицы среды, находящейся в точке пространства с координатами x = 1, у = 2, z = 3?
   48.    С использованием векторного символического дифференциального оператора Г амильтона определите в декартовой системе координат rot (grad ф) и div (grad ф), где ф — скалярная функция координат.
   49.    Сформулируйте теоремы Остроградского — Гаусса и Стокса с использованием понятий векторного анализа и дайте их эвристическое обоснование.
   50.    Дайте определения основного и взаимного базисов в точке пространства с произвольной системой координат.
   51.    Получите выражения для векторов взаимного базиса через векторы основного базиса.
   52.    Определите понятие метрики пространства. Что такое метрические коэффициенты основного базиса, каков их геометрический смысл?
   53.    Сформулируйте правило суммирования Эйнштейна. Поясните различие между индексами суммирования и свободным индексом на примере выражения aijbJ.

8

   54.    Сколько различных соотношений содержит выражение gij = ri ■ rj ?
   55. Приведите развернутую запись выражения A — aijx xJ.
   56.    Как определяются метрические коэффициенты основного и взаимного базисов, а также метрические коэффициенты смешанного типа? Каковы особенности соответствующих метрических матриц в общем случае и для ортогональных систем координат?
   57.    Покажите, что в декартовой прямоугольной системе координат основной и взаимный базисы совпадают, не зависят от координат и образуют ортонормированный базис.
   58.    Определите для цилиндрической системы координат в произвольной точке пространства векторы основного и взаимного базисов и соответствующие метрические коэффициенты.
   59.    Различаются ли матрицы, составленные из метрических коэффициентов смешанного типа, в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат?
   60.    Докажите инвариантность дифференциала dr = dx'ri радиуса-вектора r относительно преобразования системы координат, получив контравариантный закон преобразования координат х' и ковариантный закон преобразования векторов основного базиса ri.
   61.    Какие формы представления произвольного вектора Вам известны? Каким образом обеспечивается инвариантность вектора относительно преобразования системы координат, несмотря на изменения при этом преобразовании и компонент вектора, и базисных векторов?
   62.    Каковы базисные объекты при образовании тензора второго ранга?
   63.    Что понимается под диадным произведением двух векторов? Каковы основные свойства диадных произведений?
   64.    В каком из следующих случаев результат алгебраических операций может отличаться от нуля: a х (ab ■ с); a х (c ■ ab); (ab х b); а х (ab х с)?
   65.    Сформулируйте общее определение тензора как математического объекта, инвариантного относительно преобразования координат.
   66.    Какие формы представления тензора второго ранга Вам известны? Каким образом обеспечивается инвариантность тензора

9

второго ранга относительно преобразования системы координат, несмотря на изменение при этом преобразовании и компонент тензора, и базисных векторов?
   67.    Что такое ранг тензора? Сколько компонент имеет тензор четвертого ранга и какова его структурная запись?
   68.    Каким образом доказывается, что метрические коэффициенты основного и взаимного базисов, а также метрические коэффициенты смешанного типа являются соответственно ковариантными, контрвариантными и смешанными компонентами тензора второго ранга — фундаментального метрического тензора данной системы координат?
   69.    Составьте матрицу из компонент следующего тензора второго ранга: (a) = 3ii + 5ij + 4ji - kk.
   70.    Обоснуйте утверждение: фундаментальный метрический тензор в декартовой системе координат имеет вид (g) = ii + jj + kk.
   71.    Каковы особенности матриц, составленных из компонент симметричного и антисимметричного тензоров второго ранга? Почему антисимметричный тензор второго ранга называется псевдовектором?
   72.    Является ли фундаментальный метрический тензор симметричным? Если является, то почему?
   73.    Каковы правила сложения и вычитания тензоров, умножения тензора на скаляр?
   74.    Допустимо ли проводить сложение тензоров (a) = airirj и ⁽b) = bjjk r ir J r k ?
   75.    По какой причине недопустимо проводить сложение двух тензоров второго ранга, заданных в виде (a) = aii r i rj и (b) = birirj ?
   76.    В чем состоит сущность операций «жонглирования» индексами?
   77.    Докажите правомерность операции опускания индексов ij применительно к тензору второго ранга aар = aJg а ig рj.
   78.    Докажите, что операция скалярного умножения тензора второго ранга на тензор первого ранга обладает свойством коммутативности лишь в случае симметричности тензора второго ранга.

10