Кратные интегралы

Московский государственный технический университет 
имени Н. Э. Баумана 

 
 
Н. В. Безверхний  
 
 
 

Кратные интегралы 

 
 
 
 
Методические указания к решению задач по дисциплине  
«Кратные интегралы и теория функций  
комплексного переменного» 
 
 
 
 
 
 

 

 
 
Москва  

2014 

УДК 517.37 
ББК 22.161.1 
Б39 
 
Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru  
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/109/book200.html 
 
Факультет «Фундаментальные науки» 

Кафедра «Математическое моделирование» 

Рекомендовано Учебно-методической комиссией  
Научно-учебного комплекса «Фундаментальные науки»  
МГТУ им. Н. Э. Баумана 

Рецензент : д-р физ.-мат. наук, профессор О. В. Пугачев 

 
Безверхний Н. В. 
  
 
Кратные интегралы : метод. указания / Н. В. Безверхний. — 
М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2014. — 64, [4] с. : ил. 

ISBN 978-5-7038-3990-4 
 

В методических указаниях дано описание предусмотренных учебным планом МГТУ им. Н Э. Баумана приемов и задач, связанных с вычислением кратных интегралов. Приведен справочный материал, содержащий основные определения и формулировки теорем. Даны 
подробные решения задач со ссылками на нужные формулы, предложены задачи для самопроверки. Рассмотрены приложения кратных интегралов к задачам механики. 
Для студентов младших курсов МГТУ им. Н. Э. Баумана всех специальностей.  
 
УДК 517.37 
ББК 22.161.1 
 

 

 

 

 

 
© МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2014 
© Оформление. Издательство 
ISBN 978-5-7038-3990-4 
 
 
       МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2014 

 Б39 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Учебное пособие предназначено для студентов младших курсов всех специальностей, изучающих математический анализ и его 
раздел «Кратные интегралы». Цель пособия — помочь студентам в 
освоении практической составляющей раздела «Кратные интегралы», поэтому его основу составляют примеры и задачи. При этом 
рассмотрены не только примеры решения задач теоретического 
характера на вычисление объемов тел, площадей и т. п., но и приложение теории кратных интегралов к задачам механики.  
Теоретический материал изложен в объеме, необходимом для 
понимания рассматриваемых методов решения. Весь материал 
разбит на подразделы, соответствующие различным типам задач, 
таким как вычисление двойного интеграла в прямоугольных координатах или замена переменных в двойном интеграле.  
Каждый раздел содержит основы теории, примеры с подробными решениями и задачи для самостоятельной работы, которые 
можно использовать как на практических занятиях, так и в качестве вариантов домашних заданий.  
Прилагаемый в конце пособия список литературы рассчитан на 
углубленное изучение теоретического материала и рекомендуется 
для подготовки к экзамену. Кроме того, он поможет освежить знания, полученные в предыдущих семестрах и необходимые для решения задач текущего раздела.  
Автор выражает свою благодарность доценту кафедры ФН-2 
«Прикладная математика» МГТУ им. Н.Э. Баумана О.В. Пугачеву, 
давшему ряд полезных советов. 

1. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ  
В ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ 

1.1. Определение и простейшие свойства двойного интеграла 

Пусть в области σ  плоскости xOy  определена функция 

 
=
( , ) =
( ),
z
f x y
f P   

где P  — точка плоскости xOy  с координатами ( , ).
x y  
Выполним следующие действия. 
1. Разобьем область σ на n малых областей 
1,
,
Δσ
Δσn
…
 так, 
чтобы сумма их площадей была равна площади всей области σ: 

1
=1
( ) =
(
)
n

i
S
S
σ
Δσ
∑
 и 
=1
=
.
n
i
i
σ
∪
Δσ  Совокупность таких областей 

назовем разбиением области σ и обозначим 
1
= {
,
,
}.
n
T
Δσ
Δσ
…
 
2. В каждой малой области 
i
Δσ  выберем произвольную точку 
( ,
).
i
i
i
P x y
 Множество 
1
{ ,
,
}
n
P
P
…
 таких точек назовем разметкой 
разбиения T  области σ и обозначим ξ. Разбиение T  вместе с разметкой ξ назовем размеченным разбиением области σ и обозначим 
.
Tξ  

3. Составим сумму  

 

=1
=1
(
) =
(
) (
) =
( ,
) (
).

n
n

f
i
i
i
i
i
i
i
S
T
f P S
f x y S
ξ
Δσ
Δσ
∑
∑
 
(1.1) 

Сумму вида (1.1) называют интегральной суммой, составленной для функции двух переменных 
=
( ) =
( , )
z
f P
f x y  по размеченному разбиению 
.
Tξ  

4. Предположим, что существует предел интегральных сумм 
(
)
f
S
Tξ  при неограниченном увеличении числа n малых областей 

и стягивании каждой из них в точку и что этот предел не зависит 
от способа разбиения области σ  на малые области 
i
Δσ  и от выбора в каждой из них точек 
( ,
).
i
i
i
P x y
 Этот предел называют двойным 
интегралом от функции 
=
( ) =
( , )
z
f P
f x y  по области σ  и обозначают  

 
( )
=
( , )
,
f P d
f x y dxdy

σ
σ
σ
∫∫
∫∫
 

а функцию 
( , )
f x y  называют интегрируемой в области .
σ  
Итак,  

 

=1
( , )
=
( ,
)
.
lim

n

i
i
i
n
i
f x y dxdy
f x y
→∞
σ
Δσ
∑
∫∫
 

Область σ  называют областью интегрирования, функцию 
( , )
f x y  — подынтегральной функцией, 
( , )
f x y dxdy  — подынтегральным выражением. 
Любая непрерывная в ограниченной области σ  функция интегрируема в ней. В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением 
только непрерывных функций. 
Двойной интеграл обладает следующими свойствами: 
1) для любой действительной константы C  и интегрируемой 
функции 
( )
f P  функция 
1( ) =
( )
f P
Cf P  тоже интегрируема, и верно равенство 

 
( )
=
( )
;
f P dxdy
C
f P dxdy

σ
σ
∫∫
∫∫
 

2) если для интегрируемых функций 
1
2
( ),
( )
f P
f
P  определить 
новую функцию 
1
2
( ) =
( )
( ),
f P
f P
f
P
±
 то она тоже будет интегрируема, и  

 
1
2
( )
=
( )
( )
;
f P dxdy
f P dxdy
f
P dxdy

σ
σ
σ
±
∫∫
∫∫
∫∫
 

3) если область σ  состоит из двух областей 
1
σ  и 
2,
σ
 то  

 

1
2
( )
=
( )
( )
.

σ
σ
σ
+
∫∫
∫∫
∫∫
f P dxdy
f P dxdy
f P dxdy  

Свойства 1 и 2 называют свойствами линейности интеграла, а 
свойство 3 — свойством аддитивности. 

1.2. Вычисление двойного интеграла  
в прямоугольных координатах 

Область σ  на плоскости xOy  назовем простой областью: 
1) относительно оси Ox, если она ограничена справа графиком 
непрерывной функции 
2
=
( ),
x
y
ψ
 слева — графиком непрерывной 
функции 
1
=
( ),
x
y
ψ
 а сверху и снизу отрезками прямых 
= ,
y
c  
=
,
y
d  каждый из которых может вырождаться в точку (рис. 1.1); 
2) относительно оси Oy, если она ограничена сверху графиком 
непрерывной функции 
2
=
( ),
y
x
ϕ
 снизу — графиком непрерывной 
функции 
1
=
( ),
y
x
ϕ
 а с боков отрезками прямых 
=
, = ,
x
a x
b  каждый из которых может вырождаться в точку (рис. 1.2). 
 

 

Рис. 1.1 
Рис. 1.2 
 
Следует заметить, что если область σ  не является простой, то 
ее разбивают на конечное число простых областей 
1,
,
σ
σn
…
 и при 

вычислении двойного интеграла по области σ  используют третье 
свойство двойного интеграла. 
Если область σ  является простой относительно оси Ox , то 
двойной интеграл по такой области вычисляется по формуле 

 

2

1

( )

( )
( , )
=
( , )
.

ψ

σ
ψ
∫∫
∫
∫

y
d

c
y
f x y dxdy
dy
f x y dx  
(1.2) 

Здесь внутренний интеграл 

2

1

( )

( )
( , )

ψ

ψ∫

y

y
f x y dx  берут по x  при фикси
рованном, но произвольном в отрезке [ , ]
c d  значении y  от левой 
границы области σ  до правой. В результате получается некоторая 
функция от ,y  которую интегрируют затем по отрезку [ , ].
c d
 
В случае простой относительно оси Oy  области σ  двойной 
интеграл по этой области вычисляют по формуле 

 

2( )

( )
1
( , )
=
( , )
.

x
b

a
x
f x y dxdy
dx
f x y dy

ϕ

σ
ϕ
∫∫
∫
∫
 
(1.3) 

Наиболее простой вид формулы (1.2), (1.3) принимают в случае 
прямоугольной области 
,
σ  ограниченной прямыми 
= ,
x
a  
= ,
x
b  
= ,
y
c  
=
:
y
d  

 
( , )
=
( , )
=
( , )
.

b
d
d
b

a
c
c
a
f x y dxdy
dx f x y dy
dy f x y dx

σ∫∫
∫ ∫
∫ ∫
 
(1.4) 

Пример 1.1. Вычислить двойной интеграл 
3
(
)
x
y
dxdy

σ
+
∫∫
 по 

прямоугольной области 
,
σ  ограниченной прямыми 
=1,
x
 
= 2,
x
 
= 0,
y
 
= 2
y
 (рис. 1.3). 
Решение. Вычисляем данный интеграл по формуле (1.4): 

 

2
2
3
3

1
0
(
)
=
(
)
.
x
y
dxdy
dx
x
y
dy

σ
+
+
∫∫
∫ ∫