Динамика колесных машин. Часть 2

Московский государственный технический университет 
имени Н.Э. Баумана 
 

 

 

 

 
 
А.А. Полунгян, А.Б. Фоминых,  
Н.Н. Староверов 
 
 
ДИНАМИКА  
КОЛЕСНЫХ МАШИН 

Часть 2 

Под редакцией А.А. Полунгяна 
 

Допущено Учебно-методическим объединением вузов  
Российской Федерации по образованию в области 
транспортных машин и транспортно-технологических  
комплексов в качестве учебного пособия для студентов вузов,  
обучающихся по специальности  
«Автомобиле- и тракторостроение» 

Москва 
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана 
2013 

УДК 629.3.015.5(075.8) 
ББК 534.01 
        П49 

Рецензенты: Е.А. Галевский, В.Н. Наумов 

Полунгян А. А. 
П49 
Динамика колесных машин : учеб. пособие. – Ч. 2 / А. А. По- 
лунгян, А. Б. Фоминых, Н. Н. Староверов ; под ред. А. А. Полунгяна. – М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2013. 

ISBN 978-5-7038-3742-9 
Ч. 2. – 114, [2] с. : ил. 
ISBN 978-5-7038-3692-7 

Рассмотрены вопросы формирования исходных и расчетных динамических систем колесных машин, точные и приближенные методы 
определения собственных частот и форм свободных колебаний консервативных и неконсервативных динамических систем с конечным и 
бесконечным числом степеней свободы, условия резонанса в системах 
с конечным числом степеней свободы при гармоническом воздействии 
и меры борьбы с резонансными явлениями, энергетический способ 
оценки амплитуд колебаний в трансмиссии при полигармоническом 
воздействии со стороны двигателя и расчет колебаний подрессоренных и неподрессоренных масс, а также узлов и деталей трансмиссии 
при пространственном нагружении со стороны дороги. 
Для студентов вузов и университетов машиностроительного 
профиля, обучающихся по специальностям «Автомобиле- и тракторостроение» и «Многоцелевые колесные и гусеничные машины». 

УДК 629.3.015.5(075.8) 
                                                                   ББК 534.01 

ISBN 978-5-7038-3692-7 (Ч. 2) 
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2013 
ISBN 978-5-7038-3742-9

1. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ  
С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ 

1.1. Способы составления  
дифференциальных уравнений движения 

Общий вид дифференциальных уравнений движения может 
быть получен в форме уравнений Лагранжа 2-го рода, которые в 
консервативных системах имеют вид 

 
d
П
0,
d
i
i
i

T
T
t
q
q
q
⎛
⎞
∂
∂
∂
−
+
=
⎜
⎟
∂
∂
∂
⎝
⎠

(1.1) 

где T и П – кинетическая и потенциальная энергии; 
iq  и iq  – 
обобщенные координаты и скорости; i = 1, 2, …, s – номер координаты (s – число степеней свободы). 
Из курса теоретической механики [15] известно, что при малых движениях голономной системы со стационарными связями 
около положения равновесия кинетическая и потенциальная 
энергии выражаются через обобщенные координаты следующим 
образом: 

 
,
,
1

1
2
=
=
∑
s

j k
j k
j k
T
a
q q , 
,
,
1

1
П
,
2

s

j k
j
k
j k
с
q q

=
=
∑
 
(1.2) 

где ajk = akj – инерционные коэффициенты; cjk = ckj – квазиупругие 
коэффициенты, называемые также обобщенными коэффициентами жесткости; j = 1, 2, …, s; k = 1, 2, …, s. 
Если соответствующее нулевым значениям координат положение равновесия устойчиво, то потенциальная энергия имеет 

изолированный минимум, а второе из выражений (1.2) есть положительно определенная квадратичная форма. В этом случае необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие неравенства 
(критерий Сильвестра): 

 

11
12
11
21
22

11
12
1
11
12
13
21
22
2
21
22
23

31
32
33
1
2

0,
0,

...

...
0, ...,
0.
...
...
...
...

...

>
>

>
>

s

s

s
s
ss

c
c
с
c
c

c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c

c
c
c
c
c
c

 
(1.3) 

При выполнении неравенств (1.3) система, выведенная из положения равновесия, совершает свободные колебания. Подставив 
выражения (1.2) в уравнение (1.1), получим следующую систему 
линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами: 

 
(
)
1
0

=

+
=
∑
s

jk
k
jk
k
k
a q
c q
,   j = 1, 2, …, s.  
(1.4) 

Конечно, фактическое составление системы уравнений (1.4) не 
обязательно вести по схеме Лагранжа. Во многих задачах о колебаниях удобнее пользоваться непосредственными способами – 
прямым и обратным. 
Согласно прямому способу, из системы выделяют сосредоточенные массы (или твердые тела) и каждая рассматривается как 
свободная материальная точка (или свободное тело), находящаяся 
под действием позиционных (восстанавливающих) сил, которые 
выражаются через выбранные обобщенные координаты; после 
чего записывают соответствующие дифференциальные уравнения 
движения для материальных точек (тел). 
Обратный способ противоположен прямому: после отделения 
сосредоточенных масс (или твердых тел) рассматривают оставшуюся безынерционную систему жестких и упругих связей, т. е. 

безмассовый скелет системы, находящийся под действием кинетических реакций отделенных частей, причем кинетические реакции (силы инерции) выражают через обобщенные ускорения. Затем формулируют статические соотношения для перемещений 
безмассового (безынерционного) скелета системы. 
Проследим особенности названных способов на примере системы с двумя степенями свободы, состоящей из двух тел массой 
m1 и m2, соединенных двумя пружинами, жесткости которых равны с1 и с2 (рис. 1.1, а). 

Рис. 1.1. Пример двухмассовой системы 

За обобщенные координаты примем горизонтальные перемещения х1 и х2 грузов, отсчитывая эти перемещения от состояния 
равновесия, в котором пружины не деформированы. Удлинения 
пружин в процессе движения ∆l1 = x1, ∆l2 = x2 – x1. 
Основной способ (уравнения Лагранжа 2-го рода). 
Прежде всего находим кинетическую энергию грузов 

2
2
1 1
2 2
2
2
=
+
m x
m x
T
 

и потенциальную энергию деформации пружин 

2
2
1 1
2
2
1
(
)
П
2
2
−
=
+
c x
c
x
x
. 

Далее образуем производные, необходимые для подстановки в 
уравнение Лагранжа: 

1 1
2 2
1 1
2 2
1
2
1
2

1 1
2
2
1
2
2
1
1
2

d
d
,
,
,
,
d
d

П
П
(
),
(
).

T
T
T
T
m x
m x
m x
m x
x
x
t
x
t
x

с x
с
x
x
с
x
x
x
x

⎛
⎞
⎛
⎞
∂
∂
∂
∂
=
=
=
=
⎜
⎟
⎜
⎟
∂
∂
∂
∂
⎝
⎠
⎝
⎠

∂
∂
=
−
−
=
−
∂
∂



После подстановки производных в уравнение Лагранжа получаем 

 
1 1
1 1
2
2
1

2 2
2
2
1

(
)
0,

(
)
0.

+
−
−
=

+
−
=

m x
c x
c
x
x

m x
c
x
x
 
(1.5) 

Прямой способ. Выделяем грузы и рассматриваем их как 
свободные тела под действием сил упругости N1 и N2, определяемых удлинениями ∆l1 и ∆l2 обеих пружин (см. рис. 1.1, б): 

1
1
1
1 1

2
2
2
2
2
1

,

(
).

N
c
l
c x

N
c
l
c
x
x

=
Δ
=

=
Δ
=
−
 

Дифференциальные уравнения движения грузов имеют вид 

1 1
1
2

2 2
2

,

.

= −
+

= −

m x
N
N

m x
N
 

Подставив сюда выражения для сил N1 и N2, приходим к ранее 
полученной системе уравнений: 

1 1
1 1
2
2
1

2 2
2
2
1

(
)
0,

(
)
0.

+
−
−
=

+
−
=

m x
c x
c
x
x

m x
c
x
x
 

Обратный способ. Отделяем грузы и рассматриваем упругий безмассовый скелет системы под действием кинетических реакций 
1 1
−
m x  и 
2
2
−
m x (см. рис. 1.1, в). В этой схеме первая пружина нагружена силой 
1 1
2
2,
−
−
m x
m x
 а вторая – силой 
2
2.
−
m x
 Перемещение х1 конца первой пружины, равное ее удлинению, можно 
записать в виде 

1 1
2 2
1
1
.
−
−
=
m x
m x
x
c
 

Перемещение правого конца второй пружины х2 равно сумме 
удлинений обеих пружин, т. е. 

1 1
2 2
2 2
2
1
2
.
−
−
−
=
+
m x
m x
m x
x
c
c
 

Из двух последних соотношений имеем 

 

1 1
2 2
1 1

2
2
1 1
2
2
2 2
1
1

0,

1
0.

m x
m x
c x

c
c m x
m
x
c x
c
c

+
+
=

⎛
⎞
+
+
+
=
⎜
⎟
⎝
⎠


(1.6) 

Полученные выше по основному и прямому способам формы 
записи совпали потому, что при выборе обобщенных координат 
кинетическая энергия записывается в канонической форме: 

 
2

1

1
,
2
=
= ∑
s

j
j
j
T
a q
 
(1.7) 

т. е. без произведений скоростей j
k
q q  при j ≠ k. Каждое из урав
нений Лагранжа содержит только по одному обобщенному ускорению, как при прямом способе. Если обобщенные координаты 
были выбраны так, чтобы каноническую форму имела потенциальная энергия 

2

1

1
П
2
=
= ∑

s

j
j
j
с q , 
(1.8) 

уравнения Лагранжа совпали бы с полученными обратным способом. Сопоставляя варианты записи по прямому и обратному способам, можно сделать следующее общее заключение относительно структуры дифференциальных уравнений: в случае составления системы уравнений по прямому способу aij = 0 при i ≠ j, а по 
обратному способу cij = 0 при i ≠ j. Таким образом, пользуясь прямым способом, мы приходим вместо (1.4) к системе 

 

1
0 (
1, 2, ..., ),
s

j
j
jk
k
k
a q
c q
j
s

=
+
=
=
∑

(1.9) 

а применяя обратный способ – к системе 

 
j
1
0 (
1, 2, ..., )
s

jk
k
j
k
a q
c q
j
s

=
+
=
=
∑

(1.10) 

(вместо аjj в уравнениях (1.7) и (1.9) записано aj, так как второй 
индекс становится лишним; аналогично вместо cjj в уравнениях 
(1.8) и (1.10) записано сj). 
Принципиально важно, что специальным выбором обобщенных координат можно придать каноническую форму как 
кинетической, так и потенциальной энергии. Такие координаты 
ξj (j = 1, 2, ..., s) называют нормальными или главными. При этом 

 
2

1

1
2
=
=
ξ
∑
s

j
j
j
T
a
, 
2

1

1
П
2
=

=
ξ
∑

s

j
j
j
с
 
(1.11) 

и уравнения Лагранжа приобретают наиболее простой вид 

 
0 (
1, 2, ..., ).
ξ +
ξ =
=
j
j
j
j
a
c
j
s  
(1.12) 

Каждое из них интегрируется независимо от других. Иначе говоря, при использовании главных координат система как бы ста

новится совокупностью независимых парциальных систем с одной степенью свободы. Чаще всего заранее трудно указать, какие 
кинематические параметры (или их комбинации) являются главными координатами, и для перехода к ним требуются обширные 
выкладки, объем которых не уступает объему выкладок при решении задачи в произвольно принятых (не главных) обобщенных 
координатах. Поэтому введение понятия главных координат практически не облегчает решение задачи о свободных колебаниях, но 
весьма полезно для углубленного понимания их закономерностей 
и теоретического анализа. 

1.2. Собственные частоты линейной консервативной  
двухмассовой системы 

Если условия (1.3) устойчивости состояния равновесия выполнены, то частное решение системы дифференциальных уравнений (1.5) можно представить в виде 

 
sin(
)
j
j
x
A
t
=
ω + α  (
1,2)
=
j
. 
(1.13) 

Этими выражениями описывается моногармонический колебательный режим с частотой ω, общей для всех координат хj. 
Подставив (1.13) в уравнения (1.5), получим систему алгебраических уравнений 

 

2
1
1
1 1
2
2
1

2
2
2
2
2
1

(
)
0,

(
)
0,

⎧−
ω
+
−
−
=
⎪⎨
⎪−
ω
+
−
=
⎩

m
A
c A
c
A
A

m
A
c
A
A
 
(1.14) 

однородную относительно неизвестных амплитуд А1, А2:  

 

2
1
1
1
2
2
2

2
1
2
2
2
2

(
)
0

(
)
(
)
0.

A
m
c
c
c A

A
c
A c
m

⎧
−
ω +
+
−
=
⎪⎨
⎪
−
+
−
ω
=
⎩
 
(1.15) 

При колебаниях все они не могут равняться нулю, поэтому, согласно общему свойству однородных систем, должен равняться нулю определитель, составленный из коэффициентов этой системы: 

2
1
2
1
2

2
2
2
2
0.
+
−
ω
−

=

−
−
ω

c
c
m
c

c
c
m
 
(1.16) 

После развертывания определителя получим алгебраическое 
уравнение 2-й степени относительно ω2: 

2
2
2
2
2
1
2
1
2
(
)(
)
0
−
ω
+
−
ω
−
=
c
m
c
c
m
с
. 

Напишем это уравнение в виде 

 
4
2
1
2
1 2
2 1
2 2
1 2
(
)
0.
ω − ω
+
+
+
=
m m
m c
m c
m c
c c
 
(1.17) 

Это уравнение называют частотным или вековым: 

4
2
1
2
2
1 2

1
1
2
1
2
0
c
c
c
c c
m
m
m
m m
⎛
⎞
ω − ω
+
+
+
=
⎜
⎟
⎝
⎠
. 

Решим полученное биквадратное уравнение 

2
2
1
2
2
1
2
2
1 2

1
1
2
1
1
2
1
2

1
1
2
4
c
c
c
c
c
c
c c
m
m
m
m
m
m
m m
⎛
⎞
⎛
⎞
ω =
+
+
±
+
+
−
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
. 

Вводя обозначения 
1
2
2
1 2

1
1
2
1
2
,   
c
c
c
c c
m
m
m
m m
+
+
= α
= β , приходим к 

записи 

2
2
1
2
4
α
ω =
α ±
− β . 

Отсюда 

2

1
1
2
4
α
ω =
α −
−β , 

2

2
1
2
4
α
ω =
α +
−β .