Динамика колесных машин. Часть 2
Покупка
Тематика:
Технология машиностроения
Год издания: 2013
Кол-во страниц: 114
Дополнительно
Вид издания:
Учебное пособие
Уровень образования:
ВО - Бакалавриат
ISBN: 978-5-7038-3692-7
Артикул: 807622.01.99
Доступ онлайн
В корзину
Рассмотрены вопросы формирования исходных и расчетных динамических систем колесных машин, точные и приближенные методы определения собственных частот и форм свободных колебаний консервативных и неконсервативных динамических систем с конечным и бесконечным числом степеней свободы, условия резонанса в системах с конечным числом степеней свободы при гармоническом воздействии и меры борьбы с резонансными явлениями, энергетический способ оценки амплитуд колебаний в трансмиссии при полигармоническом воздействии со стороны двигателя и расчет колебаний подрессоренных и неподрессоренных масс, а также узлов и деталей трансмиссии при пространственном нагружении со стороны дороги. Для студентов вузов и университетов машиностроительного профиля, обучающихся по специальностям «Автомобиле- и тракторостроение» и «Многоцелевые колесные и гусеничные машины».
Для студентов вузов и университетов машиностроительного профиля, обучающихся по специальностям "Автомобиле- и тракторостроение" и "Многоцелевые колесные и гусеничные машины".
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
- ВО - Бакалавриат
- 15.03.01: Машиностроение
- 15.03.02: Технологические машины и оборудование
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана А.А. Полунгян, А.Б. Фоминых, Н.Н. Староверов ДИНАМИКА КОЛЕСНЫХ МАШИН Часть 2 Под редакцией А.А. Полунгяна Допущено Учебно-методическим объединением вузов Российской Федерации по образованию в области транспортных машин и транспортно-технологических комплексов в качестве учебного пособия для студентов вузов, обучающихся по специальности «Автомобиле- и тракторостроение» Москва Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана 2013
УДК 629.3.015.5(075.8) ББК 534.01 П49 Рецензенты: Е.А. Галевский, В.Н. Наумов Полунгян А. А. П49 Динамика колесных машин : учеб. пособие. – Ч. 2 / А. А. По- лунгян, А. Б. Фоминых, Н. Н. Староверов ; под ред. А. А. По- лунгяна. – М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2013. ISBN 978-5-7038-3742-9 Ч. 2. – 114, [2] с. : ил. ISBN 978-5-7038-3692-7 Рассмотрены вопросы формирования исходных и расчетных ди- намических систем колесных машин, точные и приближенные методы определения собственных частот и форм свободных колебаний кон- сервативных и неконсервативных динамических систем с конечным и бесконечным числом степеней свободы, условия резонанса в системах с конечным числом степеней свободы при гармоническом воздействии и меры борьбы с резонансными явлениями, энергетический способ оценки амплитуд колебаний в трансмиссии при полигармоническом воздействии со стороны двигателя и расчет колебаний подрессорен- ных и неподрессоренных масс, а также узлов и деталей трансмиссии при пространственном нагружении со стороны дороги. Для студентов вузов и университетов машиностроительного профиля, обучающихся по специальностям «Автомобиле- и трак- торостроение» и «Многоцелевые колесные и гусеничные машины». УДК 629.3.015.5(075.8) ББК 534.01 ISBN 978-5-7038-3692-7 (Ч. 2) © МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2013 ISBN 978-5-7038-3742-9
1. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ 1.1. Способы составления дифференциальных уравнений движения Общий вид дифференциальных уравнений движения может быть получен в форме уравнений Лагранжа 2-го рода, которые в консервативных системах имеют вид d П 0, d i i i T T t q q q ⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ − + = ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ (1.1) где T и П – кинетическая и потенциальная энергии; iq и iq – обобщенные координаты и скорости; i = 1, 2, …, s – номер коор- динаты (s – число степеней свободы). Из курса теоретической механики [15] известно, что при ма- лых движениях голономной системы со стационарными связями около положения равновесия кинетическая и потенциальная энергии выражаются через обобщенные координаты следующим образом: , , 1 1 2 = = ∑ s j k j k j k T a q q , , , 1 1 П , 2 s j k j k j k с q q = = ∑ (1.2) где ajk = akj – инерционные коэффициенты; cjk = ckj – квазиупругие коэффициенты, называемые также обобщенными коэффициента- ми жесткости; j = 1, 2, …, s; k = 1, 2, …, s. Если соответствующее нулевым значениям координат поло- жение равновесия устойчиво, то потенциальная энергия имеет
изолированный минимум, а второе из выражений (1.2) есть поло- жительно определенная квадратичная форма. В этом случае необ- ходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие неравенства (критерий Сильвестра): 11 12 11 21 22 11 12 1 11 12 13 21 22 2 21 22 23 31 32 33 1 2 0, 0, ... ... 0, ..., 0. ... ... ... ... ... > > > > s s s s ss c c с c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c (1.3) При выполнении неравенств (1.3) система, выведенная из по- ложения равновесия, совершает свободные колебания. Подставив выражения (1.2) в уравнение (1.1), получим следующую систему линейных однородных дифференциальных уравнений с постоян- ными коэффициентами: ( ) 1 0 = + = ∑ s jk k jk k k a q c q , j = 1, 2, …, s. (1.4) Конечно, фактическое составление системы уравнений (1.4) не обязательно вести по схеме Лагранжа. Во многих задачах о коле- баниях удобнее пользоваться непосредственными способами – прямым и обратным. Согласно прямому способу, из системы выделяют сосредото- ченные массы (или твердые тела) и каждая рассматривается как свободная материальная точка (или свободное тело), находящаяся под действием позиционных (восстанавливающих) сил, которые выражаются через выбранные обобщенные координаты; после чего записывают соответствующие дифференциальные уравнения движения для материальных точек (тел). Обратный способ противоположен прямому: после отделения сосредоточенных масс (или твердых тел) рассматривают остав- шуюся безынерционную систему жестких и упругих связей, т. е.
безмассовый скелет системы, находящийся под действием кине- тических реакций отделенных частей, причем кинетические реак- ции (силы инерции) выражают через обобщенные ускорения. За- тем формулируют статические соотношения для перемещений безмассового (безынерционного) скелета системы. Проследим особенности названных способов на примере системы с двумя степенями свободы, состоящей из двух тел массой m1 и m2, соединенных двумя пружинами, жесткости которых равны с1 и с2 (рис. 1.1, а). Рис. 1.1. Пример двухмассовой системы За обобщенные координаты примем горизонтальные перемещения х1 и х2 грузов, отсчитывая эти перемещения от состояния равновесия, в котором пружины не деформированы. Удлинения пружин в процессе движения ∆l1 = x1, ∆l2 = x2 – x1. Основной способ (уравнения Лагранжа 2-го рода). Прежде всего находим кинетическую энергию грузов 2 2 1 1 2 2 2 2 = + m x m x T и потенциальную энергию деформации пружин
2 2 1 1 2 2 1 ( ) П 2 2 − = + c x c x x . Далее образуем производные, необходимые для подстановки в уравнение Лагранжа: 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 d d , , , , d d П П ( ), ( ). T T T T m x m x m x m x x x t x t x с x с x x с x x x x ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ ∂ = = = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∂ ∂ = − − = − ∂ ∂ После подстановки производных в уравнение Лагранжа получаем 1 1 1 1 2 2 1 2 2 2 2 1 ( ) 0, ( ) 0. + − − = + − = m x c x c x x m x c x x (1.5) Прямой способ. Выделяем грузы и рассматриваем их как свободные тела под действием сил упругости N1 и N2, определяемых удлинениями ∆l1 и ∆l2 обеих пружин (см. рис. 1.1, б): 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 , ( ). N c l c x N c l c x x = Δ = = Δ = − Дифференциальные уравнения движения грузов имеют вид 1 1 1 2 2 2 2 , . = − + = − m x N N m x N Подставив сюда выражения для сил N1 и N2, приходим к ранее полученной системе уравнений: 1 1 1 1 2 2 1 2 2 2 2 1 ( ) 0, ( ) 0. + − − = + − = m x c x c x x m x c x x
Обратный способ. Отделяем грузы и рассматриваем упругий безмассовый скелет системы под действием кинетических реакций 1 1 − m x и 2 2 − m x (см. рис. 1.1, в). В этой схеме первая пружина нагружена силой 1 1 2 2, − − m x m x а вторая – силой 2 2. − m x Перемещение х1 конца первой пружины, равное ее удлинению, можно записать в виде 1 1 2 2 1 1 . − − = m x m x x c Перемещение правого конца второй пружины х2 равно сумме удлинений обеих пружин, т. е. 1 1 2 2 2 2 2 1 2 . − − − = + m x m x m x x c c Из двух последних соотношений имеем 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 0, 1 0. m x m x c x c c m x m x c x c c + + = ⎛ ⎞ + + + = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (1.6) Полученные выше по основному и прямому способам формы записи совпали потому, что при выборе обобщенных координат кинетическая энергия записывается в канонической форме: 2 1 1 , 2 = = ∑ s j j j T a q (1.7) т. е. без произведений скоростей j k q q при j ≠ k. Каждое из уравнений Лагранжа содержит только по одному обобщенному ускорению, как при прямом способе. Если обобщенные координаты были выбраны так, чтобы каноническую форму имела потенциальная энергия
2 1 1 П 2 = = ∑ s j j j с q , (1.8) уравнения Лагранжа совпали бы с полученными обратным способом. Сопоставляя варианты записи по прямому и обратному способам, можно сделать следующее общее заключение относительно структуры дифференциальных уравнений: в случае составления системы уравнений по прямому способу aij = 0 при i ≠ j, а по обратному способу cij = 0 при i ≠ j. Таким образом, пользуясь прямым способом, мы приходим вместо (1.4) к системе 1 0 ( 1, 2, ..., ), s j j jk k k a q c q j s = + = = ∑ (1.9) а применяя обратный способ – к системе j 1 0 ( 1, 2, ..., ) s jk k j k a q c q j s = + = = ∑ (1.10) (вместо аjj в уравнениях (1.7) и (1.9) записано aj, так как второй индекс становится лишним; аналогично вместо cjj в уравнениях (1.8) и (1.10) записано сj). Принципиально важно, что специальным выбором обобщенных координат можно придать каноническую форму как кинетической, так и потенциальной энергии. Такие координаты ξj (j = 1, 2, ..., s) называют нормальными или главными. При этом 2 1 1 2 = = ξ ∑ s j j j T a , 2 1 1 П 2 = = ξ ∑ s j j j с (1.11) и уравнения Лагранжа приобретают наиболее простой вид 0 ( 1, 2, ..., ). ξ + ξ = = j j j j a c j s (1.12) Каждое из них интегрируется независимо от других. Иначе говоря, при использовании главных координат система как бы ста-
новится совокупностью независимых парциальных систем с одной степенью свободы. Чаще всего заранее трудно указать, какие кинематические параметры (или их комбинации) являются главными координатами, и для перехода к ним требуются обширные выкладки, объем которых не уступает объему выкладок при решении задачи в произвольно принятых (не главных) обобщенных координатах. Поэтому введение понятия главных координат практически не облегчает решение задачи о свободных колебаниях, но весьма полезно для углубленного понимания их закономерностей и теоретического анализа. 1.2. Собственные частоты линейной консервативной двухмассовой системы Если условия (1.3) устойчивости состояния равновесия выполнены, то частное решение системы дифференциальных уравнений ( 1.5) можно представить в виде sin( ) j j x A t = ω + α ( 1,2) = j . (1.13) Этими выражениями описывается моногармонический колебательный режим с частотой ω, общей для всех координат хj. Подставив (1.13) в уравнения (1.5), получим систему алгебраических уравнений 2 1 1 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 ( ) 0, ( ) 0, ⎧− ω + − − = ⎪⎨ ⎪− ω + − = ⎩ m A c A c A A m A c A A (1.14) однородную относительно неизвестных амплитуд А1, А2: 2 1 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 ( ) 0 ( ) ( ) 0. A m c c c A A c A c m ⎧ − ω + + − = ⎪⎨ ⎪ − + − ω = ⎩ (1.15) При колебаниях все они не могут равняться нулю, поэтому, согласно общему свойству однородных систем, должен равняться нулю определитель, составленный из коэффициентов этой системы:
2 1 2 1 2 2 2 2 2 0. + − ω − = − − ω c c m c c c m (1.16) После развертывания определителя получим алгебраическое уравнение 2-й степени относительно ω2: 2 2 2 2 2 1 2 1 2 ( )( ) 0 − ω + − ω − = c m c c m с . Напишем это уравнение в виде 4 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 ( ) 0. ω − ω + + + = m m m c m c m c c c (1.17) Это уравнение называют частотным или вековым: 4 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 0 c c c c c m m m m m ⎛ ⎞ ω − ω + + + = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . Решим полученное биквадратное уравнение 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 4 c c c c c c c c m m m m m m m m ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ω = + + ± + + − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ . Вводя обозначения 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 , c c c c c m m m m m + + = α = β , приходим к записи 2 2 1 2 4 α ω = α ± − β . Отсюда 2 1 1 2 4 α ω = α − −β , 2 2 1 2 4 α ω = α + −β .
Доступ онлайн
В корзину