Цифровые цепи и сигналы

Москва

Горячая линия – Телеком

2019

Рекомендовано редакционно-издательским советом Ярославского 
государственного университета им. П. Г. Демидова в качестве 
учебного пособия для студентов вузов, обучающихся по укрупненной 
группе направлений подготовки бакалавров и магистров 
11.00.00 – «Электроника, радиотехника и системы связи»

 

 

УДК 621.37/.39 (075) 
ББК 32.841 
Б89 

Р е ц е н з е н т ы :  доктор техн. наук, профессор  В. В. Витязев (Рязанский 

государственный радиотехнический университет); доктор техн. наук, 
доцент  В. И. Джиган (Национальный исследовательский университет 
«Московский институт электронной техники») 
Брюханов Ю.А. 
Б89   Цифровые цепи и сигналы. Учебное пособие для вузов. – 3-е изд. 
перераб. и доп. – М.: Горячая линия – Телеком, 2019. – 160 с.: 
ил. 

ISBN 978-5-9912-0572-6. 
Приведен математический аппарат для анализа сигналов и цепей 
дискретного времени. Изложены спектральная теория периодических 
и непериодических цифровых сигналов, теория цепей дискретного 
времени. Подробно рассмотрены частотные свойства и временные характеристики базовых нерекурсивных и рекурсивных линейных цепей 
(цифровых фильтров) первого и второго порядков. Изложены методы 
изменения частоты дискретизации цифровых сигналов: децимация и 
интерполяция, а также способы их реализации. Уделено внимание 
теории случайных сигналов и процессов дискретного времени, протекающих в цифровых цепях. Рассмотрены эффекты квантования в 
цифровых сигналах и цепях. 
Для студентов вузов, обучающихся по направлениям подготовки 
«Радиофизика», «Радиотехника» и «Инфокоммуникационные технологии и системы связи». 
 
Адрес издательства в Интернет www.techbook.ru 

 
Учебное издание 

 
Брюханов  Юрий Александрович 
ЦИФРОВЫЕ ЦЕПИ И СИГНАЛЫ 

Учебное пособие для вузов 

Тиражирование книги начато в 2017 г. 

 
Все права защищены. 
Любая часть этого издания не может быть воспроизведена 
в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами 
без письменного разрешения правообладателя 
© ООО «Научно-техническое издательство «Горячая линия – Телеком» 
www.techbook.ru 
             © Брюханов Ю.А. 

Введение

Начало XXI века характеризуется бурным развитием информационных технологий.
Главенствующую роль в этом развитии играют цифровые методы формирования и обработки сигналов. Появилась новая область науки и техники — цифровая обработка сигналов, включающая общие для разных областей применения методы, алгоритмы и средства переработки сигналов на основе принципов вычислительной математики с использованием средств цифровой вычислительной техники. Идеология, методология и технология
новой области получили широкое распространение в обработке речи, телевидении, передаче данных, радиоприеме и радиопередаче,
построении медицинской аппаратуры, геологии, робототехнике, радиолокации и др.
К главным достоинствам средств цифровой обработки сигналов относятся многофункциональность, реализация произвольных
преобразований сигналов, высокая стабильность и повторяемость
характеристик, уникальные возможности для адаптации, высокая
точность реализации алгоритма обработки, реализация с помощью
больших и сверхбольших интегральных схем, высокая надежность,
малые масса, габариты и энергопотребление, широкие возможности унификации и диагностики.
Однако в технике достоинств без
недостатков не бывает.
Главными из них являются эффекты аппроксимации (эффекты квантования), возникающие из-за конечной
точности представления чисел и явления переполнения, обусловленные нелинейностью основных элементов схем. Поскольку цена достоинств выше, да и меры борьбы с недостатками разработаны, внедрение цифровых технологий является магистральным направлением
развития информационных систем. В радиоэлектронике и телекоммуникациях с их помощью решаются следующие задачи: модуляция и демодуляция, разделение сигналов, генерация, формирование
и коррекция, фильтрация и оценивание, анализ спектров, сжатие,
обнаружение и распознавание, кодирование и декодирование.
Дисциплина «Цифровые цепи и сигналы» является базовой для
изучения теории и методов цифровой обработки сигналов.
Здесь
изучаются спектральная теория периодических и непериодических
сигналов дискретного времени и теория цепей дискретного времени. Рассматриваются способы построения цифровых цепей, частот

Введение

ные и временные характеристики базовых звеньев первого и второго порядков, методы изменения частоты дискретизации цифровых
сигналов. Изучаются случайные сигналы и процессы дискретного
времени, а также эффекты квантования и переполнения в цифровых сигналах и цепях. Значительную часть этого материала можно
найти в известных монографиях Л. Рабинера и Б. Гоулда (1978 г.),
А.В. Оппенгейма и Р.В. Шафера (1979 г.), В. Каппелини, А.Дж. Константинидиса и П. Эмилиани (1983 г.).
Пособие состоит из семи разделов. Математические методы и
приемы, используемые в теории сигналов и цепей дискретного времени (дискретный ряд Фурье, z-преобразование, дискретное преобразование Фурье, теория сверток, разностные уравнения) изложены
в первом разделе. Прочное овладение ими совершенно обязательно,
поскольку они служат логической основой изучения последующего
материала.
Второй раздел посвящен спектральной теории сигналов дискретного времени. Приведены полученные с помощью дискретного
преобразования Фурье спектральные характеристики типовых периодических и непериодических сигналов: гармонического колебания, показательных и прямоугольных импульсов, прямоугольных
радиоимпульсов, цифрового единичного импульса, единичного скачка. Рассматривается связь между спектрами сигналов непрерывного
и дискретного времени.
В третьем разделе излагается теория цепей дискретного времени, принципы и способы построения цифровых цепей. Подробно описаны частотные свойства и временные характеристики (импульсная
и переходная характеристики, реакция на воздействие прямоугольного импульса и радиоимпульса) базовых звеньев — нерекурсивных
и рекурсивных цепей первого и второго порядков.
Четвертый раздел посвящен изложению методов широко используемого в настоящее время изменения частоты дискретизации
цифровых сигналов: децимации и интерполяции. Описаны этапы и
способы реализации систем децимации и интерполяции.
Теория случайных сигналов и процессов дискретного времени
рассмотрена в пятом разделе.
Изложены виды и характеристики
случайных последовательностей.
Отдельно разобраны стационарные последовательности, их спектральные и корреляционные свойства. Описано воздействие случайных последовательностей на линейные цифровые цепи. Показана связь между характеристиками случайных последовательностей на входе и выходе цифровой цепи.
Специфическими для цифровых сигналов и цепей являются эффекты, обусловленные конечной точностью представления в двоич

Введение
5

ной системе счисления значений последовательностей и коэффициентов цифровых цепей, называемые эффектами квантования. Эффекты, обусловленные аппроксимацией отсчетов сигнала, описываются в шестом разделе.
Здесь же рассмотрены вопросы аналогоцифрового и цифро-аналогового преобразований сигналов.
Седьмой раздел посвящен эффектам квантования и переполнения в цифровых цепях. Рассматриваются квантование арифметических операций в цепях с конечными и бесконечными импульсными
характеристиками, квантование коэффициентов, а также вызванные
переполнением разрядной сетки предельные циклы и пульсации в
цифровых цепях. Изложение материала завершается рассмотрением технической реализации алгоритмов работы цифровых цепей.
Для удобства при решении задач в пособие введены два приложения, содержащие некоторые полезные математические формулы,
а также краткий справочный материал по дисциплине.
В основу учебного пособия положен материал лекций по дисциплине «Цифровые цепи и сигналы», в течение многих лет читавшихся
автором студентам физического факультета Ярославского университета, обучающимся по специальности «Радиофизика и электроника».
Автор признателен коллегам, особенно проф. А.А. Ланнэ,
проф. С.И. Баскакову, проф. В.В. Витязеву, проф. В.Г. Карташеву,
а также преподавателям и сотрудникам кафедры динамики электронных систем ЯрГУ д-ру техн. наук А.Л. Приорову, канд. техн.
наук В.В. Хрящеву, канд. техн. наук А.Н. Тараканову, канд. техн.
наук В.А. Волохову и Ю.А. Лукашевичу за творческие дискуссии
и неизменную поддержку. Именно в результате дискуссий с проф.
А.А. Ланнэ эта дисциплина получила свое название, его конструктивные критические замечания и рекомендации оказали большую
помощь в подготовке книги. Автор выражает глубокую благодарность Ю.А. Лукашевичу за компьютерный набор рукописи.

Математический аппарат

Теория цифровых сигналов и систем связана с описанием и обработкой временных последовательностей. В настоящем разделе и
большей части книги будем считать, что квантование элементов последовательности по уровню отсутствует. Это предположение о бесконечно малом шаге квантования, относящееся как к отсчетам сигнала, так и к коэффициентам линейных цепей (систем), будет использовано при изучении общей теории дискретных (по времени, но
не по уровню) сигналов и цепей.
После этого будут рассмотрены
различные эффекты, возникающие в цифровых сигналах и цепях
с определенной точностью квантования по уровню из-за конечной
длины машинного слова.

1.1. Последовательности

Цифровые последовательности определяются лишь для дискретных значений независимой переменной (времени). Обычно время квантуется равномерно, т. е. t = kT , где T — интервал между отсчетами. Математически цифровые сигналы представляются в виде
непрерывной последовательности чисел. Для описания последовательностей может быть использовано одно из следующих обозначений:

{x(n)},
N1 ⩽ n ⩽ N2;
(1.1а)

{x(nT )},
N1 ⩽ n ⩽ N2;
(1.1б)

x(n),
N1 ⩽ n ⩽ N2;
(1.1в)

x(nT ),
N1 ⩽ n ⩽ N2.
(1.1г)

Обозначения (1.1а) и (1.1в) могут применяться и при неравномерном расположении отсчетов, тогда как (1.1б) и (1.1г) явно предполагают их равномерное размещение. Если отсчеты расположены
равномерно, то такая последовательность называется решетчатой
функцией.

Математический аппарат
7

Рис. 1.1. Примеры изображения последовательностей: a — в виде отрезков
соответствующей длины; b — в виде огибающей

Последовательность может быть получена несколькими способами. Проще всего взять набор чисел и расположить их в виде последовательности. Например, числа 0, 1, 2 ,...,(N − 1) образуют «пилообразную» последовательность x(n) = n, 0 ⩽ n ⩽ N − 1. Другой
способ состоит в использовании некоторого рекуррентного соотношения. Например, x(n) = x(n − 1)/2 с начальным условием x(0) = 1
дает последовательность

x(n) = (1/2)n,
0 ⩽ n < ∞.

Еще один способ: взять равноотстоящие отсчеты непрерывного колебания и из их величин образовать последовательность, т. е.
положить x(nT ) = x(t)|t=nT , −∞ ⩽ n ⩽ ∞, где T — интервал (период) дискретизации. Физически для получения x(n) этим способом
используются дискретизаторы, а для получения цифровых последовательностей - аналогово- цифровые преобразователи (АЦП).
Первые два способа получения последовательностей не связаны
с временем, тогда как третий существенно от него зависит. Отсюда
видно, что для описания последовательностей пригодны в том или
ином смысле все обозначения (1.1).
Часто полезным и информативным является графическое изображение последовательностей. Для получения графического изображения будем использовать два способа.
Покажем это на примере изображения последовательности x(n) = n, 0 ⩽ n ⩽ N − 1.
При использовании первого способа n0-й элемент последовательности изображается отрезком соответствующей длины, проведенным от
оси абсцисс из точки n = n0 (рис. 1.1,a). В некоторых случаях нет
смысла изображать каждую выборку, достаточно провести только
огибающую последовательности (рис. 1.1,b).

1.2. Разложение последовательностей
в дискретный ряд Фурье
Поскольку комплексный спектр произвольной последовательности x(n) является периодической функцией частоты, он может

Р а з д е л 1

быть выражен функцией

X(ej¯ω) =

∞
n=−∞
x(n)e−j¯ωn.
(1.2)

Здесь и ниже ¯ω = ωT .
Существует и обратное преобразование, позволяющее выразить
x(n) через X(ej¯ω):

x(n) = 1

2π

π

−π
X(ej¯ω)ej¯ωnd¯ω.
(1.3)

1.3. z-преобразование

Одним из наиболее полезных методов представления последовательностей и работы с ними является z-преобразование. Для последовательности x(n), заданной при всех n, оно определяется следующим образом:

X(z) =

∞
n=−∞
x(n)z−n,
(1.4)

где z — комплексная переменная. Ясно, что комплексная функция
(1.4) определена лишь для тех значений z, при которых степенной
ряд сходится.

1.3.1. Последовательности конечной длины

Если x(n) отлична от нуля только в интервале N1 ⩽ n ⩽ N2
(N1 < N2), где N1 и N2 конечны, то X(z) сходится в z-плоскости
везде, за исключением, может быть, точек z = 0 или z = ∞.

Рис. 1.2. Типичная последовательность
конечной длины

На последовательностях конечной длины основан важный
класс цифровых цепей. Типичная последовательность x(n) конечной длины имеет следующий
вид (рис. 1.2).
Последовательности бесконечной длины составляют основу другого большого класса цифровых цепей.

1.3.2. Физически реализуемые последовательности

Физически реализуемые последовательности: если x(n) отличается от нуля только при 0 ⩽ N ⩽ n < ∞.
При этом ряд X(z)
сходится везде вне круга радиуса R1. Величина R1 зависит от положения полюсов функции X(z).
Ниже будет показано, что при

Математический аппарат
9

R1 < 1 соответствующая система является устойчивой. Физически реализуемые последовательности весьма важны, так как на их
основе строится большинство реальных систем.

1.3.3. Нереализуемые последовательности

Физически нереализуемые последовательности: если x(n) имеет
ненулевые значения в области −∞ < n < N1 ⩽ 0. При этом ряд
X(z) сходится во всех точках, лежащих в круге радиуса R1, причем R1 определяется положением полюсов X(z). В практических
задачах нереализуемые последовательности обычно не встречаются,
но при рассмотрении некоторых теоретических вопросов они могут
представлять интерес.

1.3.4. z-преобразование некоторых последовательностей

а) цифровой единичный импульс

x(n) =
δ(n) = 1,
n = 0;
0,
n ̸= 0.

На основании определения (1.4) имеем X(z) = 1. Эта функция
сходится на всей z-плоскости, так как x(n) является последовательностью конечной длины.
б) единичный скачок

x(n) =
1(n) = 1,
n ⩾ 0;
0,
n < 0.

Поскольку x(n) = 0 везде, кроме n ⩾ 0, где x(n) = 1, то

X(z) =

∞
n=−∞
z−n =
1

1 − z−1 ,

причем X(z) сходится при |z| > 1, так как X(z) имеет единственный
полюс z = 1.
в) комплексная экспонента

x(n) =
0,
n < 0;
ej¯ω,
n ⩾ 0.

Вычисляя z-преобразование, получим

X(z) =

∞
n=−∞
ej¯ωnz−n =

∞
n=−∞
(ej¯ωz−1)n =
1

1 − z−1ej¯ω ,

причем X(z) сходится при |z| > 1, так как единственным полюсом
X(z) является z = ej¯ω.

Р а з д е л 1

г) простая показательная последовательность

x(n) =
0,
n < 0;
an,
n ⩾ 0.

Подставив x(n) в выражение (1.4), получим

X(z) =

∞
n=−∞
anz−n =

∞
n=−∞
(az−1)n =
1

1 − az−1 .

Здесь X(z) сходится при |z| > a, так как имеет только один полюс
z = a.

1.4. Соотношение между z-преобразованием
и Фурье-преобразованием последовательности

z-преобразование последовательности можно рассматривать как
способ ее однозначного представления в комплексной z-плоскости.
Из определения (1.4) видно, что z-преобразование, вычисленное на
единичной окружности, т. е. при z = ej¯ω, дает

X(z)z=ej¯ω = X(ej¯ω) =

∞
n=−∞
x(n)e−j¯ωn,

что совпадает с преобразованием Фурье исходной последовательности (см.
формулу (1.2)).
Поэтому единичная окружность в zплоскости играет весьма существенную роль.

Рис. 1.3. Графические изображения
z-преобразования: a — простой
показательной последовательности;
b — последовательности с парой
комплексно сопряженных полюсов

Обычным способом графического
изображения
информации,
содержащейся в z-преобразовании,
является задание особых точек:
полюсов и нулей функции X(z).
Так, например, z-преобразование
простой показательной последовательности может быть представлено так, как на рис. 1.3,a.
Здесь и ниже крестиком изображен полюс, а кружком — нуль
функции X(z). С помощью такого изображения расположения нулей и полюсов, а также используя дополнительное предположение о
физической реализуемости системы, можно однозначно (с точностью
до постоянного множителя) восстановить z-преобразование.