Геометрия и графика, 2014, № 3

Г Е О М Е Т Р И Я
И  Г Р А Ф И К А

Т О М  2  •  В Ы П У С К  3  •  2 014

G E O M E T R Y  &  G R A P H I C S

Н А У Ч Н О - М Е Т О Д И Ч Е С К И Й  
Ж У Р Н А Л  
 
 
 
 
 
W W W . N A U K A R U . R U

I S S N  2 3 0 8 - 4 8 9 8

Г Е О М Е Т Р И Я  И  Г РА Ф И К А

Свидетельство о регистрации  
средства массовой информации 
от 4 июля 2012 г. ПИ № ФС77-50523

Издатель:  
ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М» 
127282, Москва, ул. Полярная,  
д. 31В, стр. 1 
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86 (доб. 501)  
Факс: (495) 280-36-29
E-mail: books@infra-m.ru
http://www.infra-m.ru

Главный редактор: 
Сальков Н.А., канд. техн. наук,  
профессор МГАХИ им. В.И. Сурикова

Выпускающий редактор:  
Путкова А.В.

Отдел подписки:  
Назарова М.В. 
Тел.: (495) 280-15-96, доб. 249 
e-mail: podpiska@infra-m.ru

© ИНФРА-М, 2014

Подписано в печать 10.09.2014.  
Формат 60x90/8. Бумага офсетная. 
Тираж 1000 экз. Заказ № 

САЙТ: www.naukaru.ru  
E-mail: mag4@naukaru.ru

СОДЕРЖАНИЕ

НАУЧНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ГЕОМЕТРИИ
Иванов Г.С.
Конструктивный способ исследования cвойств 
параметрически заданных кривых  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

Сальков Н.А. 
Параметрическая геометрия в геометрическом 
моделировании . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

Милосердов Е.П., Глебов М.А. 
Расчет параметров конструкции и разработка 
алгоритмов реализации аналемматических 
солнечных часов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

МЕТОДИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ 
ПРЕПОДАВАНИЯ
Столбова И.Д., Столбов О.В., Шахова А.Б.
Опыт проведения интернет-конференций по 
проблемам качества графической подготовки 
как пример межвузовской кооперации  . . . . . . . . . . . . . .17

Вольхин К.А., Астахова Т.А.
Проблемы графической подготовки студентов 
технического университета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25

Арциховская-Кузнецова Л.В.
О «головоломности» начертательной 
геометрии  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31

Харах М.М., Козлова И.А., Славин Б.М.
Конструирование сборочного чертежа изделия 
методом 3D-моделирования как завершающий этап 
изучения инженерной и компьютерной графики . . . .36

2014. Том 2. Вып. 3
Научно-методический журнал

Выходит 4 раза в год

Издается при поддержке:
Московского государственного универси- 
тета тонких химических технологий (МИТХТ)  
им. М.В. Ломоносова, Московского государственного академического художественного  
института (МГАХИ) им. В.И. Сурикова, Национального 
исследовательского университета «Московский 
государственный строительный университет» 
(НИУ МГСУ), Московского государственного 
университета геодезии и картографии (МИИГАиК)

2014. Vol. 2. Issue 3
Scientific and methodological journal

Подписной индекс агентства «Роспечать» 25181

GEOMETRY & GRAPHICS

ISSN 2308-4898

DOI 10.12737/issn.2308-4898

РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ 

Бородкин Николай Николаевич, д-р техн. наук, профессор.
Тульский государственный университет, Тула (Россия).
Tula State University, Tula (Russia).

Виноградов Виктор Никонович, д-р пед. наук, профессор.

Витебский государственный университет имени  
П.М. Машерова (Беларусь).
Vitebsk State University named after P.M. Masherov (Belarus).

Волков Владимир Яковлевич, д-р техн. наук, профессор.

Сибирская государственная автомобильно-дорожная 
академия, Омск (Россия).
Siberian State Automobile and Highway Academy, Omsk 
(Russia).

Волошинов Денис Вячеславович, д-р техн. наук, профессор.
Санкт-Петербургский государственный университет 
телекоммуникаций, Санкт-Петербург (Россия).
Saint-Petersburg State University of Telecommunications, 
St. Petersburg (Russia).

Вышнепольский Владимир Игоревич, канд. пед. наук, 
доцент.
Московский государственный университет тонких химических технологий имени М.В. Ломоносова, Москва 
(Россия).
Moscow State University of Fine Chemical Technology 
named after M.V. Lomonosov, Moscow (Russia).

Дворецкий Александр Тимофеевич, д-р техн. наук, профессор.
Крымская академия природоохранного и курортного 
строительства, Симферополь (Россия).
Crimean Academy for Environmental and Resort Construction, 
Simferopol (Россия).

Иванов Геннадий Сергеевич, д-р техн. наук, профессор.

Московский государственный технический университет 
имени Н.Э. Баумана, Москва (Россия).
Moscow State Technical University named after N.E. Bauman, 
Moscow (Russia).

Лепаров Михаил Николаевич, канд. техн. наук, профессор.
Софийский технический университет, София (Болгария).
Technical University of Sofia, Sofia (Bulgaria).

Павлова Алина Абрамовна, д-р пед. наук, профессор.

Московский государственный педагогический университет, Москва (Россия).
Moscow State Pedagogical University, Moscow (Russia).

Парвулюсов Юрий Борисович, канд. техн. наук, профессор.
Московский государственный университет геодезии и 
картографии, Москва (Россия).
Moscow State University of Geodesy and Cartography, 
Moscow (Russia).

Сальков Николай Андреевич, канд. техн. наук, профессор.

Московский государственный академический художественный институт имени В.И. Сурикова, Москва (Россия).
Moscow State Academic Art Institute named after V.I. Surikov (Russia).

Скидан Иван Андреевич, д-р техн. наук, профессор.

Донецкий национальный технический университет, 
Донецк.
Donetsk National Technical University, Donetsk.

Столбова Ирина Дмитриевна, д-р техн. наук, доцент.

Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь (Россия).
Perm National Research Polytechnic University, Perm (Russia).

Щеглов Георгий Александрович, д-р техн. наук, профессор.
Московский государственный технический университет 
имени Н.Э. Баумана, Москва (Россия).
Moscow State Technical University named after N.E. Bauman, 
Moscow (Russia).

Присланные рукописи не возвращаются.

Точка зрения редакции может не совпадать с мнением авторов 
публикуемых материалов.

Редакция оставляет за собой право самостоятельно подбирать к 
авторским материалам иллюстрации, менять заголовки, сокращать 
тексты и вносить в рукописи необходимую стилистическую правку 
без согласования с авторами. Поступившие в редакцию материалы 
будут свидетельствовать о согласии авторов принять требования 
редакции.

Перепечатка материалов допускается с письменного разрешения 
редакции.

При цитировании ссылка на журнал «Геометрия и графика» обязательна.

Редакция не несет ответственности за содержание рекламных материалов.

Варушкин В.П.
Использование САПР для курсового 
проектирования. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41
Горнов А.О., Усанова Е.В., Шацилло Л.А.
Базовая геометро-графическая подготовка 
на основе 3D-электронных моделей . . . . . . . . . . . . . . . . . .46

Информация для авторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ 

Сальков Николай Андреевич, канд. техн. наук, профессор. 
Московский государственный академический художественный институт имени В.И. Сурикова, Москва (Россия), 
гл. редактор.

Вышнепольский Владимир Игоревич, канд. пед. наук, 
доцент. Московский государственный университет тонких химических технологий имени М.В. Ломоносова, 
Москва (Россия), зам. гл. редактора.

Кадыкова Нина Серафимовна, канд. техн. наук, доцент. 
Московский государственный университет тонких химических технологий имени М.В. Ломоносова, Москва 
(Россия), ответственный секретарь.

Кайгородцева Наталья Викторовна, канд. пед. наук, доцент. 

Омский государственный технический университет, Омск 
(Россия).

Парвулюсов Юрий Борисович, канд. техн. наук, профессор. 
Московский государственный педагогический университет, Москва (Россия).

GEOMETRY & GRAPHICS (2014). Vol. 2. Iss. 3. 3–6
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 3. 2014

НАУЧНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ГЕОМЕТРИИ

УДК 513.628:515.2                                DOI: 10.12737/6518

Г.С. Иванов
Д-р техн. наук, профессор,
Московский государственный технический университет 
им. Н.Э. Баумана,
Россия, 105005, г. Москва, ул. 2-я Бауманская, д. 5, стр. 1

Конструктивный способ 
исследования cвойств 
параметрически заданных 
кривых 

Аннотация. Параметрический способ задания кривых 
широко применяется в компьютерной графике в силу простоты вычислительных процедур. Однако их графики не 
позволяют визуально оценить как их дифференциальные 
свойства, так и свойства в целом. Для этого необходимо их 
перезадание в явном или неявном виде. В статье предлагается конструктивный способ перехода от параметрического 
задания кривой к явному и обратно. Он основан на изображении кривой на двух совместно рассматриваемых обобщенных чертежах Монжа. Например, параметрически заданная 
пространственная кривая m изображается своими проекциями m′, m′′ и m′′′ соответственно на плоскостях проекций 
Opx, Opy, Opz. Эта же кривая, заданная в неявной форме, 
изображается своими проекциями m′, m1, m2 на плоскостях 
проекций Opx, Oxy, Oxz. Общая плоскость проекций Opx этих 
двух обобщенных чертежей Монжа является графическим 
«ключом» перехода от одной системы координат к другой, 
т.е. от параметрического задания к неявному.
Способ пригоден для исследования свойств кривых многомерных пространств.
Ключевые слова: кривая линия, параметрическое задание 
кривой, явное задание кривой, обобщенный чертеж Монжа.

G.S. Ivanov
Doctor of Engineering, Professor,
Bauman Moscow State Technical University,
5 bld. 2 2d Baumanskaya st., Moscow, 105005, Russia

Constructive Method of Studying the 
Properties of Parametrically Defined Curves

Abstract. The parametric method of defining curves is widely 
used in computer graphics because of the simplicity of its calculation procedures. However, their graphics do not give a possibility 
to evaluate visually neither their differential properties nor the 
properties in general. This requires them to be reset in an explicit 
or implicit form. The article shows a constructive way of transition 
from parametrically defined curves to explicit ones and back. It is 
based on the image of the curve on the two simultaneously analysed 
generalized Monge drawings. The method is suitable for the study 
of the properties of curves of multidimensional spaces.
For example, a parametrically defined space curve m is represented by its projections m′, m′′ and m′′′, respectively, on the projection planes Opx, Opy, Opz. The same curve, given implicitly, is 
represented by its projections m′, m1, m2 on the projection planes 
Opx, Oxy, Oxz. The coinciding projection plane Opx of these two 
generalized Monge drawings is a graphical «key» of transition from 

one coordinate system to another, i.e. from parametric representation to implicit one.
Keywords: curve, set a curve parametrically, set a curve explicitly, generalized Monge drawing.

В современных графических пакетах и системах 
автоматизированного проектирования, как известно 
[7], широко применяется параметрический способ 
задания кривых линий и поверхностей. Они представляются как составные линии (кривые Эрмита, 
Безье, сплайны различных видов) и поверхности 
(бикубические сплайны, поверхности Кунса) определенного порядка гладкости.
Составляющие одномерного обвода представляются в виде

x = f1(p), y = f2(p), z = f3(p),
(1)

где в качестве функций f1, f2, f3 принимаются кубические полиномы:

x = a0 + a1p + a2p2 + a3p3,
y = b0 + b1p + b2p2 + b3p3,
(2)

z = c0 + c1p + c2p2 + c3p3.

Общеизвестно, что параметрическое задание функции, следовательно, ее график, отличается лучшими вычислительными свойствами по сравнению с 
заданием в явном или неявном виде. Кубические 
полиномы обеспечивают конструирование обвода 
до второго порядка гладкости, имея при этом минимально возможный порядок. Однако параметрическое 
задание функций (1) имеет и свои недостатки. На их 
графиках нельзя непосредственно построить касательные, круги кривизны и т.д., т.е. нельзя визуально оценить характер кривой, наличие осцилляций 
(точек перегиба), особых точек. Эти особенности 
можно увидеть лишь на графиках функций, заданных 
в явном или неявном видах:

y = ϕ(x), ψ(x, y) = 0 – для плоской кривой; (3)

y
x

z
x

=
( )

=
( )

ϕ

ϕ

1

2

,

.

ψ

ψ

1

2

0

0

x y z

x y z

, ,
,

, ,
.

(
) =

(
) =

– для пространственной 

кривой (4).

Поэтому для исследования свойств параметрически 
заданных кривых (1) необходимо их перезадать в явной или неявной формах (3), (4). В нашем случае это 
сводится к исключению параметра p из системы (2):
– в случае плоской кривой из первого уравнения 
параметр p выражаем через x и подставляем во второе, 
получаем

y = ϕ(x);
(5)

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 3. 2014
GEOMETRY & GRAPHICS (2014). Vol. 2. Iss. 3. 3-6

– в случае пространственной кривой из первого 
уравнения p выражаем через x и подставляем во второе и третье уравнения, получаем

y = ϕ1(x),

z = ϕ2(x).
(6)

Так как уравнения в системе (2) кубические, то 
после этих подстановок в общем случае получим 
уравнения девятой степени (3), (4).
Во избежание дальнейших выкладок, обычно 
достаточно громоздких, исследование этих уравнений, 
точнее, их графиков, выполним конструктивно, используя средства начертательной геометрии. Предварительно необходимо исследовать график m кубического полинома в окрестности его несобственной 
точки B∞ (рис. 1).
Для этого кубическую параболу m преобразуем в 
инволюционной гомологии J2 [2] с центром O и двойной прямой d (y = d) в кривую m′. Несобственная 
точка B
Oy
∞ ∈
 параболы m преобразуется в точку 

′ =
∩
B
Oy
p , где p – предельная прямая гомологии J2 
(образ бесконечно удаленной прямой p∞ плоскости). 
Так как в инволюционной гомологии J2 (ODB∞B′) = –1, 
то точка B′(o; d/2) является серединой отрезка OD, 
где D
d
Oy
=
∩
.
Точка B′ для образа m′ кубической параболы m 
является двойной точкой. Ее прообраз B
m
∞ ∈
, как 
известно, также является двойной точкой, так как 
любая прямая, параллельная оси Oy, пересекает параболу m

y = a0 + a1x + a2x2 + a3x3
(7)

только в одной собственной точке, в отличие от 
произвольной прямой l, пересекающей кривую m в 
трех точках 1 2 3
, ,
 (см. рис. 1). В силу однозначности, 
в гомологии J2 соответственные двойные точки B
B
∞
′
∼

однотипны, т.е. они или узловые, или возврата, или 
изолированные [2]. Поэтому исследование типа точки B
m
∞ ∈
′  сведем к исследованию ее образа 
′ ∈
′
B
m .

Для этого сначала выведем формулы преобразования J2. На произвольном носителе l = l′ (y = kx или 
y′ = kx′) соответственные точки, например, 3 x y
,
(
)

и ′
′
′
(
)
3 x y
,
 с двойными точками О и D
l
d
= ∩
 состав
ляют гармоническую четверку OD33
1
′
(
) = − . Расписав 
это сложное отношение, имеем

OD
OD

OD

O
D
D
O

y y
d

y
d
y
33
3

3

3
3
3
3
1
′
(
) = (
)

′
(
)
=
′⋅
′
⋅
′
=
′ −
(
)
−
(
)⋅ ′ = − .

 

Учитывая k
y
x
y
x
=
=
′
′ , получим искомые формулы 

преобразования J2 :

x
x

y
d
=
⋅ ′
′ −
′
2
2
;
y
y

y
d
=
⋅ ′
′ −
2
2
.
(8)

Подставив значения x, y из (8) в уравнение (7), 
после элементарных упрощений получаем уравнение 
(9) образа кривой третьего порядка m′ (здесь для 
удобства дальнейших выкладок штрихи при неизвестных убраны):

a3d3x3 + a2d2x2(2y – d) + d(2y – d)2(a1x – y) +

+ a0(2y – d)3 = 0.
 (9)

Эта кривая с осью Oy (x = 0) пересекается в двой
ной точке B′ 
y
d
1 2
2
, =
и точке A′ 
y
a d
a
d
3
0
2
=
⋅
−

, 

соответственной точке A(O, a0) прообраза m. Исследование 
точки B′ кривой m′ выполним по известной схеме:
– дифференцируем функцию (9),
– подставляем координаты точки B′ в полученное 
дифференциальное уравнение, что дает неопределенность типа 0/0; это является признаком того, что 
точка B′ – двойная;
– раскрываем неопределенность по правилу Лопиталя 
и получаем два совпавших значения dy
dx = 0 .

Это значит, что предельная прямая p является 
касательной к кривой m′ в ее точке возврата B′. Таким 
образом, для кубической параболы m ее несобственная двойная точка B
Oy
∞ ∈
 является точкой возврата, а ее ветви касаются здесь несобственной прямой 
p∞ плоскости [6].
Теперь методами начертательной геометрии исследуем график m1 функции (5), полученной из системы (2) исключением 
из ее первых двух уравнений параметра 
p (рис. 2). Графики 
′ ⊂
′
m
Π , 
′′ ⊂
′′
m
Π  
этих двух уравнений примем за направляющие проецирующих цилиндрических 
поверхностей α m V
,
∞
(
) , ′
′
(
)

∞
β m U
,
, где 

V
Oy
∞ ∈
, U
Ox
∞ ∈
, отнесенных к декартовой системе координат Oxyp. Эти 
цилиндрические поверхности (конические поверхности с несобственными 
вершинами V∞, U∞) имеют общую образующую t∞, принадлежащую несобственной плоскости w∞ пространства. 
Образующая t∞ является двукратной на 
каждой из этих поверхностей, а плоРис. 1

GEOMETRY & GRAPHICS (2014). Vol. 2. Iss. 3. 3–6
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 3. 2014

скость w∞ является их общей касательной плоскостью, 
касающейся обеих их пол вдоль прямой t∞. Это следует из поведения направляющих m′, m′′ в окрестности их несобственных двойных точек (см. рис. 1).
Таким образом, пространственная кривая m9, по 
которой пересекаются цилиндрические поверхности 
α′, β′′ третьего порядка, является кривой девятого 
порядка (9 = 3 × 3). Она распадается на их общую 
несобственную образующую t∞, считаемую пять раз 
(4 раза – из-за того, что является двукратной на 
каждой из них; 1 раз – из-за касания их пол вдоль 
t∞). Следовательно, графиком m4 функции (5) является кривая четвертого порядка (рис. 2, 3). Она представляет собой проекцию m1
4  собственной составляющей m4 линии пересечения проецирующих цилиндрических поверхностей α′ и β′′.
Пространственная кривая m4 проходит через несобственные вершины V∞, U∞ проецирующих цилиндрических поверхностей α′ и β′. Поэтому ее проекции 
m′ ⊂ П′, m′′ ⊂ П′′ являются кривыми третьего порядка. Наличие у поверхностей α′ и β′ общей образующей t∞ = U∞V∞ с общей касательной плоскостью w∞ 
приводит к появлению несобственных точек возврата U
m
∞ ∈ , V
m
∞ ∈
′′  с касательными u∞ = П′ ∩ w∞, 
v∞ = П′′ ∩ w∞. На рис. 3 она построена как третья 
проекция m1
4  на плоскости проекций П1(Oxy) пространственной кривой четвертого порядка m4, заданной своими проекциями m′ и m′′ соответственно на 
плоскостях проекций П′(Oxp), П′′(Oyp). Кривая m1
4  
представляет собой змеевидную линию с двумя несобственными действительными точками X
Ox
∞ ∈
, 

Y
Oy
∞ ∈
. Поэтому она пересекает несобственную 
прямую X∞ Y∞ плоскости w∞ еще в двух мнимых точках.
Далее исследуем пространственную кривую m, 
задаваемую системой уравнений (6), получаемой из 
системы (2) освобождением от параметра p. В геометрическом толковании эта система представляет 
уравнения трех проецирующих трехмерных цилиндрических (гиперцилиндрических) поверхностей 

′ ⊥
α
Oxp , 
′′ ⊥
β
Oyp , 
′′′ ⊥
y
Ozp , отнесенных к декар
товой системе координат Oxyzp четырехмерного пространства (рис. 3). Переход от системы (2) к системе 
(6) освобождением от параметра p геометрически 
объясняется так:
– проецирующие гиперцилиндрические поверхности α′, β′′ пересекаются по двумерной проецирующей цилиндрической поверхности четвертого порядка µ1
4
1
4
3
3
4
2
=
(
) ⊥
+ −
=
(
)
m
Oxy
;
– аналогичные гиперцилиндрические поверхности α′, γ′′′ пересекаются по двумерной проецирующей 
цилиндрической поверхности четвертого порядка 

λ2
4
2
4
=
(
) ⊥
m
Oxz ;
– в трехмерном пространстве Oxyz цилиндрические 
поверхности µ1
4 , λ2
4  пересекаются по пространственной кривой m16
1
4
2
4
=
∩
µ
λ  шестнадцатого порядка, 

являющейся графиком системы (6).
Полученная кривая m16 , очевидно, распадается 
на составляющие, так как ее проекции m1
4 , m2
4  находятся в частном положении:
– они инцидентны несобственной точке X∞ оси 
Ox;
– кривая m1
4  проходит через несобственную точку Y∞ оси Oy, а кривая m2
4  – точку Z∞ оси Oz системы 
координат Oxyz.
Отсюда следует, что
– кривая m16  инцидентна точке X∞;
– она распадается на несобственную прямую Y∞Z∞ – 
общую образующую проецирующих цилиндрических 
поверхностей µ1
4  и λ2
4 , и собственную часть m15  их 
пересечения.
Любая плоскость δi пучка параллельных плоскостей Y
Z
Oyz
∞
∞ ( )
δ пересекает каждую из цилиндрических поверхностей µ1
4 , λ2
4  по трем собственным 
образующим, пересекающимся в девяти точках 
M
j
m
j
=
(
)∈
1 2 3
9
15
, , ,
,
…
. Точки Y∞, Z∞ на m15  являются трехкратными. Действительно, одна из этих 
трех образующих совпадет с несобственной прямой 
Y∞Z∞, если некоторая плоскость δi пучка (Y∞Z∞) будет 
касаться кривой m15  в точке Y∞ или Z∞. Тогда одна 

Рис. 2

Рис. 3

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 3. 2014
GEOMETRY & GRAPHICS (2014). Vol. 2. Iss. 3. 3-6

из точек M j  совпадет с вершиной Y∞ цилиндра λ2
4  

или Z ∞ ∈µ1
4 .
Отсюда следует, что проекцией  m1
4  кривой m15  
из точки Z∞ на П1 будет кривая четвертого порядка 
15
3
3
4
−
=
 [4]: кратность точки Z∞ на m15  понижает 

порядок ее проекции на 3 (15 – 3 = 12); каждая образующая цилиндрической поверхности µ1
4  пересекает поверхность λ2
4  в трех собственных точках, что 
понижает порядок проекции в три раза (12 : 3 = 4). 
Аналогичные выкладки справедливы и для фронтальной проекции m2
4  кривой m15 .
В заключение отметим, что рассмотренный выше 
конструктивный подход к преобразованию параметрически заданных кривых в кривые, заданные своими проекциями (см. рис. 3), естественным образом 
обобщается на пространства высших размерностей. 
На обобщенном чертеже Монжа с горизонтальным 
расположением n плоскостей проекций П'(Opx), 
П''(Opy), П'''(Opz), … моделируется параметрически 
заданная кривая m n-мерного пространства. Отображая 
пары плоскостей проекций П′ – П′′, П′ – П′′′, 
П′ – ПIV, … этого чертежа соответственно на плоскости проекций П1, П2, П3, … другого обобщенного 
чертежа Монжа с вертикальным расположением 
плоскостей проекций, получаем n – 1 проекции m1, 
m2 данной кривой m. При этом новые проекции m1, 
m2, … строятся как третьи проекции исходных пар 
проекций m′ – m′′, m′ – m′′′, …

Литература

1. Божко А.Н., Жук Д.М., Маничев В.Б. Компьютерная 
графика. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007.

2. Иванов Г.С. Конструирование технических поверхностей 
(математическое моделирование на основе нелинейных 
преобразований). М.: Машиностроение, 1987.

3. Иванов Г.С. Начертательная геометрия. 3-е изд. М.: ФГБОУ 
ВПО МГУЛ, 2012.

4. Коцюбинский А.О., Грошев С.В. Компьютерная графика. 
Практическое пособие. М.: Технолоджи – 3000, 2001. 

5. Порев В.Н. Компьютерная графика. СПб.: БХВ – Петербург, 
2002.

6. Смогаржевский А.С., Столова Е.С. Справочник по теории 
плоских кривых третьего порядка. М.: Физматгиз, 1961.

7. Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия. Применение 
в проектировании и на производстве. М.: Мир, 1982.

References

1. Bozhko A.N., Zhuk D.M., Manichev V.B. Komp'yuternaya 
grafika [Computer graphics]. Moscow, Bauman State Technical 
University Publ., 2007.

2. Ivanov G.S. Konstruirovanie tekhnicheskikh poverkhnostey 
(matematicheskoe modelirovanie na osnove nelineynykh 
preobrazovaniy) [Design of technical surfaces (mathematical 
modelirovanie based on nonlinear transformations)]. Moscow, 
Mashinostroenie Publ., 1987.

3. Ivanov G.S. Nachertatel'naya geometriya [Descriptive geometry]. 
Moscow, Moscow, State Forest University Publ., 2012.

4. Kotsyubinskiy A.O., Groshev S.V. Komp'yuternaya grafika. 
Prakticheskoe posobie [Computer graphics. A practical guide]. 
Moscow, «Tehnolodzhi-3000» Publ., 2001.

5. Porev V.N. Komp'yuternaya grafika [Computer graphics]. St. 
Petersburg, BHV – Petersburg Publ., 2002.

6. Smogarzhevskiy A.S., Stolova E.S. Spravochnik po teorii ploskikh 
krivykh tret'ego poryadka [Handbook of the theory of plane 
curves of the third order]. Moscow, Fizmatgiz Publ., 1961.

7. Foks A., Pratt M. Vychislitel'naya geometriya. Primenenie v 
proektirovanii i na proizvodstve [Application in engineering 
and manufacturing]. Moscow, Mir Publ., 1982.

УДК 514                                                  DOI: 10.12737/6519

Н.А. Сальков
Канд. техн. наук, профессор, 
Московский государственный академический 
художественный институт им. В.И. Сурикова, 
Россия, 109004, г. Москва, Товарищеский переулок, д. 30 
Параметрическая геометрия 
в геометрическом моделировании

Аннотация. Дается краткая история создания параметрической геометрии за рубежом и в России. Дается определение 
понятию «параметр». Показывается, какие задачи решает 
параметрическая геометрия в геометрическом конструировании: 1. Параметраж геометрических фигур и их многообразий. 
2. Параметраж геометрических условий. 3. Исследование 
геометрического смысла параметров. 4. Исследование возможности сосуществования геометрических условий. Указывается 
ошибочное представление о параметризации геометрических 
условий как относящихся исключительно к компьютерной 
графике. На самом деле геометрические зависимости введены 
в компьютерную графику именно из параметрической геометрии, именно параметрическая геометрия определила, сколько параметров связывает та или иная зависимость. Основой 
метода параметрической геометрии является параметрическое 
исчисление. Основной задачей – определение числа параметров 
геометрических фигур на основе параметров формы и положения, а также геометрических условий и их исследование. 

Показано, что параметрическая геометрия лежит в основе каркасного метода конструирования. Конструирование 
поверхностей получением их каркасов имеет определенные 
преимущества перед другими традиционными математическими методами, так как в реальных условиях производства 
поверхность изготавливается не как непрерывное двухпараметрическое множество точек, а как дискретное семейство 
линий, которое при необходимости сглаживается.

На примере формирования проезжей части автомобильной 
дороги, являющейся линейчатой поверхностью общего порядка, показано применение параметрической геометрии в 
конструировании геометрической и математической моделей, 
без чего невозможно визуализировать поверхность дороги на 
компьютере.
Ключевые слова: параметрическая геометрия, исчислительная геометрия, параметр, геометрические параметры, 
параметраж геометрических фигур, исчислительный метод, 
аналитическая геометрия.

N.A. Salkov
Ph.D. of Engineering, Professor, 
Surikov Moscow State Academic Art Institute, 
30 Tovarischesky per., Moscow, 109004, Russia

Parametric Geometry in Geometric Modeling

Abstract. A brief history of parametric geometry creation in 
Russia and foreign countries is delivered. The term «parameter» is 
defined. Problems in geometric design solved by parametric geometry are: 1. Parametric area of geometric figures and their manifolds. 2. Parametric area of geometric conditions. 3. Study of geometric meaning of parameters. 4. Study of possibility of coexistence 
of geometric conditions. The article specifies a misconception about 
the parameterization of geometric conditions as referring exclusively to computer graphics. Geometric dependencies were in fact 
introduced into computer graphics from parametric geometry, it 
was parametric geometry that defined the number of parameters 
associated with a dependency. The parametric geometry method is 
based on parametric calculus. The main task is to research and 
determine the number of parameters of geometric shapes based on 
shape parameters, positions, and geometric conditions.

Многие преподаватели начертательной геометрии, 
за редким исключением, плохо знают, что представляет собой параметрическая геометрия и для чего 
она нужна. Многие ошибочно считают параметраж, 
использующийся в компьютерной графике, совершенно отдельным элементом, независимым от параметрической геометрии и присущим исключительно компьютерной графике [29], что в корне неверно.
Попробуем популяризовать некоторые сведения, 
касающиеся параметрической геометрии, и донести 
до широких масс хотя бы небольшой их объем.
В 1839 г. Ю. Плюккер опубликовал работу [34].  
С этого момента, как считается, было заложено начало развития параметрической геометрии. В этой 
работе речь идет о подсчете параметров алгебраических кривых и их уравнений.
Параметры – это некоторые независимые величины (числа), значения которых служат для различия 
элементов множеств между собой. В качестве параметров могут выступать коэффициенты уравнений, 
значения на числовой оси (осях координат), геометрические условия. 
Например, если взять известное уравнение первой 
степени 

Ах + Ву + Сz – D = 0,
(1)

задающее в R3 плоскость, и преобразовать его в

A
D x
B
D y
C
D z
+
+
=1,
(2)

то величины A/D, B/D, C/D являются параметрами. 
Если преобразовать (2) в

x
D
A
y
D
B
z
D
C
/
/
/
,
+
+
=1
(3)

получим известное каноническое уравнение плоскости «в отрезках», где числа в знаменателе являются 
величинами отрезков на числовых осях х, у и z соответственно. То есть теперь мы знаем, как проходит 
в пространстве плоскость, знаем геометрическую 
сущность этих параметров.
Вслед за Ю. Плюккером параметрической геометрией последовательно занимались известные французские геометры В. Понселе и М. Шалль, а затем 

GEOMETRY & GRAPHICS (2014). Vol. 2. Iss. 3. 7-13
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 3. 2014

The article shows that parametric geometry underlies the wireframe method of construction. Designing surfaces as a  set of frames 
has certain advantages over other traditional mathematical methods, 
as in real production conditions the surface is made not as a continuous two-parameter set of points, but as a discrete family of 
lines, which is optionally smoothed.
For example, the formation of the carriageway of the road, 
which is a general ruled surface, shows the use of parametric geometry in the construction of geometrical and mathematical models, 
without which it is impossible to visualize the road surface with a 
computer.
Keywords: parametric geometry, enumerative geometry, parameter, geometrical parameters, parametric area of geometric shapes, 
enumerative method, analytic geometry.

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 3. 2014
GEOMETRY & GRAPHICS (2014). Vol. 2. Iss. 3. 7–13

немецкие – Г. Шуберт [35] и Х.Г. Цейтен [36]. В 1900 г. 
выдающийся немецкий математик Д. Гильберт сформулировал 23 математические проблемы, подлежащие 
исследованию в ближайшее время. На 15-м месте 
стояла параметрическая геометрия. Однако исследование этой проблемы затянулось, а с середины 
1920-х гг. интерес к ней упал окончательно.
В России первая работа по параметрической геометрии вышла в 1963 г. [30]. В ней Н.Ф. Четверухин 
дал методику подсчета параметров многоугольников 
и многогранников. Сформулируем метод и задачу 
параметрической геометрии. 
Основой метода параметрической геометрии является параметрическое исчисление. Основной задачей – определение числа параметров геометрических фигур и их исследование. 
После Н.Ф. Четверухина вопросом параметрической геометрии занимался профессор Н.Н. Рыжов. 
Его работы [13–15] в области параметрической геометрии являются фундаментальными. Бурное развитие параметрической геометрии было вызвано 
развитием вычислительной техники, для которой 
параметрический счет стал необходим. В настоящее 
время в параметрической геометрии можно выделить 
4 основные задачи [22]:
1) параметраж геометрических фигур и их многообразий;

2) параметраж геометрических условий;
3) исследование геометрического смысла параметров;
4) исследование возможности сосуществования геометрических условий.
Первые две задачи в принципе решены. Третья и 
четвертая находятся в стадии решения, общих подходов к их решению пока нет, поэтому в каждом 
конкретном случае приходится анализировать условия и находить оригинальное решение. Тут еще остается обширное поле для исследований.
В этом месте стоит сделать следующее замечание. 
Некоторые авторы [29, с. 10], как уже говорилось 
выше, параметраж геометрических условий приписывают исключительно компьютерной графике. Отнюдь. 
Вопросом геометрических условий как параметров 
занимались академик Н.Ф. Четверухин, профессор 
Н.Н. Рыжов и их многочисленные ученики, разрабатывавшие принципы параметрической геометрии. 
Сравните с [17, 19, 20, 22, 23].
Где же применяется параметрическая геометрия?
Значительная часть исследований в прикладной 
геометрии поверхностей направлена на конструирование каркасов поверхностей, и в этой области параметрическая геометрия занимает одно из ведущих 
мест. В теории каркаса фундаментальными являются работы профессора Н.Н. Рыжова [13 и др.]. Каркасная 
теория задания и конструирования поверхностей 
дает общую точку зрения на вопросы геометрического конструирования поверхностей, задания их в 
пространстве и на чертеже, обобщает различные 
способы и приемы прикладной геометрии поверхностей. В работах [16, 20] получает развитие идея формализации процесса конструирования поверхностей 

как по отдельным вопросам, так и всего метода в 
целом. Формализация таких вопросов, как составление закона каркаса, выявление определителя поверхности, получение линии каркаса как элемента 
непрерывного каркаса поверхности, является главным 
моментом в проблеме автоматизации этих процессов.
Конструирование поверхностей получением их 
каркасов имеет определенные преимущества перед 
другими традиционными математическими методами, так как в реальных условиях производства поверхность изготавливается не как непрерывное двухпараметрическое множество точек, а как дискретное 
семейство линий, которое при необходимости сглаживается.
Дискретный каркас с наперед заданной плотностью 
расположения линий можно получить из заданного 
непрерывного каркаса. Современные технические 
средства позволяют получать и воспроизводить дискретные каркасы с плотностью, на несколько порядков превосходящей требуемую в инженерной практике. Это дает возможность при решении инженерных задач пользоваться приближенными методами 
там, где решение классическими методами анализа 
по тем или иным причинам затруднено.
Однопараметрическое множество (∞1) линий, 
образующее каркас некоторой поверхности, можно 
получить двумя способами: наложением геометрических условий на элементы многопараметрического множества или размножением первоначально 
заданной производящей линии путем преобразования 
пространства. Оба способа получили широкое распространение в прикладной геометрии поверхностей 
и являются основными при конструировании каркасных поверхностей.
Вопросы геометрического моделирования каркасных поверхностей решались применительно к архитектурно-строительной практике в работах [10, 19, 
23, 24, 31]. Параметризации геометрических условий 
и поверхностей, алгоритмам перехода от конструктивно-кинематического задания поверхностей к 
аналитическому посвящены работы [5, 7, 9, 12, 14, 
15, 17, 19–21, 23–26, 30].
В течение более чем 35 лет под научным руководством профессора Н.Н. Рыжова велась методически 
последовательная, целенаправленная работа по исследованию каркасно-параметрического метода задания и конструирования поверхностей. Исследовались 
общие вопросы каркасной теории задания и конструирования поверхностей [3, 7, 13, 18], параметризации фигур и геометрических условий, образующих 
эти фигуры [7, 14, 15, 17, 20, 21, 25], свойств многопараметрических линий и поверхностей [3, 4, 18], 
алгоритмизации и формализации конструирования 
поверхностей [2, 7, 12, 16], получения их уравнений, 
параметризации чертежа поверхности и др.
Рассмотрим основные положения, раскрывающие 
сущность каркасно-параметрического метода.
Наперед заданные требования к конструируемой 
поверхности предъявляются в виде геометрических 
условий, каждое из которых выступает или в виде 

GEOMETRY & GRAPHICS (2014). Vol. 2. Iss. 3. 7–13
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 3. 2014

параметра элемента каркаса, или в виде функций, 
устанавливающих определенную зависимость между параметрами элемента каркаса. Каждое из геометрических условий задает определенное число 
связей между параметрами элементов каркаса, это 
число называется параметрическим числом данного условия.
При каркасно-параметрическом методе конструирования поверхностей ∞1 (однопараметрическое 
множество) линий, представляющих собой каркас 
поверхности, получается выделением этого множества из ∞е (е-параметрического множества) линий 
некоторого пространства. Если элемент каркаса в 
некотором пространстве определен по форме и положению е параметрами (е = р + q, где р – число 
параметров формы, а q – число параметров положения), то это означает, что все пространство заполнено ∞е этих линий. Задавая 1, 2, … , (е – 1) параметр, 
можно из ∞е выделить ∞е – 1, ∞е – 2, … , ∞1 линий. 
Оставшийся свободным е-й параметр выступает в 
качестве параметра каркаса.
К аналогичному результату можно прийти, связывая функционально параметры элемента каркаса 
αi (i = 1, 2, …, e) соответственно 1, 2, …, (е – 1) связью. Такая связь устанавливается заданием геометрических условий, предъявляемых к линии – элементу каркаса. Совокупность геометрических условий, выделяющих линейный каркас из ∞е линий, 
образует закон каркаса. Поскольку каждое из геометрических условий может иметь отличное от других 
условий параметрическое число, то количество таких 
условий в законе каркаса должно быть таким, чтобы 
сумма их параметрических чисел равнялась (е – 1).
Геометрические условия, входящие в закон каркаса, несут информацию также и об определителе. 
Эта информация содержится в виде описания тех 
геометрических образов, через которые осуществляется связь параметров элементов каркаса.
Каркасно-параметрический метод конструирования поверхностей состоит в обобщенном виде из 
следующих составляющих:
1) определение исходного ∞е линий, из которых 
выделяется каркас;

2) выбор геометрических условий, обеспечивающих 
наперед заданные требования;

3) параметрическая оценка геометрических условий.
4) составление закона каркаса;
5) выявление принципиального определителя по 
закону каркаса;

6) определение метода получения линии каркаса;
7) реализация метода получения линии каркаса;
8) воспроизведение линии в каком-нибудь виде.
Каркасно-параметрический метод задания и конструирования поверхностей позволяет довольно просто 
осуществить переход от конструктивно-кинематического задания поверхности к аналитическому,  
а затем и к визуализации самой поверхности.
Все многообразие ∞е кривых пространства можно 
записать в виде системы

Φ

Φ

1
1
2

2
1
2

0

0

X Y Z

X Y Z

e

e

, ,
,
,
,
,
;

, ,
,
,
,
,
,

α α
α

α α
α

…

…

(
) =

(
) =

(4)

где αi – параметр элемента каркаса.
Закон каркаса можно выразить системой из (е – 1) 
уравнений
 
ψi(α1, α2, … , αe) = 0; i = 1, 2, …, (е – 1).
 (5)

Исключив (е – 1) параметр из (е + 1) уравнений 
(4) и (5), получим уравнение каркаса с параметром 
каркаса αk:

F X Y Z

F
X Y Z

k

k

1

2

0

0

, ,
,
;

, ,
,
.

α

α

(
) =

(
) =

(6)

Исключив параметр каркаса αk, можно получить 
уравнение поверхности в виде:

F(X, Y, Z) = 0.
(7)

Таким образом, каркасно-параметрический метод 
является достаточно универсальным методом прикладной геометрии поверхностей. Метод отличается 
высокой формализованностью и универсальностью 
его алгоритмов, что является важным моментом в 
вопросе автоматизации конструирования поверхностей.
Во вторую группу конструирования поверхностей 
входят такие методы, как метод Кунса [11, 26, 27], 
метод Фергюсона [26, 27, 31], метод Безье [11, 28, 
32], метод сплайнов [1, 6, 8].
Сущность этих методов заключается в доопределении поверхности в промежутках между заданным 
точечным каркасом с соблюдением плавного изменения кривизны. Поверхность разбивается на ячейки, которые стыкуются между собой с заданной степенью гладкости.
Рассмотрим, как работает параметрическая геометрия и каркасно-параметрический метод конструирования поверхностей при получении поверхности 
проезжей части автомобильной дороги.
Известно, что поверхности автомобильной дороги являются линейчатыми поверхностями общего 
вида.
Первоначально задается конечный дискретный 
ряд N точек (рис. 1) своими пространственными 
координатами х, у, z. Необходимо получить поверхность проезжей части автомобильной дороги, которая, как уже было сказано, является линейчатой 
поверхностью общего порядка.

Рис. 1