Прямые и обратные задачи для уравнений смешанного парабологиперболического типа

УДК 517.95
ББК 22.161
 
С12

Издание осуществлено при финансовой поддержке 
Стерлитамакского филиала Башкирского государственного 
университета

Рецензенты:
доктор физико-математических наук, профессор В.И. Жегалов,
доктор физико-математических наук, профессор А.М. Елизаров,
доктор физико-математических наук, профессор А.М. Нахушев

Сабитов К.Б.
Прямые и обратные задачи для уравнений смешанного параболо-
гиперболического типа / К.Б. Сабитов. – М. : Наука, 2016. – 272 с. – 
ISBN 978-5-02-039969-3.

Монография посвящена изучению качественных и спектральных 
свойств решений уравнений смешанного параболо-гиперболического типа 
и разработке методов спектрального анализа для изучения аналога задачи 
Трикоми, начально-граничных задач с локальными и нелокальными крае-
выми условиями и обратных задач.
Для научных работников в области дифференциальных уравнений 
в частных производных, преподавателей, аспирантов и студентов старших 
курсов физико-математических факультетов вузов.

ISBN 978-5-02-039969-3 
©  Сабитов К.Б., 2016
 
©  ФГУП Издательство «Наука», 
редакционно-издательское оформление. 
2016

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение
5

Глава 1. Качественные свойства решений
11
§ 1.1. Принцип максимума для уравнений смешанного параболо-
гиперболического типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
§ 1.2. Экстремальные свойства решений одного класса пара-
болических систем и их применения . . . . . . . . . . .
19
§ 1.3. О спектральном влиянии гиперболической части урав-
нений смешанного типа на корректность задачи Трикоми 31
§ 1.4. О знакоопределенности решения неоднородного урав-
нения смешанного параболо-гиперболического типа вы-
сокого порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45

Глава 2. Начально-граничные задачи с локальными гра-
ничными условиями
56
§ 2.1. Задача с граничным условием первого рода
. . . . . .
56
§ 2.2. Первая начально-граничная задача для неоднородного
уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
§ 2.3. Задача с граничным условием второго рода
. . . . . .
80
§ 2.4. Задача с граничным условием третьего рода . . . . . .
87

Глава 3. Краевые задачи с нелокальными граничными усло-
виями
95
§ 3.1. Задача с условиями периодичности
. . . . . . . . . . .
95
§ 3.2. Краевая задача с нелокальным граничным условием
первого рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
105
§ 3.3. Краевая задача с нелокальным граничным условием
второго рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
120
§ 3.4. Краевая задача с нелокальным интегральным условием 134
§ 3.5. Краевая задача с новым нелокальным граничным условием149
3

Оглавление

Глава 4. Обратные задачи по отысканию правой части
161
§ 4.1. Обратная задача по отысканию правой части, зависящей
от пространственной переменной . . . . . . . . . . . . .
161
§ 4.2. Обратная задача по отысканию правой части, зависящей
от пространственной переменной, с другим дополнительным 
граничным условием
. . . . . . . . . . . . . . . . .
172
§ 4.3. Обратная задача по отысканию правых частей, зависящих
от пространственной переменной . . . . . . . . . . . . .
180
§ 4.4. Обратные задачи по отысканию сомножителей правых
частей, зависящих от пространственной переменной . .
198
§ 4.5. Обратные задачи по отысканию сомножителей правых
частей, зависящих от времени . . . . . . . . . . . . . . .
228

Глава 5. Обратные коэффициентные задачи
239
§ 5.1. Прямая начально-граничная задача . . . . . . . . . . .
239
§ 5.2. Обратные коэффициентные задачи . . . . . . . . . . . .
248

Заключение
257

Список литературы
258

Введение

Как известно [133, с. 438], электромагнитное поле характеризуется
векторами E и H напряженностей электрического и магнитного полей
и векторами D и B электрической и магнитной индукций, которые
связаны между собой системой уравнений Максвелла.
В случае однородной среды из этой системы получаются уравнения 
для каждой из величин E и H в отдельности:

∆E = 1

a2
∂2E
∂t2 + 4πσµ

c2
∂E
∂t ,
(0.1)

∆H = 1

a2
∂2H
∂t2 + 4πσµ

c2
∂H
∂t ,
(0.2)

где σ − проводимость среды, µ − магнитная проницаемость, c − скорость 
света в пустоте, a2 = c2εµ, ε − диэлектрическая постоянная.
Уравнению (0.1) или (0.2) будут удовлетворять компоненты Ex,
Ey, Ez и Hx, Hy, Hz, т.е.

∆u = 1

a2 utt + 4πσµ

c2
ut,
(0.3)

где u − одна из указанных компонент векторов E и H.
Если при этом среда непроводящая или слабо проводящая, то
можно положить σ = 0 и из (0.3) получаем волновое уравнение

∆u = 1

a2 utt,

т.е. электромагнитные процессы распространяются в такой среде со
скоростью a. Если среда обладает большой проводимостью и можно
пренебречь токами смещения по сравнению с токами проводимости,
то уравнение (0.3) переходит в уравнение параболического типа

∆u = 4πσµ

c2
ut.

Рассмотрим электрическое поле в области, заполненной вещественной 
средой с малой проводимостью. Поскольку газы в естественном 
состоянии не проводят электричество, то такой средой может
служить какой-нибудь газ. Пусть, начиная с определенного момента

Введение

времени, на газ начал действовать какой-нибудь ионизатор (рентгеновские, 
ультрафиолетовые или радиоактивные излучения, высокая
температура). В результате достаточно большой ионизации газ с некоторого 
момента приобретает большую проводимость. Следовательно,
определение напряженности электрического поля за промежуток времени, 
содержащий в себе упомянутый момент, будет связано с решением 
краевой задачи для двух уравнений гиперболического и параболического 
типов с условиями сопряжения на поверхности изменения 
типа. В связи с этим интересно выяснить, какие задачи являются
корректно поставленными одновременно для волнового уравнения и
уравнения теплопроводности. В данной работе в определенной мере
дается ответ на поставленный вопрос в случае одной пространственной 
переменной.
Остановимся на обзоре некоторых результатов, полученных для
уравнений смешанного параболо-гиперболического типа. На необходимость 
рассмотрения задач сопряжения, когда на одной части области 
задано параболическое уравнение, на другой − гиперболическое,
было указано в 1959 г. И.М. Гельфандом [16]. Он приводит пример,
связанный с движением газа в канале, окруженном пористой средой:
в канале движение газа описывается волновым уравнением, вне его
− уравнением диффузии. Задачу о распространении электрических
колебаний в составных линиях, когда на участке 0 < x < l полубес-
конечной линии пренебрегается потерями, а остальная часть линии
рассматривается как кабель без утечки, Я.С. Уфлянд [137] свел к решению 
системы уравнений












L∂I1

∂t + ∂U1

∂x = 0, C1
∂U1
∂t + ∂I1

∂x = 0,
0 < x < l,

RI2 + ∂U2

∂x = 0,
C2
∂U2
∂t + ∂I2

∂x = 0,
l < x < ∞

(0.4)

при начальных

U1
t=0 = 0, I1
t=0 = 0, U2
t=0 = 0

и граничных

U1
x=0 = E(t),
lim
x→∞ U2 = 0

условиях, a также при требованиях непрерывности напряжения и тока

U1
x=l = U2
x=l, I1
x=l = I2
x=l,

Введение
7

здесь L, C1 − самоиндукция и емкость (на единицу длины) первого
участка линии; R, C2 − сопротивление и емкость второго участка (см.
также [69]).
Если теперь из системы уравнений (0.4) исключить токи, то приходим 
к задаче:

0 =

a2
1uxx − utt,
0 < x < l,
a2
2uxx − ut,
l < x < ∞,
(0.5)

u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = 0, 0 ⩽ x ⩽ l, u(x, 0) = 0, l ⩽ x < ∞,

u(0, t) = E(t),
lim
x→+∞ u(x, t) = 0,

u(l − 0, t) = u(l + 0, t), ux(l + 0, t) = R

L

t
0
ux(l − 0, η) dη,
(0.6)

здесь

u(x, t) =

U1(x, t),
x < l,
U2(x, t),
x > l,
a2
1 =
1

LC1
, a2
2 =
1

LC2
.

Эта задача для более общего уравнения, чем уравнения (0.5) с
общими условиями склеивания вида (0.6), изучена в монографии [21,
§5 гл. 1].
Некоторые задачи на сопряжения уравнений параболического и
гиперболического типов изучены в работах Г.М. Стручиной [131],
С.И. Гайдука, Л.В. Иванова [15].
О.А. Ладыженская и Л. Ступялис [63, 132] в многомерном про-
странстве рассмотрели начально краевые задачи на сопряжения
параболо-гиперболических уравнений, которые возникают при изу-
чении задачи о движении проводящей жидкости в электромагнитном
поле.
Л.А. Золина [29] изучила аналог задачи Трикоми для уравнения

0 =

uxx − ut,
t > 0,
uxx − utt,
t < 0,
(0.7)

в области, ограниченной при t < 0 характеристиками уравнения (0.7)
AC : x + t = 0 и BC : x − t = 1, а при t > 0 − с боков гладкими
монотонными кривыми AA0 и BB0, сверху отрезком A0B0 прямой
t = h, с условиями

u
AA0 = ϕ1(t), u
BB0 = ϕ2(t), 0 ⩽ t ⩽ h; u
AC = ψ(x), 0 ⩽ x ⩽ 1/2;

Введение

u(x, +0) = λ(x)u(x, −0),
ut(x, +0) = µ(x)ut(x, −0),
0 < x < 1,

где ϕ1(t), ϕ2(t), ψ(x), λ(x) и µ(x) − заданные функции.
После этих статей появился целый ряд работ, где исследуются
задача Трикоми и ее обобщения, задачи со смещениями, задача ти-
па задачи Бицадзе–Самарского и другие краевые задачи для сме-
шанных параболо-гиперболических уравнений второго порядка. Это
работы М.А. Абдрахманова [1], А.М. Нахушева, Х.Г. Бжихатлова
[77, 79, 4], В.Н. Врагова [13, 14], В.А. Елеева [22, 23], М.С. Салахит-
динова, А.С. Бердышева [115, 116], Т.Д. Джураева, А. Сопуева, А.
Мамажанова [18] − [21] и др. Отметим, что в монографиях [18, 21]
приведен достаточно полный обзор исследований краевых задач для
уравнений смешанного параболо-гиперболического типа до середины
80-х годов прошлого столетия. Поэтому в дальнейшем отметим те ра-
боты, которые были опубликованы в 90-е годы и ранее и связаны
разработкой методов спектрального анализа для решения различных
краевых задач для уравнений смешанного типа. Это прежде всего ра-
боты Е.И. Моисеева, Н.Ю. Капустина [73] − [75], [49] − [51], [147, 148]
и автора.
Данная монография написана на основе работ автора, опублико-
ванных в статьях [92] − [94], [96] − [108].
Основной задачей предлагаемой монографии являются изучение
качественных и спектральных свойств решений уравнений смешан-
ного параболо-гиперболического типа и разработка методов спектрального 
анализа для изучения таких уравнений аналога задачи
Трикоми, начально-граничных задач с локальными и нелокальными 
краевыми условиями и обратных задач. Ранее аналогичные задачи 
и другие нами изучались для уравнений смешанного эллиптико-
гиперболического типа в монографии [110].
Далее перейдем к изложению содержания монографии, которая
состоит из пяти глав, разбитых на 20 параграфов. При этом принята
тройная нумерация формул, определений, теорем, лемм, замечаний и
рисунков.
В первой главе изучены экстремальные свойства решений общего 
уравнения смешанного параболо-гиперболического типа, качественные 
свойства решения для одного класса уравнений смешанного
параболо-гиперболического типа высокого порядка, в частности, по-
ликалорического уравнения, и спектральные свойства решения задачи 
Трикоми для двух классов уравнений параболо-гиперболического
типа.
Вторая глава посвящена изучению начально-граничных задач

Введение
9

для уравнения

Lu =
ut − uxx + b2u = 0,
t > 0,
utt − uxx + b2u = 0,
t < 0,
(0.8)

где b = const ⩾ 0, в прямоугольной области D = {(x, t)| 0 < x <
l, −α < t < β}, здесь l, α, β − заданные положительные постоянные,
с локальными граничными условиями. Для каждой из трех поставленных 
задач установлен критерий единственности решения, которое
построено в виде суммы ряда по системе собственных функций соответствующей 
одномерной задачи на собственные значения. При обосновании 
равномерной сходимости рядов возникает проблема малых
знаменателей, в связи с чем найдены оценки об отделенности от нуля
с соответствующей асимптотикой. На основе этих оценок обоснована
сходимость рядов в классах регулярных решений уравнения (0.8) и
устойчивость решения задач от начальных данных.
В третьей главе для уравнения (0.8) в прямоугольной области
D изучены краевые задачи с нелокальными граничными условиями.
Здесь также методами спектрального анализа установлены критерии
единственности. Решения поставленных задач построены в виде суммы 
ортогонального ряда по системе собственных функций или в виде
суммы биортогонального ряда по системам корневых функций двух
взаимно сопряженных задач на собственные значения. Установленные
оценки малых знаменателей позволяют обосновать сходимость рядов
в классах регулярных решений уравнения (0.8) и устойчивость решения 
задач от начальных данных.
Отметим, что ранее первыми нелокальные задачи для уравнений
смешанного типа были изучены в работах [138, 26, 78]. Затем эти исследования 
были продолжены и получены интересные результаты в
работах [9, 27, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 42, 43, 55, 57, 58, 67, 68, 75, 80, 81,
82, 89, 111, 112, 113, 114, 119, 121, 123, 124, 126, 144] для различных типов 
и классов дифференциальных уравнений в частных производных.
Наиболее полный обзор работ, посвященных изучению нелокальных
задач для уравнений гиперболического и других типов, приведены в
монографиях [89, 80].
В четвертой главе для параболо-гиперболического уравнения

Lu =
ut − uxx + b2u = f1(x)g1(t),
t > 0,
utt − uxx + b2u = f2(x)g2(t),
t < 0,
(0.9)

где в прямоугольной области D доказаны теоремы единственности
и существования решения обратных задач по отысканию функций

Введение

u(x, t) и fi(x) или gi(t), i = 1, 2, из правой части уравнения (0.9). Решения 
которых построены в виде суммы рядов. Установлены оценки
об устойчивости решений таких задач по граничным данным.
В пятой главе для уравнения смешанного типа

Lu =
ut − uxx + q(x)u = 0,
t > 0,
utt − uxx + q(x)u = 0,
t < 0,
(0.10)

где q(x) − определенная на [0, π] достаточно гладкая функция, в прямоугольной 
области {(x, t)| 0 < x < π, −α < t < β} изучена начально-
граничная задача с краевыми условиями третьего рода. Установлен
критерий единственности. Решение построено в виде суммы ряда по
системе собственных функций. При условии, когда отношение сторон
прямоугольника, являющегося областью гиперболичности, является
рациональным числом, показана сходимость ряда в классе регулярных 
решений уравнения (0.10), после чего приведены постановки обратных 
задач для данного уравнения с неизвестными коэффициентами 
при неизвестной функции и граничных условиях. Опираясь на
теорию обратных задач Штурма-Лиувилля, доказаны теоремы единственности 
поставленных обратных задач и для некоторых из них
приведены необходимые и достаточные условия разрешимости.
Отметим, что различные обратные задачи для параболических,
гиперболических и эллиптических уравнений изучены достаточно
полно. Создана достаточно полная теория обратных и некорректных
задач (см. монографии [134, 30, 61, 62, 91, 17, 155, 145, 146, 40] и приведенную 
там обширную библиографию), а также отметим работы
[86, 83, 87, 59, 128, 129, 48, 55, 56, 135, 127], посвященные вопросам
разрешимости обратных задач для уравнений параболического типа.
Здесь впервые предлагаются и изучаются обратные задачи для
уравнений смешанного параболо-гиперболического типа.
При подготовке данной монографии (первое издание вышло в издательстве «
Гилем. Башкирская энциклопедия», Уфа, 2015, 240 с.) к
печати существенную помощь при наборе и верстке оказал мой ученик
к.ф.-м.н. Сидоров С.Н. Пользуясь случаем, выражаю ему и рецензентам 
книги д.ф.-м.н. проф. Жегалову В.И., д.ф.-м.н. проф. Елизарову
А.М. и д.ф.-м.н. проф. Нахушеву А.М. признательность за поддержку
и указанные замечания.
Буду также благодарен всем, кто пришлет свои замечания и пожелания 
на мой адрес: sabitov_fmf@mail.ru.

Г л а в а 1

Качественные свойства решений

§ 1.1. Принцип максимума для уравнений
смешанного параболо-гиперболического типа

Рассмотрим уравнение

L1u ≡
uxx + Aux + Buy + Cu = F,
y > 0,
K(y)uxx + uyy + Aux + Buy + Cu = F,
y < 0,
(1.1.1)

где K(y) < 0 при y < 0, B(x, y) < 0 при y ≥ 0, K(y), A(x, y), B(x, y),
C(x, y) и F(x, y) − заданные функции, гладкость которых будет указана 
ниже,

L2u ≡
uyy + Aux + Buy + Cu = F,
y > 0,
K(y)uxx + uyy + Aux + Buy + Cu = F,
y < 0,
(1.1.2)

где A(x, y) < 0 при y ≥ 0, в области Ω, ограниченной при y > 0
отрезками AA1, A1B1 и B1B, где A = (0, 0), A1 = (0, d), B = (l, 0),
B1 = (l, d), l, d > 0, а при y < 0 характеристиками AC и CB уравнения
(1.1.1) или (1.1.2) (рис. 1).
Пусть Ω+ = Ω ∩ {y > 0}, Ω− = Ω ∩ {y < 0}. Отметим, что урав-
нение (1.1.1) является уравнением смешанного типа с характеристи-
ческой линией изменения типа (т.е. время в области Ω+ направлено
вдоль оси x = 0), а (1.1.2) − уравнением смешанного типа с нехарак-
теристической линией изменения типа (время в параболической части
направлено вдоль оси y = 0). Этот момент существенно влияет на по-
становку краевых задач для уравнений (1.1.1) и (1.1.2) в области Ω.

Гл. 1. Качественные свойства решений

Рис. 1

1.1.1. Принцип максимума для уравнений
гиперболического типа

Рассмотрим уравнение гиперболического типа

L0u ≡ uξη + a(ξ, η)uξ + b(ξ, η)uη + c(ξ, η)u = f(ξ, η)
(1.1.3)

в характеристическом треугольнике ∆ (рис. 2), ограниченном отрез-
ками прямых ξ = 0, η = ξ и η = l.

Рис. 2

Пусть A0 = (0, 0), B0 = (l, l), C0 = (0, l) − вершины треуголь-
ника ∆; α(ξ, η) = a(ξ, η)β(ξ, η), β(ξ, η) = exp
b(ξ, η)dξ, h(ξ, η) =
aξ(ξ, η) + a(ξ, η)b(ξ, η) − c(ξ, η).