Нестационарные системы автоматического управления анализ, синтез и автоматизация

 
 
 
 
 
 
 
 
 
НЕСТАЦИОНАРНЫЕ 
СИСТЕМЫ 
АВТОМАТИЧЕСКОГО 
УПРАВЛЕНИЯ: 
АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ 
 
 
 
 
Под редакцией заслуженного деятеля науки РФ, 
доктора технических наук, профессора К.А. Пупкова 
и заслуженного деятеля науки РФ, 
доктора технических наук, профессора Н.Д. Егупова 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва 
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана 
2007 

УДК 681.5:681.3 (075.8) 
ББК 14.2.6 
 
Н56 

Издание осуществлено при поддержке 
Российского фонда фундаментальных 
исследований по проекту 06-08-06014-д 
 
 
 
 
Авторы: 

д-р техн. наук, проф. К.А. Пупков; д-р техн. наук, проф. Н.Д. Егупов; канд. 
техн. наук, доц. А.И. Гаврилов; канд. техн. наук, доц. В.Г. Коньков; канд. 
техн. наук, доц. М.О. Корлякова; д-р техн. наук, проф. Ю.П. Корнюшин, канд. 
техн. наук, доц. В.И. Краснощеченко; канд. техн. наук, доц. А.М. Макаренков; 
канд. техн. наук, доц. Д.В. Мельников; д-р техн. наук, проф. С.Г. Потехин; 
канд. физ.-мат. наук К.А. Рыбаков; канд. техн. наук, доц. В.В. Рыбин; д-р 
техн. наук, проф. В.М. Рыбин; канд. физ.-мат. наук, доц. И.Л. Сотскова; канд. 
физ.-мат. наук, доц. С.Е. Степанов; д-р техн. наук, проф. А.И. Трофимов 
 
 
 
 
Н56 
Нестационарные системы автоматического управления: анализ, синтез и оптимизация / Под ред. К.А. Пупкова и Н.Д. Егупова. — М.: Издательство МГТУ 
им. Н.Э. Баумана, 2007. — 632 с. 
 
 
ISBN 978-5-7038-2781-9 
 
 
Изложены основы теории и пути практического применения методов анализа и синтеза систем 
автоматического управления, содержащих переменные параметры и находящихся под воздействием как детерминированных, так и случайных сигналов, а также вероятностный подход к решению 
задач робастного управления. 
Существенное внимание уделено современным методам исследования стохастических систем, 
основанным на проекционной аппроксимации математических моделей систем с применением 
техники матричных операторов. Рассматриваются вопросы применения нейрокомпьютеров в системах управления. 
Достаточно подробно рассмотрены вопросы описания сигналов и линейных нестационарных 
систем с использованием вейвлетов. 
Для научных работников, специалистов в области теории автоматического управления и математического моделирования, а также для студентов и аспирантов соответствующих специальностей. 
 
 
УДК 681.5:681.3 (075.8) 
ББК 14.2.6 
 
 
 
 
 
 
 
© Пупков К.А., Егупов Н.Д. и др., 2007 
 
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007 
ISBN 978-5-7038-2781-9 
© Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007 

Введение 
3 

ВВЕДЕНИЕ 

В монографии отражены основы теории нестационарных систем автоматического 
управления, систем со случайными параметрами и инженерные приемы и алгоритмы 
робастного управления. Наряду с изложением традиционных положений, таких как 
методы анализа и синтеза систем с переменными параметрами при детерминированных воздействиях, операторный метод, метод импульсных переходных функций, метод сопряженных систем, устойчивость систем с переменными параметрами, статистические методы исследования и синтеза оптимальных систем при случайных воздействиях и др., в монографии большое внимание уделено направлениям, которые 
актуальны в настоящее время. Речь идет о таких направлениях в теории систем с переменными параметрами, как: 
• геометрические методы с детальным рассмотрением таких понятий, как 
управляемость, наблюдаемость, оптимизация и синтез систем с переменными параметрами; 
• аппарат проекционных аппроксимаций и техника матричных операторов 
применительно к исследованию и проектированию систем со случайными параметрами (стохастическими операторами). Характерной особенностью 
этих методов является возможность эффективной алгоритмической и программной реализации, что подчеркивает их компьютерную ориентацию. 
Важным преимуществом методов является их высокая степень универсальности, возможность решения задач расчета и проектирования широкого 
класса систем, включая нелинейные, при отсутствии принципиальных ограничений на размерность системы, количество нелинейностей, случайных параметров и помех. Кратко рассмотрены задачи вероятностного анализа систем со случайной сменой структуры. Общей основой анализа является теория марковских процессов и последовательностей; 
• некоторые положения теории и практики интеллектуальных систем. Достижения в области нейрофизиологии, микроэлектроники, информационных 
технологий, теории и техники обработки информации привели к возможности создания интеллектуальных систем. В основу концепции таких систем 
положена теория функциональной системы, описывающая системную приспособительную реакцию живого организма; 
• некоторые положения вейвлет-анализа — бурно развивающейся области современной теоретической и прикладной математики. Вейвлеты имеют истоки 
в классических областях математики, включая теорию ортогональных функций, которая является основой матричного представления операторов. Аппарат матричных операторов позволил разработать конструктивные алгоритмы решения широкого спектра задач теории управления. Поэтому вейвлеты 
органически входят в содержание настоящей монографии. Теория вейвлетов и 
их применения неразрывно связаны с развитием прикладных областей современной науки: цифровой обработки сигналов и изображений, теории фильтрации и кодирования, теории сплайнов, дискретных и быстрых преобразований. На практике в теории фильтрации при обработке и передаче информации вейвлеты фактически применялись в 40–50-х годах XX века. Изложенные 
в книге положения представляют несомненный интерес для специалистов 
инженерных и естественнонаучных специальностей. 
Изложение всех глав монографии сопровождается примерами, многие из которых 
несут не только иллюстративную нагрузку; часто оказывается удобным непосредственно в примере ввести определения понятий, к которым приводит логика анализа 

Нестационарные системы управления: анализ, синтез и оптимизация 

примера, или развить понятия, введенные ранее. Иногда примеры служат базой для 
изложения материала в последующих разделах. Содержание таких примеров органически вплетается в основное повествование, и при чтении книги они должны внимательно рассматриваться. Рассмотренные алгоритмы исследования, синтеза и оптимизации линейных нестационарных систем (ЛНС), поведение которых описывается 
дифференциальными уравнениями высокого порядка, предназначены для решения 
задач, имеющих место в повседневной инженерной практике при расчете и проектировании систем управления одноконтурными и многоконтурными сложными объектами с переменными параметрами. 
В книге отражены некоторые этапы развития теории ЛНС и указаны авторы соответствующих направлений. В.В. Солодовников предложил метод свертки, этот метод 
получил развитие в работах Ю.И. Бородина и А.Б. Ионнисиана и нашел применение 
для решения ряда конкретных задач. 
Американский математик А.А. Заде ввел понятие передаточной функции ЛНС; 
это понятие используется в теории систем с переменными параметрами, и на его основе построены алгоритмы анализа и синтеза лишь некоторых систем из рассматриваемого класса. 
Основой методов В.В. Солодовникова и А.А. Заде является преобразование Лапласа. Применение этого аппарата встречает известные трудности, поэтому его использование при расчете и проектировании сложных систем ограничено. 
Одной из первых книг, посвященных рассмотрению теоретических основ исследования и синтеза ЛНС, является работа А.В. Солодова. В известной книге А.В. Солодова и Ф.С. Петрова отражен широкий спектр задач, связанных с расчетом и проектированием ЛНС. 
В книге Ф.А. Михайлова, Е.Д. Теряева, В.П. Булекова, Л.М. Саликова, Л.С. Дикановой изучены методы анализа свободных колебаний и процессов, вызванных детерминированными и случайными воздействиями, а также методы анализа устойчивости 
процессов и другие актуальные задачи теории ЛНС. 
Монография Г. Д’Анжело является одной из первых обобщающих работ в области анализа и синтеза ЛНС. Проблемам, связанным с построением теории ЛНС, посвящены работы В.А. Карабанова (применение частотного метода к анализу линейных динамических систем с переменными параметрами и др.), А.М. Баткова (синтез 
ЛНС, статистические методы, самонастраивающиеся системы и др.), В.В. Семенова 
(синтез ЛНС, самонастраивающиеся системы и др.), В.К. Семенихина (динамические 
характеристики классов ЛНС и др.). 
Результаты, находящиеся в русле решения задач анализа и синтеза ЛНС, получены 
В.А. Бесекерским, И.И. Бриккером, А.Н. Дмитриевым, С.В. Мальчиковым, В.П. Петровым, Б.Е. Рудницким, Л.М. Саликовым, В.В. Семеновым и В.И. Сивцовым, Е.Д. Паниным, В.Ф. Бирюковым, В.А. Сухановым и О.В. Шевяковым, А.С. Шаталовым, 
А.Г. Шевелевым, И.З. Штокало и другими авторами. 
В.В. Солодовниковым и В.В. Семеновым разработана спектральная теория нестационарных систем управления. Этот аппарат приводит к алгебраическим связям между характеристиками системы, входными и выходными сигналами. Эти связи удобно представлять в матрично-операторной форме, что позволяет получать выражения 
для передаточных функций, выходных сигналов систем и их характеристик в явном 
виде, выполнять вычисления по матрично-операторным формулам с помощью алгебраических действий. 
Широкий спектр работ выполнен для случая, когда параметры систем не только 
являются детерминированными, но и изменяются случайным образом. Этот класс 
систем можно отнести к системам, описываемым стохастическими операторами. Основателями этого научного направления в теории автоматического управления являются сотрудники НИИАС (научно-исследовательский институт авиационных систем, 

Введение 
5 

в настоящее время — ГосНИИАС), разработавшие не только теорию рассматриваемого направления, но и применение ключевых положений для решения широкого 
спектра задач, определяемых проблематикой НИИАС. В 1964 году была опубликована 
статья сотрудников НИИАС П.С. Матвеева и А.С. Синицына «Динамическая точность 
САУ со случайными параметрами» («АУ и ВТ», вып. 6. — М.: Машиностроение). 
П.С. Матвеевым и А.С. Синицыным были опубликованы статьи и в других изданиях. 
В 1968 году увидела свет статья Е.А. Федосова и Г.Г. Себрякова «Спектральный 
анализ систем управления со случайно изменяющимися параметрами». В русле этого 
направления были получены важные результаты Е.А. Федосовым, Ю.В. Подвинцевым, Г.Г. Себряковым, А.П. Чернышевым и др. 
Академик Е.А. Федосов в своей книге «Полвека в авиации: записки академика» 
(М.: Дрофа, 2004) пишет: «Я много занимался случайными процессами, случайными 
флюктуационными явлениями в радиолокационных цепях и не только и потому взял 
самую сложную тему, которая, кстати, и по сей день плохо раскрыта: это так называемые системы со случайными параметрами или со случайными свойствами, 
т.е., если говорить языком математики, дифференциальные уравнения, которые 
описывают соответствующие процессы, имеют в качестве коэффициентов случайные функции. Это ещё и очень сложная область механики… Это распространенный 
случай в ракетной технике и вообще в управлении движением каких-либо машин. 
К примеру, обтекатель головки самонаведения или антенны РЛС обладает случайными свойствами при прохождении через него радиосигнала. Это эффект случайной 
нелинейности. Другой пример — датчики ускорения в автопилотах: все они как раз и 
являются маятниками на вибрирующем основании, которое колеблется по случайному закону — ведь при полете ракеты её вибрация обусловлена многими случайными факторами — флюктуация истечения газов, неравномерность процесса горения, 
процесса распространения колебаний по корпусу и т.д. Всё это отнюдь не синусоиды, а случайные процессы, вызывающие эффект параметрических резонансов в датчиках ускорения. Можно привести множество примеров, когда проявляет себя случайность. Этот эффект не имел теоретически развитого описания, задача до сих 
пор строго не решена, хотя за неё брались многие крупные математики, такие как 
академик Понтрягин, академик Красовский, Хасьминский… Но они пытались решить её строго, что и до сих пор сделать никому не удалось. Я же пытался решить 
её методами теории управления… и я получил инженерные методы решения…». 
Ценные результаты в области стохастических систем были опубликованы В.С. Пугачевым, А.С. Синицыным, Л.Г. Евлановым и другими авторами. 
В реальных задачах неизбежно присутствует неопределенность; например, если 
модель описывает физический объект, то его параметры не известны точно, причем 
во многих случаях их значения в принципе не могут быть доступны, поскольку они 
могут меняться в процессе эксплуатации. Управление же должно быть работоспособно при наличии неопределенности. Эти вопросы детально рассмотрены в работах 
Б.Т. Поляка и П.С. Щербакова, А.П. Курдюкова и др. (см. список литературы к 
приложению 3). 
В приложении 3 изложены инженерные приемы и алгоритмы робастного управления при параметрической неопределенности, основанные на законе больших чисел. 
Кандидат техн. наук, доцент А.М. Макаренков написал 3-ю главу монографии; 
канд. техн. наук, доцент В.И. Краснощеченко написал 4-ю главу монографии; кроме 
того, соавторами отдельных разделов книги являются канд. техн. наук, доц. Д.А. Акименко (приложение 3), д-р техн. наук, проф. И.А. Бугаков (глава 2), старший преподаватель Ю.И. Мышляев (глава 5), инженер К.Ю. Савинченко (приложение 3). 
Отдельную благодарность за помощь в подготовке книги к изданию авторы выражают Д.В. Багаеву, К.И. Желнову, А.Л. Репкину и М.Р. Фишеру. 

Нестационарные системы управления: анализ, синтез и оптимизация 

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ АББРЕВИАТУР 

Главы 1, 2 

АФЧХ 
— амплитудно-фазочастотная характеристика 
БПФ 
— бичастотная передаточная функция 
ДЗР 
— дифференциальный закон распределения 
ДУ 
— дифференциальное уравнение 
ИЗР 
— интегральный закон распределения 
ИПФ 
— импульсная переходная функция 
ИУ 
— интегральное уравнение 
КФ 
— корреляционная функция 
ЛНС 
— линейная нестационарная система 
ЛСС 
— линейная стационарная система 
МО 
— математическое ожидание 
МП 
— матрица перехода 
НПФ 
— нормальная передаточная функция 
ОНБ 
— ортонормированный базис 
ППФ 
— параметрическая передаточная функция 
ПФ 
— передаточная функция 
САУ 
— система автоматического управления 
СП 
— случайный процесс 
СХ 
— спектральная характеристика 

Глава 3 

ДНПФ 
— двухмерная нестационарная передаточная функция 
МНПФ 
— многомерная нестационарная передаточная функция 
МНСХ 
— многомерная нестационарная спектральная характеристика 
НСХ 
— нестационарная спектральная характеристика 
ОХФ 
— обобщенная характеристическая функция 
ПИД 
— пропорционально-интегрально-дифференциальный 
СПС 
— система с переменной структурой 
ФПК 
— Фоккера–Планка–Колмогорова уравнение 
ЭГСП 
— электрогидравлический следящий привод 
ЭГУ 
— электрогидравлический усилитель 
ЭМП 
— электромеханический преобразователь 

Глава 4 

БКХ 
— Бейкера–Кэмпбелла–Хаусдорфа формула 
ЛОПГП 
— локальная однопараметрическая группа преобразований 
МНК 
— метод наименьших квадратов 
МПУ 
— модельное прогнозируемое управление 

Глава 5 

АРТ 
— адаптивного резонанса теория 
БПФ 
— быстрое преобразование Фурье 
ИНС 
— искусственная нейронная сеть 
МНС 
— многослойная нейронная сеть 
МСП 
— многослойный перцептрон 
МОП 
— метод ошибки прогнозирования 

Список используемых аббревиатур 
7 

НО 
— нечеткое отношение 
РБФ 
— радиально базисные функции 
РМНК 
— рекуррентный метод наименьших квадратов 
ФОП 
— финальная ошибка прогнозирования 

Приложение 1 

БВП 
— быстрое вейвлет-преобразование 
ММА 
— многомасштабный анализ 

Приложение 2 

ДНПФ 
— двухмерная нестационарная передаточная функция 
ДНСХ 
— двухмерная нестационарная спектральная характеристика 
ИБС 
— интервальные базисные системы 
ММ 
— многомасштабная 
ННПФ 
— нормальная нестационарная передаточная функция 
НПФ 
— нестационарная передаточная функция 
НСП 
— нестационарная спектральная плотность 
НСХ 
— нестационарная спектральная характеристика 
СНПФ 
— сопряженная нестационарная передаточная функция 
ТНСХ 
— трехмерная нестационарная спектральная характеристика 
ЦВМ 
— цифровая вычислительная машина 

Приложение 3 

ДОС 
— датчик обратной связи 
ГД 
— гидродвигатель 
КУ 
— корректирующее устройство 
ЭУ 
— электронный усилитель

Нестационарные системы управления: анализ, синтез и оптимизация 

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ 

Главы 1, 2 

A 
— оператор системы 
( )
y t  
— входной скалярный сигнал 

( )t
Y
 
— входной векторный сигнал 

( )
x t  
— выходной скалярный сигнал 

( )t
X
 
— выходной векторный сигнал 

( )
W s  
— передаточная функция скалярной системы 

( )s
W
 
— передаточная функция системы в пространстве состояний 

(
)
,
W s t  
— параметрическая передаточная функция 

( )
F s  
— преобразование Лапласа функции 
( )
f t  

( )
k τ  
— импульсная переходная функция скалярной стационарной 
системы 
( )
τ
K
 
— матричная импульсная переходная функция 

(
)
,
k t τ  
— импульсная переходная функция скалярной нестационарной системы 
(
)
,t τ
K
 
— матрица ИПФ нестационарной системы в пространстве 
состояний 
( )
A ω  
— амплитудная частотная характеристика 

( )
P ω  
— действительная частотная характеристика 

( )
Q ω  
— мнимая частотная характеристика 

( )
L ω  
— логарифмическая амплитудная частотная характеристика 

( )
ϕ ω  
— фазовая частотная характеристика 

(
)
A jω  
— амплитудно-фазочастотная характеристика 

( )t
ε
 
— сигнал ошибки системы 

( )
сx
t  
— свободная составляющая выходного сигнала (свободные 
колебания) 
( )
вx
t  
— вынужденная составляющая выходного сигнала (вынужденные колебания) 
( )
у
x
t  
— установившаяся составляющая выходного сигнала 

( )
п
x
t  
— переходная составляющая выходного сигнала 

( )
h t  
— переходная характеристика 

( )
n t  
— помеха 

( )
m t  
— полезный входной сигнал (управляющее случайное 
воздействие) 
I  
— единичная матрица 

1
j =
−  
— мнимая единица 

Список используемых обозначений 
9 

K  
— коэффициент усиления системы или элемента 
m  
— порядок числителя передаточной функции 
n  
— порядок знаменателя передаточной функции 

y
T  
— время переходного процесса 

( )t
δ
 
— дельта-функция 

T  
— постоянная времени 
( )
о
W
s  или 
( )
нч
W
s  
— передаточная функция объекта или неизменяемой части 

системы 
( )
р
W
s  
— передаточная функция разомкнутой системы 

( )
ку
W
s  
— передаточная функция корректирующего устройства 

(регулятора) 
( )
E s  
— преобразование Лапласа для сигнала ошибки 

ξ  
— коэффициент демпфирования 

iλ  
— корни характеристического уравнения 

ср
ω
 
— частота среза 

k
C  
— коэффициенты ошибок 
(
)
,x y
ρ
 
— метрика 

[
]
[
]
2 0,
, 
0,
L
T
C
T  
— функциональные пространства 

x  
— норма элемента x  

( )
{
}
1,2,
k t
k
= ϕ
=
Φ
…  — ортонормированный базис или ортонормированная система 

U  
— матрица ортогонализации 

f
nc  
— коэффициенты Фурье функции 
( )
f t  

f
C  
— одностолбцовая матрица коэффициентов Фурье функции 
( )
f t  

( )t
X
 
— вектор-функция состояния 

( )
T t
X
 
— транспонированная вектор-функция 

( )
в t
X
 
— вектор-функция выхода 

( )
( )
, 
t
t
A
B
 
— матрицы коэффициентов векторно-матричного дифферен
циального уравнения 
( )
ф t
X
 
— фундаментальная матрица 

M  
— оператор математического ожидания 
(
)
1
2
,
XX
R
t t
 
— автокорреляционная функция случайного процесса 
( )
X t  

(
)
1
2
,
XY
R
t t
 
— взаимная корреляционная функция случайных процессов 

( )
X t  и 
( )
Y t  

( )
XX
D
t  
— дисперсия случайного процесса 
( )
X t  

( )
X
m
t  
— математическое ожидание случайного процесса 
( )
X t  

( )
XX
S
t  
— спектральная плотность случайного сигнала 
( )
X t  

Нестационарные системы управления: анализ, синтез и оптимизация 

Δω 
— эффективная полоса пропускания системы 
( )
X t
σ
 
— среднеквадратическое отклонение случайного сигнала 
( )
X t  

( )t
σ
 
— случайный сигнал ошибки системы 

( )t
C
 
— матрица уравнения наблюдения 

p  
— вектор оптимизируемых параметров 

*
p  
— вектор оптимальных параметров 
( )
X
F
x  
— интегральный закон распределения случайной величины X  

( )
X
f
x  
— дифференциальный закон распределения случайной вели
чины X  
[
]
M X  
— математическое ожидание случайной величины X  

XX
D
 
— дисперсия случайной величины X  

X
σ
 
— среднеквадратическое отклонение случайной величины X  
(
)
1
2
,
XX
r
t t
 
— нормированная автокорреляционная функция случайного 

процесса 
( )
X t  

( )t
σσ
D
 
— дисперсионная матрица векторного сигнала ошибки 

фильтрации 

н
A  
— спектральная характеристика линейного нестационарного 
элемента или системы, описываемой векторно-матричным 
дифференциальным уравнением 

0
K
A
 
— спектральная характеристика нелинейного элемента 

по математическому ожиданию 

1
K
A
 
— спектральная характеристика нелинейного элемента 

по центрированной составляющей 
(
)
(
)
,
, 
,
p t
W s t
Φ
 
— параметрическая передаточная функция 

(
)
,
W
s
μ
 
— бичастотная передаточная функция 

(
)
,
N μ τ  
— нормальная передаточная функция 

(
)
,
H p t  
— сопряженная передаточная функция ЛНС 

(
)
н
,
k
t τ  
— нормальная ИПФ линейной нестационарной системы 

(
)
c
,
k
t τ  
— ИПФ сопряженной линейной нестационарной системы 

(
)
с
н
,
k
t τ  
— нормальная ИПФ сопряженной линейной нестационарной 

системы 
A  
— матричный оператор (спектральная характеристика) линейного элемента или системы, либо матрица коэффициентов векторно-матричного ДУ (стационарный случай), 
либо матрица условий, либо матрица состояния стационарной системы 

ку
A
 
— спектральная характеристика корректирующего устройства 

д
A  
— матрица оператора дифференцирования (спектральная 

характеристика дифференцирующего звена)