Матричные методы расчета и проектирования сложных систем автоматического управления для инженеров

К.А. Пупков, Н.Д. Егупов, Ю.Л. Лукашенко,
Д.В. Мельников, В.М. Рыбин, А.И. Трофимов

МАТРИЧНЫЕ МЕТОДЫ
РАСЧЕТА И ПРОЕКТИРОВАНИЯ
СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
ДЛЯ ИНЖЕНЕРОВ

Под редакцией заслуженного деятеля науки РФ,
доктора технических наук, профессора К.А. Пупкова
и заслуженного деятеля науки РФ,
доктора технических наук, профессора Н.Д. Егупова

Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2007

УДК 681.5:681.3 (075.8)
ББК
14.2.6
М33

Рецензенты:
заслуженный деятель науки РФ, д-р техн. наук, профессор  Н.В. Фалдин
(ТулГУ);
главный инженер ОАО «Калужский турбинный завод», лауреат Государственной 
премии РФ, канд. техн. наук  С.Д. Циммерман
Авторы:
д-р техн. наук, проф. К.А. Пупков; д-р техн. наук, проф. Н.Д. Егупов;
д-р техн. наук, проф. Ю.Л. Лукашенко; канд. техн. наук, доц. Д.В. Мельников; 
д-р техн. наук, проф. В.М. Рыбин; д-р техн. наук, проф. А.И. Трофимов


М33
Матричные методы расчета и проектирования сложных систем автоматического 
управления для инженеров / Под ред. К.А. Пупкова и Н.Д. Егупова. —
М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007. — 664 с.

ISBN 5-7038-2771-Х

Решение задач исследования, синтеза регуляторов и оптимизации САУ, поведение
которых описывается системами нелинейных дифференциальных уравнений с пере-
менными коэффициентами высокого порядка, предполагает реализацию следующих
этапов: построение адекватной математической модели, разработка методов, построе-
ние алгоритмов и их программная реализация.
Авторы стремились избегать громоздких и строгих процедур, а основное внимание
уделено описанию идей и конструктивным подходам их применения. Поэтому книга со-
держит большое число иллюстраций и технических приложений и ориентирована, в пер-
вую очередь, для применения инженерами-проектировщиками, создающими конкретные
сложные автоматические системы.

УДК 681.5:681.3 (075.8)
ББК
14.2.6

ISBN 5-7038-2771-Х

© Пупков К.А., Егупов Н.Д. и др., 2007
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007
© Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007

Предисловие
3

60-летию кафедры
«Системы автоматического управления»
МГТУ им. Н.Э. Баумана
и 100-летию со дня рождения её основателя,
выдающегося ученого, профессора
Владимира Викторовича Солодовникова
посвящают авторы эту книгу

ПРЕДИСЛОВИЕ

Крупнейшие ученые России в книге [121], изданной под редакцией А.А. Красов-
ского, отмечают следующее: «Классическую ТАР в основном создавали инженеры
для инженеров и лишь частично математики для инженеров. Современную теорию
автоматического управления (СТАУ) создают в основном математики для инженеров
и во все большей мере математики для математиков. Последнее с точки зрения прак-
тики вызывает определенное беспокойство. Дело не только в том, что работы, напи-
санные языком современной математики, малодоступны для специалистов с техниче-
ским образованием. В условиях непрерывного повышения уровня математической
подготовки выпускников многих вузов это не является основной опасностью. Глав-
ное негативное влияние на практическое внедрение методов СТАУ оказывает масса
оторванных от практических потребностей и возможностей работ и даже на-
правлений, интересных в математическом отношении, но бесплодных в отношении
современных приложений.
Нельзя отрицать право на существование математической СТАУ как раздела ма-
тематики, развивающегося по собственным законам и находящего применение по
мере возникновения соответствующих потребностей. Однако такая математическая
СТАУ должна быть достаточно четко выделена по отношению к прикладной СТАУ.
Прикладная СТАУ должна прежде всего учитывать информационные и энерге-
тические закономерности и ограничения, проявляющиеся при создании реальных
систем управления. Эти закономерности и ограничения до настоящего времени в
основном сформулированы, как теперь говорят, на «содержательном уровне». Одна-
ко они играют решающую роль в предельных возможностях автоматического управ-
ления. Именно они ограничивают «могущество алгоритмов», которое абстрактная
теория нередко полагает беспредельным».
Настоящая книга написана инженерами для инженеров. В ней дано описание
не только методов расчета и проектирования сложных нелинейных систем автомати-
ческого управления при детерминированных и случайных воздействиях, но и отра-
жена математическая основа этих методов, разработанная крупными русскими и со-
ветскими математиками Б.Г. Галеркиным, А.Н. Крыловым, А.А. Самарским, А.А. До-
родницыным, М.В. Келдышем, Г.И. Марчуком, А.Н. Тихоновым, А.Н. Колмогоровым,
Д.К. Фадеевым, В.Н. Фадеевой и др.
Ключевой момент книги — алгоритмический аппарат, который ориентиро-
ван на решение конкретных задач практиками-инженерами.
Фундаментальные идеи изложены без использования громоздких и строгих про-
цедур только с целью получения ответа на вопрос: «Какой должна быть техника
получения результатов при решении широкого спектра задач?» Весь процесс расчета
и проектирования САУ условно рассматривается состоящим из двух этапов:
1) первый этап предусматривает проведение работ, определяемых содержани-
ем задачи, и заканчивается детальным описанием алгоритма её решения в
рамках построенного в книге алгоритмического аппарата. По терминологии
А.А. Самарского, первый этап включает из триады «модель–алгоритм–про-
грамма» первые два элемента;

Матричные методы

2) содержание второго этапа, включающего третий элемент триады А.А. Самар-
ского, в основном определяется компьютерной реализацией целой цепочки
различных оптимизационных задач, поскольку важнейшие проблемы алгорит-
мической теории управления сформулированы как конечномерные оптимиза-
ционные задачи:
• задачи идентификации;
• задачи синтеза регуляторов;
• задачи построения оптимальных программ и оптимальных программных
управлений;
• задача синтеза оператора обратной связи в теории оптимального управле-
ния и др.
Реализация второго этапа на ЭВМ часто встречает трудности, порожденные таки-
ми явлениями, как «плохая обусловленность» или «овражность». Нередко решение
задач приводит к необходимости параметрической оптимизации по жестким целевым
функционалам.
При решении конкретных задач сказанное выше требует обязательного привлече-
ния различного рода пособий, в которых отражены практические вопросы конеч-
номерной оптимизации.
Поскольку книга адресована инженерам-проектировщикам, то она содержит боль-
шое количество результатов решения конкретных задач из области турбиностроения
и управления летательными аппаратами, иллюстрирующих те или иные положения
теории алгоритмического аппарата, а также демонстрирующих особенности кон-
кретных алгоритмов и их программной реализации.
При решении сложных задач авторы интерпретируют те или иные результаты, де-
лают определенные выводы и приводят рекомендации, направленные на повышение
эффективности алгоритмов расчета и проектирования САУ.
Авторы

Список используемых аббревиатур
5

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ АББРЕВИАТУР

АЛУ
— арифметико-логическое устройство
АЦП
— аналого-цифровой преобразователь
АЧХ
— амплитудно-частотная характеристика
АЭС
— атомная электростанция
БИС
— большая интегральная схема
БИФ
— блочно-импульсные функции
БПФ
— быстрое преобразование Фурье
ВТО
— высокоточное оружие
ГД
— гидравлический двигатель
ГФВН
— генератор функций вибрационных нагружений
ДЗ
— дифференцирующее звено
ДЗР
— дифференциальный закон распределения
ДП
— датчик перемещений
ДПС
— деаэрационно-питательная система
ДУ
— дифференциальное уравнение
ЖДУ
— жесткое дифференциальное уравнение
ЗРК
— зенитно-ракетный комплекс
ЗРС
— зенитно-ракетная система
ЗУ
— запоминающее устройство
ЗУУ
— золотниковое управляющее устройство
ИЗ
— интегрирующее звено
ИПФ
— импульсная переходная функция
ИУ
— исполнительное устройство
ИЭ
— исполнительный элемент
ККФ
— кусочно-кубические функции
КЛФ
— кусочно-линейные функции
КОС
— корректирующая обратная связь
КПФ
— кусочно-параболические функции
КУ
— корректирующее устройство
КФ
— корреляционная функция
КЭС
— конденсационная электростанция
ЛНС
— линейная нестационарная система
ЛЧХ
— логарифмическая частотная характеристика
ММ
— математическая модель
МО
— математическое ожидание
МСИ
— метод статистических испытаний
НИР
— научно-исследовательская работа
НЭ
— нелинейный элемент
ОБИФ
— ортонормированные блочно-импульсные функции

Матричные методы

ОК
— основной канал
ОКР
— опытно-конструкторская разработка
ОНБ
— ортонормированный базис
ОНС
— ортонормированная система
ОС
— обратная связь
ПВО
— противовоздушная оборона
ПИВ
— первичный источник вибраций
ПКУ
— последовательное корректирующее устройство
ПЛИС
— программируемая логическая интегральная схема
ПО
— программное обеспечение
ПС
— перекрестная связь
ПУ
— периферийное устройство
ПФ
— передаточная функция
ПХ
— переходная характеристика
РД
— регулятор давления
РК
— ракетный комплекс
САПР
— система автоматизированного проектирования
САУ
— система автоматического управления
СВИ
— система вибрационных испытаний
СКО
— среднеквадратическое отклонение
СНАУ
— система нелинейных алгебраических уравнений
СП
— случайный процесс
СХ
— спектральная характеристика
ТАР
— теория автоматического регулирования
ТАУ
— теория автоматического управления
ТЗ
— техническое задание
ТП
— техническое проектирование
ТПВ
— тракт преобразования вибраций
ТТТ
— тактико-технические требования
ТЭС
— тепловая электростанция
УСО
— усилитель сигнала ошибки
УФК
— устройство формирования команд
ФВН
— функция вибрационных нагружений
ЦАП
— цифро-аналоговый преобразователь
ЦАС
— цифровая аналоговая связь
ЧВД
— часть высокого давления
ЧНД
— часть низкого давления
ЧСД
— часть среднего давления
ЭВМ
— электронно-вычислительная машина
ЭГСВ
— электрогидравлический следящий вибратор
ЭГУ
— электрогидравлический усилитель
ЭМП
— электромеханический преобразователь
ЭП
— эскизное проектирование

Список используемых обозначений
7

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

( )t
ε
— сигнал ошибки

(
)
,x y
ρ
— метрика

σ
— перерегулирование
ω
— частота колебаний
χ
— декремент затухания

∆
— параметр рассогласования
A
— оператор системы
A
— матричный оператор системы

N
A
— сеточно-матричный оператор

д
A
— матрица оператора дифференцирования

и
A
— матрица оператора интегрирования

ку
A
— матрица корректирующего устройства

н
A
— матрица оператора нелинейного элемента

у
A
— матрица оператора умножения на функцию

( )
( )
, 
t
t
A
B
— матрицы коэффициентов векторно-матричного

дифференциального уравнения

A
— евклидова норма матрицы A

kc
— коэффициенты Фурье

x
C
— спектральная характеристика сигнала ( )
x t

f
C
— одностолбцовая матрица коэффициентов Фурье
функции 
( )
f t

XX
R
C
— спектральная характеристика функции 
(
)
1
2
,
XX
R
t t

[
]
,
i
C
a b
— пространство непрерывных и i раз дифференцируемых

функций на отрезке [ , ]
a b

(
)
,
l
D t τ
— ядро Дирихле

( )
XX
D
t
— дисперсия сигнала 
( )
X t

det A
— определитель матрицы A

( )
{
}
n
H
ξ
— система полиномов Эрмита

( )
h t
— переходная характеристика

I
— единичная матрица
( )
I p
— функционал качества

Матричные методы

(
)
,
k t τ
— импульсная переходная функция скалярной

нестационарной системы
( )
k τ
— импульсная переходная функция скалярной

стационарной системы
[
]
2 0,
L
T
— гильбертово пространство

[ ]
M ⋅
— оператор математического ожидания

X
m
— математическое ожидание случайной функции 
( )
X t

{
}
,
1,
ip i
r
=
=
p
— вектор параметров регулятора

lP
— оператор ортогонального проектирования

(
)
1
2
,
XX
R
t t
— автокорреляционная функция случайного процесса 
( )
X t

(
)
1
2
,
XY
R
t t
— взаимная корреляционная функция случайных процессов

( )
X t  и ( )
Y t

( )
XX
S
ω
— спектральная плотность сигнала 
( )
X t

( )
{
}
n
T
t
— система многочленов Чебышева 1-го рода

( )t
U
— векторный сигнал управления

( )s
W
— передаточная функция системы в пространстве состояний

( )
W s
— передаточная функция скалярной системы

( )
y t
— входной скалярный сигнал

( )t
y
— входной векторный сигнал

( )t
x
— вектор состояния системы управления

x
— норма элемента x

( )t
X
— вектор-функция состояния

( )
0
0 =
X
X
— начальное состояние системы

( )
T
T =
X
X
— конечное состояние системы

( )
X t
!
— центрированная случайная составляющая процесса 
( )
X t

( )
Ф x
— функция Лапласа

( )
( )
{
}
k
t
t
= ϕ
Φ
— ортонормированный базис

Введение
9

ВВЕДЕНИЕ. МАТРИЧНЫЕ МЕТОДЫ: МАТЕМАТИЧЕСКИЕ

ОСНОВЫ, ПОСТРОЕННЫЕ УЧЕНЫМИ-

МАТЕМАТИКАМИ, И ИХ РАЗВИТИЕ

В НАПРАВЛЕНИИ СОЗДАНИЯ

АЛГОРИТМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ,

ОРИЕНТИРОВАННОЙ НА РЕШЕНИЕ

ИНЖЕНЕРНЫХ ЗАДАЧ

В.1.
ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ И РОЛЬ ЭВМ
ПРИ РАСЧЕТЕ И ПРОЕКТИРОВАНИИ СИСТЕМ

Современные системы автоматического управления (САУ) представляют со-
бой очень сложные устройства. Для того чтобы читатель мог представить степень
масштабности задач, решаемых с помощью САУ, приведем лишь некоторые при-
меры.
Роль и место современной системы управления в обеспечении качественных ха-
рактеристик ракетных комплексов (РК) определяются её основными функциями [48]:
• управление движением ракеты на всех этапах активного участка полета;
• управление процессом расходования запасов компонентов топлива;
• управление подготовкой и проведением пуска ракеты в соответствии с цикло-
граммой пуска;
• контроль параметров движения ракеты и параметров работы двигательных ус-
тановок;
• управление функционированием электроснабжения, термостатирования при-
борного отсека, обеспечение температурно-влажностного режима и др.;
• контроль состояния командно-измерительных приборов;
• информационное взаимодействие со смежными системами управления и ин-
формационного обеспечения — системой боевого управления и связи, систе-
мой прицеливания, системой наземной навигации на подвижных ракетных
комплексах, системой телеизмерений, системой управления автоматикой боевых 
блоков и др.
О возможностях САУ РК говорит следующая цифра: при стрельбе МБР «РС-20»
(«Воевода») предельное отклонение от намеченной цели, находящейся порядка
10 000 км от точки пуска, менее 500 м.
Приведем ещё один пример. 9 августа 1950 года была начата разработка зенитно-
ракетной системы (ЗРС), предназначенной для противовоздушной обороны (ПВО)
Москвы. Она была рассчитана на отражение массированного налета авиации противника 
с любых направлений.
Следующие факты определили необходимость создания ЗРС (система «Беркут»,
позже — «С-25»):
• шла «холодная война» [51];
• США имели атомное оружие: 1950 год — 298 атомных бомб; 1951 год — 438;
1952 год — 832; 1953 год — 1161 бомба;

Матричные методы

• к 1955 году число бомбардировщиков межконтинентального радиуса действия
Б-52 , способных нанести удар по СССР, достигло 1350 единиц.
Ключевой элемент «С-25» — система автоматического управления (система
наведения). Благодаря большим возможностям системы автоматического управления 
и остальных её элементов «С-25» была способна уничтожить до 1000 самолетов
противника и, таким образом, представляла собой непроницаемую ракетную стену,
защищающую Москву. ЗРС «С-25», первая в мире система ПВО с такими возможностями, 
была принята на вооружение 7 мая 1955 года и прослужила более 30 лет
(главный конструктор — Герой Социалистического труда, лауреат Ленинской и Сталинской 
премий, академик АН СССР А.А. Расплетин).
Таким образом, от рождения фундаментальных идей, положенных в основу создания «
С-25», до проведения стрельб по самолетам-мишеням прошло меньше трех лет.
Напомним еще об одном важнейшем факте.
4 марта 1961 года в Советском Союзе впервые в мире противоракетой В-1000
экспериментального комплекса «А» системы стратегической противоракетной
обороны были осуществлены перехват и поражение головной части баллистической
ракеты Р-12. Это событие встало в один ряд с запуском первого спутника, полетом
первого космонавта, стало свидетельством высочайшего уровня науки, техники, промышленности, 
военной инфраструктуры того времени (генеральный конструктор —
Герой Социалистического труда, лауреат Ленинской премии, член-корреспондент
АН СССР, генерал-лейтенант Г.В. Кисунько).
Насколько потрясающим было это достижение подтверждает тот факт, что в США
безъядерное поражение баллистической ракеты осуществили только 23 года спустя.
Как в «С-25», так и в системе «А» важнейшие элементы — системы автоматического 
управления (руководитель работ по созданию системы наведения в экспериментальном 
комплексе «А» — доктор технических наук, профессор, лауреат
Ленинской и Государственной премий О.В. Голубев).
Создание системы ПВО «С-25» и экспериментального комплекса «А» стратегической 
системы ПРО оценивается как решение наисложнейших военно-технических
проблем ХХ столетия.
Читателю известны системы управления полетом самолетов, системы управления 
мягкой посадкой космических аппаратов на Луну, Марс и другие планеты, системы 
управления сближением космических аппаратов, системы управления надводными 
и подводными судами, ядерными реакторами.
В успешном выполнении программы исследований планет ведущая роль принадлежит 
управлению. Там, где речь идет о масштабных военных комплексах, их ключевой 
элемент — системы автоматического управления. В войне в Ираке (март-
апрель 2003 г.) доля использования США высокоточного оружия (ВТО) составила
90%, т.е. высокоточное оружие становится основным. Степень эффективности применения 
авиационного ВТО характеризуется следующими цифрами: если во время
Второй мировой войны количество самолетовылетов для поражения цели составляло 
4500, то в войне в Персидском заливе (1991 г.) — всего один самолетовылет. САУ
находят широкое применение в металлургической, химической, нефтехимической
промышленности, в электроэнергетике, при добыче и переработке полезных ископаемых, 
в биотехнологической, микробиологической, пищевой, легкой промышленности, 
на транспорте. Решение проблем сельского хозяйства (теплицы и фабрики с
управляемым климатом и др.) — ещё одно направление внедрения САУ.
Определяющими тенденциями в развитии САУ технологическими процессами
является широкое внедрение микропроцессорных распределенных систем управления, 
адаптивных систем с идентификатором, экспертных систем, методов детерми-