Математические основы теории автоматического управления. Том 1

Математические основы теории автоматического управления

В трех томах
Том 1
Под редакцией профессора Б.К. Чемоданова Издание третье, переработанное и дополненное
Допущено Министерством образования и науки Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальностям «Мехатроника», «Роботы и робототехнические системы» направления подготовки «Мехатроника и робототехника»



Москва Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана 2006

УДК 519.711.3(075.8)
ББК 22.161.6
     М 34


Рецензенты:
      кафедра «Робототехника и мехатроника» Московского государственного технологического университета «СТАНКИН»
(зам. зав. кафедрой д-р техн, наук, доц. Ю.В. Илюхин); кафедра «Проблемы управления» Московского государственного института радиотехники, электроники и автоматики (ТУ) (зам. зав. кафедрой д-р техн, наук, проф. В.М. Лохин)


М 34 Математические основы теории автоматического управления: Учеб, пособие: В 3 т./ В.А. Иванов, В.С. Медведев, Б.К. Чемоданов, А.С. Ющенко; Под ред. Б.К. Чемоданова. - 3-е изд., перераб. и доп. -Т. 1. -М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. - 552 с.: ил.
        ISBN 5-7038-2808-2 (Т. 1)
        ISBN 5-7038-2807-4

        В книге, состоящей из трех томов, изложен математический аппарат, используемый в теории автоматического управления.
        В первом томе приведены необходимые сведения из матричного исчисления и линейной алгебры. Большое внимание уделено теории дифференциальных уравнений, а также элементам теории функций комплексного переменного. Изложение вопросов математики сопровождается рассмотрением основных задач теории автоматического управления.
        Третье издание (2-е - в 1977 г.) переработано и дополнено.
        Содержание учебного пособия соответствует курсам лекций, которые авторы читают в МГТУ им. Н.Э. Баумана.
        Для студентов, обучающихся по направлению подготовки «Системы автоматического управления». Будет полезно аспирантам и инженерам, специализирующимся в данной области.

УДК 519.711.3(075.8)
ББК 22.161.6



ISBN 5-7038-2808-2 (Т. 1)

                            © Коллектив авторов, 2006
                            © МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006
  © Оформление. Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006

ПРЕДИСЛОВИЕ



   Настоящее учебное пособие является третьим изданием книги авторов «Математические основы теории автоматического регулирования» (1-е и 2-е—1971 и 1977 гг.). Многие годы эта книга широко используется студентами технических вузов, аспирантами и инженерами, специализирующимися в области автоматического управления техническими системами. В ней приведен математический аппарат, владение которым необходимо студентам для последующего изучения курса «Теория автоматического управления».
  Данное учебное пособие состоит из трех томов.
  Выбор материала, составляющего содержание первого и второго томов книги, а также особенности его изложения, отражены в приведенном ниже предисловии к первому изданию.
  В первом томе, состоящем из трех частей*, изложены элементы теории матричного исчисления и линейной алгебры, теории обыкновенных дифференциальных уравнений и теории функций комплексного переменного. Особое внимание уделено параграфам, в которых дано представление дифференциальных уравнений в векторном виде, рассмотрены линейные пространства и их линейные преобразования, квадратичные формы (многочлены), функции матриц, а также теорема существования и единственности решения для дифференциального уравнения и для систем дифференциальных уравнений, методы решения линейных и нелинейных дифференциальных уравнений, интегральная теорема Коши, вычисление несобственных интегралов с использованием вычетов, принцип приращения аргумента. Ознакомление с материалом этих параграфов необходимо при изучении теории автоматического управления в соответствующих курсах.
  В первом томе показано применение изложенного математического аппарата при составлении дифференциальных уравнений автоматических систем, исследовании их устойчивости на основе теорем А.М. Ляпунова, анализе процессов в системах с использованием метода пространства состояний, в том

  *Все три тома имеют сквозную нумерацию частей и глав.

3

числе определении их управляемости и наблюдаемости, а также синтезе модального управления.
  Во втором томе, состоящем из четырех частей, рассмотрены ряды Фурье, интеграл Фурье и преобразование Фурье, изложено операционное исчисление, основой которого является преобразование Лапласа, изложены элементы теории разностных уравнений и методы их решения, дискретного преобразования Лапласа и Z-преобразования, а также элементы теории вероятностей и случайных функций.
  Указанные разделы высшей математики являются математической основой развития в теории автоматического управления ряда направлений. Преобразование Фурье и теория функций комплексного переменного являются основой частотных методов исследования процессов в автоматических системах и частотных критериев устойчивости. Операционное исчисление позволяет эффективно решать линейные дифференциальные уравнения, описывающие процессы в автоматических системах. Разностные уравнения и дискретное преобразование Лапласа применяются для описания процессов в импульсных и цифровых автоматических системах. Теория вероятностей и случайных функций положены в основу раздела теории автоматического управления — статистических методов исследования автоматических систем.
  Настоящее третье издание книги (первый и второй тома) значительно дополнено. В первую часть книги включены дифференцирование квадратичных форм многочленов, решение алгебраических уравнений методом наименьших квадратов, функции от матриц, мультипликативное разложение матриц. Во второй части рассмотрено исследование автоматических систем методом пространства состояний. В седьмой части книги изложены методы получения точечных и интервальных оценок случайных величин и случайных функций, теория марковских случайных процессов и ее применение при исследовании автоматических систем.
  В третий том вошли разделы высшей математики, не рассмотренные в первых двух изданиях книги. В третьем томе, состоящем из трех частей, изложены вариационное исчисление, принцип максимума и динамическое программирование,

4

численные методы вычислений, элементы алгебры высказываний и нечеткой логики.
   Вариационное исчисление является в определенной мере математической основой общих методов теории оптимального управления и в настоящее время входит в программы обучения студентов во многих технических вузах. В учебном пособии рассмотрены методы вариационного исчисления при синтезе оптимальных автоматических систем, принцип максимума в теории оптимального управления, метод динамического программирования и оптимальная фильтрация в автоматических системах. Изложены численные методы приближенного решения математических задач, возникающих при проектировании и исследовании автоматических систем. Эти методы позволяют свести решение дифференциальных уравнений к вычислениям, выполняемым с помощью ЭВМ. Современное математическое обеспечение позволяет в ряде случаев существенно упростить алгоритмы и математические выкладки при получении необходимых зависимостей и составлении уравнений автоматических систем.
   В последней части третьего тома изложен математический аппарат, используемый в теории автоматического управления при синтезе автоматических систем (например, систем управления роботами), работающих в условиях неопределенности внешней среды.
   В отличие от первых двух изданий в третьем издании книга названа «Математические основы теории автоматического управления». Частичное изменение ее названия целесообразно в связи с тем, что в нее включены (том 3) указанные дополнительные разделы высшей математики.

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ



   Основой настоящей книги послужил одноименный трехсеместровый курс лекций, читавшихся авторами в течение многих лет в МВТУ им. Н.Э. Баумана.
   Квалификация современного инженера-специалиста по автоматическому регулированию в значительной степени определяется уровнем его математических знаний. Это объясняется тем, что овладение теорией автоматического регулирования и разработанными на ее основе методами проектирования автоматических систем невозможно без знания довольно сложного математического аппарата. Общий курс математики, изучаемый в высших технических учебных заведениях, не в полной мере удовлетворяет требованиям подготовки инженеров на факультетах и кафедрах, в той или иной степени связанных с проблемами автоматического регулирования. Студенты, усвоившие курс высшей математики в объеме обычной программы втуза, оказываются тем не менее недостаточно математически подготовленными к восприятию теории автоматического регулирования и, как следствие, ряда специальных дисциплин. По этой причине во многих втузах страны в учебные планы наряду с общим курсом высшей математики введены также и дополнительные главы. В МВТУ им. Н.Э. Баумана дополнительные главы высшей математики изучаются в курсе «Математические основы теории автоматического регулирования». В нем содержится математический аппарат, знание которого необходимо студентам для последующего изучения курса «Теория автоматического регулирования». Этот аппарат изложен в предлагаемой книге.
   Выбор материала, составляющего содержание книги, определяется особенностями задач, решаемых в теории автоматического регулирования. Среди этих задач важнейшими следует назвать математическое описание систем автоматического регулирования (САР), являющихся сложными активными динамическими системами с обратными связями’, а также их

   ’Предполагается, что читатель знаком с основными понятиями автоматического регулирования. Студенты МГТУ им. Н.Э. Баумана знакомы с этими понятиями из предыдущего курса «Введение в автоматику». Этой же цели может служить, например, книга под ред. В.А. Бесекерского «Основы автоматики».—М.: Машиностроение, 1967.

6

анализ и синтез. Математическими моделями непрерывных САР с сосредоточенными параметрами являются обыкновенные дифференциальные уравнения. Непрерывные САР с распределенными параметрами имеют своими моделями дифференциальные уравнения с частными производными. Математическими моделями дискретных САР служат разностные уравнения. Уравнения, характеризующие процессы в САР, могут быть как линейными, так и нелинейными. В первом случае САР относят к классу линейных, а во втором — к классу нелинейных систем. Многие линейные системы имеют постоянные параметры и описываются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Если параметры линейной системы переменны во времени, то подобная система описывается линейным дифференциальным уравнением с переменными коэффициентами.
  Используемые в теории регулирования методы исследования автоматических систем базируются на ряде разделов высшей математики. Математическими моделями систем автоматического регулирования в большинстве случаев являются дифференциальные или разностные уравнения, поэтому знание основных разделов теории дифференциальных и разностных уравнений необходимо при проектировании или исследовании САР. Некоторые сведения о дифференциальных уравнениях известны студентам втузов из общего курса высшей математики, однако этих сведений недостаточно. Требуется понимание ряда специальных вопросов теории дифференциальных и разностных уравнений. К таким вопросам можно отнести, например, определение условий, при которых существует единственное решение систем уравнений, имеющее большое значение при аналитическом исследовании устойчивости автоматических систем, а также при анализе поведения систем с помощью вычислительных машин. Весьма важными являются также вопросы, связанные с методами решения систем линейных дифференциальных и разностных уравнений, свойствами решений этих систем, например определение зависимости решений от начальных условий и параметров и т. п. Большое значение имеет изучение как способов решений нелинейных дифференциальных и разностных уравнений, так и свойств самих решений.

7

   Изучение теории дифференциальных и разностных уравнений наиболее целесообразно производить с использованием матричной (векторной) формы записи этих уравнений. Матричное исчисление нашло широкое применение в теории автоматического регулирования благодаря присущим ему достоинствам. Матричная форма записи уравнений автоматических систем является весьма компактной; последнее имеет особенно существенное значение, например при исследовании многомерных САР, дифференциальные уравнения которых в обычной форме записи имеют громоздкий вид. Компактность записи уравнений в матричной форме, а также характерные приемы матричного исчисления, связанные с решением уравнений, приводят к упрощению и наглядности самого процесса решения. Понимание основных вопросов теории дифференциальных уравнений, а также необходимых элементов матричного исчисления и линейной алгебры позволяет, кроме того, овладеть общей теорией устойчивости движения и разработанными на основе теории методами исследования устойчивости автоматических систем.
   В теории автоматического регулирования получили широкое распространение частотные методы анализа и синтеза САР. Частотные методы являются весьма удобным инструментом, пригодным для суждения об устойчивости системы, точности ее работы, качестве переходных процессов и т. д. С наибольшим успехом эти методы используются при исследовании линейных систем, однако с их помощью можно составить представление о поведении многих нелинейных систем. Математической основой частотных методов являются спектральные представления сигналов и связанные с этими представлениями частотные характеристики системы. В свою очередь, спектральные представления непосредственно опираются на ту часть математического анализа, в которой рассматривается теория рядов Фурье и интеграла Фурье. Таким образом, знание этих разделов высшей математики необходимо для восприятия частотных методов исследования САР.
   Частотные методы предусматривают анализ САР в комплексной плоскости, например в плоскости амплитудно-фазовой частотной характеристики системы, являющейся функцией

8

комплексного переменного. Аппарат теории функций комплексного переменного широко применяется в теории автоматического регулирования. С его помощью получены весьма удобные методы анализа и синтеза САР, в частности частотные критерии устойчивости.
  Одним из важнейших математических инструментов, применяемых при исследовании САР, является операционное исчисление. Использование методов операционного исчисления при интегрировании многих типов дифференциальных, инте-гродифференциальных и разностных уравнений приводит к упрощениям процесса решения, и поэтому операционное исчисление нашло значительное применение в теории автоматического регулирования при определении процессов, происходящих в системах.
  Воздействия, прикладываемые к САР, как правило, являются случайными функциями времени. Поэтому при проектировании САР необходимо принимать во внимание статистические свойства этих воздействий и оценивать влияние такого рода сигналов на динамические свойства системы. Теория вероятностей и случайных процессов дает исследователям необходимый математический аппарат. В теории автоматического регулирования этот аппарат используется при разработке статистических методов анализа и синтеза САР.
  В книге изложены указанные специальные разделы высшей математики. В ней содержатся сведения лишь из наиболее важных дополнительных разделов высшей математики, усвоение которых необходимо студентам, специализирующимся в области автоматического регулирования. В программе обязательного курса «Математические основы теории автоматического регулирования» нет дополнительных разделов высшей математики, связанных с оптимизацией систем регулирования (элементы вариационного исчисления, функционального анализа, теории оптимальных процессов), поэтому эти разделы не получили отражения в книге.
  Предлагаемая книга рассчитана на студентов втузов и инженеров, избравших своей специальностью автоматическое регулирование и управление. Это определило некоторые методические особенности в изложении материала. Так, доказа

9

тельства теорем и рассмотрение различных математических методов в книге проводятся с той степенью строгости, которая делает ее доступной читателям, имеющим математическую подготовку в объеме обычного курса высшей математики технического вуза. Доказательства некоторых наиболее громоздких или не очень существенных теорем опущены и даны лишь их формулировки и поясняющие замечания. Приводятся примеры, позволяющие лучше овладеть изучаемым математическим аппаратом. Всюду, где это возможно и целесообразно, изложение вопросов математики сопровождается рассмотрением соответствующих задач теории автоматического регулирования. В книгу включены также параграфы 15, 16, 21, 39—41, 46, 47, 51, 56, 58, 69, в которых показывается применение изучаемого математического аппарата при решении ряда основных вопросов теории автоматического регулирования. Содержание этих параграфов имеет иллюстративный характер.
  При написании книги авторы использовали ряд пособий .и монографий. Перечень литературы приведен в конце книги.
  Авторы вполне отдают себе отчет в том, что изложение математического аппарата теории автоматического регулирования представляет собой весьма сложную задачу. Все замечания и советы будут приняты с благодарностью.


  Москва, 1971 г.