Алгоритмическая теория систем управления, основанная на спектральных методах. Том 2. Матрично-вычислительные технологии на базе интегральных уравнений

Предисловие 

 

1
Н. Д. Егупов, К. А. Пупков, 
А. А. Рогоза, М. А. Трофимов 
 
 
65 лет кафедре «Системы 
автоматического управления» 
МГТУ им. Н. Э. Баумана 
 
 
 
 
АЛГОРИТМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ 
СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ, 
ОСНОВАННАЯ 
НА СПЕКТРАЛЬНЫХ МЕТОДАХ 
 
Научное издание в двух томах 
 
ТОМ 2 
МАТРИЧНО-ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ 
НА БАЗЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 
 
 
 
Под редакцией заслуженного деятеля науки РФ, 
д-ра техн. наук, профессора, лауреата премии 
правительства РФ в области науки и техники 
В. А. Матвеева (МГТУ им. Н. Э. Баумана) 
 
 
 
 

 

 
Алгоритмическая теория систем управления 

 

2

УДК 519.71 + 519.2 + 519.6 
ББК 32.81 + 22.18 
Е31 

 
 

Рецензенты: 
академик РАН  Е. А. Федосов; 
академик РАН  Е. А. Микрин 
 
Авторы: 
д-р техн. наук, проф. Н. Д. Егупов; д-р техн. наук, проф. К. А. Пупков; 
инж. А. А. Рогоза; д-р техн. наук, проф. М. А. Трофимов 
 
 
 
Егупов Н. Д. 
Е31  
Алгоритмическая теория систем управления, основанная на спектральных 
методах. В двух томах. Том 2. Матрично-вычислительные 
технологии на базе интегральных уравнений / Н. Д. Егупов [и др.]. Под 
ред. проф. В. А. Матвеева. — М. : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 
2014. — 464 с., ил. 
 
ISBN 978-5-7038-3858-7 (т. 2) 
ISBN 978-5-7038-3888-4 
 
Во втором томе монографии отражена алгоритмическая база построения 
математических моделей в форме интегральных уравнений Фредгольма 2-го 
рода и операторных уравнений с матричным оператором, эквивалентных 
уравнениям Фредгольма, исследования сложных автоматических систем при 
детерминированных и случайных воздействиях, а также синтеза с использованием 
аппарата математического программирования. 
Детально рассмотрена алгоритмическая база — аппарат алгебры матриц 
с применением компьютерных технологий, при этом в расчетах применяются 
математические модели высокой степени адекватности реальным процессам. 
С инженерных позиций весьма важным является аппарат структурных преобразований, 
позволяющий получать решение задач исследования и синтеза систем, 
структурные схемы которых включают десятки сложных элементов, что 
часто встречается при рассмотрении конкретных практических задач. 
Книга имеет инженерную направленность, поэтому может быть полезной 
для разработчиков сложных систем управления, в частности оборонной направленности (
ПВО, ПРО). 
 
УДК 519.71 + 519.2 + 519.6 
ББК 32.81 + 22.18 
 
 
 
 
© Коллектив авторов, 2014 
ISBN 978-5-7038-3858-7 (т. 2) 
© Издательство МГТУ 
ISBN 978-5-7038-3888-4 
 
им. Н. Э. Баумана, 2014 

Предисловие 

 

3

65-летию кафедры «Системы автоматического 
управления» МГТУ им. Н. Э. Баумана, её первому 
руководителю — выдающемуся ученому, 
талантливому педагогу, крупному организатору, 
заслуженному деятелю науки и техники РСФСР 
Владимиру Викторовичу Солодовникову, его 
ученикам, крупным ученым, д-ру техн. наук, 
профессору Алексею Николаевичу Дмитриеву 
и д-ру техн. наук, профессору Виктору Владимировичу 
Семенову; 95-летию выдающегося 
ученого и конструктора, основателя отечественной 
ПРО, Героя Социалистического Труда, члена-
корреспондента АН СССР Григория Васильевича 
Кисунько, разработчикам и испытателям 
системы «А» авторы посвящают эту книгу. 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

В процессе решения задач расчета и проектирования сложных 
САУ в первом томе книги, с целью подчеркнуть фактор единства 
производства, образования и науки, рассмотрены основные этапы 
проектирования системы «А», которая относится к классу сложных, 
и кратко сформулировано содержание некоторых научно-инженерных 
задач, без решения которых продолжение процесса создания системы 
теряло бы смысл. Например, такая ситуация имела место при 
создании системы «А»: «Развертывание работ по созданию системы «
А» было начато до решения ряда фундаментальных проблем, 
одна из главных — проблема обнаружения и сопровождения головных 
частей баллистических ракет, несущих ядерный заряд, еще не 
была решена. Её надо было решить до развертывания работ по 
созданию системы «А»…» [27]. В [27] по этому вопросу сказано: 
«Работу приходилось начинать в отсутствии серьезных научных заделов, 
подчас при абсолютном отсутствии информации и экспериментальных 
подтверждений решений фундаментальных технических 
и технологических проблемных вопросов». 
Другая сторона вопроса состоит в том, что даже при наличии математического 
аппарата теория автоматического управления, имеющая 
целью решение инженерных задач, вынуждена использовать 

 
Алгоритмическая теория систем управления 

 

4
весьма сложные аналитические конструкции. Это объясняется тем, 
что системы автоматического управления представляют собой динамические 
системы со многими степенями свободы, содержащие 
не только постоянные, но и изменяющиеся во времени параметры 
(класс нестационарных систем), а также распределенные параметры. 
Этот факт выдающийся ученый А. А. Красовский в [59] отразил так: 
«Классическую ТАУ в основном создавали инженеры для инженеров 
и лишь частично математики для инженеров. Современную теорию 
автоматического управления (СТАУ) создают в основном матема-
тики для инженеров и во все большей мере математики для мате-
матиков. Последнее с точки зрения практики вызывает определен-
ное беспокойство. Главное негативное влияние на практическое 
внедрение методов СТАУ оказывает как масса оторванных от прак-
тических потребностей и возможностей работ и даже направлений, 
так и отсутствие инженерного рабочего аппарата». Приведем по 
этому поводу оценки, высказанные в свое время В. В. Солодовни-
ковым. 
Математический аппарат играет в теории управления очень 
большую роль, однако важным, а часто и определяющим степень 
эффективности математического метода является возможность соз-
дания на его основе рабочего аппарата для решения конкретных 
инженерных задач с целью реализации требований которые отра-
жены в техническом задании (ТЗ) на проектирование. Разработка 
рабочего аппарата для решения задач, объединенных общей про-
блемой создания системы, является не менее важной, чем разработ-
ка общего математического метода, не учитывающего специфику 
и особенности конкретного, во многих случаях весьма сложного 
изделия. 
Например, важным является фактор, когда удается с помощью ра-
бочего аппарата получить приближенные с необходимой степенью 
адекватности аналитические выражения для процессов, зависящих от 
искомых параметров, на основе которых строятся соответствующие 
алгоритмы оптимизации. В таких случаях эффективным с инженер-
ных позиций является оптимизационный подход (параметрическая 
оптимизация), позволяющий довести решение сложных задач синтеза 
систем до числовых результатов. В [121] приводится пример, когда 
А. Н. Колмогоровым были получены известные результаты по теории 
фильтрации, но лишь после того, как рядом авторов была показана 
специфика и инженерная интерпретация применения этих результа-
тов, метод Колмогорова–Винера получил надлежащее признание 
и применения для расчета и проектирования автоматических систем. 

Предисловие 

 

5
Изложенные соображения могут служить своего рода критери-
ем при решении вопроса о том, следует ли тот или иной математи-
ческий результат или метод включать в арсенал средств теории ав-
томатического управления (ТАУ). Этот критерий очень важен для 
того, чтобы предупредить излишнюю формализацию ТАУ, затрудняю-
щую её использование для решения конкретных инженерных задач. 
Степень актуальности сказанного повышается в связи с тем, что 
«уже сегодня конкретные инженерные вопросы требуют не только 
знаний фундаментальной математики, но и разработки её новых ме-
тодов. Математика в XXI столетии будет занимать всё большее место 
в инженерном образовании и инженерной деятельности. Этот фунда-
мент необходимо приобретать уже сегодня. Будущее России — толь-
ко в новых промышленных и технических технологиях, в самых ос-
новах которых лежит фундаментальная математика, поэтому матема-
тический пласт образования является государственным капиталом 
будущего» [143]. Но на основе математического пласта важной явля-
ется проблема разработки эффективного рабочего аппарата решения 
инженерных задач, сложность которых, без преувеличения, находится 
на грани фантастики. Пример: инженерно-научной является постановка 
задачи модификации системы противоракетной обороны Москвы 
(система «А-135») с разработкой безъядерного контактно-ударного 
перехвата десятков ядерных боеголовок над крупными городами РФ 
(«согласно оценкам середины 1980-х годов. «А-135» должна была 
обеспечивать перехват «1–2 современных и перспективных МБР» [7]. 
М. М. Ходаренок, известный специалист в области ПРО, в [7] пишет: «
В настоящее время США стоят на правильном научно-техническом 
стратегическом направлении создания современной национальной 
ПРО за счет глубокого эшелонированного построения с участием 
перехватчиков сложных БЦ на ракетоопасных для США направлениях». 
Приведем еще одну цитату, отражающую степень сложности оборонных 
проблем [7]: «…самой амбициозной была бы оборона промышленности 
и населения от массированного удара ядерных БР. Ясно, 
что нынешняя программа ВКО (включая московскую систему «А-135») 
не способна даже приблизиться к выполнению такой задачи…» 
Из сказанного выше ясно, что решение конкретных задач сводится 
к реализации цепочки этапов: 
• создание аналитической базы решения задач — метода с необходимым 
математическим обоснованием; 
• разработка на основе теоретических положений рабочего аппарата 
для решения задач; 

 
Алгоритмическая теория систем управления 

 

6
• построение алгоритмического и программного обеспечения; 
• компьютерная реализация в форме, например, вычислительного 
эксперимента. 
«Теория автоматического управления достигла такого высокого 
уровня развития, что ЭВМ стала совершенно необходимым инструментом 
инженера, положив начало автоматизированному проектированию 
систем управления (АПСУ). 
Система АПСУ строится с использованием не только теории систем 
управления, но и теоретических и прикладных вопросов вычислительной 
техники и прикладной математики (например, численного 
анализа и методов оптимизации). Международная федерация по 
автоматическому управлению признала необходимым ускорить работы 
в этой области и организовала ряд семинаров и симпозиумов 
в США и Западной Европе…» [1]. 
Кроме таких факторов, как: 
• постоянное усложнение теории систем управления и созда-
ваемых автоматических систем; 
• ЭВМ стала совершенно необходимым инструментом инженера, 
— важным стало понимание того, что актуальными являются иссле-
дования, направленные на решение широкого спектра задач с помо-
щью имитационного моделирования и задача автоматизированного 
проектирования САУ, включая задачи автоматического синтеза. Для 
настоящей книги характерно то, что все результаты доведены до ал-
горитмов с достаточно полным математическим обоснованием. При 
необходимости излагается содержание возможных трудностей прак-
тической реализации алгоритмов (они касаются вычислительной 
устойчивости алгоритмов, решения оптимизационных задач и др.). 
В связи с этим книга названа «Алгоритмическая теория систем 
управления, основанная на спектральных методах», и этим под-
черкивается, что книга ориентирована на инженеров-разработчиков, 
реализующих основные этапы создания САУ. 
Соавторами отдельных разделов книги являются: А. К. Рамазанов 
(пп. 1.6, 1.10), Наинг Аунг Со (пп. 2.1.7, 3.6, 4.2, 4.4), Нэй Тве (пп. 2.1.7, 
3.6, 4.2, 4.4), П. Ю. Корнюшин (глава 1, п. 3.7), М. А. Петровичев 
(пп. 2.1.7, 3.6), А. Г. Сироткина (глава 2), З. Г. Широкова (п. 4.1). Авто-
ры выражают благодарность академику РАН Е. А. Федосову, академи-
ку РАН Е. А. Микрину, профессору А. В. Матвееву, высказавшим цен-
ные замечания, направленные на улучшение содержания рукописи. 
Авторы с благодарностью примут все замечания и пожелания по 
содержанию книги, которые следует направлять по адресу: 105005, 
Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, кафедра «САУ». 

Введение 

 

7

ВВЕДЕНИЕ 

Приведем формулировки В. В. Солодовникова постановки задачи 
развития частотного метода. 
Одна из формулировок звучит так: «Частотный метод анализа 
и синтеза линейных систем автоматического управления с постоян-
ными параметрами при типовых воздействиях в его современной 
форме сложился в основном уже к 1950-м годам. Однако на этом 
развитие частотного метода в теории управления не остановилось… 
Частотному методу можно придать гораздо более общую мате-
матическую основу, чем это принималось до сих пор, и трансфор-
мировать его в обобщенный частотный, или спектральный, метод» 
[121]. В. В. Солодовниковым особое внимание уделено положению, 
которое формулируется так: «…в настоящее время при наличии ши-
роко развитых средств вычислительной техники (ВТ) возникает 
необходимость создания методов анализа и синтеза, приводящих 
к алгоритмам, удобным для реализации на ЦВМ» [121]. 
В первой половине 1960-х годов, когда система взглядов В. В. Со-
лодовникова была доложена на различного рода совещаниях, НТК, 
симпозиумах, на заседании кафедры «САУ» и формулировалась 
с пояснениями отдельных фактов, ключевым было создание матема-
тических основ частотного метода анализа и синтеза сложных САУ, 
приводящего к алгоритмам, удобным для реализации на ЦВМ. Дру-
гими словами, речь шла о новом подходе, основанном на числен-
ной реализации расчетов с помощью частотного метода. 
Это — основное требование и, естественно, оно могло быть вы-
полнено при использовании новой, позволяющей разработать чис-
ленные алгоритмы решения задач анализа и синтеза, более общей 
математической основы метода. Подчеркивался факт ориентации ме-
тода на расчет сложных систем. Теперь можно привести постановку 
задачи В. В. Солодовникова: 
• частотный метод относится к классу графо-аналитических ме-
тодов, что затрудняет разработку алгоритмического и про-
граммного обеспечения его машинной реализации и примене-
ние результатов работ в научно-исследовательских проектах; 

 
Алгоритмическая теория систем управления 

 

8

• содержание задачи: разработка математических основ и про-
граммной среды численно-аналитического частотного метода 
расчета и проектирования сложных САУ (далее будем пользо-
ваться формулировкой численно-частотный метод). 
Поскольку содержание настоящей книги базируется на изучении 
задач исследования, а главное — задач построения математических 
моделей систем в форме операторных уравнений с матричными опе-
раторами и на этой основе — задач синтеза сложных САУ, кратко 
изложим в форме ряда ключевых положений только сущностную 
грань численно-частотного и спектральных методов. 
Положение 1. Математические модели сигналов. Периодиче-
ский негармонический сигнал, например выходной сигнал системы 
( ),
x t
 может быть представлен в форме ряда Фурье по тригономет-

рическому базису с частотами 
,
ν
ω
 кратными частое 
0
2
T
ω = π
 (по-
стоянный сигнал можно считать гармоникой нулевой частоты): 

 
( )
0
0
0
1
1
sin
cos
.
x
x
x
x t
b
a
t
b
t

∞
∞

ν
ν
ν=
ν=
=
+
νω
+
νω
∑
∑
 
(В.1) 

Разложение вида (В.1), как никакое другое разложение (разложение 
по другим ортогональным системам), имеет полное математическое 
обоснование, связанное с вопросами сходимости, ускорением 
сходимости, оценками погрешности и др. 
Коэффициенты Фурье являются функциями дискретной частоты 

 
0;
ν
ω = νω
 
(
);
x
a
a
ν
ν
=
ω
 
(
)
x
b
b
ν
ν
=
ω
 

и называются линейчатым частотным спектром функции ( ).
x t
 
Зависимость (В.1) запишем в форме 

 
( )

( )
( )

2

1
0
0
2
2 1

T

1

sin
cos

,

l
l
x
x
x

l

l
x
x
k
k
k

x t
c
c
t
c
t

c
t
t

ν
ν
ν=
ν=
+

=

=
+
νω
+
νω
=

=
ϕ
=

∑
∑

∑
Φ
C

 
(В.2) 

где 

 
( )

( )
( )
( )

0
0
0
0

1
2

1
sin
sin2
sin
cos
2

.
l

l
t
t
t
t
l
t

t
t
t

⎡
⎤
=
ω
ω
ω
ω
=
⎢
⎥
⎣
⎦
= ⎡ϕ
ϕ
ϕ
⎤
⎣
⎦

Φ

(В.3) 

Введение 

 

9

Если 
( )t
Ф
 — тригонометрический базис, то речь идет о численно-
частотном методе, если же 
( )t
Ф
 — произвольный ортонормированный 
базис, то можно говорить о спектральном методе. 
В [121] В. В. Солодовников пишет: «широко известное частотное 
представление процессов соответствует частному случаю…, когда 
в качестве ортогонального базиса выбраны тригонометрические функции. 
Если же используются другие ортогональные базисы, то можно 
получить другие спектральные представления функций, тесно связанные 
с соответствующими ортогональными системами». 
В терминах спектральных методов под обобщенным спектром 
сигнала ( )
x t  понимают совокупность коэффициентов Фурье 

 
1
2
x
x
x
x
l
c
c
c
⎡
⎤
= ⎣
⎦
C


этого сигнала относительно выбранной ортонормированной системы 
функций 
( )t
Φ
 (не обязательно тригонометрической). 
Таким образом, сложилось представление о совокупности коэффициентов 
Фурье функции времени по некоторому базису как обобщенном 
спектре этой функции, в котором номер коэффициента есть 
аналог значения частоты в частотной характеристике функции времени. 
Совокупность коэффициентов Фурье, описывающую временные 
характеристики систем, сигналы или статистические характеристики 
сигналов, рассматривают как их дискретные спектральные характеристики 
в отличие от непрерывных частотных характеристик, основой 
которых является интеграл Фурье. Поэтому такая форма описания 
систем и сигналов была названа спектральной. 
Применение спектральной формы описания сигналов и систем 
позволяет перейти от исследования самих сигналов к рассмотрению 
координат (совокупности коэффициентов разложения или спектральных 
характеристик) этих сигналов относительно выбранного 
базиса. Операции над функциями заменяют действиями над числами; 
последние легко реализуются на ЭВМ. Такой подход приводит 
к «алгебраизации» методов решения задач расчета и проектирования. 
Спектральное разложение сигналов и динамических характеристик 
систем позволяет построить аппарат расчета и проектирования 
систем, сводящий выполнение операций над сигналами к алгебраическим 
операциям над числами. 
Положение 2. Фундаментальная база, на основе которой строятся 
теоретические положения численно-частотного и спек-

 
Алгоритмическая теория систем управления 

 

10 
трального методов. Фундаментальной базой построения аналитической 
схемы является функциональный анализ. Понятия функционального 
анализа наиболее абстрактны и общи, а следовательно, 
наиболее универсальны и общеприменимы. «Поэтому вполне естественным 
можно считать всё увеличивающееся стремление использовать 
мощное и давно выковывающееся орудие функционального 
анализа в… быстро развивающейся теории автоматического управления» — 
говорит А. Г. Бутковский [19]. Конкретным базовым положением, 
которое стало математической основой проведения исследований 
по одному из направлений разработки численно-частотного 
и спектральных методов, послужил аппарат интегральных уравнений. 
При рассмотрении класса стационарных систем нашел применение 
интеграл Лапласа, или интегральное уравнение 1-го рода. 
В монографии М. А. Красносельского, П. П. Забрейко, Е. И. Пус-
тыльника, П. Е. Соболевского [57] необходимость перехода от дифференциальных 
к интегральным уравнениям формулируется так (далее 
эти соображения отражены в более полных формулировках): «Исследование 
многих математических задач упрощается, если их удастся 
свести к уравнениям в функциональных пространствах с непрерывными 
или вполне непрерывными операторами. Особенно это относится 
к нелинейным краевым задачам, интегро-дифференциальным 
и интегральным уравнениям. Для перехода к уравнениям с непрерывным 
или вполне непрерывным оператором обычно стремятся 
свести исходную задачу к некоторому интегральному уравнению». 
В [57] подчеркивается, что «свойства интегральных операторов 
важны не только при изучении интегральных уравнений… Инте-
гральные операторы и их дробные степени играют важную роль 
при изучении сходимости рядов Фурье, при исследовании прибли-
женных методов, при рассмотрении различных эволюционных за-
дач, в теории колебаний и др… Выясняется, что линейный инте-
гральный оператор обладает рядом дополнительных свойств по 
сравнению с абстрактными линейными операторами. 
Приведены различные достаточные признаки непрерывности и пол-
ной непрерывности интегрального оператора с ядром (
)
,
k t τ  в тер-
минах, относящихся к свойствам ядра. В частности, излагаются 
важные теоремы Л. B. Канторовича и предлагаются некоторые их 
модификации». Необходимо отметить, что в [57] систематизированы 
известные и указаны новые признаки непрерывности и полной не-
прерывности нелинейных интегральных операторов, пути примене-