Тригонометрия теория и практика решения задач

им. Н.Э. Баумана
МГТУ

ИЗДАТЕЛЬСТВО

УДК 514.116(075.8) 
ББК  22.151.0 
 Т67 

 
Авторы: 
Граськин С.С., Афанасьева А.В.,  
Гутнер М.Е., Гутнер С.Х., Кулинич Н.В. 
 
Рецензенты:  
канд. физ.-мат. наук, доцент Е.А. Власова,  
канд. физ.-мат. наук, доцент В.Д. Морозова,  
методист ОМЦ ЮОУО ДО Л.В. Федотова 
 
 
Тригонометрия : теория и практика решения задач :  
учеб. пособие / [С. С. Граськин, А. В. Афанасьева, М. Е. Гут-
нер, C. Х. Гутнер, Н. В. Кулинич ; под ред. С. С. Граськина. – 
М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2009. –  325, [3]  с. : ил. 
 
ISBN 978-5-7038-3281-3 
 
Учебное пособие представляет собой расширенный курс лек-
ций и семинарских занятий по тригонометрии для слушателей 
СУНЦ МГТУ им. Н.Э. Баумана. Содержит основные теоретиче-
ские положения по основам тригонометрии, методам решения 
тригонометрических уравнений и неравенств, в том числе с пара-
метром, а также подборку задач различного уровня сложности для 
аудиторной и самостоятельной работы. 
 
  УДК 514.116(075.8) 
   ББК 22.151.0 
 
 
 
 
 
 
 
    
                                         
 
 
 
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009  
ISBN  978-5-7038-3281-3                                © Оформление. Изд-во МГТУ 
                                                                                         им. Н.Э. Баумана, 2009 

Т67 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Предисловие ............................................................................................... 
5 
1. Тригонометрические функции и их свойства................................. 
7 
1.1. Понятие угла.................................................................................. 
7 
1.2. Измерение углов............................................................................ 
9 
1.3. Определение и свойства тригонометрических выражений ....... 15 
1.4. Основные тригонометрические формулы .................................. 25 
1.5. Тригонометрические функции ..................................................... 48 
1.6. Линейные преобразования графиков функций........................... 57 
Контрольные вопросы и задания ........................................................ 70 
Задачи и упражнения ........................................................................... 71 
Ответы к задачам и упражнениям....................................................... 82 
2. Обратные тригонометрические функции и их свойства.............. 85 
2.1. Обратные тригонометрические функции ................................... 85 
2.2. Основные тождества, содержащие тригонометрические  
       и обратные тригонометрические функции.................................. 103 
2.3. Примеры тождественных преобразований ................................. 111 
Контрольные вопросы и задания ........................................................ 113 
Задачи и упражнения ........................................................................... 114 
Ответы к задачам  и упражнениям...................................................... 118 

3. Тригонометрические уравнения ...................................................... 121 
3.1. Общие положения ......................................................................... 121 
3.2. Простейшие тригонометрические уравнения ............................ 123 
3.3. Основные методы решения тригонометрических уравнений .. 131 
3.4. Решение тригонометрических уравнений с ограничениями .... 171 
3.5. Системы тригонометрических уравнений с двумя  
       неизвестными ................................................................................ 180 
3.6. Решение тригонометрических уравнений с параметром........... 187 
Контрольные вопросы и задания ....................................................... 195 
Задачи и упражнения ........................................................................... 197 
Ответы к задачам и упражнениям....................................................... 211 
4. Тригонометрические неравенства ................................................... 227 
4.1. Простейшие тригонометрические неравенства ......................... 227 
4.2. Основные методы решения тригонометрических неравенств .. 244 
4.3. Решение тригонометрических неравенств с параметром ......... 267 

Оглавление 

 
4 

Задачи и упражнения ................................................................................ 280 
Ответы к задачам и упражнениям ........................................................... 289 
5. Уравнения и неравенства, содержащие обратные  
               тригонометрические функции ............................................... 305 
5.1. Простейшие уравнения, содержащие обратные  
      тригонометрические функции ...................................................... 305 
5.2. Решение уравнений, содержащих обратные  
      тригонометрические функции ...................................................... 307 
5.3. Простейшие неравенства, содержащие обратные  
       тригонометрические функции ..................................................... 309 
5.4. Основные методы решения неравенств, содержащих 
      обратные тригонометрические функции...................................... 315 
Задачи и упражнения ........................................................................... 316 
Ответы к задачам и упражнениям....................................................... 321 
Литература.................................................................................................. 325 
 

 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Данное учебное пособие является первым выпуском полного 
курса элементарной математики для слушателей Специализированного 
учебно-научного центра при МГТУ им. Н.Э. Баумана. Оно 
учитывает специфику углубленной математической подготовки 
слушателей и отражает многолетний опыт работы авторов на ка-
федре «Основы математики и информатики» университета. 
В основу учебного пособия положен курс лекций по тригоно-
метрии, который авторы на протяжении ряда лет читают учащимся  
10-х и 11-х классов физико-математического лицея № 1580 при 
МГТУ им. Н.Э. Баумана, а также опыт проведения семинарских 
занятий. 
Одной из проблем преподавания математики в школе и в вузе 
является недостаток отведенного на обучение времени для изло-
жения материала. Поэтому часть фактов не доказывается, в ряде 
случаев приводятся схематичные или иллюстративные доказатель-
ства. Цель данного пособия – достаточно строгое, углубленное и 
доступное изложение учебного материала, ставшего для школы 
традиционным. 
Пособие состоит из пяти глав и имеет так называемую блоч-
ную структуру. Каждая глава начинается с изложения теоретиче-
ского материала, далее приводятся типовые примеры с решениями 
и иллюстрациями, контрольные вопросы и задания для самопро-
верки, задачи и упражнения для самостоятельного решения и отве-
ты. Содержание материала и стиль его изложения определялись, с 
одной стороны, требованиями к уровню математических знаний 
поступающих в МГТУ им. Н.Э. Баумана абитуриентов, с другой 
стороны, необходимостью разработки курса, позволяющего вести 
занятия со старшеклассниками разного уровня подготовки. 
Работа над пособием между авторами распределена следующим 
образом: основной текст (теоретический материал  и примеры глав 
1–4) написан профессором С.С. Граськиным; § 1.6, 4.3, 5.3–5.5 –  
А.В. Афанасьевой; § 3.4–3.6 – С.Х. Гутнер,  контрольные вопросы

Предисловие 

 
6 

и задания, задачи и упражнения для самостоятельного решения ко 
всем главам подготовлены и проверены А.В. Афанасьевой, М.Е. 
Гутнер, С.Х. Гутнер, Н.В. Кулинич. 
Авторы выражают благодарность всем коллегам по кафедре 
«Основы математики и информатики» СУНЦ МГТУ им. Н.Э. Бау-
мана, принявшим участие в обсуждении данного учебного пособия. 
Замечания и предложения, связанные с улучшением качества 
пособия, просьба присылать по адресу Director@1580.ru. 

1.2. Измерение углов 

 
7 

1. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ  
И ИХ СВОЙСТВА 

1.1. ПОНЯТИЕ УГЛА 

Пусть заданы два совпадающих луча [
)
OA
и [
),
OB
имеющих 
общее начало – точку О (рис. 1.1, а). 
Луч [
)
OA
неподвижен, а луч  [OB)


может вращаться в плоскости отно-
сительно точки О по ходу или про-
тив хода часовой стрелки, совершая 
произвольное число оборотов. На 
рис. 1.1, б показан один из поворо-
тов луча [
)
OB
против хода часовой 
стрелки, а на рис. 1.1, в – по ходу ча-
совой стрелки. 
Пусть подвижный луч [
)
OB
со-
вершил такой поворот по ходу часо-
вой стрелки, при котором он впер-
вые совпал с начальным лучом [
)
OA

(рис. 1.2, а). Этот поворот принято называть полным оборотом по 
ходу часовой стрелки. 

Рис. 1.2 

Если же луч [
),
OB
совершив поворот против хода часовой 

стрелки, впервые совпал с неподвижным лучом [
),
OA
то такой по-
ворот называют полным оборотом против хода часовой стрелки 
(рис. 1.2, б). 

Рис. 1.1

 

1. Тригонометрические функции и их свойства 

 
8 

Таким образом, при неполном обороте получается фигура, ог-
раниченная по направлению вращения рассматриваемыми лучами  
[
)
OA
и [
)
OB
и частью плоскости. 
Определение 1.1. Углом α  называется множество точек плос-
кости, состоящее из двух лучей [
)
OA
и [
),
OB
имеющих общее на-
чало, и ограниченной ими по направлению вращения части плос-
кости. 
Определение 1.2. Часть плоскости, не включающая границы и 
ограниченная лучами [
)
OA
и [
)
OB
по направлению вращения, на-
зывается внутренней областью угла 
,
α  а оставшаяся часть плоско-
сти, также не включающая границы, – внешней областью угла .
α  
Полному обороту соответствует полный угол, образованный 
движением луча по ходу или против хода часовой стрелки. Если 
подвижный луч [
)
OB
не совершает поворота, то он задает нулевой 
угол. 
Очевидно, что при полном обороте по ходу или против хода 
часовой стрелки вся плоскость вращения делится лучами [
)
OA
и  

[
)
OB
на два угла α  и β (рис. 1.3), кото-
рые принято называть взаимно дополни-
тельными. При этом внутренняя область 
одного из них является внешней для дру-
гого, и наоборот. 
При повороте луча [
)
OB
против хода 
часовой стрелки взаимно дополнительный 
угол β будет равен разности полного угла 
по ходу часовой стрелки и угла 
,
α  а при 
повороте по ходу часовой стрелки взаимно дополнительный угол α  
будет равен разности полного угла против хода часовой стрелки и 
угла .β  
Если лучи  [
)
OA
и  [
)
OB
впервые совпадают, то мы имеем два 
взаимно дополнительных угла, один из которых нулевой, а второй – 
полный. 
Если при повороте луч [
)
OB
занял положение вдоль прямой, 

совпадающей с неподвижным лучом [
),
OA
в противоположном 

Рис. 1.3 

1.2. Измерение углов 

 
9 

направлении с лучом [
),
OA
то 
образованную при этом пару уг-
лов α  и β называют разверну-
тыми углами (рис. 1.4). 
Внутренняя область каждого 
развернутого 
угла 
называется 
полуплоскостью. 

1.2. ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВ 

Различают градусную и радианную меру измерения углов. 
Градусная мера измерения углов. Пусть подвижный луч  
[
)
OB
совпадает с неподвижным лу-

чом [
),
OA
не совершая поворота 
(рис. 1.5). 
На 
неподвижном 
луче 
[
)
OA

возьмем некоторую точку М, а на 
подвижном луче [
)
OB
– точку N, сов-
падающую с точкой М. Проведем  
окружность с центром в точке О  
радиусом R, равным длине одного из 
отрезков ON  или 
.
OM  Теперь при 

повороте луча [
)
OB
по ходу часовой 
стрелки или против хода часовой 
стрелки точка N будет перемещаться 
вдоль этой окружности (рис. 1.6).  
Из планиметрии известно, что 
образуемый при таком повороте угол α  будет называться центральным.  

Определение 1.3. Мерой центрального угла, равного 1/360 части 
полного угла, является угловой градус, а мерой дуги, на которую 
опирается этот угол, – дуговой градус. 
Таким образом, единицы измерения центральных углов и дуг, 
на которые они опираются, совпадают.  

Рис. 1.4

Рис. 1.5

Рис. 1.6

1. Тригонометрические функции и их свойства 

 
10

Принято считать, что при вращении луча [
)
OB
против хода часовой 
стрелки он задает положительный угол, а при вращении по 
ходу часовой стрелки – отрицательный угол. 
Таким образом, полный угол, образованный движением луча 
против хода часовой стрелки, называется полным положительным 
углом, а полный угол, образованный движением луча по ходу часовой 
стрелки, – полным отрицательным углом. При повороте луча [
)

OB
на половину полного оборота против хода часовой стрелки 
получаем положительный развернутый угол (угол α  на рис. 1.4), а 
при повороте на половину полного оборота по ходу часовой стрелки – 
отрицательный развернутый угол (угол β на рис. 1.4). 
Определение 1.4. Центральные углы (дуги), задаваемые мерой 
и направлением, называются направленными углами (дугами). 
Поэтому поворот подвижного луча [
)
OB
против хода часовой 
стрелки задает положительный угол 
(
0),
α α >
 а поворот по ходу 
часовой стрелки – отрицательный угол 
(
0),
α α <
 т. е. если, например, 
подвижный луч [
)
OB
совершает поворот, равный 1/360 части 
полного оборота против хода часовой стрелки, то тем самым подвижный 
луч [
)
OB
задает некоторый положительный угол, равный 
одному градусу (1°), а если он совершает полный оборот, то задает 
полный положительный угол, равный 360 .°  
Для измерения угла используются меры: одна минута (1 )′  и 
одна секунда (1 ).
′′  

Если подвижный луч [
)
OB
совершил поворот против хода часовой 
стрелки, равный 1/60 части поворота, соответствующего углу, 
равному 1º, то говорят, что луч [
)
OB
задает угол, равный 1 .′  

Если подвижный луч [
)
OB
совершил поворот против хода часовой 
стрелки, равный 1/60 части поворота, соответствующего углу,  
равному 1,′  то говорят, что луч [
)
OB
задает угол, равный 1 .′′  Таким 
образом, угол, равный 60 ,′′  равен 1,′  угол, равный 60 ,′  равен 1°. 
Пусть луч [
)
OB
совершил четверть полного оборота против хода 
часовой стрелки. Тогда говорят, что луч [
)
OB
задает положи-

1.2. Измерение углов 

 
11

тельный прямой угол, т. е. угол, равный 90°. Развернутый положительный 
угол – это угол, равный 180°. 
При вращении подвижного луча [
)
OB
по ходу часовой стрелки 
градусная мера соответствующих углов будет отрицательной. 
Теорема 1.1. Отношение длины дуги окружности, на которую 
опирается некоторый центральный угол, к радиусу этой окружности 
не зависит от радиуса. 
Изложим основную идею теоремы. Пусть сначала подвижный 
луч [
)
OB
совпадает с неподвижным лучом [
).
OA
Выберем на лучах 
совпадающие друг с другом точки 
1
1
,
M
N  и 
2
2
,
M
N  соответственно. 
Проведем две окружности с центром в точке О радиусами 

1
1
R
ON
=
 и 
2
2 .
R
ON
=
 

При повороте луча [OB),

например, 
против хода часовой стрелки задается 
центральный угол 
.
α  На окружности 
радиусом 
1
R  этому углу 
будет соответствовать дуга 
1
1,
M N
 а 
на окружности радиусом 
2
R  – дуга 

2
2
M N  (рис. 1.7). Соединим точки 

1
M  и 
1,
N  
2
M  и 
2
N  хордами. Рассмотрим 
треугольники: 
1
1
ON M
Δ
 и 

2
2,
ON M
Δ
 у которых 
1
1,
OM
ON
=
 

2
2,
OM
ON
=
 
1
1
M ON
∠
2
2.
M ON
= ∠
 Следовательно, 
1
1
ON M
Δ
 подобен 

2
2,
ON M
Δ
 и тогда  

1
1
2
2

1
2
.
M N
M N

M O
M O
=
 

Если в качестве центрального угла взять угол, соответствующий 
достаточно малому повороту луча [
),
OB
то хорда 
1
1
M N  будет  

мало отличаться от дуги 
1
1,
M N  а хорда 
2
2
M N  – от дуги 
2
2.
M N
  
С учетом этого можно записать отношение 

Рис. 1.7

1. Тригонометрические функции и их свойства 

 
12

 

1
1
2
2

1
2
,
M N
M N

M O
M O
=
 

или 

1
1
2
2

1
2
.
M N
M N
R
R
=
 

При бесконечном числе оборотов подвижного луча [
)
OB
центральный 
угол может выражаться в градусах любым действительным 
числом.  
Радианная мера измерения углов. Пусть точка N, двигаясь при 
вращении луча [OB)
по окружности радиусом R, прошла расстояние 
,l  равное радиусу (рис. 1.8). 
Определение 1.5. Радианной мерой 
угла α  называется такое число, 
абсолютное значение которого равно 
отношению длины дуги l, пройденной 
по окружности радиусом R точкой N 
подвижного луча [
),
OB
к радиусу R, и 
знак которого определяется направлением 
совершенного поворота. Ради-
анная мера угла положительна, если 
поворот осуществлен против хода часовой 
стрелки, и отрицательна, если по ходу часовой стрелки. 
Определение 1.6. Центральный угол, опирающийся на дугу, 
длина которой равна радиусу окружности, имеет радианную меру, 
равную единице, или говорят, что его мера равна единице. 
Если луч [
)
OB
не совершил поворота относительно луча [
),
OA

то задаваемый им угол будет нулевым и радианная мера этого угла 
также будет равна нулю. 
Если луч [
)
OB
совершил полный оборот против хода часовой 
стрелки (рис. 1.9, а), то точка N, двигаясь по окружности, прошла 
расстояние l, равное длине окружности C. Так как 
2
,
l
C
R
=
= π
 то 

2
2 .
l
R
R
R
π
=
= π  

Рис. 1.8