Тригонометрия теория и практика решения задач

им. Н.Э. Баумана
МГТУ

ИЗДАТЕЛЬСТВО

УДК 514.116(075.8) 
ББК  22.151.0 
 Т67 

 
Авторы: 
Граськин С.С., Афанасьева А.В.,  
Гутнер М.Е., Гутнер С.Х., Кулинич Н.В. 
 
Рецензенты:  
канд. физ.-мат. наук, доцент Е.А. Власова,  
канд. физ.-мат. наук, доцент В.Д. Морозова,  
методист ОМЦ ЮОУО ДО Л.В. Федотова 
 
 
Тригонометрия : теория и практика решения задач :  
учеб. пособие / [С. С. Граськин, А. В. Афанасьева, М. Е. Гутнер, C. Х. Гутнер, Н. В. Кулинич ; под ред. С. С. Граськина. – 
М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2009. –  325, [3]  с. : ил. 
 
ISBN 978-5-7038-3281-3 
 
Учебное пособие представляет собой расширенный курс лекций и семинарских занятий по тригонометрии для слушателей 
СУНЦ МГТУ им. Н.Э. Баумана. Содержит основные теоретические положения по основам тригонометрии, методам решения 
тригонометрических уравнений и неравенств, в том числе с параметром, а также подборку задач различного уровня сложности для 
аудиторной и самостоятельной работы. 
 
  УДК 514.116(075.8) 
   ББК 22.151.0 
 
 
 
 
 
 
 
    
                                         
 
 
 
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009  
ISBN  978-5-7038-3281-3                                © Оформление. Изд-во МГТУ 
                                                                                         им. Н.Э. Баумана, 2009 

Т67 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Предисловие ............................................................................................... 
5 
1. Тригонометрические функции и их свойства................................. 
7 
1.1. Понятие угла.................................................................................. 
7 
1.2. Измерение углов............................................................................ 
9 
1.3. Определение и свойства тригонометрических выражений ....... 15 
1.4. Основные тригонометрические формулы .................................. 25 
1.5. Тригонометрические функции ..................................................... 48 
1.6. Линейные преобразования графиков функций........................... 57 
Контрольные вопросы и задания ........................................................ 70 
Задачи и упражнения ........................................................................... 71 
Ответы к задачам и упражнениям....................................................... 82 
2. Обратные тригонометрические функции и их свойства.............. 85 
2.1. Обратные тригонометрические функции ................................... 85 
2.2. Основные тождества, содержащие тригонометрические  
       и обратные тригонометрические функции.................................. 103 
2.3. Примеры тождественных преобразований ................................. 111 
Контрольные вопросы и задания ........................................................ 113 
Задачи и упражнения ........................................................................... 114 
Ответы к задачам  и упражнениям...................................................... 118 

3. Тригонометрические уравнения ...................................................... 121 
3.1. Общие положения ......................................................................... 121 
3.2. Простейшие тригонометрические уравнения ............................ 123 
3.3. Основные методы решения тригонометрических уравнений .. 131 
3.4. Решение тригонометрических уравнений с ограничениями .... 171 
3.5. Системы тригонометрических уравнений с двумя  
       неизвестными ................................................................................ 180 
3.6. Решение тригонометрических уравнений с параметром........... 187 
Контрольные вопросы и задания ....................................................... 195 
Задачи и упражнения ........................................................................... 197 
Ответы к задачам и упражнениям....................................................... 211 
4. Тригонометрические неравенства ................................................... 227 
4.1. Простейшие тригонометрические неравенства ......................... 227 
4.2. Основные методы решения тригонометрических неравенств .. 244 
4.3. Решение тригонометрических неравенств с параметром ......... 267 

Оглавление 

 
4 

Задачи и упражнения ................................................................................ 280 
Ответы к задачам и упражнениям ........................................................... 289 
5. Уравнения и неравенства, содержащие обратные  
               тригонометрические функции ............................................... 305 
5.1. Простейшие уравнения, содержащие обратные  
      тригонометрические функции ...................................................... 305 
5.2. Решение уравнений, содержащих обратные  
      тригонометрические функции ...................................................... 307 
5.3. Простейшие неравенства, содержащие обратные  
       тригонометрические функции ..................................................... 309 
5.4. Основные методы решения неравенств, содержащих 
      обратные тригонометрические функции...................................... 315 
Задачи и упражнения ........................................................................... 316 
Ответы к задачам и упражнениям....................................................... 321 
Литература.................................................................................................. 325 
 

 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Данное учебное пособие является первым выпуском полного 
курса элементарной математики для слушателей Специализированного учебно-научного центра при МГТУ им. Н.Э. Баумана. Оно 
учитывает специфику углубленной математической подготовки 
слушателей и отражает многолетний опыт работы авторов на кафедре «Основы математики и информатики» университета. 
В основу учебного пособия положен курс лекций по тригонометрии, который авторы на протяжении ряда лет читают учащимся  
10-х и 11-х классов физико-математического лицея № 1580 при 
МГТУ им. Н.Э. Баумана, а также опыт проведения семинарских 
занятий. 
Одной из проблем преподавания математики в школе и в вузе 
является недостаток отведенного на обучение времени для изложения материала. Поэтому часть фактов не доказывается, в ряде 
случаев приводятся схематичные или иллюстративные доказательства. Цель данного пособия – достаточно строгое, углубленное и 
доступное изложение учебного материала, ставшего для школы 
традиционным. 
Пособие состоит из пяти глав и имеет так называемую блочную структуру. Каждая глава начинается с изложения теоретического материала, далее приводятся типовые примеры с решениями 
и иллюстрациями, контрольные вопросы и задания для самопроверки, задачи и упражнения для самостоятельного решения и ответы. Содержание материала и стиль его изложения определялись, с 
одной стороны, требованиями к уровню математических знаний 
поступающих в МГТУ им. Н.Э. Баумана абитуриентов, с другой 
стороны, необходимостью разработки курса, позволяющего вести 
занятия со старшеклассниками разного уровня подготовки. 
Работа над пособием между авторами распределена следующим 
образом: основной текст (теоретический материал  и примеры глав 
1–4) написан профессором С.С. Граськиным; § 1.6, 4.3, 5.3–5.5 –  
А.В. Афанасьевой; § 3.4–3.6 – С.Х. Гутнер,  контрольные вопросы

Предисловие 

 
6 

и задания, задачи и упражнения для самостоятельного решения ко 
всем главам подготовлены и проверены А.В. Афанасьевой, М.Е. 
Гутнер, С.Х. Гутнер, Н.В. Кулинич. 
Авторы выражают благодарность всем коллегам по кафедре 
«Основы математики и информатики» СУНЦ МГТУ им. Н.Э. Баумана, принявшим участие в обсуждении данного учебного пособия. 
Замечания и предложения, связанные с улучшением качества 
пособия, просьба присылать по адресу Director@1580.ru. 

1.2. Измерение углов 

 
7 

1. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ  
И ИХ СВОЙСТВА 

1.1. ПОНЯТИЕ УГЛА 

Пусть заданы два совпадающих луча [
)
OA
и [
),
OB
имеющих 
общее начало – точку О (рис. 1.1, а). 
Луч [
)
OA
неподвижен, а луч  [OB)


может вращаться в плоскости относительно точки О по ходу или против хода часовой стрелки, совершая 
произвольное число оборотов. На 
рис. 1.1, б показан один из поворотов луча [
)
OB
против хода часовой 
стрелки, а на рис. 1.1, в – по ходу часовой стрелки. 
Пусть подвижный луч [
)
OB
совершил такой поворот по ходу часовой стрелки, при котором он впервые совпал с начальным лучом [
)
OA

(рис. 1.2, а). Этот поворот принято называть полным оборотом по 
ходу часовой стрелки. 

Рис. 1.2 

Если же луч [
),
OB
совершив поворот против хода часовой 

стрелки, впервые совпал с неподвижным лучом [
),
OA
то такой поворот называют полным оборотом против хода часовой стрелки 
(рис. 1.2, б). 

Рис. 1.1

 

1. Тригонометрические функции и их свойства 

 
8 

Таким образом, при неполном обороте получается фигура, ограниченная по направлению вращения рассматриваемыми лучами  
[
)
OA
и [
)
OB
и частью плоскости. 
Определение 1.1. Углом α  называется множество точек плоскости, состоящее из двух лучей [
)
OA
и [
),
OB
имеющих общее начало, и ограниченной ими по направлению вращения части плоскости. 
Определение 1.2. Часть плоскости, не включающая границы и 
ограниченная лучами [
)
OA
и [
)
OB
по направлению вращения, называется внутренней областью угла 
,
α  а оставшаяся часть плоскости, также не включающая границы, – внешней областью угла .
α  
Полному обороту соответствует полный угол, образованный 
движением луча по ходу или против хода часовой стрелки. Если 
подвижный луч [
)
OB
не совершает поворота, то он задает нулевой 
угол. 
Очевидно, что при полном обороте по ходу или против хода 
часовой стрелки вся плоскость вращения делится лучами [
)
OA
и  

[
)
OB
на два угла α  и β (рис. 1.3), которые принято называть взаимно дополнительными. При этом внутренняя область 
одного из них является внешней для другого, и наоборот. 
При повороте луча [
)
OB
против хода 
часовой стрелки взаимно дополнительный 
угол β будет равен разности полного угла 
по ходу часовой стрелки и угла 
,
α  а при 
повороте по ходу часовой стрелки взаимно дополнительный угол α  
будет равен разности полного угла против хода часовой стрелки и 
угла .β  
Если лучи  [
)
OA
и  [
)
OB
впервые совпадают, то мы имеем два 
взаимно дополнительных угла, один из которых нулевой, а второй – 
полный. 
Если при повороте луч [
)
OB
занял положение вдоль прямой, 

совпадающей с неподвижным лучом [
),
OA
в противоположном 

Рис. 1.3 

1.2. Измерение углов 

 
9 

направлении с лучом [
),
OA
то 
образованную при этом пару углов α  и β называют развернутыми углами (рис. 1.4). 
Внутренняя область каждого 
развернутого 
угла 
называется 
полуплоскостью. 

1.2. ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВ 

Различают градусную и радианную меру измерения углов. 
Градусная мера измерения углов. Пусть подвижный луч  
[
)
OB
совпадает с неподвижным лу
чом [
),
OA
не совершая поворота 
(рис. 1.5). 
На 
неподвижном 
луче 
[
)
OA

возьмем некоторую точку М, а на 
подвижном луче [
)
OB
– точку N, совпадающую с точкой М. Проведем  
окружность с центром в точке О  
радиусом R, равным длине одного из 
отрезков ON  или 
.
OM  Теперь при 

повороте луча [
)
OB
по ходу часовой 
стрелки или против хода часовой 
стрелки точка N будет перемещаться 
вдоль этой окружности (рис. 1.6).  
Из планиметрии известно, что 
образуемый при таком повороте угол α  будет называться центральным.  
Определение 1.3. Мерой центрального угла, равного 1/360 части полного угла, является угловой градус, а мерой дуги, на которую опирается этот угол, – дуговой градус. 
Таким образом, единицы измерения центральных углов и дуг, 
на которые они опираются, совпадают.  

Рис. 1.4

Рис. 1.5

Рис. 1.6

1. Тригонометрические функции и их свойства 

 
10

Принято считать, что при вращении луча [
)
OB
против хода часовой стрелки он задает положительный угол, а при вращении по 
ходу часовой стрелки – отрицательный угол. 
Таким образом, полный угол, образованный движением луча 
против хода часовой стрелки, называется полным положительным 
углом, а полный угол, образованный движением луча по ходу часовой стрелки, – полным отрицательным углом. При повороте луча [
)
OB
на половину полного оборота против хода часовой стрелки 
получаем положительный развернутый угол (угол α  на рис. 1.4), а 
при повороте на половину полного оборота по ходу часовой стрелки – отрицательный развернутый угол (угол β на рис. 1.4). 
Определение 1.4. Центральные углы (дуги), задаваемые мерой 
и направлением, называются направленными углами (дугами). 
Поэтому поворот подвижного луча [
)
OB
против хода часовой 
стрелки задает положительный угол 
(
0),
α α >
 а поворот по ходу 
часовой стрелки – отрицательный угол 
(
0),
α α <
 т. е. если, напри
мер, подвижный луч [
)
OB
совершает поворот, равный 1/360 части 
полного оборота против хода часовой стрелки, то тем самым подвижный луч [
)
OB
задает некоторый положительный угол, равный 
одному градусу (1°), а если он совершает полный оборот, то задает 
полный положительный угол, равный 360 .°  
Для измерения угла используются меры: одна минута (1 )′  и 
одна секунда (1 ).
′′  

Если подвижный луч [
)
OB
совершил поворот против хода часовой стрелки, равный 1/60 части поворота, соответствующего углу, 
равному 1º, то говорят, что луч [
)
OB
задает угол, равный 1 .′  

Если подвижный луч [
)
OB
совершил поворот против хода часовой стрелки, равный 1/60 части поворота, соответствующего углу,  
равному 1,′  то говорят, что луч [
)
OB
задает угол, равный 1 .′′  Таким 
образом, угол, равный 60 ,′′  равен 1,′  угол, равный 60 ,′  равен 1°. 
Пусть луч [
)
OB
совершил четверть полного оборота против хода часовой стрелки. Тогда говорят, что луч [
)
OB
задает положи