Нелинейные системы: геометрические методы анализа и синтеза

 
 
 
 
 
 
 
 
В.И. Краснощёченко, А.П. Крищенко 
 
 
 
 
 
НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ: 
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ 
АНАЛИЗА И СИНТЕЗА 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва 
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана 
2005 

УДК 517.9, 512, 621.0 
ББК 22.151, 22.152, 32.965 
 
К78 
 
Рецензент: 

заслуженный деятель науки РФ, 
д-р техн. наук, профессор  Н.В. Фалдин 
 
 
К78 
 
Краснощёченко В.И., Крищенко А.П. Нелинейные системы: 
геометрические методы анализа и синтеза. — М.: Издательство 
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2005. — 520 с. 
 
ISBN 5-7038-2182-7 
 
В монографии освещены современное состояние и результаты исследований авторов по геометрическим методам анализа и синтеза нелинейных систем управления. Изложены дифференцирование Ли тензорных полей, теория распределений и их интегрируемость, теория 
групп и алгебр Ли применительно к задачам управления. Представлены 
методы синтеза на основе аппроксимации присоединенного представления однопараметрических групп, по линейным эквивалентам, с использованием процедуры пассификации, приведением нелинейной системы к 
каноническому виду. Рассмотрены вопросы управляемости, наблюдаемости, достижимости, синтеза наблюдателей для нелинейных систем, а также топологический подход к синтезу функций Ляпунова и качественному 
исследованию нелинейных систем. Большое внимание уделяется графическому представлению и приложениям геометрических методов. 
Монография предназначена для научных работников, инженеров, 
а также аспирантов и студентов, интересующихся нелинейной теорией 
автоматического управления. 
 
 
УДК 517.9, 512, 621.0 
ББК 22.151, 22.152, 32.965 
 
 
 
 
 
 
© Краснощёченко В.И., 
 
 
Крищенко А.П., 2005 
 
© Издательство МГТУ 
ISBN 5-7038-2182-7 
 
им. Н.Э. Баумана, 2005 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

В монографии рассмотрены теоретические положения геометрического подхода к анализу и синтезу нелинейных аффинных 
систем управления. Термин «геометрия» здесь понимается в смысле Ф. Клейна, т.е. она (геометрия) «характеризуется преобразованиями над геометрическими объектами, а также их свойствами, 
которые не изменяются, остаются инвариантными при этих преобразованиях». Преобразования над геометрическими объектами, 
в основном тензорными полями и тензорами, осуществляются 
группой непрерывных преобразований (группой Ли), свойства которой непосредственно влияют на качественные характеристики 
систем управления: управляемость, наблюдаемость, возможность 
декомпозиции и др. Топология, при таком определении, является 
«резиновой» геометрией, поэтому топологический подход авторы 
также относят к геометрическому. 
Монография состоит из двух глав и Приложения и содержит в 
основном результаты исследований авторов по геометрическим 
методам. 
В первой главе представлены сведения по теории тензоров и 
тензорных полей, интегрируемости распределений, теории групп и 
алгебр Ли для решения задач управления. Изложен новый метод 
анализа и синтеза нелинейных аффинных систем с использованием аппроксимации присоединенного представления однопараметрических групп. Рассмотрены вопросы синтеза нелинейных систем по линейным эквивалентам в пространстве «вход–состояние» 
и «вход–выход» с точки зрения теории непрерывных групп и гладких многообразий. Представлен новый взгляд к решению задачи 
пассификации с использованием тензорного подхода, а также 
предложен топологический подход к синтезу функций Ляпунова и 
качественному исследованию нелинейных систем. 
Вторая глава посвящена дифференциально-геометрическим методам в теории нелинейных аффинных систем, где рассмотрены 
вопросы приведения нелинейных аффинных систем, в том числе 

Предисловие 

и нестационарных, к каноническому виду, нахождения областей 
достижимости для нелинейных систем управления второго порядка, 
управляемости, наблюдаемости, синтеза регуляторов, предложена 
новая методика синтеза наблюдателей экспоненциального типа. 
В Приложении представлены некоторые сведения, характеризующие особенности поведения динамических систем, присущие 
только нелинейным системам: появление детерминированного 
хаоса (нерегулярной динамики), наличие фрактальной структуры, 
странных аттракторов. 
Глава 1 написана В.И. Краснощёченко, глава 2 — А.П. Крищенко, 
п. 2.4 написан совместно А.П. Крищенко и С.Б. Ткачевым. Автором 
Приложения является В.Г. Коньков. 
Авторы выражают глубокую благодарность заслуженному деятелю науки РФ, доктору технических наук, профессору Н.Д. Егупову 
за постоянное внимание и поддержку при подготовке и выпуске монографии. 
Авторы также выражают признательность сотрудникам редакционно-издательского отдела Калужского филиала МГТУ им. Н.Э. Баумана К.И. Желнову, К.Ю. Савинченко, М.Р. Фишеру, Н.Г. Варварской 
за подготовку рукописи к изданию и создание оригинал-макета монографии. 

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ 

M  
— гладкое многообразие 
x  
— точка многообразия M, вектор состояния системы управления 

x
U  
— окрестность точки ∈
x
M  

,
X Y  
— векторные поля в естественном базисе как 
дифференциальные операторы для гладких 
функций, определенных на многообразии M 
( )
( )
,
x
x
X
Y
 
— координатные представления векторных полей в точке ∈
x
M  
[
]( )
,
x
X Y
 
— коммутатор, скобка Ли векторных полей 
,
X Y  

G  
— группа Ли 
( )
L G  
— алгебра Ли группы Ли G 

, ,
a b c  
— элементы r-параметрической группы 
r
G  

{
} { }
,
t
t
X
Y
 
— однопараметрическая группа преобразований, 
фазовый поток для векторных полей 
LXK  
— производная Ли тензорного поля K  вдоль 
векторного поля X  
[ ]
Co t  
— свертка тензора t  

∧
x
y  
— внешнее произведение тензоров x  и y  
Δ  
— распределение на гладком многообразии 
ρ 
— относительная степень аффинной системы 

,
u v  
— управляющие воздействия системы управления 
z  
— вектор выхода системы управления 
y  
— вектор состояния системы управления для канонической формы Бруновского 
ω  
— дифференциальная 1-форма, ковектор 

Список используемых обозначений 

,
*∑
i j
 
— суммирование по ,i j  при условии 1
i
j
n
≤ <
≤
 

1
2
⊗
t
t  
— тензорное произведение тензоров 1t  и 2t  

( )
ω Y  
— значение дифференциальной 1-формы ω  на 
векторном поле Y 
( )
( )
, 
f
L f
X
X
x
x  — производная Ли гладкой функции f  вдоль 
векторного поля X 
ad
, L
X
X
Y
Y  
— дифференцирование векторного поля Y вдоль 
векторного поля X 

⋅  
— норма элемента или матрица (в зависимости 
от контекста) 
{
}
span
,
x
X Y
 
— линейная оболочка векторов X, Y в точке x 

( )
Sym A  
— симметрирование тензора A 

( )
Alt A  
— альтернирование тензора A 

Ann S  
— аннулятор множества S  

Глава 1. Тензорно-групповой подход 

ВВЕДЕНИЕ 

«Если проблема нелинейна (выделено автором) по своему характеру, если в ней участвует более чем одна система координат 
или более чем одна переменная или она касается нелокальным образом определяемой структуры, то решение этой проблемы обычно 
требует привлечения топологии и теории групп. Классический анализ, как правило, применяется при решении подобных проблем как 
средство предварительного локального изучения, последующая же 
глобализация производится с помощью топологии и теории групп 
(выделено автором)». Это высказывание, принадлежащее известному математику 20-го века в области алгебраической топологии 
Марстону Морсу, в полной мере говорит о важности группового 
подхода к исследованию нелинейных систем управления. 
В 1872 г. Феликс Клейн в своей знаменитой Эрлангенской программе сформулировал идею классификации всех видов геометрий 
на основе симметрии, согласно которой каждая геометрия характеризуется преобразованиями, которые допускается в ней производить над геометрическими объектами, а также свойствами этих 
объектов, которые не изменяются, остаются инвариантными при 
этих преобразованиях. Каждая геометрия определяется группой 
преобразований (группой симметрий), оставляющих те или иные 
свойства геометрических фигур инвариантными. Так были классифицированы евклидова, аффинная, проективная геометрия и 
«резиновая геометрия» — топология. 
Идея применения группового подхода давно, широко и с успехом используется в прикладных науках: квантовой механике, кристаллографии, небесной механике и др. Два десятилетия назад геометрический язык проник и в теорию управления, где симметрия 
реализуется в виде непрерывных групп преобразований (групп Ли). 
О значении этого подхода говорит тот факт, что ведутся работы по 
созданию «Единой геометрической теории управления» (ЕГТУ). 
Автор ЕГТУ А.Г. Бутковский пишет [7]: «Каждое поколение говорит на своем языке: 30–40 лет назад в теории управления начался 
переход на язык функционального анализа, в механике еще раньше 
происходил небезболезненный переход на векторный и тензорный 
языки. Сейчас, по-видимому, настало время переходить на язык современной геометрии. Причем это веление не только внутренних 
императивов науки. Можно указать, в частности, весьма актуальные 
научно-технические проблемы, для решения которых нужны более 

Введение 
9 

мощные, по сравнению с существующими, теоретические и технические средства. Такие средства нужны, например, для создания 
распределенных регуляторов для активных, нелинейных, неоднородных и неизотропных сплошных сред». 
Геометрический подход позволяет с гораздо более широких позиций взглянуть на фундаментальные проблемы теории управления: управляемость, наблюдаемость, инвариантность, декомпозицию и агрегирование. Особенно он полезен для исследования нелинейных систем управления, трудности анализа и синтеза которых общеизвестны. 
В данной главе подробно изложены основные математические 
понятия, теоремы и некоторые методы, используемые при тензорно-групповом и дифференциально-геометрическом подходе к задачам анализа и синтеза систем управления. Глава состоит из девяти параграфов. В первом параграфе дано определение гладкого 
многообразия как основного вида пространства для нелинейных 
систем, рассмотрены его свойства, приведены примеры. Второй 
параграф посвящен вопросам тензорной алгебры на многообразиях. Представлены геометрические объекты в виде тензорных полей на многообразиях. Рассмотрены операции в тензорной алгебре, тензорные (векторные и ковекторные) поля на многообразиях. 
В третьем параграфе подробно с геометрической интерпретацией 
показана операция дифференцирования Ли векторных и ковекторных полей, наиболее широко используемых при проектировании 
нелинейных систем геометрическими методами. Это совершенно 
новый подход, который обычно в книгах по теории управления не 
отражен. Четвертый параграф посвящен теоремам Фробениуса об 
интегрируемости распределений и кораспределений, так как данные теоремы определяют условия совместной интегрируемости 
нескольких векторных полей и используются, в частности, для нахождения линейных эквивалентов. Важным с геометрической точки зрения является пятый параграф, связанный с теорией непрерывных групп преобразований — теорией групп и алгебр Ли. 
Многие вопросы анализа и синтеза напрямую связаны с действиями данных групп на многообразиях. Здесь оригинально изложен 
материал о представлении групп Ли, а также о присоединенном 
представлении групп Ли. Показано, как присоединенное представление связано с формулой Бейкера–Кэмпбелла–Хаусдорфа, которая 
определяет взаимодействие векторных полей на многообразии. 
Следующий параграф посвящен практическому использованию 

Глава 1. Тензорно-групповой подход 

присоединенного представления для анализа нелинейных аффинных систем управления. В нем впервые представлена аппроксимация действия двух однопараметрических групп, приведены примеры. Показано, что предложенный подход позволяет решать также 
задачи синтеза, причем как задачи стабилизации, так и задачи слежения. В седьмом параграфе рассмотрен тензорный подход к пассификации и синтезу регуляторов нелинейных систем. Понятие пассивности (аналог диссипативности в физике) является сравнительно новым в теории управления, но давно используется в физике. 
Благодаря введению условий пассивности были получены различные алгоритмы управления, которые в той или иной мере связаны 
или являются отражением известной леммы Якубовича–Калмана. 
Данный метод проектирования представлен на основе тензорного 
подхода, что является совершенно новым взглядом на использование геометрических методов в задачах проектирования регуляторов. Показана методика получения идемпотентных тензоров проектирования для неуправляемого векторного поля аффинной системы управления как для скалярного, так и для векторного управлений. В восьмом параграфе с использованием группового подхода 
рассмотрен синтез управления на основе линейных эквивалентов: 
метод преобразований исходной нелинейной системы к ее линейному эквиваленту с использованием гладкой замены переменных. 
Данный переход возможен, если распределение векторных полей, 
характеризующее управляемость исходной системы, инволютивно. 
Если распределение не инволютивно, возможна динамическая линеаризация, методика которой также рассмотрена. Последний параграф посвящен использованию уравнений Пфаффа для формирования функций Ляпунова, рассмотрены конкретные примеры. 

1.1. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ 

Развитие теории для нелинейных систем требует применения 
класса пространств состояний более общих, чем линейные пространства. Об этом свидетельствуют следующие примеры [2]: 
 1. Множества достижимости билинейных систем (простейших 
нелинейных систем) подпространствами не являются. 
 2. При изучении задач управления ориентацией твердого тела в 
качестве пространства состояний фигурирует векторное расслоение (объединение касательных пространств) группы SO(3)