Нелинейные системы: геометрические методы анализа и синтеза

 
 
 
 
 
 
 
 
В.И. Краснощёченко, А.П. Крищенко 
 
 
 
 
 
НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ: 
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ 
АНАЛИЗА И СИНТЕЗА 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва 
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана 
2005 

УДК 517.9, 512, 621.0 
ББК 22.151, 22.152, 32.965 
 
К78 
 
Рецензент: 

заслуженный деятель науки РФ, 
д-р техн. наук, профессор  Н.В. Фалдин 
 
 
К78 
 
Краснощёченко В.И., Крищенко А.П. Нелинейные системы: 
геометрические методы анализа и синтеза. — М.: Издательство 
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2005. — 520 с. 
 
ISBN 5-7038-2182-7 
 
В монографии освещены современное состояние и результаты исследований 
авторов по геометрическим методам анализа и синтеза нелинейных 
систем управления. Изложены дифференцирование Ли тензорных 
полей, теория распределений и их интегрируемость, теория 
групп и алгебр Ли применительно к задачам управления. Представлены 
методы синтеза на основе аппроксимации присоединенного представления 
однопараметрических групп, по линейным эквивалентам, с использованием 
процедуры пассификации, приведением нелинейной системы к 
каноническому виду. Рассмотрены вопросы управляемости, наблюдаемости, 
достижимости, синтеза наблюдателей для нелинейных систем, а так-
же топологический подход к синтезу функций Ляпунова и качественному 
исследованию нелинейных систем. Большое внимание уделяется графиче-
скому представлению и приложениям геометрических методов. 
Монография предназначена для научных работников, инженеров, 
а также аспирантов и студентов, интересующихся нелинейной теорией 
автоматического управления. 
 
 
УДК 517.9, 512, 621.0 
ББК 22.151, 22.152, 32.965 
 
 
 
 
 
 
© Краснощёченко В.И., 
 
 
Крищенко А.П., 2005 
 
© Издательство МГТУ 
ISBN 5-7038-2182-7 
 
им. Н.Э. Баумана, 2005 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

В монографии рассмотрены теоретические положения геомет-
рического подхода к анализу и синтезу нелинейных аффинных 
систем управления. Термин «геометрия» здесь понимается в смыс-
ле Ф. Клейна, т.е. она (геометрия) «характеризуется преобразова-
ниями над геометрическими объектами, а также их свойствами, 
которые не изменяются, остаются инвариантными при этих преоб-
разованиях». Преобразования над геометрическими объектами, 
в основном тензорными полями и тензорами, осуществляются 
группой непрерывных преобразований (группой Ли), свойства ко-
торой непосредственно влияют на качественные характеристики 
систем управления: управляемость, наблюдаемость, возможность 
декомпозиции и др. Топология, при таком определении, является 
«резиновой» геометрией, поэтому топологический подход авторы 
также относят к геометрическому. 
Монография состоит из двух глав и Приложения и содержит в 
основном результаты исследований авторов по геометрическим 
методам. 
В первой главе представлены сведения по теории тензоров и 
тензорных полей, интегрируемости распределений, теории групп и 
алгебр Ли для решения задач управления. Изложен новый метод 
анализа и синтеза нелинейных аффинных систем с использовани-
ем аппроксимации присоединенного представления однопарамет-
рических групп. Рассмотрены вопросы синтеза нелинейных сис-
тем по линейным эквивалентам в пространстве «вход–состояние» 
и «вход–выход» с точки зрения теории непрерывных групп и глад-
ких многообразий. Представлен новый взгляд к решению задачи 
пассификации с использованием тензорного подхода, а также 
предложен топологический подход к синтезу функций Ляпунова и 
качественному исследованию нелинейных систем. 
Вторая глава посвящена дифференциально-геометрическим методам 
в теории нелинейных аффинных систем, где рассмотрены 
вопросы приведения нелинейных аффинных систем, в том числе 

Предисловие 

и нестационарных, к каноническому виду, нахождения областей 
достижимости для нелинейных систем управления второго порядка, 
управляемости, наблюдаемости, синтеза регуляторов, предложена 
новая методика синтеза наблюдателей экспоненциального типа. 
В Приложении представлены некоторые сведения, характеризующие 
особенности поведения динамических систем, присущие 
только нелинейным системам: появление детерминированного 
хаоса (нерегулярной динамики), наличие фрактальной структуры, 
странных аттракторов. 
Глава 1 написана В.И. Краснощёченко, глава 2 — А.П. Крищенко, 
п. 2.4 написан совместно А.П. Крищенко и С.Б. Ткачевым. Автором 
Приложения является В.Г. Коньков. 
Авторы выражают глубокую благодарность заслуженному деятелю 
науки РФ, доктору технических наук, профессору Н.Д. Егупову 
за постоянное внимание и поддержку при подготовке и выпуске монографии. 

Авторы также выражают признательность сотрудникам редакционно-
издательского отдела Калужского филиала МГТУ им. Н.Э. Бау-
мана К.И. Желнову, К.Ю. Савинченко, М.Р. Фишеру, Н.Г. Варварской 
за подготовку рукописи к изданию и создание оригинал-макета моно-
графии. 

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ 

M  
— гладкое многообразие 
x  
— точка многообразия M, вектор состояния сис-
темы управления 

x
U  
— окрестность точки ∈
x
M  

,
X Y  
— векторные поля в естественном базисе как 
дифференциальные операторы для гладких 
функций, определенных на многообразии M 
( )
( )
,
x
x
X
Y
 
— координатные представления векторных по-
лей в точке ∈
x
M  
[
]( )
,
x
X Y
 
— коммутатор, скобка Ли векторных полей 
,
X Y  

G  
— группа Ли 
( )
L G  
— алгебра Ли группы Ли G 

, ,
a b c  
— элементы r-параметрической группы 
r
G  

{
} { }
,
t
t
X
Y
 
— однопараметрическая группа преобразований, 
фазовый поток для векторных полей 
LXK  
— производная Ли тензорного поля K  вдоль 
векторного поля X  
[ ]
Co t  
— свертка тензора t  

∧
x
y  
— внешнее произведение тензоров x  и y  
Δ  
— распределение на гладком многообразии 
ρ 
— относительная степень аффинной системы 

,
u v  
— управляющие воздействия системы управления 
z  
— вектор выхода системы управления 
y  
— вектор состояния системы управления для ка-
нонической формы Бруновского 
ω  
— дифференциальная 1-форма, ковектор 

Список используемых обозначений 

,
*∑
i j
 
— суммирование по ,i j  при условии 1
i
j
n
≤ <
≤
 

1
2
⊗
t
t  
— тензорное произведение тензоров 1t  и 2t  

( )
ω Y  
— значение дифференциальной 1-формы ω  на 
векторном поле Y 
( )
( )
, 
f
L f
X
X
x
x  — производная Ли гладкой функции f  вдоль 
векторного поля X 
ad
, L
X
X
Y
Y  
— дифференцирование векторного поля Y вдоль 
векторного поля X 

⋅  
— норма элемента или матрица (в зависимости 
от контекста) 
{
}
span
,
x
X Y
 
— линейная оболочка векторов X, Y в точке x 

( )
Sym A  
— симметрирование тензора A 

( )
Alt A  
— альтернирование тензора A 

Ann S  
— аннулятор множества S  

Глава 1. Тензорно-групповой подход 

ВВЕДЕНИЕ 

«Если проблема нелинейна (выделено автором) по своему ха-
рактеру, если в ней участвует более чем одна система координат 
или более чем одна переменная или она касается нелокальным об-
разом определяемой структуры, то решение этой проблемы обычно 
требует привлечения топологии и теории групп. Классический ана-
лиз, как правило, применяется при решении подобных проблем как 
средство предварительного локального изучения, последующая же 
глобализация производится с помощью топологии и теории групп 
(выделено автором)». Это высказывание, принадлежащее известно-
му математику 20-го века в области алгебраической топологии 
Марстону Морсу, в полной мере говорит о важности группового 
подхода к исследованию нелинейных систем управления. 
В 1872 г. Феликс Клейн в своей знаменитой Эрлангенской про-
грамме сформулировал идею классификации всех видов геометрий 
на основе симметрии, согласно которой каждая геометрия харак-
теризуется преобразованиями, которые допускается в ней произ-
водить над геометрическими объектами, а также свойствами этих 
объектов, которые не изменяются, остаются инвариантными при 
этих преобразованиях. Каждая геометрия определяется группой 
преобразований (группой симметрий), оставляющих те или иные 
свойства геометрических фигур инвариантными. Так были клас-
сифицированы евклидова, аффинная, проективная геометрия и 
«резиновая геометрия» — топология. 
Идея применения группового подхода давно, широко и с успе-
хом используется в прикладных науках: квантовой механике, кри-
сталлографии, небесной механике и др. Два десятилетия назад геометрический 
язык проник и в теорию управления, где симметрия 
реализуется в виде непрерывных групп преобразований (групп Ли). 
О значении этого подхода говорит тот факт, что ведутся работы по 
созданию «Единой геометрической теории управления» (ЕГТУ). 
Автор ЕГТУ А.Г. Бутковский пишет [7]: «Каждое поколение говорит 
на своем языке: 30–40 лет назад в теории управления начался 
переход на язык функционального анализа, в механике еще раньше 
происходил небезболезненный переход на векторный и тензорный 
языки. Сейчас, по-видимому, настало время переходить на язык современной 
геометрии. Причем это веление не только внутренних 
императивов науки. Можно указать, в частности, весьма актуальные 
научно-технические проблемы, для решения которых нужны более 

Введение 
9 

мощные, по сравнению с существующими, теоретические и технические 
средства. Такие средства нужны, например, для создания 
распределенных регуляторов для активных, нелинейных, неоднородных 
и неизотропных сплошных сред». 
Геометрический подход позволяет с гораздо более широких позиций 
взглянуть на фундаментальные проблемы теории управле-
ния: управляемость, наблюдаемость, инвариантность, декомпози-
цию и агрегирование. Особенно он полезен для исследования не-
линейных систем управления, трудности анализа и синтеза кото-
рых общеизвестны. 
В данной главе подробно изложены основные математические 
понятия, теоремы и некоторые методы, используемые при тензор-
но-групповом и дифференциально-геометрическом подходе к за-
дачам анализа и синтеза систем управления. Глава состоит из де-
вяти параграфов. В первом параграфе дано определение гладкого 
многообразия как основного вида пространства для нелинейных 
систем, рассмотрены его свойства, приведены примеры. Второй 
параграф посвящен вопросам тензорной алгебры на многообрази-
ях. Представлены геометрические объекты в виде тензорных по-
лей на многообразиях. Рассмотрены операции в тензорной алгеб-
ре, тензорные (векторные и ковекторные) поля на многообразиях. 
В третьем параграфе подробно с геометрической интерпретацией 
показана операция дифференцирования Ли векторных и ковектор-
ных полей, наиболее широко используемых при проектировании 
нелинейных систем геометрическими методами. Это совершенно 
новый подход, который обычно в книгах по теории управления не 
отражен. Четвертый параграф посвящен теоремам Фробениуса об 
интегрируемости распределений и кораспределений, так как дан-
ные теоремы определяют условия совместной интегрируемости 
нескольких векторных полей и используются, в частности, для на-
хождения линейных эквивалентов. Важным с геометрической точ-
ки зрения является пятый параграф, связанный с теорией непре-
рывных групп преобразований — теорией групп и алгебр Ли. 
Многие вопросы анализа и синтеза напрямую связаны с действия-
ми данных групп на многообразиях. Здесь оригинально изложен 
материал о представлении групп Ли, а также о присоединенном 
представлении групп Ли. Показано, как присоединенное представ-
ление связано с формулой Бейкера–Кэмпбелла–Хаусдорфа, которая 
определяет взаимодействие векторных полей на многообразии. 
Следующий параграф посвящен практическому использованию 

Глава 1. Тензорно-групповой подход 

присоединенного представления для анализа нелинейных аффин-
ных систем управления. В нем впервые представлена аппроксима-
ция действия двух однопараметрических групп, приведены приме-
ры. Показано, что предложенный подход позволяет решать также 
задачи синтеза, причем как задачи стабилизации, так и задачи слеже-
ния. В седьмом параграфе рассмотрен тензорный подход к пасси-
фикации и синтезу регуляторов нелинейных систем. Понятие пас-
сивности (аналог диссипативности в физике) является сравнитель-
но новым в теории управления, но давно используется в физике. 
Благодаря введению условий пассивности были получены различ-
ные алгоритмы управления, которые в той или иной мере связаны 
или являются отражением известной леммы Якубовича–Калмана. 
Данный метод проектирования представлен на основе тензорного 
подхода, что является совершенно новым взглядом на использова-
ние геометрических методов в задачах проектирования регулято-
ров. Показана методика получения идемпотентных тензоров про-
ектирования для неуправляемого векторного поля аффинной сис-
темы управления как для скалярного, так и для векторного управ-
лений. В восьмом параграфе с использованием группового подхода 
рассмотрен синтез управления на основе линейных эквивалентов: 
метод преобразований исходной нелинейной системы к ее линей-
ному эквиваленту с использованием гладкой замены переменных. 
Данный переход возможен, если распределение векторных полей, 
характеризующее управляемость исходной системы, инволютивно. 
Если распределение не инволютивно, возможна динамическая ли-
неаризация, методика которой также рассмотрена. Последний па-
раграф посвящен использованию уравнений Пфаффа для форми-
рования функций Ляпунова, рассмотрены конкретные примеры. 

1.1. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ 

Развитие теории для нелинейных систем требует применения 
класса пространств состояний более общих, чем линейные про-
странства. Об этом свидетельствуют следующие примеры [2]: 
 1. Множества достижимости билинейных систем (простейших 
нелинейных систем) подпространствами не являются. 
 2. При изучении задач управления ориентацией твердого тела в 
качестве пространства состояний фигурирует векторное рас-
слоение (объединение касательных пространств) группы SO(3)