Влияние внешних воздействий на квантово-механические процессы в материалах радиоэлектроники

Содержание

1

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное

образовательное учреждение высшего образования
«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Инженерно-технологическая академия

И. В. МАЛЫШЕВ

Н. В. ПАРШИНА

ВЛИЯНИЕ ВНЕШНИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ

НА КВАНТОВО-МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ 

В МАТЕРИАЛАХ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Учебное пособие

Ростов-на-Дону – Таганрог

Издательство Южного федерального университета

2022

УДК 630.145:621.37/39(075.8) 
ББК 2.314я73

М207
Печатается по решению кафедры радиотехнической электроники

и наноэлектроники Института нанотехнологий, электроники 

и приборостроения Южного федерального университета

(протокол № 10 от 10 июня 2022 г.)

Рецензенты:

кандидат технических наук, начальник НТЦ АО «Калугаприбор»

И. В. Бессонов

кандидат физико-математических наук, заведующий кафедрой физики

Института нанотехнологий, электроники и приборостроения 

Южного федерального университета А. Б. Колпачев

Малышев, И. В.

М207
Влияние внешних воздействий на квантово-механические процессы 

в материалах радиоэлектроники : учебное пособие / И. В. Малышев,
Н. В. Паршина ; Южный федеральный университет. – Ростов-на-Дону ; Таганрог : 
Издательство Южного федерального университета, 2022. – 171 с.

ISBN 978-5-9275-4259-8
Настоящее учебное пособие представляет собой вторую часть рабочего материала, 
входящего в состав программы курса «Квантовая механика и статистическая физика», 
изучаемых в бакалаврских направлениях подготовки 11.00.00 «Электроника, радиотехника 
и системы связи». В пособии изложены разделы квантовой механики, посвященные 
внешним воздействиям температуры и магнитных полей, а также образованию 
поверхностных и объёмных дефектов и их учёту в рассмотрениях изменений энергетических 
состояний, которые влияют на свойства некоторых материалов радиоэлектроники. 
Подробно рассмотрены теория сверхпроводимости металлов, образование и 
взаимодействие ряда квазичастиц: поверхностных поляритонов, спиновых волн, плазмонов 
и магнонов при указанных внешних воздействиях. В учебном пособии также 
имеются контрольные вопросы для проверки уровня освоения материала. 

Пособие предназначено для курсов, изучаемых в бакалаврских направлениях

подготовки 11.00.00 «Электроника, радиотехника и системы связи», но может быть использовано 
и для обучающихся на других направлениях. 

УДК 630.145:621.37/39(075.8) 

ББК 2.314я73

ISBN 978-5-9275-4259-8

© Южный федеральный университет, 2022
© Малышев И. В., Паршина Н. В., 2022
© Оформление. Макет. Издательство

Южного федерального университета, 2022

Содержание

3

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ ……………………………………………………………
5

1. ПОВЕДЕНИЕ ЭЛЕКТРОННОГО ГАЗА В УСЛОВИЯХ 
СЛАБЫХ И СИЛЬНЫХ МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ ……………….
6

1.1. Поведение электронного газа в слабых магнитных полях …..
6

1.2. Магнитные свойства электронного газа в условиях воздействия 
сильных полей ………………………………………………..
13

1.3. Понятия о квантовой ферми-жидкости и её элементарных 
электронных возбуждениях в металлах ……………………………
18

1.4. Экситоны связанных состояний (Ванье-Мотта) ……………...
30

2. МАГНИТОУПОРЯДОЧЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ 
КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ СТРУКТУР. МАГНОНЫ ………………..
38

2.1. Типы состояний магнитоупорядоченных твердотельных структур ……………………………………………………………………..

38

2.2. Магнитно-фазовые превращения. Молекулярное поле Вейсса
41

2.3. Спиновые гамильтонианы магнитоупорядоченных систем …
50

2.4. Спиновые волны и магноны в ферромагнетиках ……………..
54

2.5. Эффекты взаимодействия магнонов, теплоемкость магнон-
ного газа и статистические свойства ……………………………….
62

2.6. Поведение магнонов и спиновых волн в антиферромагнит-
ных материалах ……………………………………………………...
65

3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ И ФОНОНОВ 
В ОБЪЁМАХ КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ РЕШЁТОК ……………….
69

3.1. Применение в ковалентных кристаллах метода потенциала 
деформации …………………………………………………………
70

3.2. Взаимодействие электронов и фононов в объёмах ионных 
кристаллов …………………………………………………………..
77

3.3. Квантово-механическое представление сверхпроводимости
87

4. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ 
ВОЗБУЖДЕНИЙ С УЧЕТОМ ДЕФЕКТОВ СТРУКТУРЫ
КРИСТАЛЛОВ ………………………………………………………..
104

4.1. Классификация дефектов ………………………………………
104

Содержание

4

4.2.Участие точечных дефектов в изменениях спектральных ком-
понент элементарных возбуждений кристаллической структуры
121

4.3. Понятия о поверхностных элементарных энергетических 
квазичастицах. Плазмоны, фононы и магноны ……………………
139

4.4. Поверхностные поляритоны …………………………………..
154

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ………………………………………..
165

ЗАКЛЮЧЕНИЕ ……………………………………………………….
168

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ……………………………………………
169

Содержание

5

ВВЕДЕНИЕ

При исследованиях квантово-механических процессов в различных 

материалах, которые были проведены в первой части настоящего пособия,
были определены все возможные энергетические процессы, связанные с 
взаимодействием электронов и различных элементарных энергетических 
квазичастиц, а также определены их спектральные характеристики в рам-
ках различных типов кристаллических структур твёрдых тел.

В данном учебном пособии рассмотрены влияния температуры и

магнитных полей различной интенсивности на поведение электронного 
газа и взаимодействие электронов и фононов в объёме кристаллических ре-
шёток. При этом возникают новые спектральные компоненты, меняющие 
механизм электронных возбуждений.

Теоретические материалы, приведенные в настоящем учебном посо-

бии, основаны на представлении, описывающим различные типы возбуж-
дений в операторной форме.

В рамках этого представления рассмотрены изменения энергетиче-

ского спектра, которые появляются при образовании дефектов различной 
локализации. При учёте такого механизма будет меняться как зонная кар-
тина электронного спектра, так и диффузионная и ионная проводимости
в кристаллах с образованием новых энергетических квазичастиц: плазмо-
нов, поляритонов и магнонов. В данном пособии с позиции электрон-фо-
нонного взаимодействия представлена теория возникновения сверхпро-
водимости металлов.

1. Поведение электронного газа в условиях слабых и сильных магнитных полей

6

1. ПОВЕДЕНИЕ ЭЛЕКТРОННОГО ГАЗА В УСЛОВИЯХ 

СЛАБЫХ И СИЛЬНЫХ МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ

1.1. Поведение электронного газа в слабых магнитных полях

В условиях воздействия слабых магнитных полей уровень намагни-

ченности электронного газа будет определяться двумя независимыми со-
ставляющими. 

Первая – парамагнетизм Паули [1] – определяется собственным 

спиновым моментом электронов, называемой также парамагнитной намаг-
ниченностью.

Вторая составляющая – диамагнетизм Ландау [1] – зависит от кван-

тования в условиях магнитного поля орбитального движения электронов. 
Этот эффект называется диамагнитной намагниченностью. Надо отме-
тить, что первая из упомянутых составляющих, проявляющаяся как пара-
магнетизм свободных электронов в металлах, была исследована для элек-
тронной квантовой статистики распределения Ферми – Дирака. 

В предположении вырожденности электронного газа (kT ≪ εF) 

найдем его основные параметры – намагниченность и магнитную вос-
приимчивость.

Учитывая, что µ𝐵 = eħ /(2𝑚𝑒𝑐) – магнетон Бора, а также зная, что 

вектор 𝑠⃗ проекции на каждое направление магнитного поля равен ±1/2 ,  
можно найти для каждого электрона такого газа соотношение для спина ħ𝑠⃗
и магнитного момента 2µ𝐵𝑠⃗.

В условиях воздействия такого слабого магнитного поля будет иметь 

место возникновение полного магнитного момента, когда магнитные мо-
менты каждого электрона выстраиваются вдоль линий напряженности поля. 
Такой эффект называется парамагнетизмом Паули или спиновым парамаг-
нетизмом, который определяет первую из вышеперечисленных составляю-
щих, определяющих полную намагниченность электронного газа. 

А энергия взаимодействия самого магнитного поля с магнитным мо-

ментом электрона будет равна произведению –µ𝐵𝑠⃗𝐻⃗⃗⃗. 

Следовательно, направление спина электрона будет определяться от 

его ориентации относительно магнитного поля. Так в случае, когда спин 

1.1. Поведение электронного газа в слабых магнитных полях

7

электрона будет направлен вдоль магнитного поля, энергия такого элек-

трона определяется как (𝜀𝑘– µ𝐵𝐻⃗⃗⃗), в случае, когда его спин имеет направ-

ление противоположное полю, его энергия равна (𝜀𝑘+ µ𝐵𝐻⃗⃗⃗) (k – параметр, 
характеризующий энергетические состояния электронов, который называ-
ется квантовым числом) [1,2]. Однако в рассматриваемом распределении 
Ферми – Дирака само распределение энергии содержит параметр (𝜀𝑘 − 𝜇),
т.е. включает в себя химический потенциал.

Следовательно, появляется возможность не проводить расчёты из-

менения энергии под влиянием поля.  Вместо этого можно полагать, что 
для электронов со спином, сонаправленым с полем, химический потенциал 
будет равен (µ +µ𝐵H), а для электронов со спином противонаправленным 
полю, он равен (µ −µ𝐵H). В общем виде это можно записать как µ𝜎 = µ + 
+ 𝜎µ𝐵𝐻 с  σ = ±1.

Среди случаев большого канонического распределения газов квазича-

стиц квантовая статистика электронных газов с распределениями Ферми –
Дирака и Бозе – Эйнштейна являются частными случаями, входящими в та-
кое распределение. Поэтому в рамках таких распределений описания намаг-
ниченности электронов будут определяться согласно уравнению для удель-
ной намагниченности, определяемой рядом соотношений [1, 2]:

𝑀⃗⃗⃗ = −

1

𝑉 (

𝜕𝛺

𝜕𝐻⃗⃗⃗)

𝑇,𝑉,𝜇.
(1.1)

В этом соотношении большой термодинамический потенциал элек-

тронного газа Ω с энергией электрона 𝜀𝑘,𝜎 равен  

𝛺 = −𝑘𝐵𝑇 ∑
𝐼𝑛 (𝐼 + 𝑒

𝜇−𝜀𝑘,𝜎

𝑘𝐵𝑇 ) = −𝑘𝐵𝑇 ∑
(1 + 𝑒

𝜇𝜎−𝜀𝑘

𝑘𝐵𝑇 )
𝑘,𝜎
𝑘,𝜎
,     (1.2)

𝜀𝑘,𝜎 =

𝑝𝑘

2

2𝑚𝑒 − 𝜇𝐵𝐻𝜎,                                        (1.3)

где параметр 𝜀𝑘,𝜎 представляет собой энергию электрона во внешнем маг-
нитном поле. Вследствие того, что в условиях воздействия магнитного 
поля исключается двукратное вырождение энергетических состояний элек-
трона, то в соотношении (1.2) можно сделать некоторые упрощения.

Поскольку в (1.2) суммарный член определяется по квантовым со-

стояниям k, т.е. выполняется, так же как и для случая отсутствия магнит-
ного поля по отношению к электронному газу, то можно это соотношение 

1. Поведение электронного газа в условиях слабых и сильных магнитных полей

8

относительно Ω выразить как функцию для Ω0 – большого термодинамиче-
ского потенциала электронного газа согласно соотношению: 

Ω(𝜇, 𝐻) =

1

2 Ω0(𝜇 + 𝜇𝐵𝐻) +

1

2 Ω0(𝜇 − 𝜇𝐵𝐻).
(1.4)

Как известно, в слабых магнитных полях имеет место соотношение 

𝜇𝐵𝐻 << 𝑘𝐵𝑇 [2,3], в соответствии с чем можно, после разложения с огра-
ничением двумя членами, получить

Ω(𝜇, 𝐻) ≃ Ω0(𝜇) +

1

2 𝜇𝐵

2𝐻2 (

𝜕2Ω0
𝜕𝜇2 )

𝑇,𝑉

.
(1.5)

Уравнение для магнитной восприимчивости такой системы будет 

иметь вид 

𝑥 = (

𝜕𝑀

𝜕𝐻)

𝐻=0 =

𝜇𝐵

2

𝑉 (

𝜕𝑁𝑒
𝜕𝜇 )

𝑇,𝑉

,        
(1.6)

поскольку имеет место равенство применимое для общих термодинамиче-
ских соотношений 

(

𝜕Ω0
𝜕𝜇 )

𝑇,𝑉

= −𝑁𝑒,  
(1.7)

где 𝑁𝑒 – общее число частиц, входящих в электронной газ.

В соотношении (1.7) можно использовать соотношение [3]:

𝑁𝑒 = 8𝜋√2𝑉𝑚∗3

2

(2𝜋ħ)3
∫
𝜀

1
2𝑑𝜀

𝑒

𝜀−𝜇
𝑘𝑇 +1 = 8𝜋√2𝑉𝑚∗3

2

(2𝜋ħ)3

∞

0

{2𝜇

3
2

3 [1 + 𝜋2

8 (𝑘𝐵𝑇

𝜇 ) + ⋯ ]}

и использовать понятие средней плотности электронного газа Ne / V. После 
проведения операций дифференцирования этого соотношения по химиче-
скому потенциалу µ, магнитная восприимчивость системы примет вид 

𝑥 ≃

𝜇𝐵

2 (2𝑚)

3
2𝜇

1
2

2𝜋2ħ̅3
[1 −

𝜋2

24 (

𝑘𝑇

𝜇 )

2
].
(1.8)

Используя уравнение для сильно вырожденного электронного газа,

температурную зависимость химического потенциала µ можно записать [3]:

𝑥 ≃

𝜇𝐵

2 (2𝑚)

3
2𝜀𝐹

1
2

2𝜋2ħ̅3
[1 −

𝜋2

12 (

𝑘𝑇

𝜀𝐹)

2
] = 𝜇𝐵

2𝑔(𝜀𝐹) [1 −

𝜋2

12 (

𝑘𝑇

𝜀𝐹)

2
],
(1.9)

где плотность состояний электронного газа определяется как 

𝑔(𝜀) =

(2𝑚𝑒)

3
2

2𝜋2ħ̅3 𝜀

1
2.                 
(1.10)

1.1. Поведение электронного газа в слабых магнитных полях

9

Отсюда следует, что сильно вырожденный электронный газ в метал-

лах имеет очень малую (пренебрежимо малую) зависимость восприимчи-
вости от температуры, что позволяет достаточно точно полагать темпера-
турную независимость парамагнитной восприимчивости т.е.

𝑥 ≃ 𝜇𝐵

2𝑔(𝜀𝐹).
(1.11)

Из этого уравнения следует пропорциональность парамагнитной 

восприимчивости плотности состояний электронов,
находящихся на 

уровне Ферми.

Рассмотрим теперь диамагнитную восприимчивость второй из вы-

шеперечисленных компонент – намагниченность электронного газа в сла-
бых магнитных полях – диамагнитную компоненту Ландау.

Известно, что в магнитном поле электроны в металлах движутся по 

спиральным траекториям с созданием добавочного магнитного поля, име-
ющего направление, противоположное внешнему полю. Вследствие этого 
возникающий диамагнитный эффект будет определяться этим изменением 
орбитального движения электронов под воздействием внешнего магнит-
ного поля [4].

Можно доказать, что этот эффект будет отсутствовать в классиче-

ском приближении. Объяснение этого будет понятно после учёта вектор-

ного потенциала 𝐴⃗ и, согласно классической механике, замене импульса 

электрона 𝑝⃗ на обобщённый импульс 𝑃⃗⃗ = 𝑝⃗ −

𝑒

𝑐 𝐴⃗, после чего функция Га-

мильтона записывается как 

H = ∑
1

2𝑚 (𝑝⃗𝑖 −

𝑒

𝑐 𝐴⃗𝑖)2
𝑁𝑒
𝑖=1
.

Тогда в фазовом пространстве все термодинамические параметры 

будут представлены как интегральные функции в этом фазовом простран-
стве, вследствие чего в этом пространстве при интегрировании по импуль-
сам 𝑝⃗𝑖 можно  перейти к переменным интегрирования по обобщённым им-

пульсам 𝑃⃗⃗ = 𝑝⃗ − 

𝑒

𝑐 𝐴⃗𝑖.

После такого перехода термодинамические функции преобразуются 

в первоначальный вид в предположении отсутствия магнитного поля. По-
казано также [5], что вследствие того, что в магнитном поле имеет место 

1. Поведение электронного газа в условиях слабых и сильных магнитных полей

10

квантование уровней энергии электронов, то будет иметь место явление 
диамагнетизма, как результата такого квантования.

Также известно, что в магнитном поле, направленном вдоль оси z, 

когда H = Hz, Hx = Hy = 0, уровни энергии электрона будут определяться 
из соотношения  

𝜀𝑛,𝑝𝑧 =

𝑝𝑧2

2𝑚 + ħ𝜔𝑐 (𝑛 +

1

2),
(1.12)

где 𝑝𝑧 – импульс свободного электрона, сонаправленный с полем, который 
принимает непрерывный ряд значений в диапазоне от − ∞ до + ∞ при кван-
товом числе магнитного осциллятора n = 0, 1, 2, … и циклотронной частоте
колебаний 𝜔𝑐 = eH/(mc) = 2𝜇𝐵𝐻/ħ. Компоненты векторного потенциала 

𝐴⃗ (0, Hx, 0) определяют собой параметры поля 𝐻⃗⃗⃗ (0, 0, H). Тогда в магнит-
ном поле энергия электрона может быть записана в виде 

𝜀 =

𝑝𝑧2

2𝑚 +

𝑝𝑥2

2𝑚 +

(𝑝𝑦−𝑒𝑥𝐻

𝑐 )

2

2𝑚
=

𝑝𝑧2

2𝑚 +

𝑝𝑥2

2𝑚 +

𝑚𝜔𝑐2

2 (𝑥 − 𝑥0)2.        (1.13)

В этом равенстве сумма второго и третьего слагаемых представляет 

собой энергию гармонического линейного осциллятора, имеющего ча-
стоту 𝜔𝑐, у которого центр расположен в точке   x0 = cpy/eH. Отсюда сле-
дует, что энергия свободного электрона (1.12), получена как результат кан-
тования его стационарных состояний.  

Итак, получено, что наличие слабого магнитного поля введет к 

трансформации квазинепрерывного спектра энергетических состояний 
электрона (в отсутствии поля) в спектр уровней Ландау, которые располо-
жены на расстоянии ħ𝜔𝑐 ∼ H (эквидистантный спектр).

Эти уровни относятся к категории многократно вырожденных, 

вследствие чего при каждом значении n на интервале 𝑑𝑝𝑧 число состояний 
определяется величиной [6]

2

𝑉𝑒𝐻

(2𝜋ħ)2𝑐 𝑑𝑝𝑧.
(1.14)

В этом соотношении учтены оба направления спина (множитель 2) 

(dΓ = 2

𝑑𝑦𝑑𝑧

2𝜋ħ 𝑑𝑝𝑦𝑑𝑝𝑧 = 2

𝑉𝑒𝐻

(2𝜋ħ)2𝑐 𝑑𝑝𝑧 с учетом того, что из выражения для по-

ложения центра осциллятора x0 справедливо 𝑑𝑝𝑦 = 

𝑒𝐻

𝑐 𝑑𝑥e).

1.1. Поведение электронного газа в слабых магнитных полях

11

Большой термодинамический потенциал электронного газа в слабом 

магнитном поле Ω определяется как [2]

𝛺 = −𝑘𝐵𝑇 ∑
2

𝑉𝑒𝐻

(2𝜋𝐻̅)2𝑐 ∫
𝑑𝑝𝑧𝐼𝑛 (1 + 𝑒

𝜇−𝜖𝑛,𝑝𝑧

𝑘𝐵𝑇 ) .

+∞
−∞

∞
𝑛=0
(1.15)

Это соотношение после введения функции f

𝑓 = −

𝑘𝐵𝑇𝑚𝑉

2𝜋2ℎ̅3 ∫
𝐼𝑛 [1 + 𝑒𝑥𝑝 (

𝜇

𝑘𝑇 −

𝑝𝑧2

2𝑚)] 𝑑𝑝𝑧

∞
−∞
,
(1.16)

может быть записано как 

𝛺 = 2𝜇𝐵𝐻 ∑
𝑓
∞
𝑛=0
[𝜇 − (𝑛 +

1

2) 2𝜇𝐵𝐻].
(1.17)

Известна формула Эйлера – Маклорена для операций суммирования:

∑
𝑓 (𝑛 +

1

2)
∞
𝑛=0
≃ ∫
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 +

1

24 𝑓(0).
́
∞
0
(1.18)

Применим её для соотношения (1.16). 
Поскольку в нашем случае имеет место условие 𝜇𝐵𝐻 << 𝑘𝐵𝑇, то 

применимость соотношения (1.18) заключается в том, что на одном шаге 
n → (n + 1) функция f  будет мало изменяться. 

Применение (1.18) в сумме (1.16) даст уравнение для большого тер-

модинамического потенциала в виде 

Ω = 2𝜇𝐵𝐻 ∫ 𝑓

∞

0

(𝜇 − 2𝜇𝐵𝐻𝑥)𝑑𝑥 + 2𝜇𝐵𝐻

24

𝜕𝑓(𝜇 − 2𝑥𝜇𝐵𝐻)

𝜕𝑥
|𝑥=0

=

= ∫
𝑓(𝑦)𝑑𝑦 −

(2𝜇𝐵𝐻)2

24

𝜕𝑓(𝜇)

𝜕𝜇
= 𝛺0(𝜇) −

1

6 𝜇𝐵

2𝐻2 𝜕2𝛺0(𝜇)

𝜕𝜇2
.

𝜇
−∞
(1.19)

Очевидно первое слагаемое представляет собой термодинамический 

потенциал Ω0(𝜇) (в отсутствии поля).

Запишем его в виде 

𝛺 = 𝛺0(𝜇) −

1

6 𝜇𝐵

2𝐻2 𝜕2𝛺0(𝜇)

𝜕𝜇2 .
(1.20)

Диамагнитная составляющая восприимчивости получается по ана-

логии с парамагнитной составляющей:  

𝑥𝑑𝑖𝑎𝑚 = −

1

𝑉

𝜕2𝛺

𝜕𝐻2 =

𝜇𝐵

2

3𝑉

𝜕2𝛺0
𝜕𝜇2 ≃ −

𝜇𝐵

2

3 𝑔(𝜀𝐹) [1 −

𝜋2

12 (

𝑘𝐵𝑇

𝜀𝐹 )

2
].
(1.21)

1. Поведение электронного газа в условиях слабых и сильных магнитных полей

12

Откуда диамагнитную восприимчивость можно приближено запи-

сать в виде 

𝑋𝑑𝑖𝑎𝑚 ≃ −

𝜇2𝐵

3 𝑔(𝜀𝐹) =

1

3 𝑋𝑝𝑎𝑟 .  
(1.22)

Следствием полученных соотношений является то, что диамагнит-

ная восприимчивость в три раза меньше парамагнитной восприимчивости 
для случая свободного электронного газа. 

Тогда, когда этот электронный газ является вырожденным, он оказы-

вается парамагнитным и его магнитная восприимчивость определяется как 

𝑋 = 𝑋𝑝𝑎𝑟 + 𝑋𝑑𝑖𝑎𝑚 =

2

3 𝑋𝑝𝑎𝑟 .           
(1.23)

В связи с тем, что электронный энергетический спектр металла от-

личается от спектра идеального газа, то в природе может существовать 
большое число диамагнитных металлов.

Таким образом, масса электрона mе заменяется на эффективную 

массу m∗ вследствие того, что поле кристалла будет переопределять энер-
гетический спектр электрона (в простейшем случае − изотропного спектра 

𝜀𝑘 = 

ħ2𝒌2

2𝑚∗. Следовательно, перенос заряда электрона должен учитывать ве-

личину эффективной массы 𝑚∗.

При этом величина параметра 𝜇𝐵, входящая в диамагнитную и пара-

магнитную восприимчивости (1.22) и (1.23) 𝑋𝑑𝑖𝑎𝑚 и 𝑋𝑝𝑎𝑟 будут разли-
чаться в этих соотношениях. Так для парамагнитной восприимчивости бо-
ровский магнетон  𝜇𝐵 будет учитывать массу свободного электрона mе. А в 
диамагнитной восприимчивости 𝑋𝑑𝑖𝑎𝑚 будет содержаться параметр 𝜇𝐵 = 
= eħ / (2𝑚∗𝑐), зависящий от орбитального движения электрона. В послед-
нем случае мы имеем дело с эффективной массой 𝑚∗. Этот же параметр 
входит в состав плотности состояний g(εF).

Следовательно, справедливо равенство, которое может быть больше 1:

𝑋𝑑𝑖𝑎𝑚

𝑋𝑝𝑎𝑟 =

1

3 (

𝑚𝑒
𝑚∗)

2

.                                      (1.24)

Реальная модель, на самом деле, должна учитывать при расчёте диа-

магнитных параметров также вклад виртуальных переходов из глубоких 
электронных состояний в зону проводимости, что получило название по-
ляризационных эффектов.