Влияние внешних воздействий на квантово-механические процессы в материалах радиоэлектроники

Содержание

1

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное

образовательное учреждение высшего образования
«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Инженерно-технологическая академия

И. В. МАЛЫШЕВ

Н. В. ПАРШИНА

ВЛИЯНИЕ ВНЕШНИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ

НА КВАНТОВО-МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ 

В МАТЕРИАЛАХ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Учебное пособие

Ростов-на-Дону – Таганрог

Издательство Южного федерального университета

2022

УДК 630.145:621.37/39(075.8) 
ББК 2.314я73

М207
Печатается по решению кафедры радиотехнической электроники

и наноэлектроники Института нанотехнологий, электроники 

и приборостроения Южного федерального университета

(протокол № 10 от 10 июня 2022 г.)

Рецензенты:

кандидат технических наук, начальник НТЦ АО «Калугаприбор»

И. В. Бессонов

кандидат физико-математических наук, заведующий кафедрой физики

Института нанотехнологий, электроники и приборостроения 

Южного федерального университета А. Б. Колпачев

Малышев, И. В.

М207
Влияние внешних воздействий на квантово-механические процессы 

в материалах радиоэлектроники : учебное пособие / И. В. Малышев,
Н. В. Паршина ; Южный федеральный университет. – Ростов-на-Дону ; Таганрог : Издательство Южного федерального университета, 2022. – 171 с.

ISBN 978-5-9275-4259-8
Настоящее учебное пособие представляет собой вторую часть рабочего матери
ала, входящего в состав программы курса «Квантовая механика и статистическая физика», изучаемых в бакалаврских направлениях подготовки 11.00.00 «Электроника, радиотехника и системы связи». В пособии изложены разделы квантовой механики, посвященные внешним воздействиям температуры и магнитных полей, а также образованию поверхностных и объёмных дефектов и их учёту в рассмотрениях изменений энергетических состояний, которые влияют на свойства некоторых материалов радиоэлектроники. Подробно рассмотрены теория сверхпроводимости металлов, образование и 
взаимодействие ряда квазичастиц: поверхностных поляритонов, спиновых волн, плазмонов и магнонов при указанных внешних воздействиях. В учебном пособии также 
имеются контрольные вопросы для проверки уровня освоения материала. 

Пособие предназначено для курсов, изучаемых в бакалаврских направлениях

подготовки 11.00.00 «Электроника, радиотехника и системы связи», но может быть использовано и для обучающихся на других направлениях. 

УДК 630.145:621.37/39(075.8) 

ББК 2.314я73

ISBN 978-5-9275-4259-8

© Южный федеральный университет, 2022
© Малышев И. В., Паршина Н. В., 2022
© Оформление. Макет. Издательство

Южного федерального университета, 2022

Содержание

3

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ ……………………………………………………………
5

1. ПОВЕДЕНИЕ ЭЛЕКТРОННОГО ГАЗА В УСЛОВИЯХ 
СЛАБЫХ И СИЛЬНЫХ МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ ……………….
6

1.1. Поведение электронного газа в слабых магнитных полях …..
6

1.2. Магнитные свойства электронного газа в условиях воздействия сильных полей ………………………………………………..
13

1.3. Понятия о квантовой ферми-жидкости и её элементарных 
электронных возбуждениях в металлах ……………………………
18

1.4. Экситоны связанных состояний (Ванье-Мотта) ……………...
30

2. МАГНИТОУПОРЯДОЧЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ 
КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ СТРУКТУР. МАГНОНЫ ………………..
38

2.1. Типы состояний магнитоупорядоченных твердотельных структур ……………………………………………………………………..
38

2.2. Магнитно-фазовые превращения. Молекулярное поле Вейсса
41

2.3. Спиновые гамильтонианы магнитоупорядоченных систем …
50

2.4. Спиновые волны и магноны в ферромагнетиках ……………..
54

2.5. Эффекты взаимодействия магнонов, теплоемкость магнонного газа и статистические свойства ……………………………….
62

2.6. Поведение магнонов и спиновых волн в антиферромагнитных материалах ……………………………………………………...
65

3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ И ФОНОНОВ 
В ОБЪЁМАХ КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ РЕШЁТОК ……………….
69

3.1. Применение в ковалентных кристаллах метода потенциала 
деформации …………………………………………………………
70

3.2. Взаимодействие электронов и фононов в объёмах ионных 
кристаллов …………………………………………………………..
77

3.3. Квантово-механическое представление сверхпроводимости
87

4. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ 
ВОЗБУЖДЕНИЙ С УЧЕТОМ ДЕФЕКТОВ СТРУКТУРЫ
КРИСТАЛЛОВ ………………………………………………………..
104

4.1. Классификация дефектов ………………………………………
104

Содержание

4

4.2.Участие точечных дефектов в изменениях спектральных компонент элементарных возбуждений кристаллической структуры
121

4.3. Понятия о поверхностных элементарных энергетических 
квазичастицах. Плазмоны, фононы и магноны ……………………
139

4.4. Поверхностные поляритоны …………………………………..
154

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ………………………………………..
165

ЗАКЛЮЧЕНИЕ ……………………………………………………….
168

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ……………………………………………
169

Содержание

5

ВВЕДЕНИЕ

При исследованиях квантово-механических процессов в различных 

материалах, которые были проведены в первой части настоящего пособия,
были определены все возможные энергетические процессы, связанные с 
взаимодействием электронов и различных элементарных энергетических 
квазичастиц, а также определены их спектральные характеристики в рамках различных типов кристаллических структур твёрдых тел.

В данном учебном пособии рассмотрены влияния температуры и

магнитных полей различной интенсивности на поведение электронного 
газа и взаимодействие электронов и фононов в объёме кристаллических решёток. При этом возникают новые спектральные компоненты, меняющие 
механизм электронных возбуждений.

Теоретические материалы, приведенные в настоящем учебном посо
бии, основаны на представлении, описывающим различные типы возбуждений в операторной форме.

В рамках этого представления рассмотрены изменения энергетиче
ского спектра, которые появляются при образовании дефектов различной 
локализации. При учёте такого механизма будет меняться как зонная картина электронного спектра, так и диффузионная и ионная проводимости
в кристаллах с образованием новых энергетических квазичастиц: плазмонов, поляритонов и магнонов. В данном пособии с позиции электрон-фононного взаимодействия представлена теория возникновения сверхпроводимости металлов.

1. Поведение электронного газа в условиях слабых и сильных магнитных полей

6

1. ПОВЕДЕНИЕ ЭЛЕКТРОННОГО ГАЗА В УСЛОВИЯХ 

СЛАБЫХ И СИЛЬНЫХ МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ

1.1. Поведение электронного газа в слабых магнитных полях

В условиях воздействия слабых магнитных полей уровень намагни
ченности электронного газа будет определяться двумя независимыми составляющими. 

Первая – парамагнетизм Паули [1] – определяется собственным 

спиновым моментом электронов, называемой также парамагнитной намагниченностью.

Вторая составляющая – диамагнетизм Ландау [1] – зависит от кван
тования в условиях магнитного поля орбитального движения электронов. 
Этот эффект называется диамагнитной намагниченностью. Надо отметить, что первая из упомянутых составляющих, проявляющаяся как парамагнетизм свободных электронов в металлах, была исследована для электронной квантовой статистики распределения Ферми – Дирака. 

В предположении вырожденности электронного газа (kT ≪ εF) 

найдем его основные параметры – намагниченность и магнитную восприимчивость.

Учитывая, что µ𝐵 = eħ /(2𝑚𝑒𝑐) – магнетон Бора, а также зная, что 

вектор 𝑠⃗ проекции на каждое направление магнитного поля равен ±1/2 ,  
можно найти для каждого электрона такого газа соотношение для спина ħ𝑠⃗
и магнитного момента 2µ𝐵𝑠⃗.

В условиях воздействия такого слабого магнитного поля будет иметь 

место возникновение полного магнитного момента, когда магнитные моменты каждого электрона выстраиваются вдоль линий напряженности поля. 
Такой эффект называется парамагнетизмом Паули или спиновым парамагнетизмом, который определяет первую из вышеперечисленных составляющих, определяющих полную намагниченность электронного газа. 

А энергия взаимодействия самого магнитного поля с магнитным мо
ментом электрона будет равна произведению –µ𝐵𝑠⃗𝐻⃗⃗⃗. 

Следовательно, направление спина электрона будет определяться от 

его ориентации относительно магнитного поля. Так в случае, когда спин 

1.1. Поведение электронного газа в слабых магнитных полях

7

электрона будет направлен вдоль магнитного поля, энергия такого элек
трона определяется как (𝜀𝑘– µ𝐵𝐻⃗⃗⃗), в случае, когда его спин имеет направ
ление противоположное полю, его энергия равна (𝜀𝑘+ µ𝐵𝐻⃗⃗⃗) (k – параметр, 
характеризующий энергетические состояния электронов, который называется квантовым числом) [1,2]. Однако в рассматриваемом распределении 
Ферми – Дирака само распределение энергии содержит параметр (𝜀𝑘 − 𝜇),
т.е. включает в себя химический потенциал.

Следовательно, появляется возможность не проводить расчёты из
менения энергии под влиянием поля.  Вместо этого можно полагать, что 
для электронов со спином, сонаправленым с полем, химический потенциал 
будет равен (µ +µ𝐵H), а для электронов со спином противонаправленным 
полю, он равен (µ −µ𝐵H). В общем виде это можно записать как µ𝜎 = µ + 
+ 𝜎µ𝐵𝐻 с  σ = ±1.

Среди случаев большого канонического распределения газов квазича
стиц квантовая статистика электронных газов с распределениями Ферми –
Дирака и Бозе – Эйнштейна являются частными случаями, входящими в такое распределение. Поэтому в рамках таких распределений описания намагниченности электронов будут определяться согласно уравнению для удельной намагниченности, определяемой рядом соотношений [1, 2]:

𝑀⃗⃗⃗ = −

1

𝑉 (

𝜕𝛺

𝜕𝐻⃗⃗⃗)

𝑇,𝑉,𝜇.
(1.1)

В этом соотношении большой термодинамический потенциал элек
тронного газа Ω с энергией электрона 𝜀𝑘,𝜎 равен  

𝛺 = −𝑘𝐵𝑇 ∑
𝐼𝑛 (𝐼 + 𝑒

𝜇−𝜀𝑘,𝜎

𝑘𝐵𝑇 ) = −𝑘𝐵𝑇 ∑
(1 + 𝑒

𝜇𝜎−𝜀𝑘

𝑘𝐵𝑇 )
𝑘,𝜎
𝑘,𝜎
,     (1.2)

𝜀𝑘,𝜎 =

𝑝𝑘

2

2𝑚𝑒 − 𝜇𝐵𝐻𝜎,                                        (1.3)

где параметр 𝜀𝑘,𝜎 представляет собой энергию электрона во внешнем магнитном поле. Вследствие того, что в условиях воздействия магнитного 
поля исключается двукратное вырождение энергетических состояний электрона, то в соотношении (1.2) можно сделать некоторые упрощения.

Поскольку в (1.2) суммарный член определяется по квантовым со
стояниям k, т.е. выполняется, так же как и для случая отсутствия магнитного поля по отношению к электронному газу, то можно это соотношение 

1. Поведение электронного газа в условиях слабых и сильных магнитных полей

8

относительно Ω выразить как функцию для Ω0 – большого термодинамического потенциала электронного газа согласно соотношению: 

Ω(𝜇, 𝐻) =

1

2 Ω0(𝜇 + 𝜇𝐵𝐻) +

1

2 Ω0(𝜇 − 𝜇𝐵𝐻).
(1.4)

Как известно, в слабых магнитных полях имеет место соотношение 

𝜇𝐵𝐻 << 𝑘𝐵𝑇 [2,3], в соответствии с чем можно, после разложения с ограничением двумя членами, получить

Ω(𝜇, 𝐻) ≃ Ω0(𝜇) +

1

2 𝜇𝐵

2𝐻2 (

𝜕2Ω0
𝜕𝜇2 )

𝑇,𝑉

.
(1.5)

Уравнение для магнитной восприимчивости такой системы будет 

иметь вид 

𝑥 = (

𝜕𝑀

𝜕𝐻)

𝐻=0 =

𝜇𝐵

2

𝑉 (

𝜕𝑁𝑒
𝜕𝜇 )

𝑇,𝑉

,        
(1.6)

поскольку имеет место равенство применимое для общих термодинамических соотношений 

(

𝜕Ω0
𝜕𝜇 )

𝑇,𝑉

= −𝑁𝑒,  
(1.7)

где 𝑁𝑒 – общее число частиц, входящих в электронной газ.

В соотношении (1.7) можно использовать соотношение [3]:

𝑁𝑒 = 8𝜋√2𝑉𝑚∗3

2

(2𝜋ħ)3
∫
𝜀

1
2𝑑𝜀

𝑒

𝜀−𝜇
𝑘𝑇 +1 = 8𝜋√2𝑉𝑚∗3

2

(2𝜋ħ)3

∞

0

{2𝜇

3
2

3 [1 + 𝜋2

8 (𝑘𝐵𝑇

𝜇 ) + ⋯ ]}

и использовать понятие средней плотности электронного газа Ne / V. После 
проведения операций дифференцирования этого соотношения по химическому потенциалу µ, магнитная восприимчивость системы примет вид 

𝑥 ≃

𝜇𝐵

2 (2𝑚)

3
2𝜇

1
2

2𝜋2ħ̅3
[1 −

𝜋2

24 (

𝑘𝑇

𝜇 )

2
].
(1.8)

Используя уравнение для сильно вырожденного электронного газа,

температурную зависимость химического потенциала µ можно записать [3]:

𝑥 ≃

𝜇𝐵

2 (2𝑚)

3
2𝜀𝐹

1
2

2𝜋2ħ̅3
[1 −

𝜋2

12 (

𝑘𝑇

𝜀𝐹)

2
] = 𝜇𝐵

2𝑔(𝜀𝐹) [1 −

𝜋2

12 (

𝑘𝑇

𝜀𝐹)

2
],
(1.9)

где плотность состояний электронного газа определяется как 

𝑔(𝜀) =

(2𝑚𝑒)

3
2

2𝜋2ħ̅3 𝜀

1
2.                 
(1.10)

1.1. Поведение электронного газа в слабых магнитных полях

9

Отсюда следует, что сильно вырожденный электронный газ в метал
лах имеет очень малую (пренебрежимо малую) зависимость восприимчивости от температуры, что позволяет достаточно точно полагать температурную независимость парамагнитной восприимчивости т.е.

𝑥 ≃ 𝜇𝐵

2𝑔(𝜀𝐹).
(1.11)

Из этого уравнения следует пропорциональность парамагнитной 

восприимчивости плотности состояний электронов,
находящихся на 

уровне Ферми.

Рассмотрим теперь диамагнитную восприимчивость второй из вы
шеперечисленных компонент – намагниченность электронного газа в слабых магнитных полях – диамагнитную компоненту Ландау.

Известно, что в магнитном поле электроны в металлах движутся по 

спиральным траекториям с созданием добавочного магнитного поля, имеющего направление, противоположное внешнему полю. Вследствие этого 
возникающий диамагнитный эффект будет определяться этим изменением 
орбитального движения электронов под воздействием внешнего магнитного поля [4].

Можно доказать, что этот эффект будет отсутствовать в классиче
ском приближении. Объяснение этого будет понятно после учёта вектор
ного потенциала 𝐴⃗ и, согласно классической механике, замене импульса 

электрона 𝑝⃗ на обобщённый импульс 𝑃⃗⃗ = 𝑝⃗ −

𝑒

𝑐 𝐴⃗, после чего функция Га
мильтона записывается как 

H = ∑
1

2𝑚 (𝑝⃗𝑖 −

𝑒

𝑐 𝐴⃗𝑖)2
𝑁𝑒
𝑖=1
.

Тогда в фазовом пространстве все термодинамические параметры 

будут представлены как интегральные функции в этом фазовом пространстве, вследствие чего в этом пространстве при интегрировании по импульсам 𝑝⃗𝑖 можно  перейти к переменным интегрирования по обобщённым им
пульсам 𝑃⃗⃗ = 𝑝⃗ − 

𝑒

𝑐 𝐴⃗𝑖.

После такого перехода термодинамические функции преобразуются 

в первоначальный вид в предположении отсутствия магнитного поля. Показано также [5], что вследствие того, что в магнитном поле имеет место 

1. Поведение электронного газа в условиях слабых и сильных магнитных полей

10

квантование уровней энергии электронов, то будет иметь место явление 
диамагнетизма, как результата такого квантования.

Также известно, что в магнитном поле, направленном вдоль оси z, 

когда H = Hz, Hx = Hy = 0, уровни энергии электрона будут определяться 
из соотношения  

𝜀𝑛,𝑝𝑧 =

𝑝𝑧2

2𝑚 + ħ𝜔𝑐 (𝑛 +

1

2),
(1.12)

где 𝑝𝑧 – импульс свободного электрона, сонаправленный с полем, который 
принимает непрерывный ряд значений в диапазоне от − ∞ до + ∞ при квантовом числе магнитного осциллятора n = 0, 1, 2, … и циклотронной частоте
колебаний 𝜔𝑐 = eH/(mc) = 2𝜇𝐵𝐻/ħ. Компоненты векторного потенциала 

𝐴⃗ (0, Hx, 0) определяют собой параметры поля 𝐻⃗⃗⃗ (0, 0, H). Тогда в магнитном поле энергия электрона может быть записана в виде 

𝜀 =

𝑝𝑧2

2𝑚 +

𝑝𝑥2

2𝑚 +

(𝑝𝑦−𝑒𝑥𝐻

𝑐 )

2

2𝑚
=

𝑝𝑧2

2𝑚 +

𝑝𝑥2

2𝑚 +

𝑚𝜔𝑐2

2 (𝑥 − 𝑥0)2.        (1.13)

В этом равенстве сумма второго и третьего слагаемых представляет 

собой энергию гармонического линейного осциллятора, имеющего частоту 𝜔𝑐, у которого центр расположен в точке   x0 = cpy/eH. Отсюда следует, что энергия свободного электрона (1.12), получена как результат кантования его стационарных состояний.  

Итак, получено, что наличие слабого магнитного поля введет к 

трансформации квазинепрерывного спектра энергетических состояний 
электрона (в отсутствии поля) в спектр уровней Ландау, которые расположены на расстоянии ħ𝜔𝑐 ∼ H (эквидистантный спектр).

Эти уровни относятся к категории многократно вырожденных, 

вследствие чего при каждом значении n на интервале 𝑑𝑝𝑧 число состояний 
определяется величиной [6]

2

𝑉𝑒𝐻

(2𝜋ħ)2𝑐 𝑑𝑝𝑧.
(1.14)

В этом соотношении учтены оба направления спина (множитель 2) 

(dΓ = 2

𝑑𝑦𝑑𝑧

2𝜋ħ 𝑑𝑝𝑦𝑑𝑝𝑧 = 2

𝑉𝑒𝐻

(2𝜋ħ)2𝑐 𝑑𝑝𝑧 с учетом того, что из выражения для по
ложения центра осциллятора x0 справедливо 𝑑𝑝𝑦 = 

𝑒𝐻

𝑐 𝑑𝑥e).