Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Непрерывная математика: теория и практика. Неопределенные и определенные интегралы, несобственные интегралы, числовые ряды, функции нескольких переменных, дифференциальные уравнения

Покупка
Основная коллекция
Артикул: 806350.01.99
Доступ онлайн
343 ₽
В корзину
В учебнике освещены темы второй половины курса «Непрерывная математика»: неопределенные и определенные интегралы, несобственные интегралы, числовые ряды, функции нескольких переменных, дифференциальные уравнения. Материал построен так, чтобы максимально облегчить студентам его изучение: сначала излагаются теоретические сведения, затем рассматриваются многочисленные примеры, демонстрирующие различные виды задач и методы их решения. Для студентов бакалавриата, обучающихся по направлению подготовки 02.03.02 «Фундаментальная информатика и информационные технологии».
Абрамян, А. В. Непрерывная математика: теория и практика. Неопределенные и определенные интегралы, несобственные интегралы, числовые ряды, функции нескольких переменных, дифференциальные уравнения : учебник / А. В. Абрамян ; Южный федеральный университет. - Ростов-на-Дону ; Таганрог : Издательство Южного федерального университета, 2022. - 264 с. - ISBN 978-5-9275-4250-5. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/2039099 (дата обращения: 16.05.2024). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.
 

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 
Федеральное государственное автономное образовательное  
учреждение высшего образования 
«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» 
 
 

 

 

 
А. В. Абрамян 

 
НЕПРЕРЫВНАЯ 
МАТЕМАТИКА: 
ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА 

 

 
Неопределенные и определенные интегралы, 
несобственные интегралы, числовые ряды, 
функции нескольких переменных, 
дифференциальные уравнения 

 
Учебник 

 

 

 
Ростов-на-Дону – Таганрог 
Издательство Южного федерального университета 
2022 

 

УДК 004.9:51(0875.8) 
ББК 32.97+22.161.6я73 
    А16  
 
Печатается по решению редакционно-издательского совета  
Института математики, механики и компьютерных наук им. И. И. Воровича  
Южного федерального университета (протокол № 5 от 18 мая 2022 г.) 
 
Р е ц е н з е н ты :  
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры  
информатики и вычислительного эксперимента  
Института математики, механики и компьютерных наук им. И. И. Воровича  
Южного федерального университета А. А. Зеленина 

 
доктор физико-математических наук, профессор кафедры 
«Прикладная математика» Южно-Российского государственного 
университета им. И. М. Платова А. Э. Пасенчук 
          

 
         Абрамян, А. В. 
А16 
 
Непрерывная математика: теория и практика. Неопределенные 
и определенные интегралы, несобственные интегралы, числовые 
ряды, функции нескольких переменных, дифференциальные 
уравнения : учебник / А. В. Абрамян ; Южный федеральный уни-
верситет.  Ростов-на-Дону ; Таганрог : Издательство Южного фе-
дерального университета, 2022.  264 с. 
ISBN 978-5-9275-4250-5 
  
В учебнике освещены темы второй половины курса «Непрерывная мате-
матика»: неопределенные и определенные интегралы, несобственные инте-
гралы, числовые ряды, функции нескольких переменных, дифференциальные 
уравнения. Материал построен так, чтобы максимально облегчить студентам 
его изучение: сначала излагаются теоретические сведения, затем рассматри-
ваются многочисленные примеры, демонстрирующие различные виды задач 
и методы их решения. 
Для студентов бакалавриата, обучающихся по направлению подготовки 
02.03.02 «Фундаментальная информатика и информационные технологии». 
 
УДК 004.9:51(0875.8) 
ББК 32.97+22.161.6я73 
ISBN 978-5-9275-4250-5 
© Абрамян А. В., 2022 
© Южный федеральный университет, 2022 
 

 

 

 

Оглавление 

 

Предисловие .......................................................................................................... 6 

Глава 1. Неопределенные интегралы ............................................................... 8 

1.1. Основные определения ............................................................................. 8 

1.2. Замена переменной под знаком интеграла ........................................... 14 

1.3. Интегрирование по частям ..................................................................... 25 

1.4. Интегрирование рациональной функции .............................................. 32 

1.4.1. Определение рациональной функции .............................................. 32 

1.4.2. Метод неопределенных коэффициентов.......................................... 33 

1.4.3. Интегрирование простых рациональных дробей ............................ 36 

1.4.4. Интегрирование рациональных функций общего вида .................. 42 

1.5. Рациональные функции нескольких переменных ................................ 57 

1.6. Интегрирование иррациональных функций ......................................... 58 

1.6.1. Подстановки Эйлера .......................................................................... 58 

1.6.2. Интеграл от дифференциального бинома ........................................ 70 

1.6.3. Разные примеры на интегрирование функций ................................ 80 

1.7. Интегрирование тригонометрических функций .................................. 83 

1.7.1. Интегралы от произведения тригонометрических функций ......... 83 

1.7.2. Интеграл от рациональной функции R(sin x, cos x) ........................ 84 

Глава 2. Определенные и несобственные интегралы ................................... 90 

2.1. Методы вычисления определенных интегралов .................................. 90 

2.2. Несобственные интегралы 1 рода .......................................................... 97 

2.3. Несобственные интегралы 2 рода ........................................................ 102 

Глава 3. Приложения определенного интеграла ......................................... 107 

3.1. Площадь фигуры ................................................................................... 107 

А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика 

3.1.1. Площадь фигуры, ограниченной кривыми, заданными  

в декартовых координатах ........................................................................ 107 

3.1.2. Площадь фигуры, ограниченной кривыми, заданными 

параметрическими уравнениями .............................................................. 113 

3.1.3. Площадь фигуры, ограниченной кривыми, заданными  

в полярных координатах ........................................................................... 116 

3.2. Длина дуги кривой ................................................................................ 118 

3.2.1. Длина дуги кривой, заданной в декартовых координатах ........... 118 

3.2.2. Длина дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями 121 

3.2.3. Длина дуги кривой, заданной в полярных координатах .............. 123 

Глава 4. Числовые ряды ................................................................................ 126 

4.1. Основные определения и теоремы ...................................................... 126 

4.2. Знакопостоянные числовые ряды ....................................................... 129 

4.3. Знакочередующиеся числовые ряды .................................................. 140 

4.4. Числовые ряды с произвольными членами ........................................ 143 

Глава 5. Функции нескольких переменных ................................................ 148 

5.1. Понятие функции нескольких переменных ....................................... 148 

5.2. Предел функции. Непрерывные функции .......................................... 148 

5.3. Частные производные ........................................................................... 150 

5.4. Дифференцируемые функции .............................................................. 153 

5.5. Экстремум функции нескольких переменных ................................... 154 

5.5.1. Достаточное условие экстремума функции .................................. 155 

5.5.2. Наибольшее и наименьшее значение функции ............................ 163 

5.5.3. Условный экстремум функции ....................................................... 166 

5.5.4. Метод множителей Лагранжа ......................................................... 168 

Глава 6. Дифференциальные уравнения ..................................................... 176 

6.1. Уравнения с разделяющимися переменными .................................... 177 

Оглавление 
 
5 

6.2. Уравнение вида ����′ = ����(�������� + �������� + ����), ���� ≠ 0, ���� ≠ 0 .......................... 181 

6.3. Однородные уравнения ......................................................................... 185 

6.4. Уравнение, сводящееся к однородному .............................................. 190 

6.5. Метод вариации произвольной постоянной ....................................... 201 

6.6. Уравнение Бернулли ............................................................................. 206 

6.7. Уравнение в полных дифференциалах.  

Интегрирующий множитель ....................................................................... 216 

6.8. Линейные однородные уравнения  

с постоянными коэффициентами ................................................................ 230 

6.9. Метод вариации произвольных постоянных для линейных 

неоднородных уравнений ............................................................................ 233 

6.10. Линейные уравнения с правой частью специального вида ............ 245 

Глава 7. Справочные сведения ..................................................................... 258 

7.1. Таблица интегралов ............................................................................... 258 

7.2. Интегрирование тригонометрических функций ................................ 258 

7.2.1. Тригонометрические формулы ....................................................... 258 

7.2.2. Замена в интеграле от рациональной функции R(sin x, cos x) ..... 259 

7.3. Интегрирование иррациональных функций ....................................... 259 

7.3.1. Подстановки Эйлера ........................................................................ 259 

7.3.2. Интеграл от дифференциального бинома ...................................... 260 

Литература ......................................................................................................... 261 

 

 

Предисловие 

В учебнике дается краткое описание теоретического материала по 

изучаемым разделам курса, приведены и подробно разобраны примеры, 

иллюстрирующие различные виды задач и методы их решения. Учебник 

содержит иллюстрации. 

Обширный набор примеров, включенных в учебник, дает возможность 

читателю изучить различные приемы решения задач по каждой теме. Для 

ряда примеров приводится несколько вариантов их решения. Теоретическая 
часть основана на материале из учебников [1, 4, 5, 7, 8]. Часть формулировок 
примеров была взята из классических задачников [2, 3, 6]. 

Учебник состоит из 7 глав. В главе 1 вводится понятие неопределенного 
интеграла и рассматриваются различные методы вычисления неопределенных 
интегралов. В главе 2 вводится понятие определенного и несобственного 
интеграла и рассматриваются различные методы их вычисления. 

Глава 3 знакомит читателя с приложениями определенных интегралов. 

Приводятся примеры вычисления площади, ограниченной кривыми, и 

длины дуги кривой, заданной уравнением в декартовых координатах, параметрическими 
уравнениями и уравнением в полярных координатах. В 

главе 4 вводится понятие числового ряда, формулируются признаки сходимости 
числовых рядов и приводятся примеры исследования сходимости 

числовых рядов. Глава 5 посвящена исследованию на экстремум функций 

нескольких переменных. В главе 6 вводится понятие дифференциального 

уравнения, рассматриваются различные типы дифференциальных уравнений 
и методы их решения. Глава 7 содержит справочные сведения, необходимые 
при изучении рассматриваемых разделов курса. 

Оглавление 
 
7 

Предлагаемый учебник призван помочь студентам направления подготовки 
02.03.02 «Фундаментальная информатика и информационные технологии» 
в изучении практической части курса «Непрерывная математика» 

за второй семестр. 

 

 

Глава 1. Неопределенные интегралы 

1.1.  Основные определения 

Определение. Пусть функции ���� и ���� определены на некотором про-

межутке ����. Функцию ���� называют первообразной функции ���� на промежутке 

����, если функция ���� дифференцируема в каждой точке промежутка ���� и для 

всех ���� ∈ ���� выполняется равенство ����′(����) = ����(����). 

Теорема (достаточное условие существования первообразной). 

Непрерывная на промежутке функция имеет на этом промежутке первооб-

разную. 

Теорема. Пусть функция ���� непрерывна на промежутке ����, функция ���� 

является первообразной ���� на промежутке ����. Тогда для любого веществен-

ного числа ���� ∈ ℝ функция ���� + ���� также является первообразной функции ���� 

на промежутке ���� и любая первообразная функции ���� на ���� может быть пред-

ставлена в виде ���� + ���� для некоторого ���� ∈ ℝ. 

Определение. Пусть функция ���� непрерывна на промежутке ����, функ-

ция ���� — первообразная ���� на ����. Множество всех первообразных функции ���� 

на промежутке ���� называют неопределенным интегралом от функции ���� на 

промежутке ����, обозначают ∫ ����(����)�������� и пишут: 

����(����) �������� = ����(����) + ����,     ���� ∈ ℝ. 

Свойства неопределенного интеграла: 

1) 
���� ∙ ����(����) �������� = ���� ∙ ����(����) ��������; 

2) 
(����(����) ± ����(����)) �������� = ����(����) �������� ± ����(����) ��������. 

 

Глава 1. Неопределенные интегралы 
 
9 

Из таблицы производных элементарных функций получаем таблицу 

интегралов: 

0 ∙ �������� = ����; 
1 ∙ �������� = �������� = ���� + ����; 

�������� �������� = ��������+1

���� + 1 + ����,   ���� ≠ −1; 
��������

���� = ln|����| + ����; 

�������� �������� = ��������

ln ���� + ����, ���� > 0, ���� ≠ 1; 
�������� �������� = �������� + ����; 

��������

1 + ����2 = arctg ���� + ����; 
��������

√1 − ����2 = arcsin ���� + ����; 

��������

����2 ± 1

= ln ���� + ����2 ± 1+ ����; 
��������

1 − ����2 = 1

2 ln 1 + ����

1 − ����+ ����; 

sin ���� �������� = − cos ���� + ����; 
cos ���� �������� = sin ���� + ����; 

��������

cos2 ���� = tg ���� + ����; 
��������

sin2 ���� = − ctg ���� + ����. 

Пример 1.1.1. Вычислить интеграл  

(3����2 + 1)��������. 

Решение. Разложим интеграл в сумму интегралов, используем свой-

ства неопределенного интеграла и следующие формулы из таблицы инте-

гралов 

�������� �������� = ��������+1

���� + 1 + ����,   ���� ≠ −1, 

1 ∙ �������� = �������� = ���� + ����, 

получим 

(3����2 + 1)�������� = 

= 3 ����2 �������� + �������� = 

А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика 

= 3 ∙ ����3

3 + ���� + ���� = ����3 + ���� + ����. 

Пример 1.1.2. Вычислить интеграл  

(1 − ����)3��������. 

Решение. Воспользуемся формулой сокращенного умножения 

(���� − ����)3 = ����3 − 3����2���� + 3��������2 − ����3, 

разложим интеграл в сумму интегралов и используем следующие формулы 

из таблицы интегралов 

�������� �������� = ��������+1

���� + 1 + ����,   ���� ≠ −1, 

1 ∙ �������� = �������� = ���� + ����, 

получим 

(1 − ����)3�������� = 

= (1 − 3���� + 3����2 − ����3) �������� = 

= �������� − 3 ���� �������� + 3 ����2 �������� − ����3 �������� = 

= ���� − 3
2 ����2 + ����3 − 1
4 ����4 + ����. 

Пример 1.1.3. Вычислить интеграл  

����2 + √���� + 1

√����3
��������. 

Решение. Разделим почленно числитель на знаменатель: 

����2 + √���� + 1

√����3
�������� = ����

1
2 + ����−1 + ����−3
2�������� = 

= ����

1
2 �������� + ��������
���� + ����−3
2 ��������. 

Глава 1. Неопределенные интегралы 
 
11 

Используем следующие формулы из таблицы интегралов 

�������� �������� = ��������+1

���� + 1 + ����,   ���� ≠ −1,  

��������
���� = ln|����| + ����, 

находим 

����2 + √���� + 1

√����3
�������� = ����3/2

3/2 + ln|����| + ����−1/2

−1/2 + ���� = 

= 2
3 ����3 + ln|����| − 2

√���� + ����.  

Пример 1.1.4. Вычислить интеграл  

���� − 1
������������3 ��������. 

Решение. Преобразуем выражение под знаком интеграла: 

���� − 1
������������3 �������� = 

= ���� − 1
��������5/4 �������� = 

= ����9/4 − ����1/4�������� = 

= 4
13 ����13/4 − 4
5 ����5/4 + ����. 

Пример 1.1.5. Вычислить интеграл  

√1 + ����2 + √1 − ����2

√1 − ����4
��������. 

Решение. Разделим числитель на знаменатель. С учетом формулы 

для разности квадратов и приведенных ниже формул из таблицы интегра-

лов 

��������

√1 − ����2 = arcsin ���� + ����,  

А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика 

��������

√����2 + 1

= ln ���� + ����2 + 1+ ���� 

получаем 

√1 + ����2 + √1 − ����2

√1 − ����4
�������� = 

= √1 + ����2 + √1 − ����2

√1 − ����2 ∙ √1 + ����2 �������� = 

= ��������

√1 − ����2 + ��������

√1 + ����2 = 

= arcsin ���� + ln ���� + 1 + ����2+ ����. 

Пример 1.1.6. Вычислить интеграл  

(3���� + 5����)2 ��������. 

Решение. Используя формулу сокращенного умножения  

(���� + ����)2 = ����2 + 2�������� + ����2 

и формулу из таблицы интегралов 

�������� �������� = ��������

ln ���� + ����, 

получаем 

(3���� + 5����)2 �������� = 

= (9���� + 2 ∙ 15���� + 25����) �������� = 

= 9����

ln 9 + 2 ∙ 15����

ln 15 + 25����

ln 25 + ����. 

Пример 1.1.7. Вычислить интеграл  

2����+1 + 3����−2

5����
��������. 

Решение. Разделим почленно числитель на знаменатель, имеем 

Глава 1. Неопределенные интегралы 
 
13 

2����+1 + 3����−2

5����
�������� = 

= 2 ∙ 2����

5���� + 1
9 ∙ 3����

5������������ = 

= 2 2
5����
�������� + 1
9 3
5����
�������� = 

= 2
2

5����

ln
2

5

+ 1
9 ∙
3

5����

ln
3

5

+ ����. 

Пример 1.1.8. Вычислить интеграл  

√1 + sin 2���� ��������. 

Решение. С учетом основного тригонометрического тождества  

sin2 ���� + cos2 ���� = 1 

и формулы синуса двойного угла  

sin 2���� = 2 sin ���� cos ���� 

получаем 

√1 + sin 2���� �������� = 

= sin2 ���� + cos2 ���� + 2 sin ���� cos ���� �������� = 

= (sin ���� + cos ����)2 �������� = 

= |sin ���� + cos ����| ��������. 

Далее, с учетом формулы  

|����| = ���� ∙ sign ����, 

находим 

√1 + sin 2���� �������� = 

Доступ онлайн
343 ₽
В корзину