Непрерывная математика: теория и практика. Неопределенные и определенные интегралы, несобственные интегралы, числовые ряды, функции нескольких переменных, дифференциальные уравнения

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования
«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»





А. В. Абрамян

Непрерывная математика: ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА
Неопределенные и определенные интегралы, несобственные интегралы, числовые ряды, функции нескольких переменных, дифференциальные уравнения
Учебник




Ростов-на-Дону - Таганрог
Издательство Южного федерального университета 2022

УДК 004.9:51(0875.8)
ББК 32.97+22.161.6я73
  А16

Печатается по решению редакционно-издательского совета Института математики, механики и компьютерных наук им. И. И. Воровича Южного федерального университета (протокол № 5 от 18 мая 2022 г.)

Рецензенты:
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры информатики и вычислительного эксперимента
Института математики, механики и компьютерных наук им. И. И. Воровича Южного федерального университета А. А. Зеленина
          доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Прикладная математика» Южно-Российского государственного
университета им. И. М. Платова А. Э. Пасенчук


          Абрамян, А. В.
  А16 Непрерывная математика: теория и практика. Неопределенные и определенные интегралы, несобственные интегралы, числовые ряды, функции нескольких переменных, дифференциальные уравнения : учебник / А. В. Абрамян ; Южный федеральный университет. - Ростов-на-Дону ; Таганрог : Издательство Южного федерального университета, 2022. - 264 с.
          ISBN 978-5-9275-4250-5

     В учебнике освещены темы второй половины курса «Непрерывная математика»: неопределенные и определенные интегралы, несобственные интегралы, числовые ряды, функции нескольких переменных, дифференциальные уравнения. Материал построен так, чтобы максимально облегчить студентам его изучение: сначала излагаются теоретические сведения, затем рассматриваются многочисленные примеры, демонстрирующие различные виды задач и методы их решения.
     Для студентов бакалавриата, обучающихся по направлению подготовки 02.03.02 «Фундаментальная информатика и информационные технологии».

УДК 004.9:51(0875.8)
                                              ББК 32.97+22.161.6я73 ISBN 978-5-9275-4250-5
© Абрамян А. В., 2022
© Южный федеральный университет, 2022

                Оглавление





Предисловие......................................................6
Глава 1. Неопределенные интегралы ...............................8
  1.1. Основные определения .....................................8
  1.2. Замена переменной под знаком интеграла ..................14
  1.3. Интегрирование по частям ................................25
  1.4. Интегрирование рациональной функции......................32
   1.4.1. Определение рациональной функции .....................32
   1.4.2. Метод неопределенных коэффициентов....................33
   1.4.3. Интегрирование простых рациональных дробей............36
   1.4.4. Интегрирование рациональных функций общего вида.......42
  1.5. Рациональные функции нескольких переменных...............57
  1.6. Интегрирование иррациональных функций ...................58
   1.6.1. Подстановки Эйлера ...................................58
   1.6.2. Интеграл от дифференциального бинома..................70
   1.6.3. Разные примеры на интегрирование функций .............80
  1.7. Интегрирование тригонометрических функций ...............83
   1.7.1. Интегралы от произведения тригонометрических функций .83
   1.7.2. Интеграл от рациональной функции R(sin x, cos x) ....84
Глава 2. Определенные и несобственные интегралы ................90
  2.1. Методы вычисления определенных интегралов ...............90
  2.2. Несобственные интегралы 1 рода...........................97
  2.3. Несобственные интегралы 2 рода..........................102
Глава 3. Приложения определенного интеграла....................107
  3.1. Площадь фигуры .........................................107

А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика

   3.1.1. Площадь фигуры, ограниченной кривыми, заданными в декартовых координатах ............................... 107
   3.1.2. Площадь фигуры, ограниченной кривыми, заданными параметрическими уравнениями ........................... 113
   3.1.3. Площадь фигуры, ограниченной кривыми, заданными в полярных координатах ................................. 116
  3.2. Длина дуги кривой................................... 118
   3.2.1. Длина дуги кривой, заданной в декартовых координатах. 118
   3.2.2. Длина дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями 121
   3.2.3. Длина дуги кривой, заданной в полярных координатах... 123
Глава 4. Числовые ряды .................................... 126
  4.1. Основные определения и теоремы ..................... 126
  4.2. Знакопостоянные числовые ряды ...................... 129
  4.3. Знакочередующиеся числовые ряды .................... 140
  4.4. Числовые ряды с произвольными членами............... 143
Глава 5. Функции нескольких переменных .................... 148
  5.1. Понятие функции нескольких переменных .............. 148
  5.2. Предел функции. Непрерывные функции ................ 148
  5.3. Частные производные................................. 150
  5.4. Дифференцируемые функции............................ 153
  5.5. Экстремум функции нескольких переменных............. 154
   5.5.1. Достаточное условие экстремума функции .......... 155
   5.5.2. Наибольшее и наименьшее значение функции ........ 163
   5.5.3. Условный экстремум функции....................... 166
   5.5.4. Метод множителей Лагранжа........................ 168
Глава 6. Дифференциальные уравнения ....................... 176
  6.1. Уравнения с разделяющимися переменными ............. 177

Оглавление

5

  6.2. Уравнение вида у' = F(ax + by + с), а Ф 0, b Ф 0.......181
  6.3. Однородные уравнения...................................185
  6.4. Уравнение, сводящееся к однородному....................190
  6.5. Метод вариации произвольной постоянной ................201
  6.6. Уравнение Бернулли ....................................206
  6.7. Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель ....................................216
  6.8. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами................................230
  6.9. Метод вариации произвольных постоянных для линейных неоднородных уравнений .....................................233
  6.10. Линейные уравнения с правой частью специального вида .245
Глава 7. Справочные сведения .................................258
  7.1. Таблица интегралов.....................................258
  7.2. Интегрирование тригонометрических функций .............258
   7.2.1. Тригонометрические формулы .........................258
   7.2.2. Замена в интеграле от рациональной функции R(sin x, cos x) .259
  7.3. Интегрирование иррациональных функций .................259
   7.3.1. Подстановки Эйлера .................................259
   7.3.2. Интеграл от дифференциального бинома................260
Литература....................................................261

                Предисловие





    В учебнике дается краткое описание теоретического материала по изучаемым разделам курса, приведены и подробно разобраны примеры, иллюстрирующие различные виды задач и методы их решения. Учебник содержит иллюстрации.
    Обширный набор примеров, включенных в учебник, дает возможность читателю изучить различные приемы решения задач по каждой теме. Для ряда примеров приводится несколько вариантов их решения. Теоретическая часть основана на материале из учебников [1, 4, 5, 7, 8]. Часть формулировок примеров была взята из классических задачников [2, 3, 6].
    Учебник состоит из 7 глав. В главе 1 вводится понятие неопределенного интеграла и рассматриваются различные методы вычисления неопределенных интегралов. В главе 2 вводится понятие определенного и несобственного интеграла и рассматриваются различные методы их вычисления. Глава 3 знакомит читателя с приложениями определенных интегралов. Приводятся примеры вычисления площади, ограниченной кривыми, и длины дуги кривой, заданной уравнением в декартовых координатах, параметрическими уравнениями и уравнением в полярных координатах. В главе 4 вводится понятие числового ряда, формулируются признаки сходимости числовых рядов и приводятся примеры исследования сходимости числовых рядов. Глава 5 посвящена исследованию на экстремум функций нескольких переменных. В главе 6 вводится понятие дифференциального уравнения, рассматриваются различные типы дифференциальных уравнений и методы их решения. Глава 7 содержит справочные сведения, необходимые при изучении рассматриваемых разделов курса.

Оглавление

7

    Предлагаемый учебник призван помочь студентам направления подготовки 02.03.02 «Фундаментальная информатика и информационные технологии» в изучении практической части курса «Непрерывная математика» за второй семестр.

                Глава 1. Неопределенные интегралы





            1.1. Основные определения


     Определение. Пусть функции f и F определены на некотором промежутке I. Функцию F называют первообразной функции f на промежутке /, если функция F дифференцируема в каждой точке промежутка I и для всех хЕ1 выполняется равенство F'(x) = f(x).
     Теорема (достаточное условие существования первообразной). Непрерывная на промежутке функция имеет на этом промежутке первооб

разную.
     Теорема. Пусть функция f непрерывна на промежутке I, функция F является первообразной f на промежутке I. Тогда для любого вещественного числа С £ R функция F + С также является первообразной функции f на промежутке I и любая первообразная функции f на I может быть пред

ставлена в виде F + С для некоторого С £ R.
      Определение. Пусть функция f непрерывна на промежутке I, функция F — первообразная f на I. Множество всех первообразных функции f

на промежутке I называют неопределенным интегралом от функции f на промежутке I, обозначают f f(x)dx и пишут:

        J f(x) dx = F(x) + С, С £ R

     Свойства неопределенного интеграла:

        1)  J С • f(x) dx = С • J f(x) dx;
        2)  J(f(x) ± g(x)) dx = J f(x) dx ± J g(x) dx.

Глава 1. Неопределенные интегралы

9

     Из таблицы производных элементарных функций получаем таблицу

интегралов:

J 0 • dx = C;

        %a+1
xa dx =-------+ С, а Ф —1;
        a + 1

J 1 • dx = J dx = x + C;
f dx
I — = ln|x| + C;
J x

J

J

ах dx = ----+ С, а >0, а Ф 1;
        ln а

J ехdx =

ех + С;

  dx
! + ■ = arctg * + C;

h.

dx

х² ± 1

= ln |х + ^х² ± 11 + С;

Г dx
J V1 — x²
[ dx
J 1—~

= arcsin х + С;

1
= 2lⁿ

|1 + *1
It—d⁺c;

J

—

J sin x dx = — cos x + C;
J dx₂ = tgx + c;
C cos² x

J cos x dx = sin x + C;
J ~~~~ = — ctg x + c.
J sin²X

     Пример 1.1.1. Вычислить интеграл

J (3х² + 1)dx.

      Решение. Разложим интеграл в сумму интегралов, используем свой

ства неопределенного интеграла и следующие формулы из таблицы инте

гралов

                 Г     xa⁺¹
I xa dx =----+ С, а Ф —1,
J      a+1     ’       ’

J 1 • dx = J dx = x + C,

получим


J(3х² + 1)dx =

= 3 J х² dx + J dx =

А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика


                      = 3 • — + х + С = х³ + х + С.


     Пример 1.1.2. Вычислить интеграл

    J (1 — x^dx.


     Решение. Воспользуемся формулой сокращенного умножения

        (а — b)³ = а³ — 3a²b + 3аЬ² — Ь³,


разложим интеграл в сумму интегралов и используем следующие формулы

из таблицы интегралов


                 Г     ха⁺¹
                 I ха dx =---+ С, at —1,

    J      а+1    ,        ,

    J 1 • dx = J dx = х + С,


получим


    J (1 — x)³dx =

                   = J (1 — 3х + 3х² — х³) dx =
        = J dx — 3 J xdx + 3 J x² dx — J x³ dx =

    = x — ^ x² + x³ — 4 x⁴ + c.


     Пример 1.1.3. Вычислить интеграл


J


                                          =-----dx.
                                          з


      Решение. Разделим почленно числитель на знаменатель:


х² + \Гх + 1

J

3


        dx = J ^X2 + x ¹ + x 2^dx =

        fl      [dx _ _з
        = I x?dx + I---+ lx 2 dx.