Математические модели систем пневмоавтоматики

                Математические модели систем пневмоавтоматики




Допущено Учебно-методическим объединением вузов по университетскому политехническому образованию в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению «Гидравлическая, вакуумная и компрессорная техника» специальности «Гидромашины, гидроприводы и гидропневмоавтоматика»







Москва 2009

УДК 62-522(075.8)
ББК 32.965.2

   М34





Рецензенты', канд. техн, наук, проф. В.И. Голубев', д-р техн, наук, проф. В. С. Сидоренко





         Математические модели систем пневмоавтомаМ34 тики: Учеб, пособие / Ю.Л. Арзуманов, Е.М. Халатов, В.И. Чекмазов, К.П. Чуканов. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009. - 296 с.: ил.


            ISBN 978-5-7038-3196-0

            Изложены основы построения математического описания функционирования систем пневмоавтоматики. Приведены методики анализа простейших устройств пневмоавтоматики, иллюстрированные решением числовых примеров и задач. Построены совокупности математических моделей различного уровня идеализации, которые лежат в основе проектировочных расчетов систем пневмоавтоматики.
            Для студентов вузов, изучающих методы анализа и синтеза систем пневмоавтоматики.





                                                      УДК 62-522(075.8)
                                                      ББК 32.965.2







                                  © Арзуманов Ю.Л., Халатов Е.М., Чекмазов В.И., Чуканов К.П., 2009

ISBN 978-5-7038-3196-0

                                    © Оформление. Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009

ОГЛАВЛЕНИЕ


Предисловие......................................................... 5
Введение............................................................ 6
1. Основы математического описания функционирования тепломеханических систем................................................... 8
   1.1. Понятие рабочего тела тепломеханической системы............. 8
   1.2. Уравнение состояния......................................... 9
   1.3. Определение калорических параметров идеального газа........ 17
   1.4. Определение калорических параметров реальных газов......... 21
   1.5. Адиабатический процесс..................................... 27
   1.6. Скорость звука в газе...................................... 30
   1.7. Краткие сведения из термодинамики парожидкостной среды..... 33
   1.8. Уравнения движения газа.................................... 35
   1.9. Математическое описание процессов в термической подсистеме. 40
   1.10. Определение коэффициентов теплоотдачи..................... 43
   Библиографический обзор......................................... 48
   Список литературы............................................... 49
2.  Модели процессов в элементах термодинамической подсистемы...... 51
   2.1. Элементы термодинамической подсистемы...................... 51
   2.2. Математическая модель процессов в элементе типа «простая полость»........................................................  53
   2.3. Математическая модель процессов в элементе типа «сложная полость»......................................................... 62
   2.4. Математическая модель процессов в смесителе газов.......... 65
   2.5. Уравнения движения рабочего тела в элементе типа «канал»... 67
   2.6. Течение идеального газа по короткому каналу................ 69
   2.7. Течение реальных газов по короткому каналу................. 78
   2.8. Течение парожидкостной среды по короткому каналу........... 82
   2.9. Математическая модель процессов в трубопроводе............. 85
   Библиографический обзор......................................... 87
   Список литературы.............................................   88
3.  Анализ характеристик простейших устройств пневмоавтоматики..... 89
   3.1. Общие положения............................................ 89
   3.2. Полость постоянного объема с регулируемыми подводом и отводом газа........................................................... 89
   3.3. Последовательность проточных полостей..................... 106
   3.4. Наполнение полости постоянного объема через отверстие постоянной площади................................................... 116
   3.5. Опорожнение полости постоянного объема через отверстие постоянной площади................................................... 121
   3.6. Привод одностороннего действия............................ 128
   3.7. Пневматический тормоз...................................... 135
   3.8. Устройство пироавтоматики.................................. 139

3

Оглавление

  3.9. Длинный трубопровод с дросселем........................... 145
  3.10. Длинный секционный трубопровод.............................. 152
  3.11. Длинный разветвленный трубопровод........................ 161
  Библиографический обзор........................................ 165
  Список литературы.............................................. 167
4.  Построение математических моделей газовой силовой системы управления.......................................................... 168
  4.1. Общие положения........................................... 168
  4.2. Газовая силовая система управления........................ 169
  4.3. Полная динамическая модель энергетической подсистемы...... 172
   4.4. Декомпозиция полной динамической модели энергетической подсистемы....................................................... 180
  4.5. Модель процессов в термической подсистеме.................... 182
  4.6. Модель «быстрых» движений.................................... 185
  4.7. Установившийся режим работы силового газового привода........ 187
  4.8.  Линейные динамические модели газового привода............... 197
   4.9. Линейные модели газового привода с газораспределителем закрытого типа..................................................... 218
  Библиографический обзор........................................ 229
  Список литературы.............................................. 229
5. Построение математических моделей  линии газоснабжения........ 231
  5.1. Линия газоснабжения....................................... 231
   5.2. Нелинейная математическая модель функционирования линии газоснабжения..................................................... 233
  5.3. Особенности декомпозиции полной модели линии газоснабжения... 241
   5.4. Математические модели для анализа точности системы регулирования давления.................................................. 244
   5.5. Математические модели для оценки устойчивости установившихся режимов работы системы регулирования давления................. 260
   5.6. Математические модели для расчета параметров газобаллонного источника питания..................................... 267
  Библиографический обзор........................................ 275
  Список литературы.............................................. 276
6. Экспериментальное определение параметров устройств пневмоавтоматики............................................................ 278
  6.1. Общие положения........................................... 278
  6.2. Методика экспериментального определения коэффициента расхода. 279
   6.3. Экспериментальное определение параметров силового газового привода....................................................... 282
   6.4. Экспериментальное определение параметров трения на подвижных частях пневматического редуктора давления..................... 289
  Библиографический обзор........................................ 295
  Список литературы.............................................  295

ПРЕДИСЛОВИЕ


    Системы пневмоавтоматики - это обширный класс технических устройств, многие из которых имеют достаточно сложную структуру и выполняют разнообразные функции в различных технологических процессах. Современные методы проектирования сложных технических устройств базируются на математических моделях высокого уровня и реализуются средствами вычислительной техники.
    Вопросам расчета и проектирования различных устройств пневмоавтоматики посвящено много научных статей, монографий и диссертаций. В то же время очень мало такой учебной литературы, которая не была бы привязана к какому-либо конкретному подклассу устройств и в которой были бы приведены общие подходы к вопросам анализа и синтеза устройств пневмоавтоматики. Пытаясь восполнить этот недостаток, авторы настоящей книги выпустили в 2002 г. учебное пособие «Основы построения математических моделей систем пневмоавтоматики», которое обобщает результаты ряда научных работ и содержание немногочисленной учебной литературы. Однако оно охватывает лишь самые общие вопросы построения математических моделей устройств пневмоавтоматики.
    Предлагаемая книга включает в себя материалы упомянутого выше пособия, которые подверглись небольшой методической переработке. В нее добавлены две новые главы 4 и 5, иллюстрирующие процесс построения систем математических моделей для проектирования конкретных устройств пневмоавтоматики, а также глава 6, посвященная методам экспериментального определения некоторых параметров устройств пневмоавтоматики.

5

ВВЕДЕНИЕ


    В различных отраслях техники широко применяют технические устройства пневмоавтоматики, реализующие свои функции при взаимодействии газообразного рабочего тела с механической подсистемой: системы автоматического регулирования давления газа; системы пироавтоматики автоматических ствольных систем вооружения; газовые силовые системы, управляющие рулевыми органами ракет; автоматические пневмоприводы робототехнических систем и т. п. В ряде работ эти устройства названы тепломеханическими системами (ТМС). Этот термин, не получивший пока широкого распространения, достаточно удачен для выделения определенного класса технических устройств, в который входит большинство элементов, агрегатов и систем пневмоавтоматики.
    Отметим две характерные особенности этих устройств, выделяющие их как отдельную разновидность динамических систем. Термодинамические процессы в рабочем теле и механическое движение твердых тел в ТМС взаимосвязаны, поэтому их раздельное рассмотрение невозможно. В некоторых ТМС температура рабочего тела значительно отличается от температуры окружающей среды. На характеристики таких ТМС существенно влияет теплообмен, а потому в математическую модель функционирования такого объекта включают описание во времени процессов нагрева или охлаждения элементов конструкции, т. е. описание процессов в еще одной подсистеме, которую в дальнейшем будем называть термической. Таким образом, первая отличительная особенность ТМС - наличие следующих подсистем: термодинамической (рабочего тела), механической и термической. Процессы в этих подсистемах взаимосвязаны, и при функционировании ТМС между ними существует обмен энергиями.
    Вторая особенность этих систем состоит в том, что ТМС в процессе работы выполняет некоторую управляющую функцию, для реализации которой фазовые координаты (переменные) системы должны изменяться во времени по заданному закону с определенной точностью. Обе эти особенности важны при решении вопросов построения математических моделей технических устройств и выборе методов их анализа и синтеза.
    Цель теории ТМС как инженерной науки - разработка методов проектирования технических устройств. Данной цели подчинены все разделы этой дисциплины: методы построения математических моделей, методы анализа и синтеза, методы испытаний.

6

Введение

    Тепломеханическая система как особый класс динамических систем включает в себя устройства, различные по назначению, мощности и условиям применения. Было бы нереально ставить задачу построения такой теории, которая давала бы общие методы проектирования для всего класса ТМС. Очевидно, при постановке задач проектирования должны учитываться конкретные особенности определенных разновидностей ТМС. В настоящей книге авторы ограничиваются лишь первым разделом теории ТМС - методами построения математических моделей. В то же время с учетом основной цели этой теории авторы рассматривают модели, обеспечивающие проектировочные расчеты, и модели, адаптированные для решения задач синтеза.
    Не отдавая предпочтение какой-либо одной определенной разновидности ТМС, авторы стремились в данной книге достаточно широко подойти к проблеме построения моделей, предложить читателю методы, позволяющие создавать математические модели функционирования самых разнообразных устройств, составляющих класс ТМС. Для этого рассмотрен широкий спектр модельных представлений процессов в этих устройствах при различных уровнях идеализации, что даст читателю возможность сформировать удовлетворительную по точности математическую модель, соответствующую особенностям конкретного устройства.
    Сложные технические устройства, какими во многих случаях являются ТМС, обычно проектируются по принципу асимптотического формирования облика системы. При этом на ранних этапах проектировочных расчетов методы выбора параметров объекта строятся на основе весьма простых и не очень точных моделей. Результаты начального выбора параметров в дальнейшем уточняются с использованием математических моделей более высокого уровня. В книге на конкретных примерах показаны приемы построения систем математических моделей, обеспечивающих реализацию такого проектировочного процесса.
    В основе математического описания процессов в рассматриваемых объектах лежат физические законы термо- и газодинамики, механики, теории теплопередачи. Некоторые сведения из этих дисциплин при необходимости приведены в настоящей книге. Авторы полагают, что наличие множества учебников и учебных пособий по перечисленным дисциплинам избавляет их от необходимости подробного изложения этого материала.

1. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ТЕПЛОМЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ



    1.1. Понятие рабочего тела тепломеханической системы

    Рабочим телом тепломеханической системы (ТМС) называют макроскопическое тело (обычно - газ, реже - парожидкостная среда), которое выделяется с помощью контрольной поверхности и находится во взаимодействии с окружающей средой (атмосферой). Контрольная поверхность - это условное понятие. Она может геометрически совпадать с некоторой реальной поверхностью (например, с поверхностью стенки резервуара, содержащего рабочее тело). Контрольная поверхность может быть подвижной и неподвижной, может допускать теплообмен с окружающей средой или быть адиабатической. Рабочее тело может обмениваться веществом с окружающей средой (открытая термодинамическая система), или такой обмен может отсутствовать (закрытая термодинамическая система).
    Состояние рабочего тела определяется совокупностью ряда параметров, которые подразделяются на экстенсивные и интенсивные. Экстенсивные параметры (объем W, занимаемый рабочим телом, и его масса т) зависят от количества вещества. Интенсивные параметры (давление р, температура Т, плотность р, удельный объем w) не зависят от количества вещества.
    Если при изоляции термодинамической системы от воздействия окружающей среды параметры ее состояния не меняются, то такое состояние является равновесным. Если внутри контрольной поверхности химический состав и физические свойства системы повсюду одинаковы, то такая система называется однородной (гомогенной).
    Различаются термические и калорические параметры рабочего тела. К термическим относятся давление р, объем W, температу

8

1.2. Уравнение состояния

pa Т, к калорическим - энтропия S, внутренняя энергия U, энтальпия I = U + pW. Если параметр отнесен к единице массы вещества, то его называют удельным (удельные объем w, внутренняя энергия и, энтальпия i и т. д.).

1.2. Уравнение состояния

    Если однородное рабочее тело находится в равновесном состоянии, то его параметры р, Т, w связаны термическим уравнением состояния
Ф(р, Т, w) = 0.                  (1.1)

    В пространстве р - w - Т уравнение (1.1) воспроизводит некоторую поверхность, называемую термодинамической или поверхностью состояния. В рамках термодинамического подхода найти аналитическое выражение для зависимости (1.1) невозможно. Уравнение состояния можно получить на основе экспериментальных данных или установить теоретически на основе кинетической теории газов. Практически используемые аналитические выражения для уравнения состояния воспроизводят уравнение (1.1) с той или иной точностью, в тех или иных диапазонах значений параметров р, Т, w.
    Если объем молекул пренебрежимо мал по сравнению с объемом, занимаемым рабочим телом, а силами взаимодействия между молекулами можно пренебречь, то в качестве термического уравнения состояния применяют зависимость

pw = RT.                      (1.2)
Здесь R - газовая постоянная, равная

Л = —,                        (1.3)
В
ГТ Ж
где 7?₀ - универсальная газовая постоянная, RQ = 8314,2-----;
кмоль-К
Ц - молекулярная масса газа.


9

1. Основы математического описания функционирования систем

    Зависимость (1.2) называют уравнением состояния Клапейрона, а газ, подчиняющийся этому уравнению, - идеальным.
    Физический смысл газовой постоянной - это механическая работа, совершаемая одним килограммом идеального газа при нагреве его на один градус в изобарическом процессе. Эта величина считается константой, не зависящей от давления и температуры.
    Допущение об идеальности рабочего тела является общепринятым при описании функционирования достаточно широкого класса устройств пневмоавтоматики. Это допущение не ведет к существенным погрешностям расчетов при решении многих инженерных задач, позволяя получать простые математические зависимости.
    Часто на практике рабочее тело представляет собой не однокомпонентный газ, а смесь газов. Смесь идеальных газов ведет себя в целом как идеальный газ и подчиняется уравнению состояния Клапейрона (1.2). Под величиной молекулярной массы смеси газов при определении газовой постоянной по формуле (1.3) понимают условную величину цсм, относящуюся к такому однородному газу, у которого число молекул и их масса в фиксированном объеме равны числу и массе молекул смеси газов. Значение цсм определяется по формуле


Нем

1

(1-4)




где - молекулярные массы компонентов смеси; gₜ - массовые т,
доли компонентов смеси, g; =----—.

i=l


    Если концентрации компонентов смеси заданы не массовыми, а объемными долями, то


п

/=1

(1-5)


10