Математические модели механики и электродинамики сплошной среды

Математическое моделирование в технике и в технологии

        Математическое моделирование в технике и в технологии



        Редакционный совет серии

Председатель, главный редактор
И.Б. ФЕДОРОВ

Сопредседатели:
Ю.П. ПОПОВ
В.А. СКИБИН

Заместитель председателя и главного редактора
В.С. ЗАРУБИН

Ученый секретарь
Г.Н. КУВЫРКИН

Члены редакционного совета:
М.П. ГАЛАНИН
А.Г. ГРИГОРЬЯНЦ
В.Л. ДАНИЛОВ
А.В. МАНЖИРОВ
И.П. НОРЕНКОВ
Ю.М. ТЕМИС

В.С. Зарубин, Г.Н. Кувыркин



Математические модели механики и электродинамики сплошной среды






Москва 2008

УДК 517.958(075.8)
ББК 22.25
     3-35

Рецензенты', д-р физ.-мат. наук, проф. В.Н. Кукуцжанов;
д-р техн, наук, проф. К.И. Романов

      Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н.
3-35 Математические модели механики и электродинамики сплошной среды. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008. - 512 с.: ил. (Математическое моделирование в технике и в технологии).
          ISBN 978-5-7038-3162-5

          В книге изложен материал, определяющий теоретическую, методическую и терминологическую базу серии «Математическое моделирование в технике и в технологии». Основное внимание уделено построению и обоснованию адекватности математических моделей механики и электродинамики сплошной среды, описывающих явления преобразования и переноса таких физических субстанций, как масса, энергия, количество движения и электрический заряд. Эти явления лежат в основе функционирования большинства технических устройств и технологических процессов.
          Рассматриваемые в книге модели составляют научный фундамент многих общеинженерных и специальных дисциплин, определяющих уровень подготовки современных инженеров. В отдельных разделах книги использованы материалы лекций, которые авторы читают в МГТУ им. Н.Э. Баумана.
          Для студентов старших курсов технических университетов, а также для аспирантов, инженеров, преподавателей и научных работников.


                                                                    УДК 517.958(075.8)
                                                                    ББК 22.25


Книга подготовлена при поддержке целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы» (проект № 2.1.2.5652)










                                                © Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н., 2008

                                                    © Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана, 2008

ISBN 978-5-7038-3162-5

                                                      © Оформление. Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008

                К ЧИТАТЕЛЮ





   В настоящее время математическое моделирование выполняет роль одного из эффективных инструментов в деятельности инженера. Применение методов математического моделирования существенным образом определяет качество и сокращает сроки и стоимость разработки современных технических систем и технологических процессов, обеспечивает возможность детального информационного сопровождения жизненного цикла изделий, анализа их надежности, прогноза отказов и аварийных ситуаций. Уровень развития любой инженерной школы во многом стал зависеть от полноты и адекватности математических моделей, используемых в научной, проектно-конструкторской и педагогической деятельности этой школы.
   Учебная и научная литература по математическому моделированию посвящена в основном общим методологическим подходам и этапам реализации этих подходов средствами современной вычислительной техники. Существенно меньше внимания уделяется построению и критическому анализу математических моделей конкретных технических устройств и протекающих в них процессов. Это приводит к тому, что возможности и преимущества математического моделирования при разработке технических устройств и технологических процессов используются еще недостаточно.
   В связи с этим Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана совместно с академическими и отраслевыми научными организациями приступает к выпуску серии книг «Математическое моделирование в технике и в технологии» с целью способствовать более широкому и эффективному применению математического моделирования в инженерной практике. За последние годы наш университет накопил определенный опыт подготовки и издания тематических серий учебников и монографий по отдельным дисциплинам и научным направлениям: «Математика в техническом университете», «Механика в техническом университете», «Физика в техническом университете», «Информатика», «Электроника» и др. Планируется, что предлагаемая вниманию читателей новая серия книг учебно-монографического содержания должна носить междисциплинарный характер. В книгах этой серии будет предпринята попытка с единых позиций изложить современные подходы к математическому моделированию технических систем и технологических процессов и проиллюстрировать их на кон

К ЧИТАТЕЛЮ

кретных примерах из различных областей инженерной деятельности. Научную базу перспективных направлений в современном машиностроении и приборостроении составляют, по существу, упорядоченные совокупности математических моделей соответствующих технических объектов и процессов их производства. Теоретической основой при построении большинства таких моделей служат главным образом механика и электродинамика. В связи с этим первая книга планируемой серии посвящена математическим моделям механики и электродинамики сплошной среды.
   Результативность математического моделирования в технике и в технологии во многом зависит от эффективности методов количественного анализа построенных моделей. Поэтому вторая книга серии будет посвящена изложению методов вычислительной математики, ориентированных на использование все увеличивающихся возможностей вычислительной техники. Содержание первых двух книг должно определить уровень изложения материала в остальных книгах серии и упорядочить не всегда однозначную терминологию в таких быстро расширяющихся сферах приложений математического моделирования, какими являются техника и технология.
   Предполагается, что издание планируемой серии книг может дать дополнительный импульс к дальнейшему совершенствованию подготовки инженеров и аспирантов, поскольку универсальность математических моделей и их инвариантность по отношению к моделируемым объектам и процессам различной природы должны способствовать укреплению межпредметных связей между циклами естественнонаучных, общеинженерных и специальных дисциплин и дать возможность избежать излишнего дублирования материала при изучении этих дисциплин.
   К подготовке книг по отдельным инженерным направлениям привлечены лидеры ведущих научно-педагогических школ нашего университета, сформировавшихся и продолжающих развиваться в тесном контакте с научными и производственными организациями нашей страны и имеющих активные международные связи. В создании серии примут также участие сотрудники академических и отраслевых научных организаций. Планы такой совместной работы нашли отражение и в составе сформированного редакционного совета этой серии книг.

И.Б. Федоров

                                  Академик РАН, ректор МГТУ им. Н.Э. Баумана, председатель редакционного совета серии

                ПРЕДИСЛОВИЕ





   Математическое моделирование в настоящее время все глубже проникает во все сферы человеческой деятельности,- но в развитии и совершенствовании современных техники и технологии его роль является решающей. С общих позиций математическое моделирование можно рассматривать как интеллектуальное ядро быстро развивающихся информационных технологий [126]. Особенность математического моделирования состоит в том, что абстрактным отражением существующего либо создаваемого технического устройства или технологического процесса является его математическая модель (ММ), количественный анализ которой позволяет получать новые знания об этом объекте или процессе.
   Под математическим моделированием в инженерной практике понимают адекватную замену исследуемого технического устройства или технологического процесса соответствующей ММ и ее последующее изучение методами вычислительной математики с привлечением средств современной вычислительной техники. Такое изучение ММ можно рассматривать как проведение вычислительного эксперимента на ЭВМ.
   Математическое моделирование тесно связано с инженерной практикой, опирается на достижения классической и вычислительной математики, активно использует сведения из естественнонаучных дисциплин, предполагает уверенное владение вычислительной техникой и программированием на ЭВМ. Поэтому для инженера любой специальности математическое моделирование — инструмент, творческое применение которого может способствовать прогрессу в любой отрасли техники.
   В этой книге, открывающей серию «Математическое моделирование в технике и в технологии», изложен материал, который определяет теоретическую, методическую и терминологическую базу этой серии. Основное внимание уделено построению и обоснованию адекватности ММ механики и электродинамики сплошной среды, описывающих явления преобразования и переноса таких физических субстанций, как масса, энергия, количество движения и электрический заряд. Эти явления лежат в основе функционирования большинства технических устройств и технологических процессов. В построении ММ выдержан единый подход, опирающийся на использование законов сохранения этих суб

ПРЕДИСЛОВИЕ

станций и уравнений состояния рассматриваемой сплошной среды, не противоречащих второму закону термодинамики.
   Рассматриваемые ММ составляют научный фундамент многих общеинженерных и специальных дисциплин и находят применение при разработке современных технических устройств и технологических процессов. Изложение материала ориентировано, прежде всего, на студентов старших курсов технических университетов, освоивших курсы высшей математики, физики и теоретической механики. Книга может быть полезна также аспирантам, инженерам, преподавателям и научным работникам.
   Эта книга состоит из двенадцати глав и двух приложений, параграфы в которых имеют двойную нумерацию (например, 4.5 — пятый параграф в четвертой главе или П2.3 — третий параграф во втором приложении); ссылки в тексте на параграфы и главы набраны полужирным шрифтом (например, см. 4.5, см. П2.3 или см. 12). Аналогично пронумерованы формулы и рисунки (например, (2.3) — третья формула в главе 2, рис. 12.1 — первый рисунок в главе 12). Номера библиографических источников, помещенных в конце книги, заключены в квадратные скобки. Также в конце книги приведен предметный указатель, содержащий в алфавитном порядке (по существительному в именительном падеже) все введенные в книге термины с указанием страницы, на которой термин определен или описан (на этой странице термин можно найти по выделенным полужирным курсивом словам). Выделение термина в начале параграфа светлым курсивом означает, что в этом параграфе он отнесен к ключевым словам и, чтобы понять излагаемый материал, читатель должен знать значение данного термина. Читатель может уточнить это значение, найдя при помощи предметного указателя необходимую страницу, на которой данный термин определен или пояснен. После предисловия помещен список основных обозначений, где наряду с их краткой расшифровкой указаны параграфы этой книги, в которых можно найти более подробное их объяснение. Используемые символы и сокращения объяснены в каждом параграфе. Принятая структура справочного аппарата книги позволяет читателю знакомиться с материалом интересующего его отдельно взятого параграфа.
   Авторы благодарны профессорам В.Н. Кукуджанову, К.И. Романову и И.В. Станкевичу за полезное обсуждение этой книги и будут признательны всем, кто выскажет свои замечания о ней.

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ


х G X — элемент х принадлежит множеству X (например, М Е S — точка М принадлежит поверхности S') 1.6
С = 1, N — число G N принимает последовательно все значения из множества N натуральных чисел от 1 до N включительно 2.1

V \ S* — разность множеств V и S* 4.4
U      — символ операции объединения множеств 7.2, 7.3
А      — символ операции пересечения множеств 7.6
S* С Vq — подмножество S* включено в множество Vq (Vo включает S'*) 12.3, П2.1
Sₛ С S — подмножество Sₛ включено в множество S или совпадает с ним 7.1
[ж]    — скачок величины х при переходе через поверхность разрыва
          4.4
| • |  — абсолютное значение числа или модуль вектора П1.1
(•)т   — символ транспонирования 1.6, П 1.1
^7)    — символ, означающий «не суммировать по индексу fc» П1.1
к
а-Ь — скалярное произведение векторов а и b П1.1
ахЬ — векторное произведение векторов а и Ь П1.1
а%Ь — диадное произведение векторов а и b П1.1
А®В — внешнее произведение тензоров А и В П1.3
V — дифференциальный оператор Гамильтона 1.6, П1.4
V² — дифференциальный оператор Лапласа П1.4, П1.5
V² — дифференциальный оператор Лапласа, действующий в координатной плоскости 5.2
V⁴ — бигармонический дифференциальный оператор 6.5
       — бигармонический дифференциальный оператор, действующий в координатной плоскости 5.2
grad = V — символ дифференциальной операции вычисления градиента П1.4
div = V- — символ дифференциальной операции вычисления дивергенции П1.4

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

rot = V х — символ дифференциальной операции вычисления ротора П1.4
A: U —> W — оператор А отображает множество U на (или в) множество W П2.1
Z7xW — декартово произведение множеств У и W П2.1
£>(А)  — область определения оператора А П2.1
7?(А)  — область значений оператора А П2.1
3      — квантор существования (Зх — «существует такой элемент
          х, что...») П2.1
В о А — композиция операторов В и А П2.1
R — множество действительных чисел (числовая прямая) П2.1 [а, Ь], (а, Ь) — отрезок и интервал с концами в точках а, b 6 R П2.4 (•, •) — скалярное произведение элементов гильбертова простран          ства П2.1

|| • || — норма элемента нормированного пространства П2.1
sup/[v] — точная верхняя грань функционала Z[v] на множестве V veV П2.3

inf /[v] v&V

  точная нижняя грань функционала 7 [и] на множестве V П2.3

А — массовая плотность свободной энергии 4.3
А — матрица поворота репера П1.1
aij — элементы матрицы поворота репера (г, j = 1, 2, 3) П1.1 Ар     — работа 2.4
Аг     — коэффициент поглощения излучения поверхностью 7.4
ао     — скорость звука 8.2
а(т)   — температуропроводность      изотропной среды 5.1
а — радиус-вектор частицы среды в системе материальных координат Оа^аз 3.1
В — вектор магнитной индукции 12.1 b — вектор плотности объемных сил 3.5 Ь*     — вектор Бюргерса 1.7
Ь*     — модуль вектора Бюргерса 1.7
С — матрица коэффициентов упругости 1.6
Срд — элементы матрицы С (р, д —1,6) 1.6
С° — жесткость линейной цепочки атомов при растяжении 1.5 С — тензор коэффициентов упругости 1.6, 5.1