Современная математика и ее творцы

В. Ф. Панов
СОВРЕМЕННАЯ
МАТЕМАТИКА
И ЕЕ ТВОРЦЫ
Под редакцией В. С. Зарубина
Москва  2011

УДК 51(091)
ББК 22.1г
П16
Р е ц е н з е н т ы :
зав. кафедрой математики Военной академии РВСН имени Петра Великого,
д-р техн. наук, проф. В.В. Блаженков;
канд. физ.-мат. наук, доц. А.Н. Канатников
Ïàíîâ Â. Ô.
П16
Современная математика и ее творцы / В. Ф. Панов; под ред.
В. С. Зарубина. – М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2011. – 646,
[2] с. : ил.
ISBN 978-5-7038-3536-4
В доступной форме рассказано о развитии традиционных разделов математики второй половины XIX – начала XXI в., создании новых разделов математики. Представлены основные вехи жизненного и творческого пути многих
отечественных и зарубежных математиков. Отражена взаимосвязь математики и философии.
Рекомендовано студентам, аспирантам, учителям математики, а также всем,
кто интересуется историей науки.
УДК 51(091)
ББК 22.1г
© Панов В.Ф., 2011
© Оформление. Издательство МГТУ
ISBN 978-5-7038-3536-4
им. Н.Э. Баумана, 2011

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   9
Часть I.
МАТЕМАТИКА В СОВРЕМЕННОМ МИРЕ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   13
Глава 1.
Особенности современной математики  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   15
Приоритеты в математике ХХ в.  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   15
Аксиоматизация и систематизация математики  . . . . . . . . . . . . . . . . . .   23
Споры сторонников абстрактной и прикладной математики  . . . . . . .   26
«Архитектура» современной математики  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   31
Глава 2.
Роль международных математических конгрессов
в развитии математики  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   37
Первые международные контакты  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   37
Первый Международный конгресс математиков  . . . . . . . . . . . . . . . . .   38
Второй Международный конгресс математиков  . . . . . . . . . . . . . . . . .   38
Доклад Гильберта «Математические проблемы»  . . . . . . . . . . . . . . . .   39
Международные математические конгрессы в ХХ и XXI вв.  . . . . . .   42
Нерешенные (открытые) математические проблемы  . . . . . . . . . . . . .   46
Глава 3.
Профессиональные награды математиков  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   50
Международные награды по математике  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   50
Международные награды, в которых одной из номинаций является
«математика»  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   61
Часть II. СТАНОВЛЕНИЕ СОВРЕМЕННОЙ МА
ТЕМА
ТИКИ.
ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ШКОЛЫ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   67
Глава 4.
Как начиналась современная математика  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   69
Об истории пятого постулата Евклида  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   69
Сущность неевклидовой геометрии  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   70
Н.И. Лобачевский  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   72
Янош Больяй  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   75
Алгебраизация математики и математическая логика  . . . . . . . . . . . .   76
Эварист Галуа  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   78
Джордж Буль  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   83
Создание теории бесконечных множеств  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   85
Георг Кантор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   92
Глава 5.
Споры относительно оснований математики  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   96
Интуиция и логика в математике  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   96
Логицизм, интуиционизм, формализм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   98
Алфред Уайтхед  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  109
Бертран Рассел  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  111
Лейтзен Брауэр  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  112
Открытия Курта Гёделя и Пола Коэна. Создание конструктивной
математики  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  115
А.А. Марков-младший  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  120
Курт Гёдель  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  123
Пол Коэн  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  127
Глава 6.
Петербургская математическая школа  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  128
Основание петербургской математической школы  . . . . . . . . . . . . . . .  128
П.Л. Чебышёв  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  129
3

Оглавление
А.А. Марков  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  132
А.М. Ляпунов  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  135
В.А. Стеклов  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  137
Н.М. Гюнтер  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  139
В.И. Смирнов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  140
Глава 7.
Немецкая математическая школа  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  143
Система обучения в университетах Германии в XIX в.  . . . . . . . . . . .  143
Карл Вейерштрасс  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  145
Бернхард Риман  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  146
Юлиус Дедекинд . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  149
Феликс Клейн  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  149
Давид Гильберт  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  152
Герман Минковский  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  159
Герман Вейль  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  161
Рихард Курант  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  165
Разгром немецкой математической школы нацистами  . . . . . . . . . . . .  168
Глава 8.
Французская математическая школа  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  172
Система образования во Франции  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  172
Анри Пуанкаре  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  174
Жак Адамар  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  181
Эмиль Борель  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  183
Анри Лебег  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  186
Глава 9.
Московская математическая школа  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  189
Организация математических исследований до 1941 г.  . . . . . . . . . . . .  189
Н.Е. Жуковский  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  194
Д.Ф. Егоров  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  197
Н.Н. Лузин  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  199
А.Н. Колмогоров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  203
«Лузитания» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  209
Внедрение диалектики в математику  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  213
Организация математических исследований в годы войны и послевоенное время  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  218
Глава 10. Американская математическая школа  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  222
Система образования в США  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  222
Джордж Биркгоф  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  225
Соломон Лефшец  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  226
Джеймс Александер  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  228
Марстон Морс  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  229
Джон фон Нейман  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  231
Хасслер Уитни  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  237
Сондерс Маклейн  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  238
Часть III.РАЗВИТИЕ ТР
АДИЦИОННЫХ Р
АЗДЕЛОВ СОВРЕМЕННОЙ
МА
ТЕМА
ТИКИ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  241
Глава 11. Математическая статистика и теория вероятностей  . . . . . . . . . . . . .  243
Математическая статистика  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  244
Карл Пирсон . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  246
Уильям Госсет (Стъюдент)  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  248
Е.Е. Слуцкий  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  249
4

Оглавление
Роналд Фишер  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  251
Ежи Нейман . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  253
Эгон Пирсон  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  254
Теория вероятностей  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  255
А.Я. Хинчин  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  259
Б.В. Гнеденко . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  262
Киёши Ито  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  265
Шриниваса Варадхан  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  266
Венделин Вернер  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  267
Глава 12. Топология первой половины ХХ в.  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  268
Чем занимается топология . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  268
Феликс Хаусдорф . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  273
П.С. Урысон  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  275
П.С. Александров  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  277
Хейнц Хопф  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  280
Л.В. Келдыш  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  281
Шэншэнь Чжэнь (Черн)  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  283
Глава 13. Вычислительная математика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  285
Численные и аналитические методы  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  285
А.Н. Крылов  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  288
Б.Г. Галёркин  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  290
А.Н. Тихонов  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  293
А.А. Дородницын . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  296
Г.И. Марчук  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  298
А.А. Самарский  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  301
Глава 14. Теория дифференциальных уравнений  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  303
Обыкновенные дифференциальные уравнения  . . . . . . . . . . . . . . . . . .  303
Дифференциальные уравнения с частными производными  . . . . . . .  307
С.Н. Бернштейн  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  309
И.А. Лаппо-Данилевский  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  312
М.А. Лаврентьев . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  313
И.Г. Петровский  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  316
М.В. Келдыш  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  319
Ларс Хёрмандер  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  322
Седрик Виллани  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  323
Глава 15. Теория функций и функциональный анализ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  325
Теория функций  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  325
Функциональный анализ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  327
Гёста Миттаг-Лёффлер  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  330
Константин Каратеодори  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  331
Харальд Бор  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  333
Стефан Банах  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  334
Д.Е. Меньшов  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  336
М.Я. Суслин  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  338
Н.К. Бари . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  341
Рольф Неванлинна  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  342
Л.А. Люстерник  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  343
П.С. Новиков  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  344
Ларс Альфорс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  346
5

Оглавление
С.Л. Соболев  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  347
И.М. Гельфанд . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  352
Чарльз Фефферман  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  355
Ален Конн  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  356
С.К. Смирнов  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  357
Глава 16. Абстрактная алгебра  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  359
Развитие алгебры в Европе  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  359
Фердинанд Фробениус  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  362
Эмми Нётер  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  363
Эмиль Артин  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  365
Бартел Ван-дер-Варден  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  367
Джон Томпсон  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  369
Развитие алгебры в СССР  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  370
Д.А. Граве  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  374
О.Ю. Шмидт  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  375
Н.Г. Чеботарёв  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  377
А.И. Мальцев  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  379
И.Р. Шафаревич  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  380
Г.А. Маргулис  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  382
Е.И. Зельманов  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  383
Глава 17. Геометрия в России в XX – начале XXI в.  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  384
Очерк развития современной геометрии  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  384
С.П. Фиников . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  387
Б.Н. Делоне  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  389
А.Д. Александров  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  391
А.В. Погорелов  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  395
М.Л. Громов  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  397
Часть IV. КОРЕННЫЕ ИЗМЕНЕНИЯ НЕКОТОРЫХ Р
АЗДЕЛОВ
МАТЕМАТИКИ ПОСЛЕ ВТОРОЙ МИРОВОЙ ВОЙНЫ  . . . . . . . . . .  399
Глава 18. Николя Бурбаки – коллективный псевдоним группы математиков  401
Возникновение объединения французских математиков  . . . . . . . . . . .  401
Бурбаки и реформа математического образования  . . . . . . . . . . . . . .  408
Анри Картан  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  411
Андре Вейль  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  412
Клод Шевалле  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  414
Лоран Шварц  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  415
Жан-Пьер Серр  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  416
Джон Тейт  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  418
Александр Гротендик  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  419
Жак Титс  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  422
Глава 19. Теоретическая физика и математика  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  424
О проблемах теоретической физики  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  424
Стандартная модель физики элементарных частиц  . . . . . . . . . . . . . . .  425
Теория суперструн  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  430
Н.Н. Боголюбов  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  436
Ричард Фейнман  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  440
Роджер Пенроуз  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  443
Л.Д. Фаддеев  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  445
6

Оглавление
Шинтан Яу  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  448
Эдвард Виттен  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  449
Воган Джонс  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  450
М.Л. Концевич . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  451
Глава 20. Топология второй половины ХХ в.  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  454
Новые идеи в топологии  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  454
В.А. Рохлин  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  458
Рене Том  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  461
Стивен Смейл  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  462
Джон Милнор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  463
Майкл Атья  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  464
С.П. Новиков  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  466
Гипотеза Пуанкаре  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  469
Уильям Тёрстон  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  471
Майкл Фридман  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  472
Саймон Доналдсон  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  473
Г.Я. Перельман  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  474
Глава 21. Алгебраическая геометрия  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  478
Очерк развития алгебраической геометрии  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  478
Кунихико Кодаира  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  481
Хейсуке Хиронака  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  482
Дэвид Мамфорд  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  483
Пьер Делинь  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  484
Герд Фалтингс  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  485
Сигефуми Мори  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  485
В.А. Воеводский  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  486
Глава 22. Теория чисел  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  489
Основные направления исследований  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  489
Годфри Харди  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  493
Шриниваса Рамануджан  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  495
И.М. Виноградов  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  498
Л.Г. Шнирельман . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  500
А.О. Гельфонд  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  502
Атле Сельберг  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  504
Клаус Рот . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  505
Алан Бейкер  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  506
Энрико Бомбьери . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  507
Ю.В. Матиясевич  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  508
Теренс Тао  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  509
Глава 23. Великая теорема Ферма  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  511
Предыстория Великой теоремы Ферма  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  511
Гипотеза Таниямы – Шимуры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  514
Завершающие атаки на Великую теорему Ферма  . . . . . . . . . . . . . . . .  517
Эндрю Уайлс  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  518
Роберт Ленглендс  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  521
В.Г. Дринфельд  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  523
Лоран Лаффорг  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  524
А.Ю. Окуньков  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  525
Бао Чау Нго . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  526
7

Оглавление
Часть V. РАЗВИТИЕ НОВЫХ Р
АЗДЕЛОВ МАТЕМАТИКИ
ПОСЛЕ ВТОРОЙ МИРОВОЙ ВОЙНЫ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  527
Глава 24. Теория алгоритмов, кибернетика, вычислительная техника  . . . . . .  529
Из предыстории вычислительной техники  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  529
Теория алгоритмов  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  530
Кибернетика  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  533
Математика и вычислительная техника  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  537
Ада Лавлейс  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  538
Норберт Винер  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  539
Алан Тьюринг  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  541
Клод Шеннон  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  543
В.М. Глушков  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  545
Глава 25. Исследование операций и теория управления  . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  548
Исследование операций и круг рассматриваемых задач . . . . . . . . . . .  548
Агнер Эрланг  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  553
Л.С. Понтрягин  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  554
Ричард Беллман  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  558
Л.В. Канторович  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  559
Н.Н. Моисеев . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  563
Джон Форбс Нэш-младший  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  565
Лотфи Заде  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  566
Глава 26. Нестандартные методы анализа  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  571
Расхождение современных физических представлений с идеями
математического анализа  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  571
Нестандартный (инфинитезимальный) анализ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  572
Бесконечно малые величины в трактовке Лейбница  . . . . . . . . . . . . . .  580
Отношение ученых к идее бесконечно малых величин  . . . . . . . . . . .  580
Булевозначный анализ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  584
Туральф Сколем  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  585
Абрахам Робинсон  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  586
Петр Вопенка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  587
Глава 27. Динамические системы. Порядок и хаос.
Создание фрактальной геометрии  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  589
Поиск единых законов эволюции  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  589
Ключевые понятия качественной теории сложных нелинейных
систем  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  590
Варианты качественной теории сложных нелинейных систем  . . . . . .  593
Фракталы  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  601
А.С. Безикович  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  607
И.Р. Пригожин  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  609
Эдвард Лоренц  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  611
Бенуа Мандельброт  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  614
Юрген Мозер  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  616
В.И. Арнольд  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  617
Жан-Кристоф Йоккоз  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  620
Элон Линденштраусс  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  621
Заключение  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  622
Литература  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  626
Именной указатель  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  629
8

Никакая иная наука не обладает таким совершенным представлением об истинности и ложности суждений, как математика… Математическое творчество требует абсолютно
точного соблюдения законов мышления, дисциплинирует
и формирует личность, помогая ей выработать систему ценностей высокой пробы.
А.В. Архангельский
ПРЕДИСЛОВИЕ
Математика является обязательным предметом при обучении в школах
и преподается во всех технических вузах. Но это лишь знакомство с элементарной математикой и несколькими классическими разделами высшей математики.
Грандиозный «город» современной математики с его «небоскребами»
различных разделов, иногда стоящих особняком, но чаще связанных общей
инфраструктурой, для подавляющего большинства выпускников технических
вузов – «терра инкогнита». Даже для профессионалов-математиков многое
остается непознанным, так как в настоящее время наблюдается тенденция
к сужению диапазона математических интересов.
Раньше была такая специальность – «математик», потом удобнее стало
говорить о профессиональном математике «геометр» или «алгебраист», или
«аналитик», а сегодня и такое деление представляется крупным. Ибо основные математические дисциплины – геометрия и алгебра, арифметика (теория чисел) и математический анализ – распались на ряд школ и направлений,
каждое из которых характеризуется своим подходом, своим специфическим
«языком». И вот уже, кажется, специалисты по геометрии «в малом» разучились понимать специалистов по геометрии «в целом»; специалисты по алгебраической теории чисел – специалистов по аналитической теории чисел;
ученые, разрабатывающие математический аппарат теории относительности, – специалистов по математическим методам квантовой механики.
В одной из своих статей выдающийся математик-универсал ХХ в. Джон
фон Нейман писал, что если хороший физик-теоретик может активно ориентироваться практически в половине своего предмета, то сомнительно, что
кто-нибудь из математиков обладает хотя бы четвертью математических
знаний.
В большинстве современных учебников математика излагается как вневременная и безликая совокупность более или менее согласованных определений, понятий, идей и методов. Это затрудняет понимание внутренней логи9

Предисловие
ки развития науки, движущих пружин этого развития и необходимости введения того или иного понятия.
Данная книга продолжает развитие идей, представленных автором в книге
«Математика древняя и юная», вышедшей в свет в Издательстве МГТУ им.
Н.Э. Баумана в 2004 г. Относительно краткая информация о современной математике, изложенная в предыдущей книге, здесь значительно расширена.
В работу включены биографии известных математиков, внесших заметный
вклад в ее развитие периода XIX – начала XXI в. К сожалению, о математиках, работающих в настоящее время, информации очень мало. Во-первых,
это связано с этическими соображениями, а во-вторых, со сложностью оценивания заслуг современников. В подтверждение сказанному хотелось бы
процитировать С.А. Есенина: «Лицом к лицу лица не увидать. // Большое
видится на расстоянье». Поэтому о первых двух третях ХХ в. рассказано
более подробно, чем о последней.
Подбор персоналий, о жизни и творчестве которых рассказывается в книге,
является субъективным выбором автора. Вследствие этого книга является
отражением представления автора о величине вклада того или иного ученого
в развитие математики. Из ныне живущих математиков выбраны те, которые
получили мировое признание, были удостоены международных наград.
Периодизация истории математики остается спорным вопросом.
А.Н. Колмогоров предложил считать современной математику с момента
появления новых математических теорий в XIX в. до наших дней. В связи
с этим, началом современной математики считают появление неевклидовой
геометрии.
Современная математика многогранна, и ее терминология необычайно
сложна. При работе над книгой автору приходилось выбирать между доступностью изложения и точностью. Предпочтение отдавалось доступности. Читателями книги автор видит в основном студентов технических вузов и инженеров, которые изучали высшую математику, но не знакомы с историей
многих ее разделов. Однако книга будет полезна и гуманитариям, интересующимся историей науки.
Хотя в книге описан процесс становления современной математики, она
не является учебником, поэтому автор старался избегать формул. Существует мнение, что каждая формула уменьшает вдвое число потенциальных
читателей.
Книга состоит из пяти частей, в которые входят 27 глав. Первая часть
включает в себя три главы. Эта часть знакомит читателя с особенностями
современной математики, альтернативными точками зрения ученых на цели
исследований и связь результатов исследований с реальной жизнью; основными идеями, давшими начало современной математике и теми учеными
XIX в., которые оказали заметное влияние на ее становление; рассказывает
о международных связях математиков и международных математических
конгрессах, а также о профессиональных наградах математиков, отмеченных
за наиболее выдающиеся результаты исследований.
Во второй части рассказывается об истоках современной математики,
двух российских математических школах (петербургской и московской), двух
10