Математика древняя и юная

Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2006

Под редакцией доктора технических наук,
профессора В.С. Зарубина

Издание второе, исправленное

УДК 51
ББК 22.1
П16

Р е ц е н з е н т ы:

В.В. Блаженков — зав. кафедрой высшей математики Военной академии ракетных войск стратегического назначения им. Петра Великого,
д-р техн. наук, проф.;
С.Г. Шеховцов — директор Центра развития новой университетской
образовательной модели Российского государственного гуманитарного университета.

Панов В.Ф.
П16
Математика древняя и юная / Под ред. В.С. Зарубина. — 2-е изд.,
испр. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. — 648 с.: ил.
ISBN 5-7038-2890-2

Книга является дополнением к комплекcу учебников серии «Математика в техническом университете» и знакомит читателя с основными фрагментами истории становления современной математики. В ее основу положены
лекции по курсам «Введение в специальность» и «История математики», читаемым автором студентам МГТУ им. Н.Э. Баумана, обучающимся по специальности «Прикладная математика». В первой части книги основное внимание уделено биографиям творцов математики и тех мыслителей, чьи идеи
оказали решающее влияние на развитие этой науки. Во второй части изложена история некоторых основных математических понятий и идей.
Для студентов технических вузов и учителей математики, а также всех,
интересующихся историей науки.

УДК 51
ББК 22.1

ISBN 5-7038-2890-2

c⃝ В.Ф. Панов, 2004; 2006 с изменениями
c⃝ Оформление. МГТУ им. Н.Э. Баумана,
2004; 2006 с изменениями

Посвящается моим внукам —
Ксении и Даниилу

ПРЕДИСЛОВИЕ

Предисловие можно назвать громоотводом.
Г.К. Лихтенберг

В основе книги лежит курс лекций по истории математики,
читаемый автором в Московском государственном техническом
университете им. Н.Э. Баумана. Свою задачу автор видел в систематизации имеющегося материала и его изложении таким образом,
чтобы у читателя, практически не знакомого с историей математики, составилась более или менее цельная картина ее развития.
Автор не работал с архивными документами и содержание книги
фактически заимствовано из опубликованных исследований других
авторов. Иногда автор позволял себе включить в повествование без
изменения отдельные понравившиеся абзацы из литературных источников. Чаще других использовались книги Г. Вейля, М. Клайна,
Ф. Клейна, Н.Я. Виленкина, В.А. Никифоровского, В.А. Успенского,
В.М. Тихомирова, В.Д. Чистякова.
При подготовке книги автор постоянно помнил высказывание
великого француза Блеза Паскаля: «Предмет математики настолько
серьезен, что полезно не упускать случая сделать его немного занимательным» [57, с. 12]. С этой целью он старался отдавать предпочтение тем фактам из жизни творцов математики, которые характеризуют их личности, и не стремился скурпулезно перечислять
все полученные ими результаты. В предисловии к книге Линкольна Барнета «Вселенная и доктор Эйнштейн» в 1948 г. А. Эйнштейн
писал: «Всякий, кто хоть раз пытался популярно изложить какоелибо научное положение, знает, какие огромные трудности стоят на

3

этом пути. Можно преуспеть в доходчивости, уйдя от изложения
сущности проблемы и ограничившись лишь смутными намеками
на нее, и таким образом обмануть читателя, внушив ему иллюзию
понимания. Можно, наоборот, квалифицированно и точно изложить
проблему, но так, что неподготовленный читатель скоро потеряет
мысль автора и лишится возможности следовать за ней дальше» [57,
с. 128]. В предлагаемой книге сделана попытка найти «золотую середину» между доходчивостью и точностью изложения математических проблем, поэтому в ней мало формул.
Творцы математики были необычайно одаренными и широко
образованными людьми, автор хотел показать их вклад в мировую
культуру, а также проследить связь развития математики с общим
развитием нашей цивилизации. Чтобы это стремление не повредило чисто математическому аспекту книги, она разделена на две части. Первую часть составляют в основном биографии творцов математики и тех мыслителей, которые, не будучи математиками, оказали огромное влияние на ее историю, а вторую часть — история
некоторых разделов и идей математики. В первой части материал
изложен «по горизонтали», в хронологическом порядке, а во второй — «по вертикали», от древних времен до наших дней.
Чтобы сделать более понятной связь развития математики
с состоянием общества, в первой части книги в начале некоторых
глав дана краткая характеристика соответствующего исторического
периода.
На уровень математических знаний часто оказывали влияние
организационные мероприятия внутри отдельных государств. Чтобы читателю стало понятно, почему, например, в математике начала
XIX в. встречаются в основном французские фамилии, а в математике второй половины XIX в. — немецкие, в гл. 12 рассказано о Политехнической школе в Париже, а в гл. 16 — о системе обучения в
университетах Германии.
В настоящее время фактически отсутствует анализ развития
математики в ХХ в. В книге предпринята попытка восполнить
этот пробел с привлечением доступного автору материала. Этой
проблеме посвящены (полностью или частично), начиная с гл. 18,
почти все главы за исключением гл. 24 и 28.

4

Гл. 19 целиком посвящена Международным конгрессам математиков, так как, в частности, II Международный конгресс, состоявшийся в 1900 г. в Париже, оказал судьбоносное влияние на математику ХХ столетия.
В подготовке книги неоценимую помощь автору оказал профессор Зарубин Владимир Степанович. Ему принадлежит идея создания книги. Рекомендации и советы В.С. Зарубина были учтены при
отборе материала, а замечания, сделанные при чтении рукописи, помогли исключить повторы и значительно улучшить содержание.
Автор благодарен доценту Канатникову Анатолию Николаевичу, который внес много полезных предложений, способствовавших
улучшению изложения материала, а также редактору издательства
МГТУ им. Н.Э. Баумана Кошелевой Елене Константиновне, приложившей немало усилий для устранения стилистических погрешностей.

В.Ф. Панов

ВВЕДЕНИЕ

Вся история математики состоит из чередующихся процессов «расширений» и «сокращений». Например, внимание
математиков
привлекает
какая-нибудь
задача,
пишутся
сотни статей, каждая из которых освещает лишь одну
сторону истины. Вопрос разрастается. Затем какой-нибудь
гений, опираясь на все данные, собранные с таким трудом,
заявляет: «Все, что мы знаем, станет почти очевидным, если
посмотреть на это вот с такой точки зрения». После этого
никому, кроме историков математики, нет уже необходимости изучать сотни отдельных статей. Разрозненные выводы
объединяются в одну простую доктрину, важные факты
отделяются от шелухи, и прямой путь к желаемому выводу
открыт для всех.
У.У. Сойер

Математика и познание окружающего мира

С момента появления первых цивилизаций человечество стремилось познать окружающий мир, понять происходящее в природе. Решающий, гигантский по своим масштабам и непреходящий
по своему значению шаг к расширению и приумножению нашего
знания о внешнем мире был сделан, когда для изучения его стали
применять математику. Отметим, что термина «математика» в древности не существовало. Вероятно, наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира стала называться позднее, в средние века, когда европейцы ознакомились
с арабскими переводами трудов древнегреческих ученых. Поэтому, говоря о математике Древнего Мира, мы имеем в виду методы
накопления и систематизации научного материала по количественному изучению явлений природы. Математика не только уточнила

6

и расширила наше восприятие окружающего мира с помощью органов чувств, но и позволила открыть весьма важные явления, не
воспринимаемые нами, но от того не менее реальные по их воздействию на человека. Нам, живущим в начале 3-го тысячелетия,
природа и «земные» приложения математики хорошо известны, и
потому воспринимаются они как нечто само собой разумеющееся. Уже цивилизации, в недрах которых математика зарождалась, а
именно цивилизации Древнего Египта и Древнего Вавилона, более
5 тыс. лет назад создали набор полезных, но не связанных между собой правил и формул для решения практических задач, с которыми
люди сталкивались в повседневной жизни. Вавилоняне и египтяне
не осознавали, что математика способна распространить их знание
природы за пределы, доступные чувственному опыту.
Как единое связное целое и средство познания природы математика есть творение древних греков. Они начали заниматься этим
примерно за шесть веков до нашей эры. Не сохранилось никаких
документов VI—V вв. до н. э., способных рассказать нам, что заставило греков прийти к новому пониманию математики и ее роли.
Мы располагаем лишь более или менее правдоподобными догадками историков, один из которых утверждает, что греки обнаружили
противоречия в результатах, полученных древними вавилонянами
при определении площади круга, и вознамерились выяснить, какой
из результатов верен. В качестве еще одного объяснения историки
ссылаются на философские интересы греков, но это только догадки.
По-видимому, нам остается лишь констатировать, что у греков
начиная с VI в. до н. э. сложилось определенное миропонимание,
сущность которого сводилась к следующему. Природа устроена рационально, а все явления протекают по точному и неизменному плану, который в конечном счете является математическим. Человеческий разум всесилен, и если эту могучую силу приложить к изучению природы, то лежащий в основе мироздания математический
план удастся раскрыть и познать [43].
Разработанная пифагорейцами программа выявления рационального плана, лежащего в основе природы, предполагала использование математики. Они усматривали сущность вещей и явлений
в числах и числовых соотношениях. Число для них было первым
принципом в описании природы, и оно же считалось выражением

7

материи и формы мира. Пифагорейцы полагали, что «все вещи суть
числа». К числовым соотношениям они сводили и музыку, и астрономию. По их представлениям, тела, перемещаясь в пространстве,
производят звуки, причем быстро движущееся тело издает более
высокий звук, чем движущееся медленно. Такая «музыка сфер»
может быть сведена к чисто числовым отношениям. Но тогда к
числовым отношениям можно свести и движения планет.
Первым из греков, кому мы обязаны наиболее существенным
шагом в математическом исследовании природы, был Платон. Он
не только воспринял некоторые стороны учения пифагорейцев, но
и был выдающимся философом, чьи идеи во многом определили
развитие мысли в Древней Греции. Согласно Платону, то, что воспринимают наши органы чувств, не более чем несовершенное представление реального мира. Реальность и рациональность физического мира могут быть постигнуты только с помощью математики.
Платон заложил также основы дедуктивно-аксиоматического метода, являющегося в настоящее время основным при построении математического знания.
Началом современного периода развития математики принято
считать конец XV — начало XVI в. Что касается XVI в., то его часто
называют эпохой Возрождения (Ренессанса) — возрождения греческой мысли. Примерно к 1500 г. европейские умы ознакомились с
основной идеей мыслителей античности о необходимости приложения разума к исследованию природы и поиска математического
плана, лежащего в основе мироздания. Но если греки не сомневались, что природа устроена на математических принципах, неизменно и неуклонно следует некоему идеальному плану, то мыслители конца Средневековья приписывали весь план и все действие христианскому Богу. Именно Бог был, по их представлениям, творцом
и создателем плана мироздания, и все явления природы неукоснительно следовали предначертаниям Творца, беспрекословно подчиняясь его воле. Математики и естествоиспытатели эпохи Возрождения, будучи правоверными христианами, разделяли эту доктрину.
К уже существующим учениям был добавлен новый тезис о том,
что Бог сотворил мир на математической основе.
Математики XVI—XVIII вв. были уверены в существовании математических законов, лежащих в основе всех явлений природы, и

8

настойчиво стремились найти их, ибо исходили из убеждения, что
Бог и эти законы включил в общую схему мироздания.
Галилео Галилей предложил план изучения природы, включавший четыре пункта [43]:
1) получить количественные описания физических явлений и
облечь их в математические формулы;
2) выделить и измерить наиболее фундаментальные свойства
явлений (свойства — переменные в формулах);
3) построить физику на основе фундаментальных физических
принципов, используя дедуктивный метод;
4) при изучении явлений непременно прибегать к идеализации.

Особенности математического метода

Первая отличительная особенность математического метода —
введение основных понятий. Некоторые из таких понятий (например, точка, линия, целое число) подсказаны непосредственно материальным, или физическим, миром. Помимо элементарных понятий в математике немаловажную роль играют понятия, созданные
человеческим разумом. Их примерами могут служить понятия отрицательного числа, комплексного числа, функции, математического анализа, буквенные обозначения классов чисел, всевозможные
кривые, бесконечные ряды, дифференциальные уравнения, матрицы и группы, многомерные пространства.
Некоторые из перечисленных понятий полностью лишены интуитивной основы. Другие, например понятие производной (мгновенной скорости движения), имеют под собой некую основу в физических явлениях. Но и производную в гораздо большей степени
можно рассматривать как конструкцию, созданную разумом, причем на качественно совершенно новом уровне, нежели, скажем, понятие математического треугольника.
Вторая отличительная особенность математики — ее абстрактность. В одном абстрактном математическом понятии должны
быть отражены существенные особенности всех физических проявлений этого понятия. Например, математическая прямая должна
заключать в себе все наиболее значительные особенности туго натянутых веревок, краев линеек, границ полей и траекторий световых
лучей.

9

Третья отличительная особенность математики — идеализация.
Математик идеализирует, намеренно отвлекаясь от толщины меловой линии при рассмотрении прямых или принимая Землю при решении некоторых задач за идеальную сферу. Сама по себе идеализация не является серьезным отступлением от реальности, но при
любой попытке приложить ее к реальности возникает вопрос, достаточно ли близок исследуемый объект (например, реальная частица или траектория) к его идеальному образу.
Четвертой отличительной особенностью математики является
использование специальных обозначений. Хотя страница, испещренная математическими символами, способна отпугнуть непосвященного, нельзя не признать, что без специальных обозначений математики погрязли бы в неразберихе слов.
Наиболее поразительной, пятой, отличительной особенностью
математики является используемый ею метод рассуждения. Основу его составляет набор аксиом с применением к ним дедуктивного
доказательства (вывода). Слово «аксиома» происходит от греческого выражения «мыслить подобающим образом». Само понятие
аксиомы — истины столь самоочевидной, что она ни у кого не вызывает сомнения, — введено греками. Аристотель во «Второй аналитике» упоминает об общих положениях, называемых им аксиомами, из которых выводится доказательство и истинность которых
постигается безошибочной интуицией. Хотя Эрик Т. Белл в шутку
сказал, что «аксиома — это предрассудок, освященный тысячелетиями» [43, с. 168], а Альберт Эйнштейн заметил, что «здравый смысл
— это толща предрассудков, успевших отложиться в нашем сознании к восемнадцати годам» [93, с. 192], без аксиом нам не обойтись.
Если бы в доказательстве использовались какие-то факты, не известные нам как истины, то потребовалось бы дополнительное доказательство, которое устанавливало бы эти факты, и этот процесс
пришлось бы повторять бесконечно. Аристотель указывал также на
то, что некоторые понятия должны оставаться неопределяемыми,
ибо в противном случае доказательство не будет иметь начала.
В наше время такие понятия, как точка и прямая, остаются
неопределяемыми, их значение и свойства зависят от аксиом, предписывающих свойства точек и прямых. Аксиоматизация новых

10