Как вычислять пределы: учебное пособие по курсу «Математический анализ»

Московский государственный технический университет
имени Н.Э. Баумана

Серия методического обеспечения
учебного процесса студентов
с ограниченными возможностями здоровья

З.Ф. Столярова

КАК ВЫЧИСЛЯТЬ ПРЕДЕЛЫ

Под редакцией А.Г. Станевского

Рекомендовано Научно-методическим советом
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебного пособия
по курсу «Математический анализ»

Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2013

УДК 517.1(075.8)
ББК 22.161
С81

С81

Рецензенты: Л.А. Панченко, В.В. Феоктистов

Cтолярова З. Ф.
Как вычислять пределы : учеб. пособие по курсу «Матема-
тический анализ» / под ред. А.Г. Станевского. — М.: Изд-во
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2013. — 181, [3] с. : ил. — (Сер. ме-
тод. обеспечения учеб. процесса студентов с ограниченными
возможностями здоровья).

ISBN 978-5-7038-3694-1
В учебном пособии приведены теоретические сведения из введения
в математический анализ, даны решения задач, предложены задачи
для самостоятельного решения.
Для студентов 1-го курса, в первую очередь для студентов ГУИМЦ.

УДК 517.1(075.8)
ББК 22.161

ISBN 978-5-7038-3694-1
c⃝ МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2013

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящее учебное пособие содержит обучающий и контро-
лирующий материал для сдачи зач¨eта, коллоквиума, аттестации
или защиты домашнего задания, написания контрольной работы
по теме «Введение в анализ» и частично по теме «Исследование
функций одной переменной и построение их графиков». Учебное
пособие предназначено студентам 1-го курса, в первую очередь
студентам ГУИМЦ.
Учебное пособие включает краткое изложение теории, гра-
фические иллюстрации, разбор примеров и задачи со сквозной
нумерацией. Оно состоит из введения, пяти глав: «Функции одной
переменной. Основные определения и простейшие свойства»
(гл. 1); «Пределы» (гл. 2); «Непрерывность и разрывы функций»
(гл. 3); «Правило Лопиталя — Бернулли для вычисления пределов»
(гл. 4); «Элементарное исследование функций одной переменной
и построение их графиков» (гл. 5), а также дополнений, ответов,
указаний и решений к задачам.
В учебном пособии не содержатся доказательства теорем, оно
не заменяет конспекта лекций, а лишь дополняет лекционный ма-
териал, акцентируя внимание на некоторых вопросах.

ВВЕДЕНИЕ

Почему необходимо и важно научиться вычислять пределы?
Для огромного здания математики нужен прочный фундамент, чуть
ли не наполовину построенный на теории пределов.
В первом семестре вы изучаете предел последовательности
и предел функции одной переменной; выполняете контрольную
работу и проходите аттестацию. Изучение пределов необходимо
для определения производной функции одной переменной и вывода 
формул дифференцирования. По технике дифференцирования
проводится контрольная работа. Во втором семестре вы занимаетесь 
исследованием функций одной переменной и построением
графиков и выполняете домашнее задание. При этом пределы применяются 
для вывода уравнения наклонной асимптоты, при исследовании 
функций на непрерывность и исследовании поведения
функций вблизи границ области определения. В интегральном исчислении 
функции одной переменной понятие предела используется 
при определении определ¨eнного интеграла и выводе формул
для вычисления площади плоской фигуры, площади поверхности
вращения, объ¨eма тела (вычисляемого по площадям параллельных 
сечений), длины дуги, для исследований на сходимость несобственных 
интегралов. В третьем семестре пределы функций
многих переменных используются для введения понятий частных
производных, производных по направлению, кратных и поверх-
ностных интегралов, криволинейных интегралов, при выводе фор-
мул для вычисления объ¨eмов тел, площадей поверхностей, длин
дуг, физических величин (например, массы тела). В теории поля
пределы служат для определения почти всех вводимых в этой те-
ории физических величин (поток векторного поля, дивергенция и

4

так далее). В теории рядов, составляющих основу вычислительной
математики, пределы используются для определения суммы ряда
и в некоторых теоремах о сходимости рядов.
На третьем курсе вы изучаете теорию функций комплексного
переменного и операционное исчисление, где есть и дифференци-
рование, и интегрирование, при этом тоже используются пределы.
На старших курсах пределы (имеющие специфические особен-
ности) необходимы при изучении теории вероятностей и матема-
тической статистики.
Пределы используются при доказательстве некоторых теорем
теории упругости и так далее.
Таким образом, следует единственно верный вывод: пределы
надо тщательно изучить в первом семестре; это во многом опре-
делит успешное освоение всего курса математики.
Обратите внмание на то, что если вычисление производных и
интегралов можно выполнять формально, по таблице и правилам
(то есть не обращаясь к их определению, использующему понятие
предела), то для выполнения заданий по теме «Пределы» тв¨eрдое
знание определений и свойств пределов совершенно необходимо.

Глава 1
ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ОСНОВНЫЕ
ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА

§ 1. Понятие функции

Представим себе произвольное множество X вещественных
чисел. Любое из чисел назовем элементом этого множества и обо-
значим буквой x.
Запись X = {x} означает множество X элементов x. Запись
x1 ∈ X означает, что элемент x1 принадлежит множеству X. За-
пись x2 /∈ X (или x2 ∈ X) означает, что элемент x2 не принадлежит
множеству X.
Рассмотрим также множество Y = {y}. Запись Y ⊂ X означает,
что множество Y содержится в множестве X (или является частью
множества X). В этом случае Y является подмножеством множе-
ства X (рис. 1). Запись Y ∩ X означает пересечение или общую
часть множеств Y и X (рис. 2).
Выполняются равенства X ∩ X = X, X ⊂ X. Запись X ∪ Y
означает объединение множеств X и Y . Если x3 ∈ X ∪ Y , то или

Рис. 1.
Множество
и
подмножество

Рис. 2. Пересечение множеств
и объединение множеств

6

x3 ∈ X, или x3 ∈ Y , и наоборот. На рис. 2 множество X ∪ Y обведено 
зел¨еной линией.
Числовая переменная величина считается заданной, если известно 
множество значений X = {x}, которые она может принимать. 
Постоянная считается частным случаем переменной. Множество 
X = {x} называется областью изменения переменной x.
Пусть даны две переменные x и y с областью изменения соответственно 
X и Y . Если x может принимать произвольное значение
из X и по некоторому закону каждому значению x ∈ X будет соответствовать 
одно опред¨eленное значение y ∈ Y , то зависимая переменная 
y называется функцией (однозначной) от независимой переменной 
x, называемой аргументом. Соответствие каждого x ∈ X
элементу y ∈ Y называется также отображением X в Y . Значение
y называется образом элемента x (называемого прообразом).
Множество X, на котором задана функция y, называется областью 
определения (или существования) функции (и обозначается,
например, Dy или Df, где y = f(x)).
Если каждому значению x ∈ X соответствует одно или несколько 
значений y ∈ Y , то y называется многозначной функцией
от x.
Примечания: 1. В дальнейшем все величины будут предпола-
гаться вещественными (или действительными), если не оговорено
противное.
2. Под термином «функция» будет подразумеваться однознач-
ная функция, если не оговорено противное.
Функциональная зависимость записывается так:

y = f(x).

Буква f символически означает закон, по которому аргументу x
ставится в соответствие функция y. Употребляются также записи:

x → f(x); x
f→ y; f : x → y.

Пример 1. Что означает запись y = f(x), где f(x) = 3x2 −
−5x + 7?
Символ или оператор f означает действия: возведение x в ква-
драт, умножение x2 на 3, умножение x на −5; сложение результа-

тов с числом 7. Составим формулу для f
1
x

. Произвед¨ем те же

7

действия над 1
x, получим:

f
1
x

= 3
1
x

2
− 5
1
x

+ 7 = 3
x2 − 5
x + 7.

Найдем выражение для f(−x):

f(−x) = 3(−x)2 − 5(−x) + 7 = 3x2 + 5x + 7. ▲

Для геометрической интерпретации функциональной зависи-
мости будем использовать прямоугольную декартову систему ко-
ординат на плоскости.
Числовой осью называется прямая, на которой указаны начало
отсч¨eта, положительное направление и единица масштаба. Декар-
това прямоугольная система координат состоит из двух перпенди-
кулярных числовых осей, имеющих общее начало в точке О (от
слова origo — начало).
Между действительными (или вещественными) числами и точ-
ками числовой оси существует взаимно однозначное соответствие,
то есть каждому числу соответствует единственная точка на чи-
словой оси и каждой точке соответствует единственное число.
Поэтому вместо выражения «число x = a» используется иногда
выражение «точка x = a». Числовые множества изображаются на
числовой оси отрезками оси (с концами или без) и точками.
Обозначения и названия некоторых числовых множеств: зам-
кнутый промежуток, отрезок: [a; b], a ⩽ x ⩽ b; открытый проме-
жуток, интервал: (a; b), a < x < b; полуоткрытые промежутки: по-
луотрезок или полуинтервал: (a; b], a < x ⩽ b; [a; b), a ⩽ x < b; бес-
конечные промежутки, луч: [a; +∞), a ⩽ x < +∞; луч: (−∞; b],
−∞ < x ⩽ b; полупрямые: (a; +∞), a < x < +∞; (−∞; b), −∞ <
< x < b; прямая: (−∞; +∞), −∞ < x < +∞ (рис. 3).
Множеству чисел, удовлетворяющих неравенству |x − a| < ε,
соответствует интервал (a − ε; a + ε) на числовой оси, этот интер-
вал называется ε-окрестностью точки a и обозначается U(a; ε).
Точка x = a называется центром окрестности, ε называется ради-
усом окрестности; символ U(a;ε) читается так: «окрестность U с
центром в точке x = a радиуса ε».
Проколотой окрестностью точки x = a называется множество
точек x, удовлетворяющих неравенству 0 < |x − a| < ε. Проколо-

8

Рис. 3. Числовые промежутки

тая окрестность обозначается
0
U(a; ε). На числовой оси проколо-

тая окрестность
0
U(a; ε) изображается объединением интервалов:
(a − ε; a) (a; a + ε).
Множество X = {x} называется ограниченным сверху (или
снизу), если существует такое число M (или m), что для всех
x ∈ X выполняется неравенство x ⩽ M (или x ⩾ m).
Если множество X ограничено и сверху, и снизу, то оно назы-
вается ограниченным.
Прямым, или декартовым, произведением двух множеств X и
Y называется множество F, элементами которого являются все-
возможные упорядоченные пары (x; y), где x ∈ X, y ∈ Y . Это мно-
жество обозначается F = X × Y (рис. 4).

Рис. 4. Прямое, или декартово, произведение множеств

9

Вообще говоря, X × Y ̸= Y × X. Если на рис. 4 прямое про-
изведение X × Y изображено горизонтальным прямоугольником
(выделен синей штриховкой), то прямое произведение Y ×X было
бы изображено вертикальным прямоугольником. Пусть f есть ото-
бражение множества X в множество Y . Множество пар (x; f(x)),
где x ∈ X, является подмножеством произведения X × Y и назы-
вается графиком функции f(x) (cм. рис. 4).
Другими словами, график функции y = f(x) есть геометриче-
ское место точек, координаты которых удовлетворяют равенству
y = f(x).
Определение монотонной функции. Функция y = f(x), за-
данная на множестве X, называется монотонно возрастающей (или
убывающей), если для любых x1 ∈ X и x2 ∈ X, x2 > x1, выполня-
ется неравенство f(x2) > f(x1) (или f(x2) < f(x1)).

§ 2. Обратные и сложные функции

Если уравнение y = f(x) может быть однозначно решено от-
носительно переменной x, то есть существует такая функция
x = g(y), что y = f[g(y)], то функция x = g(y) называется обрат-
ной по отношению к функции y = f(x). Функция y = f(x) явля-
ется обратной по отношению к своей обратной функции x = g(y),
то есть x = g[f(x)]. Итак, y = f(x) и x = g(y) — взаимно обратные
функции.
Рассмотрим свойство графиков взаимно обратных функций.
Графики функций y = f(x) и x = g(y) совпадают (рис. 5). Если
изменить обозначения переменных в записи обратной функции (ар-
гумент обозначить буквой x, а функцию — буквой y), то графики
взаимно обратных функций y = f(x) и x = g(y) будут симметрич-
ны относительно биссектрисы I и III координатных углов (рис. 6).
Пусть функция z = ϕ(y) определена на множестве Y = {y},
а функция y = f(x) определена на множестве X = {x}, прич¨eм
пересечение множеств F = {f(x)} и Y непустое (рис. 7) (пустое
множество, по определению, не содержит ни одного элемента и
обозначается символом Ø). Тогда переменная z через посредство y
является функцией от x на множестве X∗, соответствующем множеству 
F ∩ Y (то есть X∗ f→ F ∩ Y ), и называется сложной функцией 
от x: z = ϕ[f(x)] = z(x). Сложная функция z есть результат

10