Сборник задач по физике для поступающих в вуз

А. К. ГОРБУНОВ, Э. Д. ПАНАИОТТИ 
 
 
 
 
 
 

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ФИЗИКЕ  
ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ВУЗ 
 
 
 
Учебное пособие 
 
 
 
ИЗДАНИЕ ПЯТОЕ, 
ИСПРАВЛЕННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

УДК 53(023) 
ББК 22.3 
 
Г67 
 
 
 
Рецензент: 
 
зам. директора по учебной работе, доцент кафедры физики  
КГПУ им. К. Э. Циолковского, канд. физ.-мат. наук  А. С. Кожевников 
 
 
 
 
Горбунов А. К., Панаиотти Э. Д. 
Г67 
 
Сборник задач по физике для поступающих в вуз : учебное пособие / 
Изд-е пятое, испр. и доп. — М. : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 
2014. — 272 с. 
 
 
 
ISBN 978-5-7038-3913-3 
 
 
 
Учебное пособие по структуре представляет собой совокупность тем, в которых изложен элементарный курс физики. Каждое занятие имеет следующую 
последовательность изложения материала: теоретическая часть (основные определения и формулы) и задачи, некоторые из которых даны с решениями. 
Подбор задач к занятиям выполнен по единому методу: от простых — к сложным. В пособие включены качественные задачи. Приводится список использованной литературы. 
 
 
Предназначается для старшеклассников, слушателей подготовительных 
отделений и абитуриентов. 
 
 
 
УДК 53(023) 
ББК 22.3 
 
 
 
 
 
 
 
 
© Горбунов А. К., 
 
 
Панаиотти Э. Д., 2014 
 
© Издательство МГТУ 
ISBN 978-5-7038-3913-3 
 
им. Н. Э. Баумана, 2014 

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИКИ

1. Скаляры и векторы

В курсе физики оперируют с двумя категориями величин: скалярными и
векторными.
Скалярная величина полностью определяется модулем (числовым значением) и знаком. Например время, путь, масса, работа. Действия над скалярами производятся по правилам алгебры, дифференциального и интегрального
исчисления.
Векторная величина характеризуется модулем и направлением (углом).
Векторную величину графически изображают отрезком прямой со стрелкой
на конце. Например скорость, перемещение, сила, ускорение.
Действия над векторами производятся по правилам векторного исчисления.
а) Сложение векторов (по правилу параллелограмма или треугольника) — нахождение вектора суммы по данным составляющим векторам

.
c
a
b
=
+

b
aaab
b
ccРазложить вектор — найти его составляющие. Это действие неоднозначное и требует указания направлений составляющих. Нахождение проекций на оси координат — частный случай разложения вектора на взаимноперпендикулярные составляющие.

Примеры: 
2
2
,
.
x
y
x
y
υ = υ + υ
υ =
υ + υ
0
x
υ >
0
y
υ >
υy

x
0

F
1
F
2
F
1
2.
F
F
F
=
+

б) Вычитание вектора b

 из вектора aможно заменить сложением aс

вектором ( b
−

):

(
).
d
a
b
a
b
=
−
=
+ −

aab
b
−

b
−
d
α
cos
b

α

ab
в) Скалярное произведение двух векторов —
скаляр, равный произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними

cos ,
ab
ab
=
α

при этом 
.
a b
b a
⋅
=
⋅

Пример: 
cos .
A
F
r
F r
=
⋅∆ =
∆
α

ab
α

cc−

cот 
 к 
a
b
г) 
Векторное 
произведение
двух векторов — вектор, численно равный произведению модулей
этих векторов на синус угла между ними. Его направление определяется по правилу буравчика
(винта):

,
c
a
b
=
×

sin .
c
ab
=
α

При этом 
,
a
b
b
a
×
≠
×
так как вектор cменяет направление. Следовательно, в векторном произведении важен порядок сомножителей.
Пример: 
;
.
r M
F
d
υ = ω×
=
×
д) Произведение вектора aна скаляр b  — вектор ,cнаправленный вдоль
заданного вектора aи численно равный произведению сомножителей:
, 
.
c
ba c
ab
=
=
Пример: 
.
p
mV
=

е) Решение векторных треугольников сводится к применению теоремы
косинусов и теоремы синусов

.
c
a
b
=
+

Теорема косинусов:

2
2
2
2
cos ,
c
a
b
ab
=
+
−
γ

2
2
2
2
cos
a
b
c
bc
=
+
−
α

α

β
γ
ab
cи
2
2
2
2
cos
b
a
c
ac
=
+
−
β .
Теорема синусов:

2 ,
sin
sin
sin
a
b
c
R
=
=
=
α
β
γ
где R  — радиус описанного круга.
Для прямоугольного треугольника (по теореме
Пифагора)

2
2 ,
c
a
b
=
+
 
sin ,
b c =
α  
cos ,
a c =
α
tg
b a =
α .
b
acα

2. Предел

Если переменная величина (скорость, ускорение, сила) в рассматриваемом процессе ее изменения неограниченно приближается к какому-то постоянному значению, то используется понятие предела (lim):

0
lim
.
t
r
t
∆ →

∆
υ =
∆

3. Производная и дифференциал

Производной функции 
( )
y
f x
=
 называется предел отношения приращения
y
∆  функции к приращению x
∆  аргумента, когда последнее стремится к нулю

0
0
(
)
( )
( )
lim
lim
x
x
dy
y
f x
x
f x
y
f
x
dx
x
x
∆ →
∆ →
∆
+ ∆
−
′
′
=
=
=
=
∆
∆
,

где dy  и dx  называются соответственно дифференциалом функции и дифференциалом аргумента.
Дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал аргумента 
( )
.
dy
f
x dx
′
=
Для функций многих переменных определяются частные производные

;
f
f
x
y


∂
∂


∂
∂


 — производные по одному из аргументов, вычисленные в предпо
ложении, что остальные аргументы постоянны.

4. Интеграл

Сумму 

1
(
)
n

i
i
i

f x
x

=
∆
∑
 при столь малых 
,
ix
∆
 что на каждом из этих интер
валов 
( )
const,
f x =
 обозначают 

2

1
( )

x

x

f x dx
∫
 и называют определенным инте
гралом от функции 
( )
f x  на интервале от 
1x  до 
2.
x

Смысл этого интеграла — площадь фигуры под кривой 
( ).
f x

Пример: работа силы на конечном перемещении: 

2

1
( )
.

x

x

A
F x dx
= ∫

5. Координаты

rx

ry
rx

y

z

rz

M′

r(
)
M
, ,
x y z

0

Положение точки М в пространстве может быть задано
радиус-вектором ,rпроведенным
из начала координат выбранной
системы отсчета к этой точке (см.
рисунок), или посредством проекций 
,
,
x
y
z
r r
r  радиус-вектора на

координатные оси.  Эти  проекции
одновременно являются координатами точки, так что
; 
; 
.
x
y
z
r
x r
y r
z
=
=
=

6. Формулы тригонометрии

Корни квадратных уравнений:
♦ корни неприведенного квадратного уравнения 
2
0 :
ax
bx
c
+
+
=

2
4
;
2
b
b
ac
x
a
− ±
−
=

♦ приведенного квадратного уравнения 
2
0 :
x
px
q
+
+
=

2
,
2
4
p
p
x
q
= −
±
−
 а свойства его корней

1
2
x
x
p
+
= −
, 
1 2
.
x x
q
=

sin 2
2sin
cos ,
α =
α
α  
(
)
sin
sin
cos
cos
sin ,
α ±β =
α
β ±
α
β

2
2
cos2
cos
sin
,
α =
α −
α  
(
)
cos
cos
cos
sin
sin ,
α ±β =
α
β
α
β
∓

2
2
sin
cos
1
α +
α = ,

;
m
n
m n
a
a
a
+
⋅
=
 
;
m
m n
n
a
a
a

−
=
 (
)
.
n
m
mn
a
a
=

;
m
m
m
m
abc
a
b
c
=
⋅
⋅
 
;
m
m
m
a
ab
b
=
 (
)
.
n
m
n
m a
a
=

7. Таблицы

Таблица 1

Функция
30°
45°
60°
90°
90
α ±
°

sin α
1 2
2 2
3 2
1
cos
±
α

cosα
3 2
2 2
1 2
0
sinα
∓

tg α
3 3
1
3
∞
ctgα
∓

Таблица 2

Геометрические
фигуры и тела
Площадь
Объем

Прямоугольник
ab
—

Треугольник
1 2ab
—

Круг
2
R
π
—

Шар
2
4 R
π
3
4 3 R
π

Куб
2
6a
3
a

Пирамида
p A
⋅
1 3Sh

Цилиндр
2 Rh
π
2
R h
π

Конус
R l
π ⋅
2
3
R h
π

Здесь: ,a b  — стороны, R  — радиус, h  — высота, p  — полупериметр,

A  — апофема, l  — образующая конуса.

МЕХАНИКА

Виды материи — в е щ е с т в о  и  п о л е.
Формы материи — д в и ж е н и е, п р о с т р а н с т в о  и  в р е м я.
Источник всех конкретных видов движения — в з а и м о д е й с т в и е
между материальными объектами.
Взаимодействие — всеобщая ф о р м а  связи тел и явлений и выражается
в их взаимном влиянии друг на друга, сводится к 4-м классам обменного
взаимодействия: я д е р н о е  (сильное), э л е к т р о м а г н и т н о е , с л а б о е
(распадное), г р а в и т а ц и о н н о е  (сверхслабое).

КИНЕМАТИКА

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Материальная точка — тело, размерами которого в процессе движения
можно пренебречь (
0, 
0).
V
m
=
≠
Механическое движение — изменение положения тела в пространстве с
течением времени относительно других тел (или выбранной системы отсчета). Его виды: поступательное, вращательное, колебательное.

2x
1x

y

x
0

1
y

1r2rr∆

ср
υ1
υs

2
υ2y

Система отсчета —
тело отсчета, система
координат (прямоугольная, сферическая или
цилиндрическая), 
выбранный способ измерения времени и расстояний.
В механике положение материальной точки
в каждый момент времени определяется либо
декартовыми  координатами ( , ),
x y
 либо радиус-вектором ,rпроведенным из начала отсчета в данную точку (см. рисунок).
Траектория — линия, по которой движется точка. По форме траектории
движения классифицируются на прямолинейные и криволинейные.

Путь S  — длина траектории.
Перемещение 
r
∆— вектор, соединяющий начальное и конечное положения точки за время движения, 
2
1
r
r
r
∆ =
−
(см. рисунок).
Время — длительность процесса, промежуток между событиями.

2. СРЕДНЯЯ ПУТЕВАЯ И СРЕДНЯЯ СКОРОСТЬ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ
ПЕРЕМЕННОГО ДВИЖЕНИЯ

Одной из характеристик переменного движения является средняя путевая скорость (скорость прохождения траектории)

cp
,
S t
υ
=
м / с,

где S — длина траектории, t — время движения, и средняя скорость перемеще
ния 
ср
,
r
t
∆
υ
= ∆

м/с,  где 
r
∆
— перемещение материальной точки, 
t
∆  — время

перемещения.
Средняя путевая скорость — скалярная величина, характеризует переменное движение по любой траектории (прямолинейной, криволинейной,
пересекающейся).
Средняя скорость перемещения — векторная величина, характеризующая переменное движение, и может быть положительной величиной,
отрицательной и нулем. Величину этой скорости можно рассчитать по фор
муле: 
2
2
cp
cp ,
x
y
υ =
υ
+ υ
 где 
cp
cp
,
x
y
υ
υ
 — проекции средней скорости пере
мещения на координатные оси.

Задачи

1. Мотоциклист проехал 0,4 пути между двумя городами со скоростью
20 м/с,  а оставшуюся часть пути со скоростью 54 км / ч . Определите среднюю скорость мотоциклиста.

Ответ: 
16,7
υ =
 м / с.

2. Тело прошло первую половину пути со скоростью в 2 раза большей,
чем вторую. Средняя скорость на всем пути 4 км / ч . Каковы скорости тела
на первой и второй половинах пути?

Ответ: 
1
6
υ =
км / ч,  
2
3
υ =
км / ч.

3. Катер проехал первую половину пути со скоростью 
,
υ  а оставшуюся
часть пути — со скоростью 50 км / ч . Определите ,
υ  если средняя скорость
катера на всем пути 37,5 км / ч.

Ответ: 
25
υ =
км / ч.

4. Первую половину времени тело движется со скоростью 20 м / с  под
углом 60°  к направлению оси ОХ, а вторую половину времени — под углом
120°  к тому же направлению со скоростью 40 м / с. Определите среднюю
скорость движения.

Ответ: 
26,5
υ =
м / с.

5. Тело совершает два последовательных одинаковых по величине перемещения со скоростями 20 м / с  под углом 60°  к направлению оси ОХ и
40 м / с  под углом 120°  к тому же направлению. Определите среднюю скорость движения.

Ответ: 
23,1
υ =
м / с.

6. Первую половину времени тело движется со скоростью 30 м / с  под
углом 30°  к оси ОХ, а вторую — под углом 120°  к тому же направлению со
скоростью 40 м / с. Найдите среднюю скорость перемещения. Какой путь
тело пройдет за 4 с?
Ответ: 
25
υ =
м/с;  
140
S =
м.

3. СКОРОСТЬ СЛОЖНОГО ДВИЖЕНИЯ.
ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ

Принцип независимости движений: если материальная точка участвует
одновременно в нескольких движениях, то каждое из них независимо от
другого (совершается по своим законам) и результирующие скорость и перемещение равны: 
1
2;
υ = υ + υ

1
2.
r
r
r
∆ = ∆ + ∆
Закон сложения скоростей связывает между собой скорости движения
тела в различных системах отсчета

абс
отн
пер,
υ
= υ
+ υ
где 
абс
υ— скорость тела относительно неподвижной системы координат
(абсолютная скорость); 
отн
υ— скорость относительно движущейся системы
координат (относительная скорость); 
пер
υ— скорость движущейся системы

относительно неподвижной системы (переносная скорость).
Аналогично: 
абс
отн
пер
a
a
a
=
+
— для ускорения движения тела.

Из закона сложения скоростей: 
отн
абс
пер
υ
= υ
− υ
— вектор относительной

скорости равен векторной разности абсолютной и переносной скоростей.

Задачи

1. Катер идет вниз по течению реки 3 ч, обратно — 6 ч. Сколько времени
требуется катеру пройти данное расстояние при выключенном моторе?

Ответ: 
12
t =
 ч.