Инвариантные компакты динамических систем

УДК 517.938
ББК 22.161.6
К19

Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Н. А. Магницкий

Канатников А. Н.
К19
Инвариантные компакты динамических систем /
А.Н. Канатников, А.П. Крищенко. – М. : Изд-во МГТУ
им. Н. Э. Баумана, 2011. – 231, [1] с. : ил.

ISBN 978-5-7038-3486-2

Изложены методы качественного анализа нелинейных динамических систем, ориентированные на нахождение таких областей в фазовом пространстве системы, которые содержат все
периодические орбиты, предельные циклы, сепаратрисы, связывающие конечные положения равновесия, гомоклинические
структуры, другие компактные инвариантные множества и области хаотического поведения решений системы. Рассмотрены
непрерывные и дискретные динамические системы.
Для специалистов в области дифференциальных уравнений
и динамических систем, научных работников, инженеров, а также аспирантов и студентов, интересующихся качественными методами теории дифференциальных уравнений.

Издается в авторской редакции

УДК 517.938
ББК 22.161.6

ISBN 978-5-7038-3486-2

c⃝ Канатников А. Н.,
Крищенко А. П., 2011

c⃝ Оформление. Издательство
МГТУ им. Н. Э. Баумана,
2011

ВВЕДЕНИЕ

Задачи локализации возникли как один из приемов качественного исследования динамических систем. Эти задачи направлены на оценку положения предельных циклов, аттракторов, инвариантных торов и других характерных объектов
динамической системы, которые можно объединить термином
«инвариантное компактное множество».
По постановке задачи локализации несколько различаются,
но с геометрической точки зрения в них речь идет о поиске таких подмножеств фазового пространства динамической
системы, которые имеют требуемые свойства, например содержат определенные решения этой системы.
Одни из первых публикаций по локализации были связаны
с исследованием аттрактора системы Лоренца [53, 59]. К задачам локализации можно отнести построение положительно
инвариантных множеств, содержащих некоторые сепаратрисы системы Лоренца [19]; анализ асимптотического поведения
решений системы Лоренца и нахождение множеств, содержащих глобальный аттрактор системы Лоренца [18,19,21,22,27–
29,48–52,58,63]; нахождение множеств, содержащих все периодические траектории [8, 9, 16, 34, 35, 37, 38, 61], сепаратрисы и
другие траектории [10,15,37,40–42,44].
Множества, содержащие определенные траектории динамической системы, естественно называть локализирующими.
Конечно, интерес представляют те методы и результаты, которые позволяют находить как можно более точные локализирующие множества для каждой из структур фазового пространства.
Напомним, что подмножество M фазового пространства
динамической системы называют инвариантным, если для любой точки x0 ∈ M любое решение этой системы, проходящее

ВВЕДЕНИЕ

через точку x0, целиком содержится в M. Это понятие уточняется при анализе динамических систем разного типа (непрерывных и дискретных, автономных и неавтономных).
К инвариантным компактным множествам относятся положения равновесия, периодические траектории, сепаратрисы,
предельные циклы, инвариантные торы, аттракторы и другие
множества, а также их конечные объединения. Эти множества и их свойства во многом определяют структуру фазового
портрета динамической системы и качественное поведение решений этой системы.
В данной работе основное внимание уделяется задаче построения в фазовом пространстве динамической системы таких множеств, которые содержат все инвариантные компактные множества (инвариантные компакты) рассматриваемой
системы. Далее множества с таким свойством называются локализирующими.
Построение локализирующих множеств базируется на использовании функций, определенных на фазовом пространстве
системы. В силу этого применяемый метод назван функциональным.
Основные идеи и приемы функционального метода локализации применительно к непрерывным автономным системам,
которые представляются как системы обыкновенных дифференциальных уравнений, излагаются в главах 1 и 2. Эти идеи
иллюстрируются на примере исследования системы Ламба [47].
В главе 3 строятся локализирующие множества для инвариантных компактов системы Лоренца. Построения проводятся для всего диапазона значений входящих в систему Лоренца
параметров. При некоторых значениях параметров часть изложенных результатов повторяет найденные ранее оценки положения глобального аттрактора системы Лоренца, полученные
путем анализа асимптотического поведения траекторий.
Задача локализации для однопараметрической системы
Ланфорда [31, 56] рассмотрена в главе 4. Для всех возможных значений параметров системы найдены локализирующие
множества, достаточно точно описывающие положение инва

ВВЕДЕНИЕ
5

риантных компактов. Для некоторых диапазонов значений параметров найдены все инвариантные компакты системы.
Глава 5 посвящена изучению еще одной динамической системы — системы Пиковского — Рабиновича — Трахтенгерца
(ПРТ-системы), возникшей как модель волновых процессов,
протекающих в плазме
[24, 55, 57]. Эта система при некоторых значениях параметров выделяется хаотическим поведением. Построено несколько семейств локализирующих множеств
для инвариантных компактов ПРТ-системы, найдено пересечение этих семейств, которое дало достаточно точную оценку
положения инвариантных компактов.
В главе 6 задача локализации инвариантных компактов
исследуется применительно к неавтономным непрерывным системам. Для таких систем уточнено понятие инвариантного
множества, проанализированы особенности функционального
метода. Применение функционального метода показано на примере системы Валлиса [65], моделирующей динамику атмосферы в тропической части Тихого океана.
Задача локализации инвариантных компактов применительно к автономным дискретным системам исследуется в
главе 7. Введены понятия положительно инвариантных и отрицательно инвариантных множеств как множеств, сохраняющих в себе траектории системы при возрастании и убывании
времени. На такие множества распространен функциональный метод локализации. Понятия положительно инвариантного и отрицательно инвариантного множества оказались удобны
для развития функционального метода в классе дискретных
систем. Предложена процедура построения локализирующих
множеств, исследованы свойства локализирующих множеств.
Эффективным методом решения задач локализации в случае
дискретных систем оказались сдвиги уже найденных локализирующих множеств вдоль траекторий системы. Применение
сдвигов позволило, в частности, получить условия существования у дискретной системы максимального инвариантного
компакта.

ВВЕДЕНИЕ

В главе 8 функциональный метод локализации инвариантных компактов для дискретных систем применен для исследования нескольких известных систем: одномерной логистической системы [26], а также двумерных систем Хенона [25] и
Катала [23,54].
Эта книга издана при финансовой поддержке Программы
Президента РФ по государственной поддержке ведущих научных школ (грант НШ-4144.2010.1). Часть изложенных результатов получена при финансовой поддержке РФФИ (гранты
95-01-01170, 96-01-01094, 05-01-00840, 09-07-00327) и Минобрнауки (проект РНП 2.1.1.2381).

1. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ
МЕТОД ЛОКАЛИЗАЦИИ

1.1. Локализация
периодических траекторий

Одна из задач качественного анализа нелинейных систем
дифференциальных уравнений состоит в нахождении и исследовании периодических траекторий. Известно, что они во многом определяют свойства систем, поведение их решений. Если
решение x: R → Rn нелинейной системы

˙x = f(x),
(1.1)

где

x = (x1, ..., xn)т ∈ Rn,
f(x) = (f1(x), ..., fn(x))т ∈ C∞(Rn),

имеет период T > 0, т. е. x(t+T) = x(t), t ∈ R, то его образ будем называть периодической траекторией системы (1.1).
Рассмотрим задачи локализации периодических траекторий в следующих постановках.
Задача 1. Для системы (1.1) найти такую поверхность
S ⊂ Rn, которую пересекает или которой касается любая периодическая траектория системы (1.1).
Задача 2. Для системы (1.1) найти такое множество Ω ⊂
⊂ Rn, в котором содержатся все периодические траектории
системы (1.1) (рис. 1.1).
Подмножество Ω фазового пространства системы (1.1), содержащее все ее периодические траектории, будем называть
локализирующим множеством.
Рассмотрим следующий метод решения этих задач.

1. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ МЕТОД ЛОКАЛИЗАЦИИ

Рис. 1.1. Задача локализации

Обозначим через ⟨x, y⟩ стандартное скалярное произведение векторов x, y ∈ Rn, а через ∥x∥ — евклидову норму вектора x, т. е.

⟨x, y⟩ =

n
i=1
xiyi,
∥x∥ =
⟨x, x⟩,

x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn).
Пусть

f =

n
i=1
fi(x) ∂

∂xi
—

векторное поле на Rn, соответствующее системе (1.1). Для
произвольной функции ϕ ∈ C∞(Rn) через Lfϕ(x) обозначим
производную Ли этой функции по векторному полю f:

Lfϕ(x) =

n
i=1
fi(x)∂ϕ(x)

∂xi
= ⟨f(x), grad ϕ(x)⟩.

Полагаем, что L1
fϕ(x) = Lfϕ(x), Lk
fϕ(x) = Lf(Lk−1
f
ϕ(x)), k =
= 2, 3, . . .
Докажем следующие четыре утверждения.

Теорема 1.1. Для любой функции ϕ(x) ∈ C∞(Rn) каждая
периодическая траектория системы (1.1) имеет по крайней мере две общие точки с множеством

Sϕ = {x ∈ Rn : Lfϕ(x) = 0}.
(1.2)

1.1. Локализация периодических траекторий
9

◀ Пусть x(t) — периодическое решение системы (1.1) с периодом T > 0. Тогда для любой функции ϕ ∈ C∞(Rn) сложная функция ϕ(x(t)) дифференцируема, причем ϕ(x(t + T)) =
= ϕ(x(t)) для любого t. Следовательно, функцию ϕ(x(t)) можно
рассматривать как функцию на окружности. Эта функция непрерывна, и поэтому она достигает своего наибольшего и наименьшего значений, например, при t = t∗ и t = t∗. Значит, при
этих значениях t выполнено необходимое условие dϕ(x(t))

dt
= 0
локального экстремума для функции ϕ(x(t). Поскольку

dϕ(x(t))

dt
= ϕ′(x)
x=x(t) ˙x(t) =

= ⟨grad ϕ(x), f(x)⟩
x=x(t) = Lfϕ(x)
x=x(t),
(1.3)

условие dϕ(x(t))

dt
= 0 означает, что точки x(t∗) и x(t∗) принадлежат множеству Sϕ. ▶

Теорема 1.2. Для любой функции ϕ ∈ C∞(Rn) каждая периодическая траектория системы (1.1) имеет по крайней мере
одну общую точку с множеством

S−
ϕ =
x ∈ Sϕ: L2
fϕ(x) ⩽ 0
(1.4)

и по крайней мере одну общую точку с множеством

S+
ϕ =
x ∈ Sϕ: L2
fϕ(x) ⩾ 0
.
(1.5)

◀ Возвращаясь к доказательству теоремы 1.1, заметим, что,
например, в точке локального максимума t∗ выполнено условие
d2ϕ(x(t∗))

dt2
⩽ 0. Так как

d2ϕ(x(t∗))

dt2
= L2
fϕ(x)
x=x(t∗),
(1.6)

получаем утверждение теоремы, касающееся множества S−
ϕ .
Утверждение теоремы, касающееся множества S+
ϕ , доказывается аналогично с использованием второй точки t∗. ▶

1. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ МЕТОД ЛОКАЛИЗАЦИИ

Теорема 1.3. Для любой функции ϕ ∈ C∞(Rn) множества
x ∈ Sϕ: L2
fϕ(x) < 0
,
x ∈ Sϕ: L2
fϕ(x) > 0
(1.7)

являются (n−1)-мерными подмногообразиями (гиперповерхностями) в Rn. Каждая периодическая траектория системы (1.1)
имеет с подмногообразиями (1.7) только трансверсальные пересечения.

◀ Поскольку L2
fϕ(x)=⟨f(x),gradLfϕ(x)⟩, из условия L2
fϕ(x) ̸=
̸= 0 вытекает, что grad Lfϕ(x) ̸= 0. Следовательно, локально в
окрестности точки x множества (1.7) являются гладкими гиперповерхностями. Далее, из того же условия заключаем, что
векторы f(x) и grad Lfϕ(x) не ортогональны, а это эквивалентно трасверсальности пересечения в точке x траектории
системы (1.1) и соответствующей гиперповерхности (1.7). Таким образом, справедливо утверждение теоремы 1.3. ▶

Положим для функции ϕ(x) ∈ C∞(Rn)

ϕsup = sup
x∈Sϕ
ϕ(x),
ϕinf = inf
x∈Sϕ ϕ(x).
(1.8)

Теорема 1.4. Для любой функции ϕ ∈ C∞(Rn) все периодические траектории системы (1.1) содержатся в множестве

Ωϕ = {x ∈ Rn: ϕinf ⩽ ϕ(x) ⩽ ϕsup} .
(1.9)

◀ Как показано при доказательстве теоремы 1.1, функция
ϕ(x(t)) достигает максимального и минимального значений в
точках x(t∗) и x(t∗) (x(t) — периодическое решение системы),
которые принадлежат множеству Sϕ. Следовательно, для любого t ∈ R имеем

ϕ(x(t)) ⩾ min
t∈R ϕ(x(t)) = ϕ(x(t∗)) ⩾ inf
Sϕ ϕ(x) = ϕinf

и аналогично

ϕ(x(t)) ⩽ max
t∈R ϕ(x(t)) = ϕ(x(t∗)) ⩽ sup
Sϕ
ϕ(x) = ϕsup.