Инвариантные компакты динамических систем

УДК 517.938
ББК 22.161.6
К19

Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Н. А. Магницкий

Канатников А. Н.
К19
Инвариантные компакты динамических систем /
А.Н. Канатников, А.П. Крищенко. – М. : Изд-во МГТУ
им. Н. Э. Баумана, 2011. – 231, [1] с. : ил.

ISBN 978-5-7038-3486-2

Изложены методы качественного анализа нелинейных динамических 
систем, ориентированные на нахождение таких областей 
в фазовом пространстве системы, которые содержат все
периодические орбиты, предельные циклы, сепаратрисы, связывающие 
конечные положения равновесия, гомоклинические
структуры, другие компактные инвариантные множества и области 
хаотического поведения решений системы. Рассмотрены
непрерывные и дискретные динамические системы.
Для специалистов в области дифференциальных уравнений
и динамических систем, научных работников, инженеров, а также 
аспирантов и студентов, интересующихся качественными методами 
теории дифференциальных уравнений.

Издается в авторской редакции

УДК 517.938
ББК 22.161.6

ISBN 978-5-7038-3486-2

c⃝ Канатников А. Н.,
Крищенко А. П., 2011

c⃝ Оформление. Издательство
МГТУ им. Н. Э. Баумана,
2011

ВВЕДЕНИЕ

Задачи локализации возникли как один из приемов каче-
ственного исследования динамических систем. Эти задачи направлены 
на оценку положения предельных циклов, аттракторов, 
инвариантных торов и других характерных объектов
динамической системы, которые можно объединить термином
«инвариантное компактное множество».
По постановке задачи локализации несколько различаются,
но с геометрической точки зрения в них речь идет о поиске 
таких подмножеств фазового пространства динамической
системы, которые имеют требуемые свойства, например содержат 
определенные решения этой системы.
Одни из первых публикаций по локализации были связаны
с исследованием аттрактора системы Лоренца [53, 59]. К задачам 
локализации можно отнести построение положительно
инвариантных множеств, содержащих некоторые сепаратрисы 
системы Лоренца [19]; анализ асимптотического поведения
решений системы Лоренца и нахождение множеств, содержащих 
глобальный аттрактор системы Лоренца [18,19,21,22,27–
29,48–52,58,63]; нахождение множеств, содержащих все периодические 
траектории [8, 9, 16, 34, 35, 37, 38, 61], сепаратрисы и
другие траектории [10,15,37,40–42,44].
Множества, содержащие определенные траектории дина-
мической системы, естественно называть локализирующими.
Конечно, интерес представляют те методы и результаты, которые 
позволяют находить как можно более точные локализирующие 
множества для каждой из структур фазового пространства.

Напомним, что подмножество M фазового пространства
динамической системы называют инвариантным, если для любой 
точки x0 ∈ M любое решение этой системы, проходящее

ВВЕДЕНИЕ

через точку x0, целиком содержится в M. Это понятие уточняется 
при анализе динамических систем разного типа (непрерывных 
и дискретных, автономных и неавтономных).
К инвариантным компактным множествам относятся положения 
равновесия, периодические траектории, сепаратрисы,
предельные циклы, инвариантные торы, аттракторы и другие
множества, а также их конечные объединения. Эти множества 
и их свойства во многом определяют структуру фазового
портрета динамической системы и качественное поведение решений 
этой системы.
В данной работе основное внимание уделяется задаче построения 
в фазовом пространстве динамической системы таких 
множеств, которые содержат все инвариантные компактные 
множества (инвариантные компакты) рассматриваемой
системы. Далее множества с таким свойством называются ло-
кализирующими.
Построение локализирующих множеств базируется на ис-
пользовании функций, определенных на фазовом пространстве
системы. В силу этого применяемый метод назван функцио-
нальным.
Основные идеи и приемы функционального метода локали-
зации применительно к непрерывным автономным системам,
которые представляются как системы обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений, излагаются в главах 1 и 2. Эти идеи
иллюстрируются на примере исследования системы Ламба [47].
В главе 3 строятся локализирующие множества для инва-
риантных компактов системы Лоренца. Построения проводят-
ся для всего диапазона значений входящих в систему Лоренца
параметров. При некоторых значениях параметров часть изло-
женных результатов повторяет найденные ранее оценки поло-
жения глобального аттрактора системы Лоренца, полученные
путем анализа асимптотического поведения траекторий.
Задача локализации для однопараметрической системы
Ланфорда [31, 56] рассмотрена в главе 4. Для всех возмож-
ных значений параметров системы найдены локализирующие
множества, достаточно точно описывающие положение инва-

ВВЕДЕНИЕ
5

риантных компактов. Для некоторых диапазонов значений па-
раметров найдены все инвариантные компакты системы.
Глава 5 посвящена изучению еще одной динамической си-
стемы — системы Пиковского — Рабиновича — Трахтенгерца
(ПРТ-системы), возникшей как модель волновых процессов,
протекающих в плазме
[24, 55, 57]. Эта система при некото-
рых значениях параметров выделяется хаотическим поведени-
ем. Построено несколько семейств локализирующих множеств
для инвариантных компактов ПРТ-системы, найдено пересе-
чение этих семейств, которое дало достаточно точную оценку
положения инвариантных компактов.
В главе 6 задача локализации инвариантных компактов
исследуется применительно к неавтономным непрерывным си-
стемам. Для таких систем уточнено понятие инвариантного
множества, проанализированы особенности функционального
метода. Применение функционального метода показано на при-
мере системы Валлиса [65], моделирующей динамику атмосфе-
ры в тропической части Тихого океана.
Задача локализации инвариантных компактов применительно 
к автономным дискретным системам исследуется в
главе 7. Введены понятия положительно инвариантных и отрицательно 
инвариантных множеств как множеств, сохраняющих 
в себе траектории системы при возрастании и убывании
времени. На такие множества распространен функциональный 
метод локализации. Понятия положительно инвариантного 
и отрицательно инвариантного множества оказались удобны
для развития функционального метода в классе дискретных
систем. Предложена процедура построения локализирующих
множеств, исследованы свойства локализирующих множеств.
Эффективным методом решения задач локализации в случае
дискретных систем оказались сдвиги уже найденных локализирующих 
множеств вдоль траекторий системы. Применение
сдвигов позволило, в частности, получить условия существования 
у дискретной системы максимального инвариантного
компакта.

ВВЕДЕНИЕ

В главе 8 функциональный метод локализации инвариантных 
компактов для дискретных систем применен для исследования 
нескольких известных систем: одномерной логистической 
системы [26], а также двумерных систем Хенона [25] и
Катала [23,54].
Эта книга издана при финансовой поддержке Программы
Президента РФ по государственной поддержке ведущих на-
учных школ (грант НШ-4144.2010.1). Часть изложенных ре-
зультатов получена при финансовой поддержке РФФИ (гранты
95-01-01170, 96-01-01094, 05-01-00840, 09-07-00327) и Минобрна-
уки (проект РНП 2.1.1.2381).

1. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ
МЕТОД ЛОКАЛИЗАЦИИ

1.1. Локализация
периодических траекторий

Одна из задач качественного анализа нелинейных систем
дифференциальных уравнений состоит в нахождении и иссле-
довании периодических траекторий. Известно, что они во мно-
гом определяют свойства систем, поведение их решений. Если
решение x: R → Rn нелинейной системы

˙x = f(x),
(1.1)

где

x = (x1, ..., xn)т ∈ Rn,
f(x) = (f1(x), ..., fn(x))т ∈ C∞(Rn),

имеет период T > 0, т. е. x(t+T) = x(t), t ∈ R, то его образ бу-
дем называть периодической траекторией системы (1.1).
Рассмотрим задачи локализации периодических траек-
торий в следующих постановках.
Задача 1. Для системы (1.1) найти такую поверхность
S ⊂ Rn, которую пересекает или которой касается любая пе-
риодическая траектория системы (1.1).
Задача 2. Для системы (1.1) найти такое множество Ω ⊂
⊂ Rn, в котором содержатся все периодические траектории
системы (1.1) (рис. 1.1).
Подмножество Ω фазового пространства системы (1.1), со-
держащее все ее периодические траектории, будем называть
локализирующим множеством.
Рассмотрим следующий метод решения этих задач.

1. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ МЕТОД ЛОКАЛИЗАЦИИ

Рис. 1.1. Задача локализации

Обозначим через ⟨x, y⟩ стандартное скалярное произведе-
ние векторов x, y ∈ Rn, а через ∥x∥ — евклидову норму век-
тора x, т. е.

⟨x, y⟩ =

n
i=1
xiyi,
∥x∥ =
⟨x, x⟩,

x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn).
Пусть

f =

n
i=1
fi(x) ∂

∂xi
—

векторное поле на Rn, соответствующее системе (1.1). Для
произвольной функции ϕ ∈ C∞(Rn) через Lfϕ(x) обозначим
производную Ли этой функции по векторному полю f:

Lfϕ(x) =

n
i=1
fi(x)∂ϕ(x)

∂xi
= ⟨f(x), grad ϕ(x)⟩.

Полагаем, что L1
fϕ(x) = Lfϕ(x), Lk
fϕ(x) = Lf(Lk−1
f
ϕ(x)), k =
= 2, 3, . . .
Докажем следующие четыре утверждения.

Теорема 1.1. Для любой функции ϕ(x) ∈ C∞(Rn) каждая
периодическая траектория системы (1.1) имеет по крайней ме-
ре две общие точки с множеством

Sϕ = {x ∈ Rn : Lfϕ(x) = 0}.
(1.2)

1.1. Локализация периодических траекторий
9

◀ Пусть x(t) — периодическое решение системы (1.1) с пери-
одом T > 0. Тогда для любой функции ϕ ∈ C∞(Rn) слож-
ная функция ϕ(x(t)) дифференцируема, причем ϕ(x(t + T)) =
= ϕ(x(t)) для любого t. Следовательно, функцию ϕ(x(t)) можно
рассматривать как функцию на окружности. Эта функция не-
прерывна, и поэтому она достигает своего наибольшего и наи-
меньшего значений, например, при t = t∗ и t = t∗. Значит, при
этих значениях t выполнено необходимое условие dϕ(x(t))

dt
= 0
локального экстремума для функции ϕ(x(t). Поскольку

dϕ(x(t))

dt
= ϕ′(x)
x=x(t) ˙x(t) =

= ⟨grad ϕ(x), f(x)⟩
x=x(t) = Lfϕ(x)
x=x(t),
(1.3)

условие dϕ(x(t))

dt
= 0 означает, что точки x(t∗) и x(t∗) принад-
лежат множеству Sϕ. ▶

Теорема 1.2. Для любой функции ϕ ∈ C∞(Rn) каждая пе-
риодическая траектория системы (1.1) имеет по крайней мере
одну общую точку с множеством

S−
ϕ =
x ∈ Sϕ: L2
fϕ(x) ⩽ 0
(1.4)

и по крайней мере одну общую точку с множеством

S+
ϕ =
x ∈ Sϕ: L2
fϕ(x) ⩾ 0
.
(1.5)

◀ Возвращаясь к доказательству теоремы 1.1, заметим, что,
например, в точке локального максимума t∗ выполнено условие
d2ϕ(x(t∗))

dt2
⩽ 0. Так как

d2ϕ(x(t∗))

dt2
= L2
fϕ(x)
x=x(t∗),
(1.6)

получаем утверждение теоремы, касающееся множества S−
ϕ .
Утверждение теоремы, касающееся множества S+
ϕ , доказыва-
ется аналогично с использованием второй точки t∗. ▶

1. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ МЕТОД ЛОКАЛИЗАЦИИ

Теорема 1.3. Для любой функции ϕ ∈ C∞(Rn) множества
x ∈ Sϕ: L2
fϕ(x) < 0
,
x ∈ Sϕ: L2
fϕ(x) > 0
(1.7)

являются (n−1)-мерными подмногообразиями (гиперповерхно-
стями) в Rn. Каждая периодическая траектория системы (1.1)
имеет с подмногообразиями (1.7) только трансверсальные пе-
ресечения.

◀ Поскольку L2
fϕ(x)=⟨f(x),gradLfϕ(x)⟩, из условия L2
fϕ(x) ̸=
̸= 0 вытекает, что grad Lfϕ(x) ̸= 0. Следовательно, локально в
окрестности точки x множества (1.7) являются гладкими ги-
перповерхностями. Далее, из того же условия заключаем, что
векторы f(x) и grad Lfϕ(x) не ортогональны, а это эквива-
лентно трасверсальности пересечения в точке x траектории
системы (1.1) и соответствующей гиперповерхности (1.7). Та-
ким образом, справедливо утверждение теоремы 1.3. ▶

Положим для функции ϕ(x) ∈ C∞(Rn)

ϕsup = sup
x∈Sϕ
ϕ(x),
ϕinf = inf
x∈Sϕ ϕ(x).
(1.8)

Теорема 1.4. Для любой функции ϕ ∈ C∞(Rn) все перио-
дические траектории системы (1.1) содержатся в множестве

Ωϕ = {x ∈ Rn: ϕinf ⩽ ϕ(x) ⩽ ϕsup} .
(1.9)

◀ Как показано при доказательстве теоремы 1.1, функция
ϕ(x(t)) достигает максимального и минимального значений в
точках x(t∗) и x(t∗) (x(t) — периодическое решение системы),
которые принадлежат множеству Sϕ. Следовательно, для лю-
бого t ∈ R имеем

ϕ(x(t)) ⩾ min
t∈R ϕ(x(t)) = ϕ(x(t∗)) ⩾ inf
Sϕ ϕ(x) = ϕinf

и аналогично

ϕ(x(t)) ⩽ max
t∈R ϕ(x(t)) = ϕ(x(t∗)) ⩽ sup
Sϕ
ϕ(x) = ϕsup.