Введение в теорию планирования эксперемента

        Н.И. Сидняев, Н.Т. Вилисова



Введение в теорию планирования эксперимента



Допущено Учебно-методическим объединением вузов по университетскому политехническому образованию в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению «Машиностроительные технологии и оборудование» специальности «Реновация средств и объектов материального производства в машиностроении»





им. Н.Э. Бауман:

Москва 2011

УДК 621.391(075.8)
ББК 22.172

    С34


Рецензенты:
д-р физ.-мат. наук, проф. В.Б. Гласко;
д-р физ.-мат. наук, проф. М.Г. Коновалов;
д-р техн. наук, проф. А.А. Грешилов



    Сидняев Н. И.
С34 Введение в теорию планирования эксперимента : учеб. пособие / Н. И. Сидняев, Н. Т. Вилисова. — М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2011. — 463, [1] с. : ил.

         ISBN 978-5-7038-3365-0

         Представлены основы теории планирования эксперимента и анализа получаемых данных. Детально рассмотрены полный факторный эксперимент, дробные реплики, планирование однофакторных, факторных и оптимизационных экспериментов. Изложены методы регрессионного и дисперсионного анализов. Задачи рассмотрены с позиций статистического подхода к постановке физических задач. Материал сопровождается набором типовых примеров, наиболее широко используемых при решении задач прикладного характера.
         Содержание учебного пособия соответствует курсу лекций по «Теории планирования эксперимента», который авторы читают в МГТУ им. Н.Э. Баумана.
         Для студентов старших курсов технических университетов. Может быть полезно преподавателям, аспирантам и инженерам.




УДК 621.391(075.8)
ББК 22.172






ISBN 978-5-7038-3365-0

                                        © Сидняев Н.И., Вилисова Н.Т., 2011 © Оформление. Издательство

МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011

ПРЕДИСЛОВИЕ

    Цель предлагаемого учебного пособия — описать установление функциональных и статистических связей между несколькими факторами с помощью эксперимента. Для изучения систем различной степени сложности наиболее целесообразно применение статистических методов планирования эксперимента, поэтому в пособии приведены не только методы, но и их математическое содержание. Рассмотренные методы проиллюстрированы подробными примерами из практики экспериментальных исследований [1—10].
    В первой главе последовательно и сжато изложены основные понятия математической статистики [1, 2]: эмпирические функции распределения, плотности распределения, гистограммы, теорема Гливенко (без доказательства), выборка, порядковые статистики. Подробно с примерами рассмотрены точечная и интервальная оценки параметров распределения, свойства точечных оценок (состоятельность, несмещенность, эффективность), неравенство Рао — Крамера, функция правдоподобия, методы получения оценок, а именно: максимального правдоподобия, моментов, а также метод наименьших квадратов (МНК) и метод минимума. Приведены асимптотические свойства оценок, доверительное оценивание, основные распределения математической статистики: распределение у² (хи-квадрат, или ^-распределение), распределение Стьюдента (t-распределение), распределение Фишера (F-распределение). Описано доверительное оценивание параметров биномиального, нормального и экспоненциального распределений с примерами. Введены понятия статистической гипотезы, критерия проверки гипотезы, статистики критерия. Приведена общая логическая схема построения критерия проверки гипотез. Показана связь проверки гипотез с доверительным оцениванием, рассмотрены типы гипотез: простые, сложные, параметрические, непараметрические, лемма Неймана — Пирсона, а также проведена проверка гипотез о параметрах биномиального, нормального, пуассоновского и экспоненциального распределений.

Предисловие

    Вторая глава посвящена вопросам математической обработки результатов эксперимента при решении различных задач (от простой оценки отклика до построения математической модели исследуемого объекта) [11—18]. Подробно изложены элементы регрессивного анализа: простая регрессия, парная линейная регрессия, ортогональная регрессия. Представлены оценки уравнений регрессии, МНК, метод максимального правдоподобия, статистические выводы о параметрах простой регрессии, линеаризация регрессии, регрессия при случайных аргументах и функциях. Рассмотрены множественная линейная регрессия, статистические выводы о параметрах регрессии, оценка множественного коэффициента корреляции.
    Для определения параметра оптимизации и выбора схемы планирования эксперимента предварительно введен объект исследования на основе априорной информации, которую получают, изучая литературные данные и анализируя результаты ранее проведенных исследований [19—27].
    В третьей главе введены основные понятия теории планирования эксперимента и рассмотрены критерии планирования. Дан анализ этапа предпланирования эксперимента, выбора факторов, области проведения эксперимента. Определены базовая точка и интервалы варьирования. Приведены примеры полного факторного эксперимента (ПФЭ) типа 2m, линейных моделей второго порядка. Описаны полные и дробные факторные планы, а также планы эксперимента для квадратичных моделей [4—9]. Рассмотрены пути сокращения числа опытов путем проведения дробного факторного эксперимента (ДФЭ). Дано описание методов выделения существенных факторов, которые необходимо учитывать при построении математических моделей [26—34]. Рассмотрены проблемы планирования эксперимента и расчета оценок параметров, входящих в модели нелинейно [24—30]. Даны рекомендации для формирования линейных эффектов, которые следует смешивать прежде всего с теми взаимодействиями, которые, согласно априорной информации, незначимы.
    В четвертой главе приведены композиционные планы Бокса, ротатабельные центральные композиционные планы (РЦКП), планы типа В ₘ, D-оптимальные планы, планы Кифера и Коно на отрезке О = (-1, 1) [22—34]. Центральные композиционные планы второго порядка рассмотрены в совокупности с ортогональными и

Предисловие

5

ротатабельными планами второго порядка. Изложены основные методы получения математического описания на относительно линейных участках поверхности отклика и в области главного экстремума. Дано понятие информационного профиля плана.
    Рассмотрены композиционные планы, основой которых является двухуровневый ПФЭ с добавлением экспериментов, проводимых на других уровнях как в центре плана, так и при различных значениях ±а (расстояние от ребер гиперкуба, или длина «звездного» плеча). Необходимо отметить, что проведение ПФЭ при большом числе факторов (к > 3) связано с большим числом опытов, значительно превосходящим число коэффициентов линейной модели.
    Введено понятие разрешающей способности как числа несмешанных линейных эффектов в дробной реплике. Приведены примеры, на которых показано, что выбор некоторого универсального критерия оптимальности планирования, оценивающего планы с различных точек зрения, является весьма сложной задачей [28—32].
    Подробно рассмотрено центральное композиционное планирование, предложенное Г. Боксом и Р. Уильсоном, для случая, когда число факторов к — 3 [4]. Приведены данные, необходимые для построения матриц центрального композиционного ротатабельно-го планирования. Показано, как разбиваются планы на ортогональные блоки. Разобраны примеры применения ротатабельного планирования. Предложено несколько способов построения ротатабельных планов второго порядка. Рассмотрено центральное композиционное планирование как одна из возможных композиций, удовлетворяющих условию ротатабельности. Подробно изложен способ построения ротатабельных планов второго порядка. Доказано, что ортогональные планы первого порядка являются одновременно ротатабельными планами. Дана геометрическая интерпретация ортогональных планов первого порядка. Рассмотрены примеры для различных матриц, задающих координаты экспериментальных точек в факторном пространстве ортогональных планов первого порядка с минимальным числом экспериментов.
    В пятой главе показано, как дисперсионный и регрессионный анализы, базирующиеся на планировании эксперимента, переплетаются весьма сложным образом, поэтому трудно провести четкую границу между этими разделами математической статистики. Основная идея дисперсионного анализа заключается в разложении

Предисловие

суммы квадратов отклонений на составные части, каждая из которых характеризует действительный или предполагаемый источник изменения выхода. Термин «дисперсионный анализ» в литературе означает сопоставление дисперсий, специальное планирование и обработку экспериментов, позволяющих учесть влияние на функцию отклика количественных и качественных факторов [19]. Например, можно попытаться оценить влияние различных сортов сырья или вспомогательных материалов на качество продукции. Многофакторный дисперсионный анализ (МДА) является одним из качественных методов активного эксперимента [18—20]. В главе показано, как с помощью МДА можно дать сравнительную оценку силе влияния одного, двух или нескольких входных качественных факторов изменчивости на выход объекта. В частности, рассмотрено движение по методу крутого восхождения с использованием симплексных решеток, когда исследователь попадает в почти стационарную область, которая не может быть описана с помощью линейного приближения, и в этой части поверхности отклика доминирующими становятся коэффициенты регрессии, характеризующие эффекты взаимодействия.
    Приведены последовательная методика расчета оценок параметров модели заданного вида и метод последовательного планирования эксперимента для моделей, линейных и нелинейных по параметрам. Дано описание методов экспериментального поиска значений факторов, при которых целевая функция достигает экстремума [32, 33]. Рассмотрены примеры и методы анализа стационарной области, описываемой квадратичным полиномом, которые позволяют установить характер поверхности отклика.
    В пособии содержится материал по введению в теорию планирования эксперимента, включающий лишь основные разделы, необходимые для начального изучения предмета. Наибольшее внимание уделено детальному изучению идей и основ предмета. Особое значение придается изучению объектов исследований, анализу многофакторных экспериментов и многомерных функций отклика, теории проверки гипотезы адекватности моделей и другим задачам, актуальным в теории и практике эксперимента.

ВВЕДЕНИЕ

    В настоящее время возрастает необходимость рационального использования в науке и технике труда ученых и инженеров, а также средств производства — технической оснастки и оборудования. Одно из направлений повышения производительности научного труда заключается в применении современных математических методов и вычислительных средств, таких как планирование эксперимента, исследование операций, математическое моделирование и др. [5].
    Практическая польза от научных исследований в значительной степени зависит от методов их проведения и формы, в которой представляются результаты. Применение эффективной технологии исследований позволяет существенно сократить период внедрения результатов, что приводит к экономии времени и средств [4, 6, 9].
    С помощью традиционных методов исследования [4, 10, 16] не удается обеспечить требуемую модернизацию или проектирование производственных мощностей. Поэтому в науке, технике и производстве при решении разнообразных задач применяются новые эффективные методы исследования. При этом особое внимание уделяется моделям процессов и способам их построения.
    Для эффективного анализа механизма явлений и управления процессами необходимо выявить взаимосвязи между факторами, определяющими динамику процесса, и представить их в количественной форме, т. е. в виде математической модели. Математическая модель является математическим отображением наиболее существенных сторон процесса. Модель представляет собой совокупность уравнений, условий и алгоритмических правил (рис. В.1) и позволяет:
    • получать информацию о процессах, протекающих в объекте;
    •    рассчитывать системы, т. е. анализировать и проектировать их;
    •    получать информацию, которую можно использовать для управления моделируемым объектом.

Введение

Рис. В.1. Источники информации для построения математических моделей

    В зависимости от источника информации, используемого при построении математической модели (см. рис. В.1), различают физико-химические модели, статистические теоретические и эмпирические модели. В первом случае за основу берут физико-химические закономерности моделируемых процессов, например в виде уравнений баланса или кинетических уравнений превращений вещества [23]. Построение теоретических моделей сопряжено с проведением обширных и длительных исследований, поскольку необходимо выяснить природу микропроцессов, протекающих в объекте, и описать их математически. Как правило, модели процессов представляют в виде сложных систем уравнений (системы алгебраических, обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) или уравнений в частных производных). Они позволяют очень точно описать процессы, происходящие в объекте, и допускают экстраполяцию в точки факторного пространства, в которых невозможно непосредственное наблюдение этих процессов. Статистические модели получают в результате статистической обработки экспериментальных данных, собранных на исследуемом объекте. Структура статистической модели может выбираться относительно произвольно [24—27]. Соответствие модели объекту ограничивается лишь количественным аспектом.
    Необходимость использования метода математического моделирования определяется тем, что непосредственно исследовать многие объекты (или проблемы, относящиеся к этим объектам) или вовсе невозможно, или это исследование требует много времени и средств.

Введение

9

    Процесс моделирования включает три элемента:
    1) субъект (исследователь);
    2) объект исследования;
    3)     модель, характеризующую отношения познающего субъекта и познаваемого объекта.
    Предположим, что имеется некоторый объект А, или что его необходимо создать. Мы конструируем (материально или мысленно) или находим в реальном мире другой объект В — модель объекта А. Процесс моделирования включает четыре этапа. Первый этап — это этап построения модели, который предполагает наличие некоторых знаний об объекте-оригинале. Познавательные возможности модели обусловлены тем, что она отражает некоторые существенные черты объекта-оригинала. Вопрос о необходимости и достаточной мере сходства оригинала и модели требует конкретного анализа.
    На втором этапе модель выступает как самостоятельный объект исследования. Одной из форм такого исследования является проведение «модельных» экспериментов, при которых сознательно изменяются условия функционирования модели и систематизируются данные о ее поведении. Конечным результатом этого этапа является получение множества знаний о модели.
    На третьем этапе осуществляется перенос знаний с модели на оригинал, т. е. формирование множества знаний об объекте. Этот процесс проводится по определенным правилам. Знания о модели должны быть скорректированы с учетом тех свойств объекта-оригинала, которые не нашли отражения или были изменены при построении модели. Мы можем с достаточным основанием переносить какой-либо результат с модели на оригинал, если этот результат связан с признаками сходства оригинала и модели. Если же определенный результат исследования модели связан с отличием модели от оригинала, то этот результат переносить неправомерно.
    Четвертый этап заключается в практической проверке получаемых с помощью моделей знаний и их использовании для построения обобщающей теории объекта, его преобразования или управления им. Чтобы понять сущность моделирования, важно не упускать из виду, что моделирование — не единственный источник знаний об объекте. Процесс моделирования «погружен» в более общий процесс познания. Это обстоятельство учитывается не только на этапе построения модели, но и на завершающей стадии,

Введение

когда происходит объединение и обобщение результатов исследования, получаемых на основе многообразных средств познания.
    Моделирование — циклический процесс. Это означает, что за первым четырехэтапным циклом может последовать второй, третий и т. д. При этом знания об исследуемом объекте расширяются и уточняются, а исходная модель постепенно совершенствуется. Недостатки, обнаруженные после первого цикла моделирования, обусловленные малым знанием объекта и ошибками в построении модели, можно исправить в последующих циклах. Таким образом, в методологии моделирования заложены большие возможности для саморазвития [5, 9, 10, 12, 14].
    Большинство объектов, изучаемых наукой, может быть охарактеризовано кибернетическим понятием «сложная система». Сложность системы определяется числом входящих в нее факторов, связями между этими факторами, а также взаимоотношениями между системой и средой. Многие объекты обладают всеми признаками очень сложной системы. Они объединяют огромное число факторов, отличающихся многообразием внутренних связей и связей с другими системами (природная среда, экономика других стран и т. д). В науке взаимодействуют природные, технологические, социальные процессы, объективные и субъективные факторы. Разумеется, потенциальная возможность математического моделирования любых объектов и процессов не означает успешной реализации модели при данном уровне развития вычислительной техники и математических знаний. И хотя нельзя указать абсолютные границы математической формализуемости проблем, всегда будут существовать еще неформализованные проблемы, а также ситуации, где математическое моделирование недостаточно эффективно.
    Длительное время главным тормозом практического применения математического моделирования в науке является недостаточное наполнение разработанных моделей конкретной и качественной информацией. Точность и полнота первичной информации, реальные возможности ее сбора и обработки во многом определяют выбор типов прикладных моделей. В то же время математическое моделирование выдвигает новые требования к системе информации. В зависимости от моделируемых объектов и назначения моделей используемая в них исходная информация имеет существенное различие. Она может быть разделена на две категории: