Численный расчет круглых несимметрично нагруженных пластин переменной в радиальном направлении толщины

Московский государственный технический университет 
имени Н. Э. Баумана 

 

 

Ф. Д. Сорокин 
 
 
 
Численный расчет  
круглых несимметрично нагруженных 
пластин переменной в радиальном 
направлении толщины 
 
Методические указания к самостоятельной работе  
по курсам «Строительная механика машин»  
и «Механика стержней, пластин и оболочек» 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 

Москва 

2014 

УДК 62.413 
ББК 22.251 
С65 
 
Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru  
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/181/book106.html 
 
Факультет «Робототехника и комплексная автоматизация» 
Кафедра «Прикладная механика» 

Рекомендовано Учебно-методической комиссией  
Научно-учебного комплекса «Робототехнические комплексы» 
МГТУ им. Н.Э. Баумана 

Рецензент д-р техн. наук, профессор М. Н. Захаров 

 
Сорокин Ф. Д. 
  
 
Численный расчет круглых несимметрично нагруженных 
пластин переменной в радиальном направлении толщины : метод. 
указания / Ф. Д. Сорокин. — М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Бау- 
мана, 2014. — 31, [5] с. : ил. 

ISBN 978-5-7038-3950-8 
 

Приведены краткие сведения о расчете круглых пластин. 
Расчет пластин переменной в радиальном направлении толщины сведен к решению последовательности линейных краевых задач для системы обыкновенных дифференциальных 
уравнений. Изложены основные теоретические положения, 
даны примеры расчетов пластин с использованием компьютерного математического пакета Mathematica. 
Для студентов 3-го курса, обучающихся по специальности 
«Динамика и прочность машин». 
 
УДК 62.413 
ББК 22.251 
 
 
 
 
 
 
 
 
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2014 
© Оформление. Издательство  
ISBN 978-5-7038-3950-8  
 
    МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2014 

 С65 

ВВЕДЕНИЕ 

Конструктивные элементы в виде круглых пластин широко 
распространены в машиностроении и приборостроении (днища и 
заглушки баллонов высокого давления, упругие элементы приборов, диски колес, крышки, люки и т. п.).  
Примерами круглых пластин переменной толщины являются 
крупные линзы и зеркала оптических телескопов. Осесимметричная геометрия таких пластин обусловлена технологией изготовления либо их назначением, однако нагрузки на такие пластины не 
всегда осесимметричны. Так, в некоторых конструкциях телескопов круглые зеркала опирают на 3, 6 или 9 точек (рис. В). В этом 
случае кроме осесимметричной весовой нагрузки зеркало нагружено еще сосредоточенными силами. От расположения опорных 
элементов зависят упругие перемещения поверхности зеркала и, 
следовательно, точность телескопа.  
 

 
 
Рис. В. Система крепления зеркала любительского телескопа 

1. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ  
ТЕОРИИ ИЗГИБА КРУГЛЫХ ПЛАСТИН 

Теория изгиба круглых пластин подробно изложена в книге [1], 
случай осесимметричной нагрузки рассмотрен в [2, 3], поэтому 
здесь приведены только основные соотношения, необходимые для 
практических расчетов пластин указанного вида.  
Все величины, определяющие напряженно-деформированное 
состояние круглой пластины, могут быть выражены через единственную функцию нормальных перемещений 

 
 
( , ),
w
w r
=
ϕ   
(1.1) 

где r — радиус; ϕ — полярный угол.  
При расчете на прочность необходимо вычислять напряжения 
в материале пластины, вызываемые изгибающими и крутящими 
моментами (точнее, интенсивностями моментов) 

 
 

2
2

1
2
2
2

2
2

2
2
2
2

12

3

2

;

;

(1
)
;

,
12(1
)

w
w
w
M
D
r r
r
r

w
w
w
M
D
r r
r
r

w
M
D
r
r

Eh
D

⎡
⎤
⎛
⎞
∂
∂
∂
= −
+ μ
+
⎢
⎥
⎜
⎟
∂
∂
∂ϕ
⎢
⎥
⎝
⎠
⎣
⎦

⎡
⎤
∂
∂
∂
= −
+
+ μ
⎢
⎥
∂
∂ϕ
∂
⎣
⎦
⎛
⎞
∂
∂
= −
− μ
⎜
⎟
∂
∂ϕ
⎝
⎠

=
− μ

  
(1.2) 

где M1 — изгибающий момент в радиальном направлении; M2 — 
изгибающий момент в окружном направлении; M12 — крутящий 
момент; D — цилиндрическая жесткость; μ — коэффициент Пуассона; E — модуль упругости; h — толщина пластины.