Компьютерное моделирование в задачах преследования

КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЗАДАЧАХ ПРЕСЛЕДОВАНИЯ

МОНОГРАФИЯ




А.А. Дубанов








Москва
РИОР

УДК 51-74 ББК 22.151.3
Д79




Автор:
Дубанов А.А. — кандидат технических наук, доцент кафедры геометрии и методики преподавания математики, Институт математики и информатики Бурятского государственного университета им. Доржи Банзарова (г. Улан-Удэ) Рецензенты:
Аюшеев Т.В. — доктор технических наук, доцент, заведующий кафедрой инженерной и компьютерной графики, Восточно-Сибирский государственный университет технологий и управления (г. Улан-Удэ);
Заятуев Б.В. — кандидат физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой геометрии и методики преподавания математики, Бурятский государственный университет им. Доржи Банзарова (г. Улан-Удэ)


      Дубанов А.А.
Д79 Компьютерное моделирование в задачах преследования: монография [Электронный ресурс]. — Москва: РИОР, 2023. — 161 с. — DOI: https://doi.org/10.29039/02102-6


ISBN 978-5-369-02102-6


      В данной монографии публикуется описание методов и алгоритмов задач преследования на поверхностях. Произведено моделирование задач в среде программирования MathCAD. Развитие цифровых технологий позволяет производить моделирование разнообразных задач из теории дифференциальных игр. В результате компьютерного моделирования было получено множество анимационных роликов, которые позволяют увидеть предлагаемые автором алгоритмические решения в задачах преследования.
      Монография может быть полезна студентам технических вузов, аспирантам и разработчикам робототехнических комплексов с элементами искусственного интеллекта.


Издается в авторской редакции




Д79
УДК 51-74
ББК 22.151.3


© Дубанов А.А.

ОГЛАВЛЕНИЕ


ВВЕДЕНИЕ ......................................................... 5
ГЛАВА 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЗАДАЧ ПРЕСЛЕДОВАНИЯ
НА ПЛОСКОСТИ, В ПРОСТРАНСТВЕ И НА ПОВЕРХНОСТЯХ ................... 7
  1.1. Геометрическая модель метода параллельного сближения ..... 11
  на плоскости .................................................. 11
  1.2. Геометрическая модель метода параллельного сближения ..... 15
  в пространстве ................................................ 15
  1.3. Геометрическая модель метода параллельного сближения ..... 16
  на поверхности ................................................ 16
  1.4. Геометрическая модель метода погони в пространстве ....... 17
  и на плоскости ................................................ 17
  1.5. Геометрическая модель метода погони на поверхности ....... 19
  1.6. Геометрическая модель метода пропорционального сближения . 22
  1.7. Геометрическая модель трех точечного метода сближения .....25
  1.8. Геометрическая модель уклонения цели ..................... 26
  1.9. Геометрические модели группового преследования............ 37
   1.9.1. Геометрическая модель преследования одиночной цели согласованной группой......................................... 37
   1.9.2. Геометрическая модель группового преследования множеств целей ................................................41
ВЫВОДЫ К ГЛАВЕ 1 ................................................ 42
ГЛАВА 2. ФОРМАЛИЗОВАННОЕ ОПИСАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ
ОБЪЕКТОВ В ЗАДАЧАХ ПРЕСЛЕДОВАНИЯ............................. 44
  2.1. Основная модель описания динамических объектов при преследовании
  в пространстве ............................................ 44
  2.2. Частный случай описания динамических объектов при преследовании на поверхности ............................................49
  2.3. Частный случай описания динамических объектов при преследовании на плоскости .............................................. 52

3

  2.4. Некоторые видоизменения основной модели .................. 55
ВЫВОДЫ К ГЛАВЕ 2 ................................................ 56
ГЛАВА 3. КИНЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОПИСАНИЯ
ДИНАМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ В ЗАДАЧАХ ПРЕСЛЕДОВАНИЯ ............. 58
  3.1. Модифицированные модели преследования объектов при параллельном
  сближении ............................................... 58
   3.1.1. Модель модификации метода параллельного сближения на поверхности ......................................... 73
   3.1.2. Модель стремления к плоскости движения цели при параллельном сближении .............................78
  3.2. Модифицированная модель преследования объектов методом погони . 88
  3.2.1. Модель преследования методом погони на поверхности...... 99
  3.3. Модели группового преследования объектов............ 107
   3.3.1. Модель группового преследования одиночной цели с различными стратегиями................................ 108
   3.3.2. Модель преследования цели группой с жесткими связями . 115
   3.3.3. Модели группового преследования нескольких целей с временными критериями достижения ....................................... 118
  3.4. Модель коррекции траектории движения преследователя в пространстве
  при стремлении к параллельному сближению...................... 127
  3.5. Расчет параметров параллельного сближения на основе многофакторного анализа............................. 136
ВЫВОДЫ К ГЛАВЕ 3 ............................................... 147
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ..................................................... 148
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ .............................................. 150

4

ВВЕДЕНИЕ


     В настоящее время особый статус имеет компьютерное моделирование в системах виртуальной реальности. Для того, чтобы компьютерная модель отвечала требованиям задач, которые она моделирует, необходимо, чтобы математический аппарат корректно описывал моделируемые явления.
     В данной монографии производится моделирование задач преследования. Производится адаптивное моделирование поведение, как преследователей, так и целей. Производится итерационный расчет траекторий участников задачи преследования.
     Основное внимание уделяется методам погони и параллельного сближения. Данные методы взяты за основу исследования и модифицируются в дальнейшем.
     Научную новизну исследования составляет итерационный расчет траекторий участников задачи преследования при совершении движения с постоянной скоростью, следуя при этом прогнозируемым траекториям.
     Прогнозируемые траектории образуют однопараметрическую сеть непрерывных линий первого порядка гладкости. Прогнозируемые траектории рассчитываются с учетом ограничений по кривизне участника задачи преследования.
     Факт ограничений по кривизне можно трактовать как ограничения по угловой частоте вращения объекта задачи преследования.
     Также новизну составляет расчет итерационного процесса группового преследования множества целей, когда цели поражаются одновременно или в заданные промежутки времени. Расчет параметров сети прогнозируемых траекторий производится с вариацией кривизны для достижения нужного временного эффекта.
     Также в работе производится моделирование адаптивного поведения преследователя и цели. Принцип поведения можно выразить на примере преследо

5

вателя простой фразой: «Ты налево — я налево». Так происходит на каждом шаге итерации в плане выбора направления вращения. Для цели принцип адаптивного поведения выражается фразой: «Ты налево — я направо».
     Исследования, алгоритмы и модели, изложенные в монографии, могут быть востребованы при проектировании беспилотных летательных аппаратов с автономным управлением с элементами искусственного интеллекта.
     Модели задач в монографии дополнены множеством анимированных изображений, где можно будет посмотреть процесс исследования.
     Также задачи имеют реализацию в системе компьютерной математики и могут быть перенесены в системы виртуальной реальности при необходимости.

6

ГЛАВА 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЗАДАЧ ПРЕСЛЕДОВАНИЯ НА ПЛОСКОСТИ, В ПРОСТРАНСТВЕ И НА ПОВЕРХНОСТЯХ

    Задачи преследования являются частью теории дифференциальных игр. Задачи преследования имеют большое многообразие. Классификация задач преследования является условной. Для примера, рассмотрим классификацию задач преследования по признаку управляемости.


Тип игры

Рисунок 1.1 Классификация дифференциальных игр по признаку управляемости

    Данная классификация предложена (Рисунок 1.1) в источнике [1] Красовским Н.Н. и Субботиным А.И. Детерминированный тип — это, когда результат полностью определяется выбором способа управления. Стохастический тип — это, когда при выбранном способе управления еще участвует в ходе получения результата случайное событие, имеющее статистическое описание. Игровой тип — это тип, при котором результат зависит от выбора управления и от случайного фактора, не имеющего вероятностного описания.
    В программном случае управляющее воздействие является функцией времени. В позиционном случае, управляющие воздействия можно трактовать как

7

адаптивную реакцию участника игры на воздействия внешней для него среды. Между участниками игры существует адаптивная обратная связь.
    В следующем примере, указанном в источнике [2], произведена классификация по признаку объединения в коалиции.


Рисунок 1.2 Классификация по признаку объединения в коалиции

    Игры можно подразделять на коалиционные — безкоалиционные, на антагонистические — неантагонистические (Рисунок 1.2).
    В коалиционной игре фазовые координаты участников, управления и стратегии зависят в одной коалиции по правилам, принятых в этой коалиции.
    В безкоалиционной игре каждый участник принадлежит только одной коалиции.
    Антагонистической называется та игра, в которой считается, что выигрышем одного является проигрыш другого.
    В диссертационном исследовании будут рассматриваться задачи преследования, которые можно описать как антагонистические, коалиционные и безкоа-лиционные. По признаку управляемости задачи преследования, рассматриваемые в исследовании, можно охарактеризовать как детерминированные и позиционные.


8

    В работе Пацко В.С., Туровой В.Л. [3] описаны модификации задачи «шофер-убийца», на основании которой можно сделать условную классификацию

задач преследования.
    Задача о «шофере-убийце» рассматривалась Р. Айзексом в работе [4] для описания дифференциальной игры с динамикой:


             хр = Up • sin #

Хе = V1

Уе = ^2

р. Ур = vₚ • cos 6

vₚ • и
R

Е: и =

(1.1)

0 =



, М < р

    В формулах (1.1) положение преследователя Р описывается координатами хр, Ур , модуль скорости преследователя ир, угол с осью координат в, минимальный радиус кривизны R, управление преследователя и. Положение цели описывается координатами хе> уе, управление цели v.
В работе [3] выделены следующие задачи преследования:
   • Задачи в постановке Р. Айзекса. Данные задачи описываются системой уравнений (1.1).
   • Задачи Р. Айзекса, продолженные в исследованиях Дж. Бреквелла и Э. Мерца. Наиболее полно такое развитие показано в работах Э. Мерца [5, 6, 7]. В работе [7] двупараметрическое множество параметров функции цены разделено на 20 подобластей линиями сингулярности (рассеивающие, универсальные, экивокальные, фокальные). Для каждой из областей была исследована структура оптимальных движений и тип сингулярных линий.
   • Игра сопровождения — уклонения. В работах Дж. Левина [8, 9, 10] цель старается как можно быстрее выйти из зоны обнаружения, а преследователь старается как можно дольше продержать противника в этой области.
   • Акустическая задача «шофер-убийца». П. Кардалиге, М. Квинкампуа, П. Сен-Пьер [11, 12] рассматривали вариант игры преследования, когда на управление цели накладывались ограничения, если расстояние между 9

   целью и преследователем меньше заданной величины. Другими словами, на управление преследователя и цели может применяться иная стратегия, если расстояние меньше определенной величины
   • Игры с усложненной динамикой «автомобиля». Здесь преследователь представлен как «автомобиль Дубинса», «автомобиль Ридса и Шеппа» [13, 14], «обобщенный автомобиль Дубинса» [15]. В «автомобиле Дубин-са» динамика преследователя определяется системой дифференциальных уравнений (1.2):
                           хр = ш ■ sin в
                           ур = ш- cos Q                     (1.2)
6 = и,\и\ < 1,|ш| < 1
   • Если в системе (1.2) преследователь может скачком изменять скорость до противоположного направления, то получаем «автомобиль Ридса и Шеп-па». В «обобщенном автомобиле Дубинса» система (1.2) дополняется уравнением: d> = и, где и — дополнительный управляющий параметр.
   • Игры преследования с оптимальными стратегиями. В этом пункте рассматриваются оптимальные стратегии по правилу экстремального прицеливания. Процедура построения оптимальной стратегии согласно Н.Н. Красовскому [1] включает в себя решение на максимин вспомогательной задачи по выбору программной стратегии движения игрока из определенной позиции.
     Рассмотрим вопрос об оптимальных стратегиях отдельно. В работе [16] Л. С. Понтрягин сформировал принцип максимума. Решение по принципу максимума важно тогда, когда необходимо найти максимальное быстродействие управляемой системы при минимальном расходе энергии, как пример.
     В методе динамического программирования Беллмана [17] моделирования оптимальных траекторий на каждом шаге дискретного процесса оптимизации минимизируются рекуррентные уравнения Беллмана.

10