Основы физики : в 3 т. Т. 3 : Упражнения и задачи

Упражнения
и задачи

У Ч Е Б Н И К  Д Л Я  В Ы С Ш Е Й  Ш К О Л Ы
У Ч Е Б Н И К  Д Л Я  В Ы С Ш Е Й  Ш К О Л Ы

Москва
Лаборатория знаний
2023

Н. П. Калашников, М. А. Смондырев

ОСНОВЫ
ФИЗИКИ

Том 3

2-Е ИЗДАНИЕ, ЭЛЕКТРОННОЕ 

УДК 53(075.8)
ББК 22.3я73
К17

С е р и я
о с н о в а н а
в
2009 г.
Калашников Н. П.
К17
Основы
физики
:
в 3 т.
Т. 3
:
Упражнения
и
задачи / Н. П. Калашников, М. А. Смондырев. — 2-е изд., электрон. — М. : Лаборатория знаний, 2023. — 387 с. — (Учебник
для высшей школы). — Систем. требования: Adobe Reader XI ;
экран 10". — Загл. с титул. экрана. — Текст : электронный.
ISBN 978-5-93208-661-2 (Т. 3)
ISBN 978-5-93208-658-2
Задачник соответствует действующей программе дисциплины
«Физика» для естественнонаучных и технических университетов.
Книга входит в состав учебного комплекта, включающего также два
тома учебника «Основы физики» тех же авторов.
По всем темам представлены основные уравнения и формулы,
разбор решения интересных для практики задач, задачи для самостоятельной работы. Приведены варианты типовых расчетов и богатый справочный материал. В конце книги размещены ответы.
Для студентов естественнонаучных и инженерно-технических
специальностей.
УДК 53(075.8)
ББК 22.3я73

Деривативное издание на основе печатного аналога: Основы физики : в 3 т. Т. 3 : Упражнения и задачи / Н. П. Калашников, М. А. Смондырев. — М. : Лаборатория знаний, 2019. — 384 с. :
ил. — (Учебник для высшей школы). — ISBN 978-5-00101-006-7 (Т. 3);
ISBN 978-5-00101-003-6.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений,
установленных
техническими
средствами
защиты
авторских
прав,
правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков
или выплаты компенсации

ISBN 978-5-93208-661-2 (Т. 3)
ISBN 978-5-93208-658-2
© Лаборатория знаний, 2019

ПРЕДИСЛОВИЕ
ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА

Предлагаемый вашему вниманию сборник упражнений и задач по физике входит в состав учебно-методического комплекта, включающего
также учебник «Основы физики» в двух томах. Авторский коллектив
комплекта — д-р физ.-мат. наук Н. П. Калашников и д-р физ.-мат. наук М. А. Смондырев — авторитетные ученые и преподаватели высшей
школы. Николай Павлович постарался подобрать в сборник самые
яркие и оригинальные упражнения и задачи, иллюстрирующие основные физические законы и помогающие уяснить физический смысл и
масштабы физических явлений. Михаил Александрович внес значительный вклад в разработку методических рекомендаций по решению
задач. Ясность, четкость и доступность методического аппарата —
основные и несомненные достоинства сборника.

Издательство
выражает
искреннюю
признательность
консультантам
задачника — канд. физ.-мат. наук
Ирине
Яковлевне
Ицхоки
и канд. физ.-мат. наук Андрею Станиславовичу Ольчаку за их мудрые
и полезные советы.

ОБЩИЕ
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

Систематическое решение физических задач — необходимое условие
успешного изучения курса физики. Решение задач помогает уяснить
физический смысл явлений, закрепляет в памяти основные физические законы, прививает навыки практического применения теоретических знаний, знакомит с характерными масштабами явлений и порядками физических величин, встречающихся на практике.
При решении физических задач полезно придерживаться определенного порядка действий:
1. Слева записать исходные данные задачи вместе с их числовыми
значениями, искомые в задаче величины и табличные значения
используемых физических параметров.
2. Выразить исходные данные в Международной системе единиц
(СИ). Исключение из этого правила допускается лишь для однородных величин, входящих в ответ в виде отношения: в таком случае
они могут быть выражены в любой (но в одной и той же) системе
единиц.
3. Сделать чертеж, схему или рисунок с обозначениями исходных
данных в соответствии с условием задачи.
4. Установить физические законы, отвечающие содержанию задачи.
Записать, из какого закона (законов), определения или физического
соотношения можно найти искомую величину.
5. Решить задачу в общем виде, т. е. выразить искомую величину
в буквенных обозначениях величин, заданных в условии.
6. Проверить размерности. Полученные единицы измерений должны
совпадать с размерностями искомых в задаче величин.
7. Произвести вычисления.
8. Привести в ответе числовое значение с сокращенным наименованием единицы измерения.

Часть I
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
МЕХАНИКИ

I.1.
Кинематика материальной точки

I.1.А.
Основные формулы

• Положение материальной точки в пространстве в момент времени t
определяется радиус-вектором
−
→r (рис. 1).

• Средняя скорость
−
→v
= Δ
−
→
r

Δt (см. рис. 1).

Средняя путевая скорость vср = Δs

Δt , где Δs — путь, пройденный

точкой за интервал времени Δt (см. рис. 1).
Мгновенная скорость
−
→v = dr

dt .

• Мгновенное ускорение
−
→a = d
−
→
v
dt = d2−
→
r

dt2 .

При криволинейном движении ускорение можно представить как
сумму нормальной
−
→an и тангенциальной
−
→aτ составляющих (рис. 2):
−
→a =
−
→an +
−
→aτ. Абсолютные значения этих ускорений

an = v2

R ;
aτ = dv

dt ;
a =
a2n + a2τ,

где R — радиус кривизны в данной точке траектории.
• Движение с постоянным ускорением

−
→r(t) =
−
→r0 +
−
→v0t +

−
→
at2

2 .

Проекция радиус-вектора
−
→r на ось x имеет вид

rx(t) = x(t) = x0 + v0,xt + axt2

2
.

Скорость точки при равнопеременном движении
−
→v =
−
→v0 +
−
→at.

Рис. 1. Положение материальной точки в пространстве в момент времени t

Рис. 2. Мгновенное ускорение
при криволинейном движении

Часть I. Физические основы механики

• При вращательном движении твердого тела вокруг фиксированной
оси роль перемещения Δ
−
→r играет вектор малого поворота на угол
Δ
−
→ϕ. Он направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта.

• Угловая скорость
−
→ω = d
−
→
ϕ
dt .

• Угловое ускорение
−
→ε = d
−
→
ω
dt = d2−
→
ϕ

dt2 .

• Равнопеременное вращение тела вокруг неподвижной оси

ϕ = ϕ0 + ω0t + εt2

2 ;
ω = ω0 + εt.

Здесь знак вектора для угловых скорости и ускорения опущен, так
как эти векторы коллинеарны, а ω и ε понимаются в алгебраическом
смысле (с учетом их знаков).
• Связь угловых величин с линейными: путь, пройденный точкой по
дуге окружности радиусом R, равен Δs = RΔϕ, линейная скорость
этой точки v = ωR, тангенциальное ускорение точки aτ
= εR,
нормальное ускорение an = ω2R, полное ускорение a = R
√

ω4 + ε2.
• Частота вращения ν связана с угловой скоростью соотношением
ω = 2πν; период вращения (время одного оборота) T = 1

ν .

I.1.Б.
Примеры решения задач

ПРИМEР 1.
Автомобиль первую половину времени движется с постоянной скоростью v1 =72 км/ч, а вторую половину времени — со скоростью v2 =40 км/ч. Найти среднюю путевую скорость vср автомобиля.

Решение. Введем обозначения: t0 — момент начала движения, t1 —
момент смены скорости, t2 — момент окончания движения. По условию
t1 − t0 = t2 − t1, а полное время движения равно (t1 − t0) + (t2 − t1) =
= t2 − t0 = 2(t1 − t0) = 2(t2 − t1). На первом этапе будет пройден путь
s1 = v1(t1 − t0) = v1(t2 − t0)/2, на втором — путь s2 = v2(t2 − t1) =
= v2(t2 − t0)/2. Полный пройденный путь равен сумме этих путей:

s = s1 + s2 = v1 + v2

2
(t2 − t0).

Согласно определению средней путевой скорости находим:

vср =
s

t2 − t0 = v1 + v2

2
= 72 + 40

2
= 56 км/ч.

ПРИМEР 2.
Решить аналогичную задачу, т. е. определить среднюю
путевую скорость, если автомобиль двигался с той же скоростью v1
первую половину пути (а не времени), а его вторую половину со
скоростью v2.

Решение. В этом случае s1 = s2 = s/2. Время движения на первом участке пути t1 − t0
= s1/v1
= s/(2v1); на втором участке
t2 − t1 = s2/v2 = s/(2v2). Полное время движения

t2 − t0 = (t2 − t1) + (t1 − t0) =
s

2v1 +
s

2v2 = s v1 + v2

2v1v2 ,

откуда средняя скорость движения

vср =
s

t2 − t0 =
2v1v2
v1 + v2 = 2 · 72 · 40

72 + 40 = 51,4 км/ч.

I.1. Кинематика материальной точки
7

ПРИМEР 3.
Положение объекта на прямой линии (ось x) в зависимости
от времени дается уравнением x = at + bt2 + ct3, где a = 3 м/с,
b = −4 м/с2, c = 1 м/с3. Найти среднюю скорость объекта на временн´ом интервале от t1 = 2 с до t2 = 4 c. Сравнить полученное
значение с мгновенными скоростями v1 и v2 в моменты времени t1
и t2 соответственно.
Решение. Координата объекта в момент времени t1 = 2 c равна x1 =
= 3 · 2 − 4 · 22 + 1 · 23 = −2 м. Аналогично, в момент времени t2 =
= 4 c объект находится в точке с координатой x2 = 3 · 4 − 4 · 42 +
+ 1 · 43 = 12 м. Перемещение Δx = x2 − x1 = 14 м произошло за время
Δt = t2 − t1 = 2 с. Средняя скорость объекта на данном временн´ом
интервале равна ⟨v⟩ = Δx/Δt = 7 м/с.
Для определения мгновенной скорости v = dx/dt берем производную по времени: v = a + 2bt + 3ct2, откуда v1 = 3 − 2 · 4 · 2 + 3 · 1 · 22 =
= −1 м/с и v2 = 3 − 2 · 4 · 4 + 3 · 1 · 42 = 19 м/с.

ПРИМEР 4.
Кинематическое уравнение движения материальной точки
по прямой (ось x) имеет вид x = A + Bt + Ct2, где A = 5 м, B =
= 4 м/с, C = −1 м/с2. Найти: 1) максимальное значение координаты
x(t);
2) момент времени T, когда точка возвращается в то же место,
где она была в начальный момент t = 0; 3) среднюю скорость ⟨vx⟩ за
интервал времени от t1 = 1 с до t2 = 6 с; 4) среднюю путевую скорость
vср за тот же интервал времени.
Построить графики зависимости от времени координаты x и пути
s, пройденного точкой с момента t = 0.
Решение.
1) В момент t = 0 значение координаты равно x(0) = A = 5 м. Зависимость скорости от времени дается линейным уравнением v(t) = dx

dt =
= B + 2Ct. В начальный момент времени скорость v(0) = B = 4 м/с
положительна, т. е. точка движется в направлении возрастания координаты x и ее координата увеличивается. Скорость же с течением
времени падает и в момент tmax = − B

2C = 2 c обращается в нуль,
а затем становится отрицательной. Это значит, что в момент tmax точка
остановилась, а затем стала двигаться в направлении уменьшения
координаты x. Стало быть, в момент времени tmax координата точки
достигла своего максимального значения:

xmax = A + Btmax + Ct2
max = A − B2

4C = 9 м.

2) По условию задачи координаты точки в моменты времени t = 0
и t = T совпадают, т. е. A = A + BT + CT 2. Отсюда T = − B

C = 4 с.

3) Теперь находим положение точки в данные моменты времени t1
и t2: x1 = x(t1) = A+Bt1 + Ct2
1 = 8 м; x2 = x(t2) = A+Bt2 +Ct2
2 = −7 м.
Зная изменение координаты Δx = x2 −x1 = −15 м за интервал времени
Δt = t2 − t1 = 5 с, определяем среднюю скорость за этот интервал
времени:
⟨vx⟩ = Δx

Δt = −3 м/с.

Часть I. Физические основы механики

Рис. 3

4) График
зависимости
координаты
от времени x(t) представляет собой в данном случае параболу, обращенную выпуклостью вверх (коэффициент C отрицателен) и с вертикальной осью симметрии.
Трех из уже найденных пар координат
(0, 5), (4, 5), (2, 9) достаточно для построения графика (сплошная линия на рис. 3).
Видно, что в момент t1 точка находится
на восходящей ветви параболы, а в момент t2 — на ее нисходящей ветви. Поэтому пройденный точкой путь Δs складывается из двух частей: Δs1 = xmax − x1 = 1 м
на
отрезке
времени
от
t1
до
tmax
и Δs2 = xmax − x2 = 9 − (−7) = 16 м на
отрезке времени от tmax до t2. Полный
пройденный путь равен Δs = Δs1 + Δs2 = 17 м, откуда средняя
путевая скорость vср = Δs

Δt = 17/5 = 3,4 м/с. Заметим, что величина
vср всегда положительна.
К произвольному моменту времени t ⩽ tmax точка проходит путь
s(t) = x(t) − x(0) = Bt + Ct2. Эта часть графика представляет собой ту
же параболу, все точки которой смещены вниз на величину A = 5 м.
Если же произвольный момент времени t ⩾ tmax, то пройденный путь
складывается из пути xmax − x(0), пройденного за время от t = 0 до
tmax, и пути xmax −x(t), пройденного за время от tmax до t. В результате
для моментов времени t ⩾ tmax получаем следующее выражение для
пройденного пути:

s (t) = 2xmax − x (0) − x (t) = −B2

2C − Bt − Ct2.

График этой части представляет собой отражение относительно прямой x = 9 нисходящей ветви графика x(t), все точки которой после отражения смещены по вертикали так, что обе найденные ветви графика
s(t) совпадают в точке tmax. Подставляя числовые значения коэффициентов A, B, C, выражения для обеих ветвей функции s(t) можно
объединить в одно: s(t) = 4 + (t − 2)|t − 2|. Зависимость пройденного
пути s(t) от времени изображена на рис. 3 пунктирной линией.
Проверим наши вычисления средней путевой скорости. К моменту
t1 = 1 c пройденный путь равен s(t1) = 4 − 1 = 3 м, к моменту t2 = 6 c
он составляет s(t2) = 20 м. Поэтому путь, пройденный за интервал
времени между t1 и t2, равен Δs = s(t2) − s(t1) = 17 м, что совпадает
с полученным ранее результатом и приводит, естественно, к той же
самой средней скорости.

ПРИМEР 5.
Материальная точка движется по прямой согласно уравнению
x(t) = A1t + A2t3;
A1 = 4 м/с;
A2 = −2м/с3.

Найти положение, скорость и ускорение точки в момент времени
t = 2 c.

I.1. Кинематика материальной точки
9

Решение. Положение точки x(2) = 4 · 2 − 2 · 23 = −8 м, ее скорость
v(t) = ˙x(t) = A1 + 3A2t2, поэтому v(2) = 4 − 3 · 2 · 22 = −20 м/с.
Ускорение a(t) = ˙v(t) = 6A2t, отсюда a(2) = −6 · 2 · 2 = −24 м/с2.

ПРИМEР 6.
Автомобиль движется по прямой из пункта A в пункт B,
преодолевая это расстояние за время T = 1 ч. Известно, что скорость

автомобиля меняется по закону v(t) = v0 sin
π
T t
, где время t отсчи
тывается с момента выезда из пункта A, а максимальная скорость
автомобиля v0 = 80 км/ч. Определить среднюю путевую скорость vср
автомобиля и расстояние S между пунктами A и B.

Решение. Поскольку на заданном интервале времени скорость автомобиля всегда положительна, средняя путевая скорость в этой задаче
совпадает со средней скоростью. Если отсчитывать расстояния от
пункта A, то в момент времени t удаление автомобиля составит

x(t) =

t0
dtv(t) = v0

t0
sin
π

T t
dt = v0T

π

1 − cos πt

T

.

Удаление в начальный момент равно нулю: x(0) = 0 м; удаление
в момент прибытия в пункт B равно x(T) = 2v0T/π. Отсюда следует,
что расстояние между пунктами равно S = x(T) − x(0) = 2v0T/π ≈
≈ 50,9 км, а средняя путевая скорость vср = S/T = 2v0/π ≈ 50,9 км/ч.

ПРИМEР 7.
Автомобиль движется по прямой из пункта A в пункт B,
расстояние между которыми S = 1 км. Скорость автомобиля меняется
в зависимости от пройденного пути s по закону v(s) = v
s

S , где

v = 72 км/ч — скорость автомобиля в конце пути. Определить скорость
автомобиля v1 через время t1 = 1 мин после начала движения, полное
время в пути T и среднюю путевую скорость vср.

Решение. Мгновенная скорость определяется как v(s) = ds/dt. Поскольку скорость задана как функция расстояния, разделим переменные dt = ds/v(s), после чего проинтегрируем это соотношение:

t =

s0

ds
v(s) =
√

S
v

s0

ds
√s = 2
√

sS
v
.

Отсюда находим s и v как функции времени:

s(t) = v2t2

4S ;
v(t) = ˙s(t) = tv2

2S .

Поскольку t1 = 1 мин = (1/60) ч, то легко определяем скорость
v1 = v(t1) = 722(1/60)/(2 · 1) = 43,2 км/ч. Из соотношения s(T) = S
находим полное время в пути: T = 2S/v = 2/72 = 1/36 ч = 1 мин 40 с.
Средняя путевая скорость vср = S/T = v/2 = 36 км/ч.

Часть I. Физические основы механики

ПРИМEР 8.
Тело брошено с начальной скоростью v0 = 19,6 м/с под
углом α = 60◦ к горизонту.
Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить: 1) наименьшую
скорость тела во время движения;
2) координаты точки, в которой
угол между направлениями скорости и ускорения β = 45◦;
3) тангенциальное и нормальное ускорения в начале и конце траектории,
а также в ее высшей точке.

Рис. 4

Решение. Введем координатные оси, направленные по горизонтали
(Ox) и вертикали (Oy), поместим начало координат в ту точку, где
находилось тело в начальный момент времени (рис. 4). Движение
в поле сил тяжести происходит с постоянным ускорением
−
→g (gx = 0;
gy = −g).
Скорость и перемещение тела определяются уравнениями

−
→r (t) =
−
→v0t +

−
→
gt2

2 ;
−
→v (t) =
−
→v0 +
−
→gt.

В любой момент времени t радиус-вектор
−
→r можно представить как
сумму двух векторов: перемещения
−
→v0t в отсутствие силы тяжести и перемещения
−
→gt2/2 свободного падения в отсутствие начальной скорости.
Начальную скорость
−
→v0 разложим на две составляющие:
−
→v = {v0 cos α;
v0 sin α}

и запишем уравнения движения тела в проекциях на координатные
оси:
x = v0t cos α;
y = v0t sin α − gt2

2 .

Соответственно для скорости имеем уравнения
vx = v0 cos α;
vy = v0 sin α − gt,
т. е. движение в горизонтальном направлении происходит с постоянной скоростью, а движение в вертикальном направлении является равнопеременным. В момент времени t1 = v0

g sin α вертикальная