Олимпиадная математика. Арифметические задачи с решениями и указаниями. 5-7 классы

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ
ЗАДАЧИ
с решениями и указаниями 

Москва
Лаборатория знаний
2023

ОЛИМПИАДНАЯ
МАТЕМАТИКА

Н. Д. Золотарёва, М. В. Федотов

5–7 

Под редакцией  
М. В. Федотова

4-е издание, электронное

УДК 373.167.1:511
ББК 22.130я721.6
З-80

Золотарёва Н. Д.
З-80
Олимпиадная
математика.
Арифметические
задачи
с
решениями
и
указаниями.
5–7
классы
/
Н. Д. Золотарёва,
М. В. Федотов. — 4-е
изд.,
электрон. — М.
:
Лаборатория
знаний,
2023. — 255 с. —
(ВМК
МГУ — школе). — Систем.
требования:
Adobe
Reader
XI
;
экран 10". — Загл. с титул. экрана. —
Текст : электронный.
ISBN 978-5-93208-656-8
Настоящее пособие составлено преподавателями факультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова на основе олимпиадных
задач по математике. Пособие содержит теоретический материал, подборку задач, а также идеи, указания (подсказки)
и решения.
Рекомендуется школьникам 5–7 классов, интересующимся олимпиадными задачами, учителям математики, руководителям кружков и факультативов.
УДК 373.167.1:511
ББК 22.130я721.6

Деривативное издание на основе печатного аналога: Олимпиадная математика. Арифметические задачи с решениями
и указаниями. 5–7 классы / Н. Д. Золотарёва, М. В. Федотов. — 4-е изд. — М. : Лаборатория знаний, 2023. — 252 с. :
ил. — (ВМК МГУ — школе). — ISBN 978-5-93208-341-3.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений,
установленных
техническими
средствами
защиты
авторских
прав,
правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков
или выплаты компенсации

ISBN 978-5-93208-656-8
© Лаборатория знаний, 2019

ОГЛАВЛЕНИЕ

От авторов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5

Используемые обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6

Часть I. Теория и задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7

1. Задачи на вычисление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7

2. Метрическая система мер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18

3. Задачи на части . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23

4. Задачи на работу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28

5. Задачи на движение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31

6. Задачи на проценты. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43

7. Обратный ход . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49

8. Уравнения и неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53

9. Задачи на составление уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59

10. Манипуляции с числами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66

11. Ребусы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71

12. Разные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75

Часть II. Указания и решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83

1. Задачи на вычисление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83

2. Метрическая система мер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3. Задачи на части . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4. Задачи на работу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5. Задачи на движение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
6. Задачи на проценты. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
7. Обратный ход . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
8. Уравнения и неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
9. Задачи на составление уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

10. Манипуляции с числами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
11. Ребусы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
12. Разные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

ОТ АВТОРОВ

Уважаемые читатели, вы держите в руках одну из книг серии
«ВМК
МГУ — школе».
Учебно-методические
пособия,
входящие
в эту серию, являются результатом более чем пятнадцатилетнего
труда коллектива авторов, работающих на подготовительных курсах факультета вычислительной математики и кибернетики (ВМК)
МГУ имени М. В. Ломоносова.
Сейчас
изданы
пособия
по
алгебре,
геометрии,
информатике
и физике для старшеклассников для подготовки к ЕГЭ, олимпиадам и вступительным экзаменам в вузы. Недавно вышли пособия
по математике для подготовки к ГИА для девятиклассников.
Но мы не хотим останавливаться только на стандартных задачах, необходимых для сдачи ГИА и ЕГЭ и экзаменов в вузы. Мы
хотим, чтобы школьники с младших классов и до окончания школы могли решать задачи повышенной сложности — олимпиадные задачи, на которые у учителя обычно не остаётся времени на обычном уроке математики. Большинство книг по этой тематике выходят без разбивки по классам либо без разбивки по темам. Многие
хорошие книги с олимпиадными задачами вышли давно и с тех
пор не переиздавались. Мы собрали много задач из различных старых и не очень старых сборников олимпиадных задач и предлагаем
их вам.
Настоящее пособие рассчитано на 5–7 классы и является первым
в серии пособий по олимпиадным задачам. Будет ещё несколько книг
для 5–7 классов. Параллельно мы уже ведём работу над сборником
задач для 8–9 классов. Завершит серию, конечно же, пособие для
10–11 классов.
Большинство олимпиадных задач, особенно для младшей и средней школы, не намного сложнее обычных школьных задач по математике. Поэтому не бойтесь их. Они только все вместе выглядят
страшными, а каждая задача по отдельности вполне вам по силам.
Берите их и решайте. Дорогу осилит идущий.

Заместитель декана по учебной работе
факультета вычислительной математики и кибернетики
МГУ имени М. В. Ломоносова,
доцент кафедры математической физики
М. В. Федотов

ПРЕДИСЛОВИЕ

Каждый раздел пособия содержит теоретические основы, описание
методов решения задач, примеры применения методов и набор заданий для решения. Задачи в разделах в основном расположены
по принципу «от простого — к сложному». Аналогичная ситуация имеет место и с последовательностью разделов, поэтому сами
разделы и задачи в разделах рекомендуется изучать в предложенном порядке. Приступать к решению задач надо после изучения
соответствующего теоретического материала и разбора примеров.
После номера задачи приведены номера классов, для которых
эта задача была предложена на олимпиаде. Однако это разделение на классы довольно условно. Понятно, что если задачу давали в 5 классе, то её можно давать и в 6–7 классах, и часто,
наоборот, задача, которую давали на олимпиаде для 6–7 классов, вполне по силам пятиклассникам. Поэтому, придерживаясь
рекомендаций о принадлежности задачи тому или иному классу,
относитесь к этим рекомендациям творчески. Кстати, распределение задач по разделам тоже не всегда однозначно. Одну и ту же
задачу можно было отнести к разным разделам.
В
принципе
по
этому
пособию
можно
заниматься
три
года:
в 5 классе пройти по всем разделам, выбирая задачи для 5 класса, в 6 классе снова пройти по всем разделам, выбирая задачи
для 6 класса и т. д. А можно пройти и за более короткий срок:
за два года, если вы начали заниматься в 6 классе, или за один
год, если вы уже в 7 классе.

Пособие
рекомендуется
школьникам
5–7
классов,
интересующимся олимпиадными задачами, учителям математики, руководителям кружков и факультативов.

Желаем удачи!

ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

{a}
— множество, состоящее из одного элемента a;
∪
— объединение;
∩
— пересечение;
∅
— пустое множество;
∈
— знак принадлежности;
⊂
— знак включения подмножества;
∀
— для любого;
A∖B — разность множеств A и B;
=⇒
— следовательно;
⇐⇒
— тогда и только тогда;
N
— множество всех натуральных чисел; N0 = N ∪ {0};
Z
— множество всех целых чисел;
Q
— множество всех рациональных чисел;
R
— множество всех действительных чисел;
ОДЗ — область допустимых значений;
{︂ · · ·
· · · — знак системы, означающий, что должны выполняться все
условия, объединённые этим знаком;
[︂ · · ·
· · · — знак совокупности, означающий, что должно выполняться
хотя бы одно из условий, объединённых этим знаком.

Необходимо
отметить,
что
в
формулировках
задач
параллельно
с математически более корректной терминологией типа «длина отрезка AB равна 5» и записью |AB| = 5 используется школьная
терминология типа «отрезок AB равен 5» и запись AB = 5.

Часть I. ТЕОРИЯ И ЗАДАЧИ

Арифметические задачи обычно встречаются на олимпиадах первых
уровней
(школьной,
районной).
На
олимпиадах
более
высокого
уровня
их
обычно
не
дают,
но
мы
рекомендуем
вам
тем
не
менее
прорешать
задачи
этого
раздела,
поскольку
на
них
хорошо
отрабатывать
внимательность
и
умение
аккуратно
выполнять
непростые
последовательности
действий.
Эти
задачи
также хороши для первичного развития логического мышления.

1. Задачи на вычисление

Теоретический материал

В этом разделе собраны задачи, связанные с вычислением. В начале раздела идут задачи, в которых надо просто уметь раскрывать скобки, группировать слагаемые, выносить за скобки равные
величины, приводить подобные, взаимно сокращать равные величины с разными знаками, использовать формулы сокращённого
умножения:

a2 − b2 = (a − b)(a + b);
(1)

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2;
(2)

(a − b)2 = a2 − 2ab + b2;
(3)

a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2);
(4)

a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2);
(5)

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3;
(6)

(a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3;
(7)

причём все формулы нужно узнавать не только «слева направо»,
но и «справа налево».
Применение формул сокращённого умножения является одним
из
самых
простых
способов
разложения
алгебраического
выражения
на
множители.
Все
формулы
справедливы
при
любых
вещественных
a
и
b,
которые
сами
могут
являться
числами,
функциями или другими выражениями.

Часть I. Теория и задачи

Помимо
основных
формул
сокращённого
умножения
полезно
знать и формулы для большего числа слагаемых, например:

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac.

В
общем
случае
квадрат
суммы
нескольких
чисел
есть
сумма
квадратов этих чисел плюс сумма всевозможных удвоенных попарных произведений с точностью до перестановки множителей.
Полезно знать также две следующие формулы, верные ∀n ∈ N:

an − bn = (a − b)(an−1 + an−2b + an−3b2 + . . . + abn−2 + bn−1);

a2n+1 + b2n+1 = (a + b)(a2n − a2n−1b + a2n−2b2 − . . . − ab2n−1 + b2n).

Во второй части этого раздела приведены текстовые задачи на
вычисления.
Во
всех
этих
задачах
ответ
получается
простыми
вычислениями, нигде не нужно составлять уравнения, даже если
вы
умеете
решать
уравнения.
Даже,
наоборот,
без
составления
уравнений решение получается проще и элегантнее.
В
заключительной
части
данного
раздела
приведены
задачи
с дробями. Умение работать с дробями — очень важное умение.
Не бойтесь этих задач и ни в коем случае их не пропускайте. Не
переходите к следующему разделу, пока не разберётесь с дробями.

Примеры решения задач

Пример 1. Вычислить

54x4 − 0,99x − 0,0199

1000x3 − 1
при а) x = −0,02, б) x = 0,1.

Р е ш е н и е.
а) Заметим,
что
если
x = −0,02,
то
5x = −0,1
и 54x4 = (5x)4 = 0,0001. Поэтому

54x4 − 0,99x − 0,0199 = 0,0001 + 0,0198 − 0,0199 = 0.

Так как знаменатель дроби 1000x3 − 1 = (10x)3 − 1 = (−0,2)3 − 1
в нуль не обращается, то дробь равна нулю.
б) Так как знаменатель дроби 1000x3 − 1 = (10x)3 − 1 = 13 − 1
обращается в нуль, то при x = 0,1 выражение теряет смысл, поскольку деление на нуль невозможно.
О т в е т. а) 0;
б) при x = 0,1 выражение теряет смысл, так как
деление на нуль невозможно.

Пример 2. Что больше и на сколько: утроенная разность квадратов чисел a и x или удвоенная разность квадратов тех же чисел,
если a равно наибольшему двузначному отрицательному числу,
а x равно наименьшему двузначному отрицательному числу?

Р е ш е н и е. Наибольшее двузначное отрицательное число a = −10.
Наименьшее двузначное отрицательное число x = −99.

1. Задачи на вычисление
9

Разность квадратов чисел a и x — это A = a2 −x2. Поэтому, чтобы сравнить утроенную разность квадратов чисел a и x и удвоенную разность квадратов тех же чисел, достаточно сравнить 3A
и 2A, т. е. надо просто сравнить A с нулём.

A = a2 − x2 = (−10)2 − (−99)2 = 102 − 992 = 100 − (100 − 1)2 =

= 100 − (1002 − 2 · 100 + 12) = −10 000 + 300 − 1 = −9701 < 0.

Следовательно, удвоенная разность квадратов чисел a и x больше
утроенной разности квадратов этих же чисел на 9701.
О т в е т. При a = −10 и x = −99 удвоенная разность квадратов чисел a и x больше утроенной разности квадратов этих же чисел
на 9701.

Пример 3. Какое число больше:

666 . . . 66
⏟
 ⏞
 
25 цифр
· 222 . . . 22
⏟
 ⏞
 
57 цифр
или 333 . . . 33
⏟
 ⏞
 
25 цифр
· 444 . . . 45
⏟
 ⏞
 
57 цифр
и на сколько?

Р е ш е н и е. Положим A = 333 . . . 33
⏟
 ⏞
 
25 цифр
, B = 222 . . . 22
⏟
 ⏞
 
57 цифр
.

Тогда первое число равно 2AB, а второе число равно A(2B + 1) =
= 2AB + A. Поэтому второе число больше первого на A.
О т в е т. Второе число больше на 333 . . . 33
⏟
 ⏞
 
25 цифр
.

Пример 4.
Два карандаша и ластик стоят столько же, сколько
один карандаш и четыре ластика. Во сколько раз карандаш дороже ластика?

Р е ш е н и е. Сравним два набора:
1) два карандаша и ластик;
2) один карандаш и четыре ластика.
В обоих наборах есть по одному карандашу и одному ластику, но в первом наборе есть один дополнительный карандаш, а во
втором — три
дополнительных
ластика.
Значит,
один
карандаш
стоит столько же, сколько стоят три ластика.
О т в е т. В 3 раза.

Замечание.
Такой
метод
решения
иногда
называют
«Метод
Прокруста»1).

1)Прокруст — персонаж мифов Древней Греции, разбойник, подстерегавший путников на дороге между Мегарой и Афинами. Он обманом
заманивал в свой дом путников. Потом он укладывал их на своё ложе и тем, кому оно было коротко, обрубал ноги, а кому было велико, ноги вытягивал — по длине этого ложа. Пришлось на это ложе
лечь и самому Прокрусту: герой древнегреческих мифов Тесей, победив Прокруста, поступил с ним так же, как тот поступал со своими
пленниками.

Часть I. Теория и задачи

Пример 5.
Мальчик
собрал
в
коробку
жуков
и
пауков — всего 9 штук. Если всего в коробке 60 ног, сколько там пауков?
(У жука 6 ног, у паука 8 ног.)

Р е ш е н и е. Шестью
девять — пятьдесят
четыре,
т. е.
если
бы
у
каждого насекомого в коробке было по 6 ног, то всего у 9 насекомых было бы 54 ноги. Значит оставшиеся 6 (60 − 54 = 6) ног
принадлежат паукам. Так как у паука на 2 ноги больше, чем
у жука (8 − 6 = 2), то пауков в коробке 3 (6 : 2 = 3).
О т в е т. 3 паука.

Замечание. Ещё раз напоминаем, что все задачи этого разделов (да и многих следующих разделов этой главы) решаются
без составления уравнений.

Пример 6. От бревна длиной 5 м каждую минуту отпиливают по
полметра. За сколько минут будет распилено всё бревно?

Р е ш е н и е. После того как распилят всё бревно, получится 10 полуметровых чурбаков, но будет ошибкой считать, что и распилов
потребуется 10. Нет, распилов надо сделать всего 9, так как при
последнем, девятом распиле образуется не один, а два чурбака,
тогда как при всех предыдущих распилах получался только один
чурбак. Значит, бревно будет распилено за 9 минут.
О т в е т. За 9 минут.

Замечание. Это опять же классическая задача. Иногда такие задачи называют «задачами о столбах и пролётах между ними».
Столбов всегда на один больше, чем пролётов между ними.

Пример 7. В сражении участвовали армии Синих и Зелёных по
500 человек в каждой. Сначала каждый Синий солдат выстрелил
в одного из Зелёных; затем каждый уцелевший Зелёный солдат
выстрелил в одного из Синих. Докажите, что в живых осталось
не менее 500 солдат.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть после залпа Синих уцелело n Зелёных
солдат. Тогда после их залпа будет убито не более n Синих солдат. Значит, у Синих осталось не менее 500 − n солдат, а общее
число оставшихся солдат не меньше чем
n + 500 − n = 500.

Пример 8. Быстро вычислить

10 101 ·
5

111 111 +
5

222 222 −
4

3 · 7 · 11 · 13 · 37

.

Р е ш е н и е.
Разложим
сначала
на
простые
множители
10 101,
111 111 и 222 222:
10 101 = 111 · 91 = 3 · 37 · 7 · 13;
111 111 = 111 · 1001 = 3 · 37 · 7 · 13 · 11;
222 222 = 2 · 111 111 = 2 · 3 · 37 · 7 · 13 · 11.