Одномерные непрерывные распределения : в 2 ч. Ч. 1

ОДНОМЕРНЫЕ
НЕПРЕРЫВНЫЕ
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

A Wiley-Interscience Publication
JOHN WILEY & SONS, INC.
New York • Chichester • Brisbane • Toronto • Singapore

NORMAN L. JOHNSON

University of North Carolina 
Chapel Hill, North Carolina

SAMUEL KOTZ

University of Maryland 
College Park, Maryland

N. BALAKRISHNAN

McMaster University 
Hamilton, Ontario, Canada

Continuous Univariate
Distributions

Volume 1

Second Edition

Москва
Лаборатория знаний
2023

Т Е О Р И Я  В Е Р О Я Т Н О С Т Н Ы Х  Р А С П Р Е Д Е Л Е Н И Й

Перевод 2го английского издания
О. И. Волковой, М. С. Стригуновой,
Н. А. Шиховой

под редакцией
Е. В. Чепурина

5е издание, электронное

ОДНОМЕРНЫЕ
НЕПРЕРЫВНЫЕ
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

в двух частях
Часть 1

Н. Л. Джонсон, С. Коц, Н. Балакришнан

О С Т Н Ы Х

УДК 519.2
ББК 22.17
Д42

С е р и я
о с н о в а н а
в
2010 г.
Джонсон Н. Л.
Д42
Одномерные непрерывные распределения : в 2 ч. Ч. 1 /
Н. Л. Джонсон, С. Коц, Н. Балакришнан ; пер. 2-го англ. изд. —
5-е изд., электрон. — М. : Лаборатория знаний, 2023. — 706 с. —
(Теория вероятностных распределений). — Систем. требования:
Adobe Reader XI ; экран 10". — Загл. с титул. экрана. — Текст :
электронный.
ISBN 978-5-93208-654-4 (Ч. 1)
ISBN 978-5-93208-653-7
Приводятся необходимые общие сведения из теории непрерывных одномерных распределений, описан ряд их важных общих классов. Подробно
излагаются свойства девяти семейств базовых распределений (нормального,
логнормального, Коши, Вейбулла, хи-квадрат, гамма-, обратного гауссовского, Парето). Важно, что издание снабжено обширной библиографией,
таблицами и графиками, необходимыми для активной работы с соответствующими семействами распределений.
УДК 519.2
ББК 22.17

Деривативное издание на основе печатного аналога: Одномерные непрерывные распределения : в 2 ч. Ч. 1 / Н. Л. Джонсон, С. Коц, Н. Балакришнан ;
пер. 2-го англ. изд. — М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010. — 703 с. : ил. —
(Теория вероятностных распределений). — ISBN 978-5-94774-469-9 (Ч. 1);
ISBN 978-5-94774-468-2.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных
техническими средствами защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать
от нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации

ISBN 978-5-93208-654-4 (Ч. 1)
ISBN 978-5-93208-653-7

© 1
Copyright
994 by John Wiley & Sons, Inc.
All Rights Reserved.
This EBook is published under license
with the original publisher
John Wiley & Sons, Inc.

© Лаборатория знаний, 2021

Предисловие редактора перевода

Издательство «БИНОМ. Лаборатория знаний» продолжает выпуск серии монографий по теории вероятностных распределений. Серия является переводом
многотомного англоязычного издания, написанного Н. Джонсоном, С. Коцем,
Н. Балакришнаном, А. У. Кемп, которое было выпущено издательством Wiley,
и состоит из шести томов. Том 1 посвящен одномерным дискретным
распределениям, тома 2 и 3 — одномерным непрерывным распределениям,
том 4 — многомерным дискретным, а тома 5 и 6 — многомерным непрерывным
распределениям.
Такая классификация распределений позволила авторам в тт. 1, 2, 4 и 5
изложить необходимый общий математический аппарат, используемый при
анализе свойств конкретных типов распределений и многочисленных классов
семейств распределений.
В каждой книге серии приводятся: аналитические свойства семейств
распределений, формулы и алгоритмы, необходимые для статистического
анализа данных и компьютерной генерации соответствующих псевдослучайных величин, обширные сведения и библиография по исследованию свойств
и приложениям соответствующих семейств распределений.
По структуре, широте и глубине охвата материала данная серия является,
по существу, энциклопедическим справочником, предназначенным для научных работников и исследователей-прикладников естественной, гуманитарной
и экономической сфер.
Для студентов и преподавателей — это своеобразное учебное пособие по
теории вероятностей, математической статистике и их приложениям.
Весьма полная аннотированная библиография по исследованию свойств
различных распределений позволяет рассматривать данное издание в качестве своеобразного путеводителя при построении статистических моделей
реальных явлений.
Во втором томе гл. 12–13 переведены Н. А. Шиховой, гл. 15 — О. И. Волковой, гл. 14, 16–21 — М. С. Стригуновой.
Е. В. Чепурин

5

Посвящается:
Реджине Эландт—Джонсон, Розали Коц,
Колин Катлер и Саре Балакришнан

Предисловие

В качестве продолжения второго издания книги Одномерные дискретные
распределения настоящая монография является первым из двух томов, посвященных непрерывным одномерным распределениям. Второе издание книги
Одномерные непрерывные распределения отличается от первого, вышедшего
в свет в 1970 г., в следующих двух важных аспектах.
(1) К коллективу
авторов присоединился профессор Н. Балакришнан. (2) В силу существенных
продвижений в теории, методологии и практике применения непрерывных
распределений, в особенности, гамма-, Вейбулла и обратного гауссовского
распределений, за последние 20 лет, было решено перенести главу, посвященную распределению экстремальных значений, в следующий том. Глава,
посвященная гамма-распределению, была разбита на две: одна из них целиком
посвящена распределению хи-квадрат. Даже при этих условиях, так же, как
и при пересмотре тома Одномерные дискретные распределения, большое
количество дополнительной информации, накопившейся со времени выпуска
первого издания, привело к существенному увеличению объема.
В соответствии с принципом, сформулированным в Предисловии к серии
монографий, мы продолжаем преследовать цель «исключения теоретических
изысканий,
не
имеющих
видимой
практической
значимости»,
хотя
мы
включаем материал о характеризациях, который можно считать имеющим
сомнительное практическое применение. Глава 12, носящая общий характер,
претерпела меньшие изменения по сравнению с другими главами, посвященными конкретным законам.
Даже после исключения главы, посвященной распределению экстремальных значений, большое количество новой поступившей информации вынудило
нас быть очень избирательными по отношению к новым работам. В частности,
мы стремились бороться с разрозненностью фактов, необходимость чего была
изящно выражена проф. А. П. Дэвидом, новым редактором журнала Biometrika
(см. [Biometrika, 80, 1 (1993)]). Мы прекрасно понимаем, что некоторые
авторы могут быть обижены отсутствием упоминания их работ, но мы
надеемся, что они расценят это не как недоброжелательность, а «в лучшем
случае» как следствие нашей невежественности. Настоящая серия монографий
планировалась скорее для пользы читателей, чем как «почетный список»
научных работ.
За мастерски выполненный набор текста мы благодарим миссис Лизу Брукс
(Университет Северной Каролины), миссис Синди Паттерсон (Государственный Университет Боулинг Грин) и миссис Дебби Иско (Гамильтон, Канада).
Мы также выражаем признательность работникам библиотек Университета
Северной Каролины, Государственного Университета Боулинг Грин, Университета МакМастер, Университета Ватерлоо, а также Университета Мэрилэнда за
их помощь при поиске литературы. Работа над настоящей монографией была
выполнена: Самюэлем Коцем в качестве почетного приглашенного профессора

6

ПРЕДИСЛОВИЕ
7

факультета Математики и Статистики Государственного Университета Боулинг
Грин (Боулинг Грин, шт. Огайо) в период с сентября по декабрь 1992 г.,
проф. Н. Балакришнаном в период творческого отпуска с июля 1992г. по
июнь 1993 г. на факультете Статистики и Актуарных дисциплин Университета
Ватерлоо.
Особая наша благодарность миссис Кэйт Роач и мистеру Эду Кантиллону
из нью-йоркского отделения издательства John Wiley & Sons за их искренние
усилия по обеспечению высокого качества настоящего издания. Мы также
выражаем признательность мисс Дане Эндрюс за редактирование рукописи.
Мы очень благодарны следующим организациям: Institute of Mathematical
Statistics, the American Statistical Association, the Biometrika Trustees, the
Institute of Electrical and Electronic Engineerings, the Association for Computing
Machinery, Marcel Dekker, Inc., the Australian Statistical Society, Gordon and
Breach Science Publishers, Blackwell Publishers, а также редакторам журналов
Biometrical Journal, Sankhy¯a и Tamkang Journal of Mathematics за разрешение
использования ранее опубликованных таблиц и рисунков.
При написании этого, в некотором роде, информационного обзора —
расчитанного в первую очередь на неспециалистов — авторы неожиданно
столкнулись с необходимостью пояснения результатов, возможно очевидных
для специалистов, но не являющихся общеизвестными. Такие результаты
несут в себе много информации, которая может оказаться новой и ценной
для знатоков. Существует опасность, с одной стороны, «сильной популяризации» (в противоположность упрощению) результатов, а, с другой стороны,
чрезмерного акцента на плохо изученных вопросах — в котором многие
читатели не нуждаются. Мы пытались насколько возможно избежать этих
ошибок.
Мы искренне надеемся, что предлагаемая серия монографий обеспечит
«заинтересованного читателя» полезными
для
его работы
результатами,
а также напомнит эти результаты читателям искушенным, побуждая их
к самостоятельному анализу и дальнейшим научным исследованиям.
Н. Л. Джонсон (N. L. Johnson),
С. Коц (S. Kotz),
А. У. Кемп (A. W. Kemp)

ГЛАВА 12
Непрерывные распределения
(общие сведения)

1.
Введение

Главы 1 и 2 (тома, посвященного дискретным распределениям1) ) содержат
ряд общих результатов и методов, применимых и к непрерывным распределениям. В настоящей главе мы пополним их сведениями, относящимися
непосредственно к непрерывным распределениям. И так же, как в гл. 2
(тома «Одномерные дискретные распределения»), опишем несколько общих
семейств (непрерывных) распределений.
Обычно непрерывные распределения поддаются анализу, математически
более элегантному, чем дискретные. Это делает их особенно полезными
в
качестве
приближений
дискретных
распределений.
Такое
применение
непрерывных распределений используется во многих приложениях как при
построении моделей, так и при использовании статистических методов.
Непрерывные распределения использовались при аппроксимации дискретных
распределений статистик в томе «Одномерные дискретные распределения».
Тот факт, что большинство применений непрерывных распределений в построении моделей сводятся к аппроксимации дискретных распределений,
возможно, не столь высоко ценится, но является не менее верным. Очень
редко представляется более разумным, в некотором абсолютном смысле, представить наблюдаемую переменную не дискретной, а непрерывной случайной
величиной. Такое представление является, скорее, удобным приближением,
облегчающим математическую и статистическую обработку.
Отличительным свойством непрерывной случайной величины является
то, что любое фиксированное значение из пространства своих значений она
принимает с нулевой вероятностью. В общем случае ненулевой является вероятность, вычисленная как определенный интеграл от плотности распределения
вероятностей (разд. 1.4) того, что она примет значение из фиксированного
(конечного или бесконечного) интервала. Когда наблюдаемая переменная
описывается непрерывной случайной величиной, ее регистрируемые значения
по необходимости «дискретизированы». Например, если измерения проводятся
с точностью 0.01, то все значения из интервала (8.665, 8.675) будут записаны
числами 8.67. Тем самым данные оказываются сгруппированными. Поправки

1) Здесь и далее имеется в виду монография Джонсон Н. Л., Коц С., Кемп А. У. Одномерные
дискретные распределения. — М. : БИНОМ, Лаборатория знаний, 2009. В ней представлены
главы с 1-й по 11-ю. — Прим. ред.

9

ГЛАВА 12. НЕПРЕРЫВНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ (ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ)

в оценивании моментов генеральной совокупности для устранения (в среднем)
этого эффекта были предложены Шеппардом (см. [Sheppard (1896)]). Выпишем
их для случая, когда группировка производится посредством интервалов
одинакового размера h (далее через μ′
r и gμ′
r обозначены, соответственно, r-е
моменты до и после группировки):

μ′
1 =
gμ′
1,
(12.1a)

μ′
2 =
gμ′
2 − 1

12h2,
(12.1b)

μ′
3 =
gμ′
3 − 1

4 gμ′
3h3,
(12.1c)

μ′
4 =
gμ′
4 − 1

2 gμ′
2h2 +
7
240h4.
(12.1d)

Общая формула имеет вид (см. [Sheppard (1896)], [Wold (1934)])

μ′
r =

r
j=0

21−j − 1
r
j

Bj · gμ′
r−j hj,
(12.2)

где Bj — j-е число Бернулли (см. гл. 1, разд. A9). Эти формулы выписаны
в предположении, что центры групп находятся в точках

. . . , a − h, a, a + h, . . .
|a| < 1

2 h
,

а точка a имеет равномерное распределение (см. гл. 26) на отрезке
−1

2h; 1

2h
(см. также [Haitovsky (1983)]). Влияние необоснованности этого предположения исследовано в работе [Tricker (1984)], где показано, что характеристическая функция (гл. 1, разд. B8) случайной величины gX («сгруппированной»
величины, отвечающей случайной переменной X) имеет вид

ϕgX (t) =

∞
j=−∞

sin
1

2 th +jπ
1
2 th +jπ
exp (1 − i · 2πjh) · ϕX (th +2πjh) ,
(12.3)

где i = √−1, а ϕ (t) — характеристическая функция случайной величины X.
В той же статье численно оценено влияние округления в случаях,
когда переменная X имеет нормальное распределение (гл. 13), распределение
Лапласа (гл. 24) и
гамма-распределение (гл. 17). При
заданной ширине
группирования h абсолютная величина поправки к группировке увеличивается
при росте абсолютного значения асимметрии |√

β1|; она чрезвычайно мала
для симметричных распределений.
Некоторые понятия,
имеющие
большую
значимость
для
дискретных
распределений, гораздо менее важны в случае непрерывных распределений.
В частности, производящая функция вероятностей мало используется в этой
части книги. Факториальные моменты также редко обладают преимуществами
краткости и простоты, которые присутствовали в случае дискретных распределений, хотя эти моменты и можно вычислить.