Одномерные дискретные распределения

ОДНОМЕРНЫЕ
ДИСКРЕТНЫЕ
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

A Wiley-Interscience Publication
JOHN WILEY & SONS, INC.
New York • Chichester • Brisbane • Toronto • Singapore

NORMAN L. JOHNSON

University of North Carolina 
Chapel Hill, North Carolina

SAMUEL KOTZ

University of Maryland 
College Park, Maryland

ADRIENNE  W. KEMP

University of St Andrews 
St Andrews, Scotland

Univariate Discrete
Distributions

Second Edition

Москва
Лаборатория знаний
2023

Т Е О Р И Я  В Е Р О Я Т Н О С Т Н Ы Х  Р А С П Р Е Д Е Л Е Н И Й

Перевод 2го английского издания
Е. В. Булинской, О. И. Волковой, 
С. В. Жуленёва, В. А. Кокотушкина

под редакцией
Е. В. Чепурина

5е издание, электронное

ОДНОМЕРНЫЕ
ДИСКРЕТНЫЕ
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Н. Л. Джонсон, С. Коц, А. Кемп

О С Т Н Ы Х

УДК 519.2
ББК 22.17
Д42

С е р и я
о с н о в а н а
в
2010 г.
Джонсон Н. Л.
Д42
Одномерные дискретные распределения / Н. Л. Джонсон,
С. Коц, А. У. Кемп ; пер. 2-го англ. изд. — 5-е изд., электрон. —
М. : Лаборатория знаний, 2023. — 563 с. — (Теория вероятностных 
распределений). — Систем. требования: Adobe Reader XI ;
экран 10". — Загл. с титул. экрана. — Текст : электронный.
ISBN 978-5-93208-652-0
Приводится ряд общих сведений из математического анализа и теории
вероятностных распределений, а также необходимые алгоритмы компьютерной 
генерации одномерных дискретных случайных величин. Вводятся
важные общие классы одномерных дискретных величин, включая семейства
смешанных и составных случайных величин. Подробно рассмотрены свойства 
семейств биномиальных, пуассоновских, отрицательных биномиальных,
геометрических,
гипергеометрических,
логарифмических
распределений.
Менее подробно рассмотрено несколько десятков связанных с ними семейств
распределений дискретных случайных величин.
УДК 519.2
ББК 22.17

Деривативное издание на основе печатного аналога: Одномерные дискретные 
распределения / Н. Л. Джонсон, С. Коц, А. У. Кемп ; пер. 2-го англ.
изд. — М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010. — 559 с. : ил. — (Теория вероятностных 
распределений). — ISBN 978-5-94774-471-2.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных
техническими средствами защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать
от нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации

ISBN 978-5-93208-652-0

©
Copyright
1993 by John Wiley & Sons, Inc.
All Rights Reserved.
This EBook is published under license
with the original publisher John Wiley & Sons, Inc.

© Русский перевод. Лаборатория знаний, 2021

Предисловие редактора перевода

Издательство «БИНОМ. Лаборатория знаний» приступило к выпуску серии монографий 
по теории вероятностных распределений. Серия является переводом
многотомного англоязычного издания, написанного Н. Джонсоном, С. Коцем,
Н. Балакришнаном, А. У. Кемп, которое было выпущено издательством Wiley,
и состоит из шести томов. Том 1 посвящен одномерным дискретным
распределениям, тома 2 и 3 — одномерным непрерывным распределениям,
том 4 — многомерным дискретным, а тома 5 и 6 — многомерным непрерывным
распределениям.
Такая классификация распределений позволила авторам в тт. 1, 2, 4 и 5
изложить необходимый общий математический аппарат, используемый при
анализе свойств конкретных типов распределений и многочисленных классов
семейств распределений.
В каждой книге серии приводятся: аналитические свойства семейств
распределений, формулы и алгоритмы, необходимые для статистического
анализа данных и компьютерной генерации соответствующих псевдослучайных 
величин, обширные сведения и библиография по исследованию свойств
и приложениям соответствующих семейств распределений.
По структуре, широте и глубине охвата материала данная серия является,
по существу, энциклопедическим справочником, предназначенным для научных 
работников и исследователей-прикладников естественной, гуманитарной
и экономической сфер.
Для студентов и преподавателей — это своеобразное учебное пособие по
теории вероятностей, математической статистике и их приложениям.
Весьма полная аннотированная библиография по исследованию свойств
различных распределений позволяет рассматривать данное издание в качестве 
своеобразного путеводителя при построении статистических моделей
реальных явлений.
В первом томе гл. 1–3, 9 переведены О. И. Волковой, гл. 4, 5 — Е. В. Бу-
линской, гл. 6, 7 — В. А. Кокотушкиным, гл. 8, 10, 11 — С. В. Жуленёвым.
Е. В. Чепурин

Посвящается:
Реджине Эландт—Джонсон,
Розали Коц, Дэвиду Кемпу

Предисловие авторов

С момента выхода в свет в 1969 году первого английского справочного издания
произошел значительный прогресс в сфере изучения свойств дискретных
распределений. Количество публикаций по этой тематике увеличилось как
минимум вдвое. Книга под названием «Словарь и библиография по дискретным 
распределениям», составленная Дж. П. Патилом (G. P. Patil) и С. В. Жоши
(S. W. Joshi) (Эдинбург, Издательство Oliver and Boyd, 1968), и первое издание
нашей книги были опубликованы практически одновременно. Цели и задачи
той книги в основном совпадали с нашими — составить в удобном для использования 
виде список основных свойств дискретных распределений, снабдив
его примерно тремя тысячами различных ссылок. В 1984 году место той книги
заняла гораздо более подробная и объемная книга под названием «Словарь
и классифицированная библиография по статистическим распределениям
для научных работников, том 1 — Дискретные распределения», составленная 
Дж. П. Патилом (G. P. Patil), М. Т. Босуэллом (M. T. Boswell), С. В. Жоши
(S. W. Joshi) и М. В. Ратнапархи (M. V. Ratnaparkhi) (Международный кооперативный 
издательский дом: Феерленд, Мериленд, 1984). С тех пор ни одной подобной 
всеобъемлющей обзорной монографии по этой тематике не появилось.
Читатели нашего нового издания скорее всего заметят, что за последнее
время в ходе исследований в теории дискретных распределений многие результаты 
дублировались различными учеными. В частности, это касается проблемы
наименования распределений. Одной из причин некоторой несогласованности
научно-исследовательских процессов стала фрагментарность литературы по
этой тематике. К сожалению, не существует ни одного журнала, целиком
посвященного теории и методологии статистических распределений. В течение
последних двадцати лет или около того большинство наиболее широко известных 
статистических журналов отводило в своих изданиях достаточно много
места для различных других предметов исследования, в результате многие
ценные научные резултьтаты в теории распределений были опубликованы
в менее известных журналах с гораздо более узким кругом читателей.
Одной из наиболее важных особенностей двух последних десятилетий
стало повсеместное внедрение компьютерных технологий. В частности, теперь
гораздо больше внимания уделяется задачам порождения случайных величин,
а методы аппроксимации потеряли свою прежнюю значимость. Наиболее
сильно в течение последних двух десятилетий возросло значение методов
моделирования, развитие которых дало возможность гораздо глубже изучить
взаимосвязи между различными распределениями. Нельзя также не отметить 
всевозрастающую значимость широко распространенного байесовского
статистического подхода в теории распределений.
Принимая во внимание эти факты, авторы первого издания (Норман Л. Джон-
сон (Norman L. Johnson) и Самюэль Коц (Samuel Kotz)) в конце 1980-х годов
пришли к выводу, что пришло время осуществить переиздание этой книги.

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРОВ
7

В качестве соавтора нового, полностью переработанного второго издания
книги была приглашена доктор Адриенн У. Кемп (Adrienne W. Kemp), име-
ющая богатый опыт и глубокие знания в теории дискретных распределений.
В новое издание были внесены следующие изменения:
1. В этом томе рассмотрены только одномерные дискретные распределе-
ния — материал одиннадцатой главы предыдущего издания был перенесен
в другой том, который предполагается посвятить многомерным распре-
делениям (дискретным и непрерывным).1)
2. Первая глава была увеличена в объеме, и в результате ее поделили
на три части. Часть A является по сути введением и содержит ин-
формацию относительно используемого математического аппарата. В ней
приведены различные чрезвычайно сложные факты и понятия (это каса-
ется как самих обозначений, так и используемых свойств математических
функций), которые широко используются многими современными иссле-
дователями и по умолчанию считаются очевидными. Часть B является
чисто справочной, в ней перечислены основные понятия и утвержде-
ния из статистики и теории вероятностей. Часть C — полностью новая,
в ней содержится краткая информация вводного характера относительно
быстро развивающейся (и очень быстро изменяющейся) области исследо-
ваний, посвященной порождению на компьютере различных дискретных
псевдослучайных величин.
3. Вторая глава была полностью написана заново, теперь она целиком посвя-
щена описанию основных семейств дискретных распределений, некоторые
из которых были разработаны и исследованы уже после 1969 года.
4. Структура следующих глав (с третьей по седьмую, посвященных бино-
миальному, пуассоновскому, отрицательно биномиальному, гипергеомет-
рическому и логарифмическому распределениям соответственно) была
сохранена для того, чтобы упростить для читателей процесс поиска необ-
ходимой информации. В заключительных разделах этих глав приведена
информация относительно последних достижений в области исследования
свойств этих распределений.
5. Восьмая и девятая главы были видоизменены. Теперь восьмая глава
посвящена смешанным дискретным распределениям, а в девятой главе
описаны распределения типа остановленных сумм2) . Такая реструктури-
зация и перераспределение информации отражают прогресс, достигнутый
в этих областях знаний, и помогают тем самым глубже понять суще-
ствующие между ними взаимосвязи.
6. В десятой главе по-прежнему содержатся сведения, посвященные рас-
пределениям, связанным с числом совпадений, размещениями, а также
посвященные распределениям числа серий. В то же время эта глава была
дополнительно расширена за счет изложения свойств богатого семейства
распределений k-го порядка.

1) В 1987 г. авторский коллектив в составе Johnson N. L., Kotz S., Balakrishnan N. опубли-
ковал монографию «Discrete Multivariate Distributions», а в 2000 г. монографию «Continuous
Multivariate Distributions». Обе монографии будут переведены и изданы. — Прим. ред.
2) Распределения данного типа называют чаще составными или распределениями сумм
случайного числа случайных слагаемых. — Прим. ред.

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРОВ

7. В добавленную одиннадцатую главу были включены описания разнооб-
разных распределений, которые нельзя было отнести ни к одной другой
главе.
8. В книге особо отмечено возросшее значение байесовского статистического
подхода применительно к теории дискретных распределений, в особености
это касается биномиального и пуассоновского распределений (см.гл.3 и 4).
9. Список литературы, приведенной в новом издании, существенно расши-
рился, и теперь он представляет собой единый перечень работ с указанием
номеров тех глав и разделов, в которых эти работы упоминаются.
10. В конце книги приведен подробный указатель использованных терминов.
Несмотря на отсутствие в новом издании материалов из одиннадцатой
главы предыдущего издания, объем книги в целом все равно пришлось су-
щественно увеличить для того, чтобы сохранить всеобъемлющий, даже прак-
тически энциклопедический характер этой книги. Однако для того, чтобы
объем книги не вышел за разумные пределы, мы были вынуждены не вклю-
чать в это издание некоторые интересные результаты последних лет. Мы
приносим свои извинения авторам тех работ, которые мы не упомянули.
Мы надеемся, что новое издание этой книги будет нести две функции — оно
не только послужит наиболее современным справочником по данной тематике, 
но и вновь привлечет интерес к этой области статистической науки,
оказав тем самым существенный вклад в развитие как теоретического, так
и практического ее направлений.
Мы выражаем отдельную благодарность профессору Дэвиду Кемпу (David
Kemp) не только за его постоянный интерес к работе и ценные замечания
(мы последовали не всем из них), но и за то, что он указал нам на ряд допущенных 
ошибок. Он составил обширный список литературы и осуществил
обработку всех подготовленных материалов в электронном виде.
С удовольствием благодарим наших коллег с факультета математики и вычислительной 
техники Университета Святого Эндрюса (St Andrews) за их
помощь в издании книги, особенно профессора Ричарда Кормака (Richard
Cormack) и г-на Джона Ньютона (John Newton) за то, что они внимательно
прочитали рукопись и сделали свои замечания относительно первоначального 
содержания различных глав книги. В процессе внесения изменений
и дополнений в книгу существенным подспорьем для нас стало огромное
число работ, копии которых многие исследователи в течение последних лет
щедро предоставляли авторам первого издания этой книги. Мы бы хотели
выразить за это им свою искреннюю признательность. Мы также очень благодарны 
г-же Джун Максвелл (June Maxwell), г-же Пегги Равич (Peggy Ravitch)
и доктору Халаку Уналу (Halak Unal) за их неоценимую помощь в ведении
электронной переписки на территории США.
Нами были затрачены огромные усилия для того, чтобы попытаться избежать 
ошибок как в самом тексте, так и в приведенном списке литературы.
Авторы были бы счастливы, если бы читатели сообщили им о каких-либо
ошибках, замеченных в тексте.
Н. Л. Джонсон (N. L. Johnson),
С. Коц (S. Kotz),
А. У. Кемп (A. W. Kemp)

ГЛАВА 1
Предварительные замечания

Введение

В данной работе приведены описания целого ряда различных распределений,
используемых в статистической теории и ее приложениях, каждое из которых
обладает своими специфическими отличительными свойствами. Эта книга
призвана стать главным образом справочным изданием. Мы включили в нее
большое количество формул и теоретических результатов. Кроме того, мы
попытались составить наиболее полную и исчерпывающую библиографию, что
позволит читателям получить наиболее полную информацию по интересующей
их проблеме. Несмотря на отсутствие в книге подробных доказательств,
в ряде мест с целью облегчения восприятия книги теми, кто предполагает
ее использовать на семинарских занятиях или занимается самообразованием,
мы все-таки привели основные идеи некоторых доказательств.
Везде далее в тексте мы будем использовать одни и те же общие понятия,
поэтому мы сочли удобным составить единый перечень всех основных
используемых определений и методов. Именно этому и посвящена данная
глава. Наличие такого перечня позволит нам решить еще одну задачу,
а именно пояснить толкование различных терминов, встречающихся в книге.
Здесь описываются только те понятия, с которыми вероятнее всего можно
столкнуться в ходе исследования различных статистических распределений.
Однако мы не стали приводить определений экспоненциальной, логарифмиче-
ской, тригонометрической и гиперболической функций. Везде, где не указано
обратное, мы по умолчанию используем действительные (а не комплексные)
переменные, а символ «log», так же как и «ln», обозначает натуральный
логарифм (т. е. логарифм по основанию e).
В этой главе также встретятся формулы, которыми придется воспользо-
ваться только в ряде определенных случаев. Там, где это потребуется, будут
приведены альтернативные обозначения использованных понятий, встречаю-
щиеся в других публикациях. При чтении последующих глав читателю не раз
придется возвращаться к данной главе, столкнувшись в тексте с незнакомым
или ранее не встречавшимся обозначением.

ГЛАВА 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

A.
Предварительные замечания об используемом
математическом аппарате

A1.
Факториальные и комбинаторные соотношения

Количество различных перестановок n элементов равно произведению вели-
чины n и всех положительных целых чисел, по величине меньших, чем n; это
произведение обозначается хорошо известным символом n! (n факториал),

n! = n(n − 1)(n − 2) · . . . · 1 =

n−1
j=0
(n − j).
(1.1)

Для k = 2n менее известным символом k!! обозначается произведение

(2n)!! = 2n(2n − 2) · . . . · 2.

Результат умножения некоторого положительного целого числа на следую-
щие за ним k−1 положительных чисел называется факториалом в убывающем
порядке, или, короче говоря, по убыванию; мы будем обозначать его как

n(k) = n(n − 1) . . . (n − k + 1) =

k−1
j=0
(n − j) =
(1.2)

=
n!

(n − k)! .
(1.3)

Заметим, что это произведение состоит из k сомножителей и что n(k) = 0 при
всех k > n, где n — некоторое положительное целое число. Мы
п р е д у п р е -
ж д а е м
читателей о том, что в статистической литературе не существует
какого-либо единообразного обозначения для факториала по убыванию. Так,
например, в работе [Mood, Graybill and Boes, 1974] использовался символ (n)k,
подразумевая, что (n)k = n(n − 1) · . . . · (n − k + 1), тогда как в статье [Stuart
and Ord, 1987] применялось обозначение n[k] = n(n − 1) · . . . · (n − k + 1).
В статистической литературе отсутствует также и стандартное обозначение 
для факториалов по возрастающему порядку, или, короче говоря, по
возрастанию. В этой книге в ряде случаев мы продолжим пользоваться тем
обозначением, которое фигурировало в предыдущем издании, а именно

n[k] = n(n + 1) · . . . · (n + k − 1) =

k−1
j=0
(n + j) =
(1.4)

= (n + k − 1)!

(n − 1)!
.
(1.5)

Однако в математической литературе существует стандартное обозначение,
согласно которому символ (n)k, известный как символ Пошхаммера (по имени
немецкого математика
Л. А. Пошхаммера [L. A. Pochhammer, 1841–1920]),
используется для обозначения произведения вида

(n)k = n(n + 1) · . . . · (n + k − 1)
(1.6)