Основы математического анализа

С.М. ЛЬВОВСКИЙ
ОСНОВЫ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА
2-е издание, электронное
ИЗДАТЕЛЬСКИЙ ДОМ 
ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ ЭКОНОМИКИ
МОСКВА, 2022

УДК 517(075.8)
ББК 22.161я73
Л89
Рукопись подготовлена в рамках грантового проекта НИУ ВШЭ 
по изданию авторских учебников
Рецензент: 
доктор физико-математических наук, профессор 
механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова 
В. И. Богачев
Л89 Львовский, Сергей Михайлович.
Основы математического анализа / С. М. Львовский ; Нац. исслед. ун-т «Высшая 
школа экономики». — 2-е изд., эл. — 1 файл pdf : 370 с. — Москва : Изд. дом Высшей 
школы экономики, 2022. — (Учебники Высшей школы экономики). — Систем. требования: Adobe Reader XI либо Adobe Digital Editions 4.5 ; экран 10". — Текст : электронный.
ISBN 978-5-7598-2405-3
В основе этого продвинутого учебника по математическому анализу — курс, который читался автором на факультете математики Высшей школы экономики. Представленный в книге материал имеет ряд отличий от традиционных курсов. Так, ряды вводятся сразу же после определения предела последовательности; в книгу входит экскурс в элементарную теорию множеств 
(включая лемму Цорна и ее применения) и в общую топологию (включая канторово множество 
и p-адические числа). Заметное место в учебнике уделено анализу на многообразиях, включая 
дифференциальные формы, теорему Стокса и теорему Фробениуса.
Учебник будет полезен студентам младших курсов математических специальностей, преподавателям математики, а также всем интересующимся этой наукой.
УДК 517(075.8) 
ББК 22.161я73
Электронное издание на основе печатного издания: Основы математического анализа / С. М. Львовский ; Нац. исслед. ун-т «Высшая школа экономики». — Москва : Изд. дом Высшей школы экономики, 2021. — 
368 с. — (Учебники Высшей школы экономики). — ISBN 978-5-7598-1183-1. — Текст : непосредственный.
В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных техническими средствами 
защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации.
ISBN 978-5-7598-2405-3
© 
Национальный исследовательский университет 
«Высшая школа экономики», 2021

ОГЛАВЛЕНИЕ
Пpедисловие . .
. . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
8
Глава 1. Введение в анализ. .
. . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
9
1.1. Предел последовательности . .
. . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . .
. . . .
. . . . . .
9
1.2. Множества. .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
14
1.3. Множества (продолжение) . .
. . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
20
1.4. Некоторые классические пределы . .
. . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. .
. . . . .
24
1.5. Ряды. .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . .
. . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
31
1.6. Построение действительных чисел . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
39
1.7. Свойства полноты действительных чисел . .
. . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
45
1.8. Некоторые следствия из свойств полноты . .
. . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
48
1.9. Ряды с произвольными членами. .
. . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
53
1.10. Упражнения . .
. . . . .
. . . . .
. . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
56
Глава 2. Производная; элементарные функции . .
. . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
63
2.1. Определение и простейшие свойства производных. .
. . . . .
. .
. . . . . .
63
2.1.1. Предел функции. .
. . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
63
2.1.2. Производная. .
. . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
66
2.2. Непрерывные функции . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. .
. . . . .
. . . . . .
71
2.3. Степень с рациональным показателем, экспонента, логарифм . .
. .
74
2.4. Исследование функций с помощью производной . .
. . . . . . .
. . . . . .
82
2.5. Тригонометрия. .
. . .
. . . . .
. . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
85
2.6. Вторая производная и выпуклость . .
. . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
91
2.7. Символы o и O, теорема о среднем, формула Тейлора . .
. . . . . . . .
95
2.8. Нахождение пределов . .
. .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . 107
2.9. Упражнения . .
. . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . 111
Глава 3. Элементарные понятия топологии . .
. . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . 115
3.1. Отношения и лемма Цорна. .
. . . . . .
. .
. . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . 115
3.2. Топологические пространства. .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . 121
3.3. Непрерывность и пределы . .
. . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . 129
3.3.1. Пределы и непрерывность в метрических пространствах . . 130
3.3.2. Общее определение предела . .
. . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . 134
3.4. Компактность . .
. . .
. . . . .
. . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . 135
3.5. Связность. .
. . . . . . .
. . . . .
. . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . 143
3.6. Полнота и пополнение . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . 148
3.7. p-адические числа и канторово множество . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . 151
3.8. Канторово множество . .
. . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . 156
3.9. Упражнения . .
. . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . . 163
5

Оглавление
Глава 4. Интеграл . .
. . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . 167
4.1. Равномерная сходимость; равномерная непрерывность. .
. . . . . . . . 167
4.2. Интеграл от кусочно-непрерывной функции . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . . 171
4.3. Неопределенный интеграл . .
. . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . 179
4.4. Некоторые классы функций, интегралы которых — также элементарные функции . .
. . . . .
. . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . 183
4.5. Почленное дифференцирование . .
. . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . 189
4.6. Несобственные интегралы . .
. . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . 192
4.7. Упражнения . .
. . . . .
. . . . .
. . . . . .
. . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . 198
Глава 5. Функциональные ряды . .
. . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . 202
5.1. Равномерная и нормальная сходимости . .
. . . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . 202
5.2. Аналитические функции. .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . 209
5.3. Разложение элементарных функций в ряды . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . . 219
5.4. Теорема Стоуна–Вейерштрасса . .
. . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . 226
5.5. Упражнения . .
. . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . 232
Глава 6. Кратные интегралы . .
. . . . . . .
. .
. . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . 234
6.1. Определение кратного интеграла . .
. . . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . 234
6.2. Интегралы по открытым подмножествам. .
. . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . 240
6.3. Упражнения . .
. . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . 247
Глава 7. Дифференцирование функций нескольких переменных . .
. . . . 249
7.1. Конечномерные нормированные пространства. .
. . . . .
. . . . . .
. . . . . . 249
7.2. Производная в многомерном случае. .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . 251
7.3. Высшие производные . .
. . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . 256
7.4. Исследование функций на экстремум . .
. . . . .
. . . . . . .
. . . . .
. .
. . . . . . 259
7.5. Упражнения . .
. . . . .
. . . . .
. . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . 261
Глава 8. Теоремы о неявной и обратной функциях и их приложения
264
8.1. Теорема об обратной функции . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . 264
8.2. Теорема о неявной функции . .
. . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . 268
8.3. Замена переменной в определенном интеграле . .
. . . . . . . . .
. . . . . . 274
8.4. Упражнения . .
. . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . 280
Глава 9. Абстрактные многообразия и векторные поля. .
. . . . . . .
. . . . . . 282
9.1. Абстрактные многообразия. .
. . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . 282
9.2. Касательные пространства . .
. . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . 285
9.3. Векторные поля: алгебра . .
. . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . 291
9.4. Теорема Арцел´
а–Асколи и дифференциальные уравнения . .
. . . . . 302
9.5. Векторные поля: геометрия . .
. . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . 308
9.6. Упражнения . .
. . .
. .
. .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . 313
6

Оглавление
Глава 10. Дифференциальные формы и интегрирование на многообразиях . .
. . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . 316
10.1. Интегрирование плотностей . .
. . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . 316
10.1.1. Разбиение единицы . .
. . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . .
. . . .
. . . . . . 318
10.2. Дифференциальные формы. .
. . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . 321
10.2.1. Формы степени 1 . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . 321
10.2.2. Интегрирование 1-форм. .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . 323
10.2.3. Немного линейной алгебры. .
. .
. . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . 326
10.2.4. Формы произвольной степени . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . 327
10.3. Неформальная формулировка теоремы Стокса . .
. . . . . . . . .
. . . . . . 331
10.4. Интегрирование форм по многообразиям . .
. . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . 332
10.4.1. Ориентация многообразия. .
. . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . .
. . .
. . 332
10.4.2. Многообразия с краем. .
. . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . 337
10.4.3. Теорема Стокса . .
. . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . 338
10.5. Классический векторный анализ . .
. . . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . 340
10.6. Сингулярные симплексы . .
. . . . . .
. . . . .
. .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . 346
10.7. Понятие о когомологиях де Рама. .
. . . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . 350
10.8. Теорема Фробениуса . .
. . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . 354
10.9. Упражнения . .
. . . . .
. . . . .
. . . . . . . .
. . . .
. . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . 360
Предметный указатель. .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . 364

ПPЕДИСЛОВИЕ
Эта книга основана на нескольких курсах, прочитанных в разные годы
в НМУ (Независимый московский университет), Высшей школе экономики
и в программе Math in Moscow — совместном проекте НМУ и НИУ ВШЭ.
Разумеется, книга такого объема, как эта, не может заменить подробного курса (в двухтомнике В.А. Зорича «Математический анализ» более
1300 страниц крупного формата). Некоторые традиционные темы (например, интегралы, зависящие от параметра) в книге опущены, для других
выбрано максимально краткое изложение. В частности, при исследовании
сходимости рядов Тейлора для элементарных функций удалось обойтись
без сложных видов остаточного члена с помощью использования аналитичности. Вместо интеграла Римана в одномерном случае используется
интеграл, который Ж. Дьедонне в одномерном случае называет «интегралом в смысле Коши»; для начального курса этого хватает, а для более
продвинутых разделов анализа все равно понадобится интеграл Лебега,
излагать который в начальном курсе неоправданно.
Выражаю благодарность Издательскому дому НИУ ВШЭ за грантовую
поддержку в период написания книги, а также рецензентам, и в особенности В.И. Богачеву, за указания на существенные недочеты в первых
вариантах рукописи.

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
1.1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Из школьного курса вы знаете, что действительные числа — это бесконечные десятичные дроби. Это определение не слишком строгое (точнее говоря, при таком определении трудно определить арифметические действия
над действительными числами и проверить их свойства наподобие распределительного закона умножения), но пока что будем руководствоваться им;
в дальнейшем мы дадим и строгое определение.
Курс математического анализа начинается с определения предела последовательности.
Определение 1.1.1. Говорят, что число a является пределом последовательности действительных чисел {xn}, если для всякого ε > 0 существует
такое натуральное число N, что при всяком n > N выполнено неравенство
|xn −a| < ε. Обозначение: lim
n→∞xn = a. Последовательности, имеющие предел, называются сходящимися.
Неравенство |xn −a| < ε равносильно двойному неравенству an −ε <
< x < an + ε; интервал (an −ε; an + ε) часто называют ε-окрестностью
числа a. Тогда определение 1.1.1 можно переформулировать еще так, для
всякой окрестности числа a существует такое N, что xn лежит в этой
окрестности при всех n > N.
Пример 1.1.2. Пусть xn = 1/(2n + 3). Покажем, что lim
n→∞xn = 0. В самом деле, для данного ε > 0 выберем натуральное N > 1/ε. Тогда при
n > N имеем
0 < xn =
1
n < 1
N < ε;
2n + 3 ⩽1
и подавно |xn −0| = |xn| < ε.
9

Глава 1. Введение в анализ
Первое свойство предела последовательности состоит в том, что если
он существует, то он единственен.
Предложение 1.1.3. Пусть {xn} — последовательность действительных чисел; если lim
n→∞xn = a и lim
n→∞xn = b, то a = b.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассуждаем от противного: пусть a ̸= b. Тогда
при достаточно малых ε оказывается, что ε-окрестности точек a и b не
пересекаются (например, годится ε = |a −b|/2 — сделайте чертеж!). Зафиксируем такое ε; тогда ввиду условия существуют такие натуральные
N1 и N2, что при всяком n > N1 число xn лежит в ε-окрестности точки a
и всяком n > N2 число xn лежит в ε-окрестности точки b; если теперь взять
какое-нибудь n > max(N1, N2), то окажется, что xn лежит одновременно
в ε-окрестности точки a и в ε-окрестности точки b, а это невозможно ввиду
нашего выбора ε.
□
На практике пределы редко находят прямо по определению, как в нашем
примере 1.1.2; обычно сводят более сложные пределы к более простым
с помощью правил, известных под общим названием «арифметики пределов». Вот первое из этих правил.
Предложение 1.1.4. Если lim
n→∞xn = a и lim
n→∞yn = b, то существует
и предел последовательности {xn + yn}, причем lim
n→∞(xn + yn) = a + b.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть нам дано ε > 0. Тогда ввиду определения
предела существуют такие натуральные числа N1 и N2, что |xn −a| < ε/2,
как только n > N1, и |xn −b| < ε/2, как только n > N2. Положим теперь
N = max(N1, N2). Если теперь n > N, то
|(xn + yn) −(a + b)| = |(xn −a) + (yn −b)| ⩽
⩽|xn −a| + |yn −b| < ε/2 + ε/2 = ε.
Это и означает, что lim
n→∞(xn + yn) = a + b.
□
Коротко говоря, предел суммы равен сумме пределов. Два следующих
утверждения про арифметику пределов доказываются аналогично предложению 1.1.4; их доказательство предоставляется читателю.
Предложение 1.1.5. Если lim
n→∞xn = a и lim
n→∞yn = b, то существует
и предел последовательности {xn −yn}, причем lim
n→∞(xn −yn) = a −b.
Если
lim
n→∞xn = a и k — произвольное действительное число, то
существует и предел последовательности {kxn}, причем lim
n→∞(kxn) = ka.
Аналогичное утверждение верно и для предела произведения, но доказывается оно немного сложнее. Для начала определим одно понятие,
которое пригодится нам и в дальнейшем.
10