Организационно-экономическое моделирование. Часть 1. Нечисловая статистика

им. Н.Э. Баумана
МГТУ

ИЗДАТЕЛЬСТВО

О-66

УДК 519.2:330.4(075.8) 
ББК 60.6я73 
        О-66 
Рецензенты: 
кафедра «Системы управления экономическими объектами»  
Московского государственного авиационного института (ТУ) 
(заведующий кафедрой доктор экономических наук,  
профессор В.Д. Калачанов); 
доктор экономических наук, профессор С.А. Смоляк 
Орлов А.И. 
Организационно-экономическое моделирование : учебник : в 3 ч. / А.И. Орлов. – М. : Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009.  
ISBN 978-5-7038-3276-9 
Ч. 1 : Нечисловая статистика. – 2009. – 541 с. : ил. 
ISBN 978-5-7038-3277-6 
Впервые в систематизированном виде рассмотрена одна из 
четырех основных областей современной прикладной математической статистики — нечисловая статистика.  
Проанализированы основные виды нечисловых данных, 
методология, процедуры и особенности их статистического 
анализа. Представлены статистические методы в пространствах 
произвольной природы, статистика нечисловых данных конкретных видов, статистика интервальных данных. Большое внимание 
уделено практическому применению методов и результатов 
нечисловой статистики. 
Материал учебника соответствует курсам лекций, которые 
автор читает в МГТУ им. Н.Э. Баумана. 
Для студентов, преподавателей и специалистов, заинтересованных в применении современных статистических методов в 
технике, экономике, управлении, медицине, социологии и иных 
областях, для разработчиков таких методов и соответствующего 
программного обеспечения, а также для исследователей в 
области прикладной и математической статистики, анализа 
данных, методов оптимизации, математического и организационно-экономического моделирования. 
УДК 519.2:330.4(075.8) 
ББК 60.6я73 

© Орлов А.И., 2009 
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009 
ISBN 978-5-7038-3277-6 (ч. 1)  
© Оформление. Издательство 
ISBN 978-5-7038-3276-9 
    МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009 

Оглавление 

ПРЕДИСЛОВИЕ ..........................................................................................5 
ВВЕДЕНИЕ. Нечисловая статистика — основа высоких 
статистических технологий .....................................................................15 
В1. О развитии статистических методов ...............................................15 
В2. Структура нечисловой статистики ..................................................42 
Литература ...............................................................................................57 
Глава 1. Нечисловые статистические данные ...................................61 
1.1. Количественные и категоризованные данные ...............................61 
1.2. Основы теории измерений ..............................................................69 
1.3. Виды нечисловых данных ...............................................................78 
1.4. Вероятностные модели порождения нечисловых данных ............98 
1.5. Нечеткие множества — частный случай нечисловых данных ...121 
1.6. Сведение нечетких множеств к случайным .................................136 
1.7. Данные и расстояния в пространствах  
произвольной природы .........................................................................149 
1.8. Аксиоматическое введение расстояний .......................................156 
Литература .............................................................................................169 
Контрольные вопросы и задачи ...........................................................173 
Темы докладов, рефератов, исследовательских работ .......................174 
Глава 2. Статистические методы в пространствах  
произвольной природы ..........................................................................176 
2.1. Эмпирические и теоретические средние ......................................176 
2.2. Законы больших чисел ..................................................................187 
2.3. Экстремальные статистические задачи ........................................198 
2.4. Одношаговые оценки .....................................................................202 
2.5. Непараметрические оценки плотности ........................................214 
2.6. Статистики интегрального типа ...................................................224 
2.7. Методы восстановления зависимостей ........................................247 
2.8. Методы классификации .................................................................258 
2.9. Методы шкалирования ..................................................................284 
Литература .............................................................................................294 
Контрольные вопросы и задачи ...........................................................299 
Темы докладов, рефератов,  исследовательских работ ......................301 
Глава 3. Статистика нечисловых данных конкретных видов ......302 
3.1. Инвариантные алгоритмы и средние величины ..........................302 
3.2. Теория случайных толерантностей ..............................................311 
3.3. Метод проверки гипотез по совокупности малых выборок .......323 
3.4. Теория люсианов ............................................................................336 

3.5. Метод парных сравнений ..............................................................356 
3.6. Статистика нечетких множеств ....................................................365 
3.7. Статистика нечисловых данных в экспертных оценках .............373 
Литература .............................................................................................396 
Контрольные вопросы и задачи ...........................................................399 
Темы докладов, рефератов, исследовательских работ .......................402 
Глава 4. Статистика интервальных данных ....................................404 
4.1. Основные идеи статистики интервальных данных .....................404 
4.2. Интервальные данные в задачах оценивания ..............................416 
4.3. Интервальные данные в задачах проверки гипотез ....................457 
4.4. Линейный регрессионный анализ интервальных данных ..........461 
4.5. Интервальный дискриминантный анализ ....................................496 
4.6. Интервальный кластер-анализ ......................................................499 
4.7. Интервальные данные в инвестиционном менеджменте ............503 
4.8. Статистика интервальных данных в прикладной статистике ....509 
Литература .............................................................................................513 
Контрольные вопросы и задачи ...........................................................517 
Темы докладов, рефератов, исследовательских работ .......................518 
Приложение 1. Теоретическая база нечисловой статистики ............519 
П1. Законы больших чисел ..............................................................519 
П2. Центральные предельные теоремы ..........................................522 
П3. Теоремы о наследовании сходимости ......................................527 
П4. Метод линеаризации .................................................................533 
П5. Принцип инвариантности .........................................................535 
Литература .............................................................................................538 
Приложение 2. Основные книги профессора А.И. Орлова ..............539 
 

Предисловие 

В учебнике впервые систематически рассматривается одна 
из четырех основных областей современной прикладной статистики — нечисловая статистика. Она порождена в 70-х годах ХХ в. потребностями прикладных социально-экономических, технических и медико-биологических исследований. 
Основа ее математического аппарата заключается в использовании расстояний между объектами нечисловой природы и 
решений оптимизационных задач, а не операций суммирования данных, как в других областях статистики. В учебнике 
рассмотрены основные виды нечисловых данных и особенности их статистического анализа. Большое внимание уделено 
проблемам практического применения рассматриваемых методов и результатов. 
Нечисловую статистику называют также статистикой нечисловых данных или статистикой объектов нечисловой природы. Она — сердцевина высоких статистических технологий, 
т.е. современной прикладной статистики. Ее рассматривают 
также как одну из четырех основных областей статистики. Три 
других — это статистика чисел (случайных величин), статистика векторов (многомерный статистический анализ), статистика функций (временных рядов и случайных процессов). 
Какие данные называют нечисловыми? Описание технического, социально-экономического, медицинского объекта изучения часто удается представить в виде вектора, часть координат которого измерена по количественным шкалам, а 
часть — по качественным, имеющим конечное число градаций. Это наиболее распространенный тип нечисловых данных. 
В общем случае под нечисловыми данными понимают 
элементы пространств, не являющихся линейными (вектор

ными), в которых нет операций сложения элементов и их умножения на действительное число. Кроме результатов измерений по качественным признакам, примерами являются последовательности из 0 и 1, бинарные отношения (ранжировки, 
разбиения, толерантности); множества (в том числе плоские 
изображения и объемные тела); нечеткие (размытые, расплывчатые, fuzzy) числа и множества, их частный случай — интервалы; результаты парных сравнений и другие объекты, возникающие в прикладных исследованиях. Все эти виды 
нечисловых данных и вероятностные модели их порождения 
подробно рассмотрены в учебнике. Их обобщением, как и 
обобщением числовых данных (чисел, векторов, функций), 
являются элементы пространств произвольной природы. 
Исторически нечисловые данные стали рассматриваться 
раньше, чем статистические данные в виде действительных 
чисел. Книга «Числа» Ветхого Завета содержит обширные 
сведения о численностях тех или иных совокупностей. Натуральные числа можно отнести к нечисловым данным, хотя их 
можно складывать, но умножение на действительное число 
выводит за пределы натурального ряда. Теория вероятностей 
также начиналась с моделирования нечисловых данных. Это 
результаты бросания игральных костей и вытаскивания шаров из урн. Однако к началу ХХ в. основное внимание статистиков переместилось на рассмотрение числовых случайных 
величин, моделирующих действительно-значные результаты 
наблюдений. 
К 70-м годам ХХ в. развитие прикладных научных исследований в инженерном деле, социологии, экономике, менеджменте, психологии, медицине и других областях привело к необходимости разработки методов статистического анализа 
нечисловых данных. В СССР вокруг Всесоюзного семинара 
«Экспертные оценки и нечисловая статистика» сложился неформальный научный коллектив из нескольких десятков активных исследователей. 

Сначала изучались методы анализа конкретных видов нечисловых данных, устанавливались связи между ними. Затем 
пришло понимание статистики нечисловых данных как самостоятельной области прикладной статистики со своей внутренней структурой и разнообразными связями между подходами и результатами, относящимися к тем или иным видам 
нечисловых данных. 
Статистика нечисловых данных выделена нами как самостоятельная область прикладной статистики в 1979 г. За прошедшие с тех пор годы арсенал ее методов пополнился многими полезными новшествами. Но основные идеи выдержали 
проверку временем, что и оправдывает их изложение в настоящей книге. 
О развитии нечисловой статистики. В 70-е годы ХХ в. в 
СССР возник неформальный научный коллектив исследователей, изучающих методы анализа нечисловых данных различных видов. Центром стал научный семинар «Экспертные 
оценки и нечисловая статистика» и одноименная комиссия в 
составе Научного совета АН СССР по комплексной проблеме 
«Кибернетика». 
Вначале разбирались подходы предшественников: аксиоматическое введение расстояний между объектами нечисловой природы и нахождение среднего по Кемени, репрезентативная теория измерений, нечеткие множества Заде, парные 
сравнения по Дэвиду и др. Затем были проведены многочисленные самостоятельные исследования, установлены взаимосвязи между подходами и результатами для различных типов 
нечисловых данных, разработана общая теория статистического анализа нечисловых данных произвольной природы. 
В итоге стало возможным говорить о новой области прикладной статистики — нечисловой статистике. Время ее окончательного формирования — первая половина 1980-х годов — 
время наибольшей организационной активности. Две Всесо

юзные конференции — в Алма-Ате (1981 г.) и Таллине 
(1984 г.) — собрали по 300–500 участников. 
Со второй половины 80-х годов ХХ в. статистика нечисловых данных (статистика объектов нечисловой природы) развивается стабильно. Много публикаций содержится в журналах «Заводская лаборатория», «Социология: методология, 
методы, математическое моделирование», в периодических 
сборниках «Статистические методы оценивания и проверки 
гипотез». Разделу нечисловой статистики — статистике интервальных данных — была посвящена Международная конференция по интервальным и стохастическим методам в науке 
и технике «Интервал–92» (г. Калининград Московской области, сентябрь 1992 г.). 
Неформальный коллектив по нечисловой статистике 
включает в себя десятки российских исследователей, а если 
учитывать авторов одной-двух работ, то и сотни. Почти за 
30 лет выпущено несколько десятков сборников и монографий, много статей опубликовано в научных журналах. Однако 
из-за отсутствия формальной инфраструктуры (в частности, 
Института нечисловой статистики в составе Российской академии наук) имеются лишь единичные методики и программные продукты, предназначенные для практического использования. В отличие от научных монографий почти отсутствуют 
учебники и учебные пособия, а также книги, содержащие введение и общий обзор нечисловой статистики. 
Настоящая книга заполняет существенный пробел в литературе по нечисловой статистике, вводит в предмет, знакомит 
с нечисловой статистикой на современном научном уровне. 
Изложение материала доводится до переднего края ведущихся 
в настоящее время научных исследований. Постоянно в поле 
зрения находятся вопросы практического применения рассматриваемых подходов, методов, результатов. В частности, 
используется опыт разработки нашим коллективом автомати

зированного рабочего места МАТЭК (математика в экспертизе) для организатора экспертного опроса. Отражены также работы по статистике нечисловых данных и ее применениям, за 
которые автору в 1992 г. присуждена ученая степень доктора 
технических наук (по научному докладу об опубликованных 
работах, т.е. без написания диссертации классического вида). 
Чтобы в сравнительно небольшой книге охватить всю статистику нечисловых данных, приходится идти на жертвы. Мы 
отказываемся от разбора большинства доказательств, отсылая 
читателей к публикациям, содержащим эти доказательства. 
Примеры подобного стиля изложения — обзоры по статистике 
нечисловых данных в разделе «Математические методы исследования» журнала «Заводская лаборатория» (1990, № 3; 
1995, № 3, 5; 1996, № 3). 
Стиль книги. В любой использующей математику области есть три уровня исследований — методологический, теоретический и практический. На методологическом уровне излагаются 
общие 
подходы 
и 
формулируются 
основные 
результаты. На теоретическом уровне, грубо говоря, доказывают теоремы. В частности, выявление необходимых и достаточных условий регулярности обычно осуществляется в результате цепи работ этого уровня. 
Например, на методологическом уровне Центральная предельная теорема теории вероятностей формулируется так: «При 
некоторых условиях регулярности распределение центрированной и нормированной суммы независимых случайных величин 
при росте числа слагаемых стремится к стандартному нормальному распределению». Около двухсот лет — от Муавра и Лапласа до Линдеберга и Феллера — некоторые условия регулярности уточнялись в работах теоретического уровня. 
Изложение материала в книге идет в основном на методологическом уровне. При спуске на теоретический уровень 
приводятся формулировки теорем, в основном без доказа

тельств, но со ссылками на публикации, где они содержатся. 
Обоснованием для выбора такого варианта построения книги, кроме желания ограничить ее объем разумными рамками, 
послужило следующее представление о предпочтениях будущих читателей: большинство из них не извлечет пользы из 
того, что в некоторой формулировке можно заменить требование дифференцируемости определенной функции на требование ее непрерывности. Сказанное не означает, что автор 
отрицает целесообразность проведения научных работ, посвященных подобным ослаблениям условий регулярности. 
Просто им не место в книге для первого знакомства с нечисловой статистикой. 
На практическом уровне исследований большое внимание 
уделяют конкретному объекту приложений — технической, 
социально-экономической или медицинской системе. Для достаточно информативного описания каждого такого исследования нужна отдельная монография, которая обычно и готовится 
в качестве отчета по работе. Поэтому мы ограничились краткими замечаниями о практическом применении различных 
методов нечисловой статистики. Суммарно эти замечания составляют существенную часть как авторского замысла, так и 
объема книги. 
Содержание книги. Во введении обсуждены история и 
современное состояние статистических методов, прикладной 
статистики, место в ней статистики нечисловых данных. Проанализирована сложившаяся структура нечисловой статистики — сердцевины высоких статистических технологий.  
Книга делится на главы, а главы — на разделы.  
В главе 1 изучены конкретные виды нечисловых статистических данных, соответствующие вероятностные модели. Сопоставлены количественные и категоризованные данные. Разобраны основы теории измерений. Большое внимание 
уделено нечетким множествам как частному виду нечисловых 
данных. Продемонстрирована возможность сведения теории