Избранные труды: математика
Покупка
Тематика:
Математика
Автор:
Воронин Сергей Михайлович
Под ред.:
Карацуба Анатолий Алексеевич
Год издания: 2006
Кол-во страниц: 482
Дополнительно
Вид издания:
Сборник
Уровень образования:
ВО - Магистратура
ISBN: 5-7038-2800-7
Артикул: 804942.01.99
Доступ онлайн
В корзину
В настоящее издание вошли все основные работы выдающегося русского математика С. М. Воронина (1946-1997) по теории чисел и анализу, в частности известная теорема об универсальности дзета-функции Римана.
Для математиков, интересующихся теорией чисел, теорией квадратурных и интерполяционных формул, а также для аспирантов и студентов, специализирующихся в этих областях.
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
- ВО - Магистратура
- 01.04.01: Математика
- 01.04.04: Прикладная математика
- ВО - Специалитет
- 01.05.01: Фундаментальные математика и механика
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. В. А. СТЕКЛОВА РАН
Москва Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана 2006 МАТЕМАТИКА С.М. ВОРОНИН ИЗБРАННЫЕ ТРУДЫ Под редакцией А.А. Карацубы
УДК 511+517.5 ББК 22.13 В752 Р И Издание осуществлено при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований по проекту 05-01-14010 Р Е Д К О Л Л Е Г И Я: А. А. Карацуба, Г. И. Архипов, В. А. Исковских Воронин С. М. В752 Избранные труды: Математика / Под ред. А. А. Карацубы. — М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2006. — 480 с. — ISBN 5-7038-2800-7. В настоящее издание вошли все основные работы выдающегося русского математика С. М. Воронина (1946–1997) по теории чисел и анализу, в частности известная теорема об универсальности дзета-функции Римана. Для математиков, интересующихся теорией чисел, теорией квадратурных и интерполяционных формул, а также для аспирантов и студентов, специализирую- щихся в этих областях. УДК 511+517.5 ББК 22.13 c⃝ С. М. Воронин, 2006 c⃝ Оформление. Издательство ISBN 5-7038-2800-7 МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2006
ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящее издание представляет собой сборник избранных работ выдающего- ся русского математика, крупного специалиста в области аналитической теории чисел, ведущего научного сотрудника Математического института им. В. А. Стек- лова РАН, доктора физико-математических наук, профессора Сергея Михайловича Воронина (1946–1997). К числу основных научных достижений С. М. Воронина относятся следующие результаты: — доказаны теоремы об универсальности дзета-функции Римана и L-функций Дирихле, в которых утверждается, что сдвиги этих функций содержат в себе, по существу, все аналитические функции; — доказана дифференциальная и функциональная независимость класса дзета- функций полей алгебраических чисел, что является решением усиленного вариан- та проблемы Гильберта; — опровергнута гипотеза Турана о нулях частичных сумм ряда Дирихле дзета- функции Римана; — решена проблема Титчмарша о распределении нулей в критической полосе дзета-функций Эпштейна, Дэвенпорта–Хейльбронна и подобных им функций; — создано новое направление в теории дзета-функций, связанное с определе- нием правильного порядка количества нулей, лежащих на критической прямой, арифметических рядов Дирихле, для которых гипотеза Римана заведомо не вы- полняется; — на основе теории дивизоров создан эффективный метод построения опти- мальных многомерных квадратурных и интерполяционных формул. Помимо научной работы в Математическом институте им. В. А. Стеклова, С. М. Воронин преподавал, был профессором кафедры теории чисел в Москов- ском педагогическом государственном университете им. В. И. Ленина. Он читал обязательные и специальные курсы. Его лекции, особенно по истории матема- тики, пользовались неизменным успехом не только у студентов, но и у са- мих преподавателей. Каждая работа С. М. Воронина является оригинальной и получила развитие в исследованиях отечественных и зарубежных математиков. Знакомство с работами С. М. Воронина будет полезно всем, кто интересуется современными достижениями математики, в частности в области аналитической теории чисел. Приведем слова С. М. Воронина, которые популярно поясняют основные идеи его собственных исследований, составляющих основное содержание настоящей книги∗. «Более двух столетий назад в работах Л. Эйлера возник метод производящих функций. Первые его применения были связаны с задачами теории чисел и комбинаторного анализа. В дальнейшем сфера приложений метода производящих ∗ Воронин С. М., Карацуба А. А. Дзета-функция Римана. — М.: Физматлит, 1994.
Предисловие функций расширялась и сейчас охватывает алгебру, топологию и, весьма зна- чительно, теорию вероятностей. В теории чисел, исходной области применений метода, с ним связан ряд ярких ее достижений. Отправной точкой метода производящих функций является сопоставление ис- следуемым объектам функций, причем отношения между объектами отражаются в отношениях между функциями. К функциям же можно применять всю мощь метода анализа бесконечно малых, что часто ведет к успеху в изучении исходной задачи». И далее: «...объектом внимания является дзета-функция Римана, хотя в определенной степени затрагиваются функции Дирихле и Гекке. Многие свойства целых чисел отражаются в аналитических свойствах дзета-функции. Например, представление дзета-функции в виде произведения Эйлера по простым числам является отражением однозначности разложения целых чисел на простые числа. Другие связи свойств целых чисел и аналитических свойств дзета-функции видны не столь ясно, хотя внимательный анализ в ряде случаев выявляет эти связи». Книга состоит из четырех разделов. В разделе I публикуется кандидатская диссертация, в разделе II — докторская диссертация. В разделе III помещены статьи, расположенные в хронологическом порядке, в разделе IV — небольшая по объему книга «Простые числа» и две статьи, опубликованные в журнале «Квант». Редколлегия приносит глубокую благодарность Российскому фонду фундамен- тальных исследований, финансовая поддержка которого позволила осуществить настоящее издание.
СЕРГЕЙ МИХАЙЛОВИЧ ВОРОНИН Сергей Михайлович Воронин родился 11 марта 1946 г. в городе Горно-Алтайске в семье служащего. Отец Сергея Михайловича, Михаил Федорович Воронин, — инженер-нефтяник, мать, Пелагея Ильинична Воронина (урожденная Маслова), — учитель литературы в школе. С начала 1950-х годов семья Ворониных жила в городе Бугуруслане Оренбургской области. В школе Сергей увлекался химией, математикой, литературой. Занимался музыкой, окончил с отличием музыкальную школу по классу фортепиано. В 1963 г. после окончания 10-го класса средней школы и успешных выступ- лений на математических олимпиадах Сергей Воронин был приглашен в летнюю математическую школу МГУ и остался завершать среднее образование в школе- интернате № 18 при МГУ. Это был первый год работы школы-интерната, создате- лем и руководителем которой стал академик А. Н. Колмогоров. В 1964 г. С. М. Воронин поступил на механико-математический факультет Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова. Занимаясь теорией чисел, теорией функций, алгеброй, он выбрал узкую специализацию — аналитическую теорию чисел. Уже с первого курса он стал размышлять над самы- ми разными проблемами теории чисел. Научным руководителем С. М. Воронина в МГУ, а также в аспирантуре МИАН был профессор А. А. Карацуба. Студенческие работы С. М. Воронина посвящены теории суммирования муль- типликативных функций и дзета-функции Римана. В них Сергей Михайлович придумал новый подход к решению задач об асимптотическом поведении сумма- торных функций, вариант которого известен в теории чисел как аналитический метод Адамара–Ландау. В 1969 г. Сергей Михайлович поступил в аспирантуру Математического инсти- тута им. В. А. Стеклова АН СССР, а по ее окончании стал научным сотрудником МИАН. В 1972 г. он блестяще защищает кандидатскую диссертацию «Иссле- дование поведения дзета-функции Римана», в которой им решены две крупные проблемы теории дзета-функции Римана: многомерная проблема распределения значений дзета-функции Римана ζ(s) и ее производных в критической полосе и проблема нулей начальных отрезков ряда Дирихле функции ζ(s). Изучением распределения значений ζ(s) впервые начал заниматься Г. Бор в 1914 г. Он доказал, в частности, что кривая γ = γ(t) = ζ(σ + it), где σ — фик- сированное число, 1/2 < σ < 1, t ∈ (−∞, +∞), всюду плотна в C. В диссертации С. М. Воронин решает проблему распределения значений векторов V1(t) и V2(t) в Cn, где V1(t) = ζ(s1 + it), ζ(s2 + it), . . . , ζ(sn + it) , V2(t) = ζ(s + it), ζ′(s + it), . . . , ζ(n−1)(s + it)при фиксированных s1, . . . , sn, s; параметр t меняется в интервале (−∞, +∞). Оказывается, что значения дзета-функции в точках s1 + it, s2 + it, . . . , sn + it
Сергей Михайлович Воронин в определенном смысле независимы, если только sj ̸= sk при j ̸= k и 1/2 < < Re sj ⩽ 1. Более точно: кривая V1(t) всюду плотна в Cn. Аналогичное утверж- дение справедливо и для V2(t). Из всюду плотности V2(t) в Cn следует утверж- дение о том, что не существует непрерывной функции F(z1, z2, . . . , zn) от n комплексных переменных, не равной тождественно нулю и такой, что F(ζ(s + it), ζ′(s + it), . . . , ζ(n−1)(s + it)) = 0 при фиксированном Re s = σ, 1/2 < σ ⩽ 1. Поэто- му не существует «непрерывного динамического» дифференциального уравнения, которому удовлетворяла бы дзета-функция Римана. Вопрос о дифференциальных свойствах ζ-функции поставил в 1900 г. Д. Гиль- берт в своем докладе на Математическом конгрессе. Он отметил, что, используя результат Гёльдера об алгебраической дифференциальной независимости гамма- функции и функциональное уравнение Римана для дзета-функции, можно дока- зать алгебраическую дифференциальную независимость ζ(s). В том же докладе Гильберт сделал предположение, что функция ζ(s, x) = ∞ n=1 n−sxn не удовлет- воряет никакому алгебраическому дифференциальному уравнению с частными производными. Это утверждение было доказано А. Островским в 1921 г. Позднее подобные теоремы были доказаны для L-функций Дирихле, однако в них су- щественно используется алгебраичность дифференциального уравнения. Именно, используется тот факт, что функциональное равенство нулю суперпозиции рядов Дирихле и многочлена ведет к равенству нулю коэффициентов Дирихле в ряде после формального раскрытия скобок. Поэтому всюду плотность V2(t) в Cn дает возможность избегать в некоторых ситуациях использования алгебраичности уравнений и, тем самым, рассматривать более широкие классы уравнений. Такие уравнения и были рассмотрены в кандидатской диссертации С. М. Воронина как для ζ(s), так и для ζ(s, x). Другой проблемой, которая была решена С. М. Ворониным в кандидатской диссертации, является проблема нулей сумм fn(s) вида fn(s) = 1 + 2−s + + 3−s + . . . + n−s. В теории чисел известна гипотеза, высказанная П. Тураном в 1948 г., о том, что fn(s) ̸= 0 при Re s > 1 и любых n ⩾ 1. Из этой гипотезы следует гипотеза Римана о нулях дзета-функции. С. М. Воронин доказывает, что fn(s) имеет нули при Re s > 1 для сколь угодно больших n. Он также доказывает, что при 1/2 < σ1 < σ2 < 1 существует n1 такое, что при n ⩾ n1 функция fn(s) имеет бесконечно много нулей в полосе σ1 < Re s < σ2. Несколько позднее С. М. Воронин уточняет свою теорему о нулях fn(s) и доказывает, что существуют абсолютные постоянные c1 > 0 и n1 > 0 такие, что при n ⩾ n1 уравнение fn(s) = 0 имеет решение s = s1, где Re s1 > 1 + c1(log n)−1. С большой энергией С. М. Воронин стал заниматься поисками подходов к решению двух центральных проблем аналитической теории чисел: гипотезы Ри- мана и бинарной проблемы Гольдбаха. В частности, много усилий он приложил к тому, чтобы доказать, что почти все комплексные нули дзета-функции Римана лежат на критической прямой. Последнее утверждение не доказано до сих пор. Однако размышления над этим утверждением привели к знаменитой т е о р е м е В о р о н и н а об универсальности функции ζ(s), доказанной им в 1975 г.: если произвольная аналитическая в круге |s| ⩽ r < 1/4 функция f(s) не имеет нулей в этом круге, то для всякого ε > 0 найдется t > 0 такое, что |f(s) − ζ(s + 0,75 + it)| < ε при всех |s| ⩽ r.
Сергей Михайлович Воронин 7 Теорема об универсальности дзета-функции, ее обобщения на L-ряды Дирихле, дзета-функции алгебраических числовых полей, а также теоремы о нулях дзета- функции Эпштейна (дзета-функции квадратичных форм) составили содержание докторской диссертации С. М. Воронина «Аналитические свойства производящих функций Дирихле арифметических объектов», которую он защитил в 1977 г. в Ма- тематическом институте им. В. А. Стеклова. Теорема Воронина об универсаль- ности стала широко известной и получила многочисленные обобщения в самых разных направлениях. Особый интерес представляет работа американских матема- тиков К. Битара, Н. Н. Кхури и Х. С. Рена, опубликованная в 1991 г., о вычислении континуальных интегралов квантовой механики на основе теоремы Воронина об универсальности дзета-функции Римана. Одной из теорем докторской диссертации С. М. Воронина, относящейся к нулям дзета-функций, является следующая: пусть 1/2 < σ1 < σ2 < 1; если число классов дивизоров поля Q( √ d ) больше одного, то при T ⩾ T1 > 0 в области σ1 < Re s < σ2, 0 < Im s ⩽ T находится не мень- ше c1T нулей дзета-функции ζ(s, K) квадратичной формы K = ax2 + bxy + cy2, где d = b2 − 4ac < 0, c1 = c1(σ1, σ2) > 0. В теории дзета-функций известны аналитические функции, которые задают- ся в правой полуплоскости рядом Дирихле, имеют функциональное уравнение риманова типа и таковы, что для них гипотеза Римана не выполняется, т. е. они имеют комплексные нули, не лежащие на критической прямой. Одной из самых простых таких функций является функция Дэвенпорта–Хейльбронна, най- денная ими в 1936 г. В 1980 г. С. М. Воронин доказывает теорему о том, что, тем не менее, критическая прямая является «особым множеством» для нулей функции Дэвенпорта–Хейльбронна, на этой прямой лежит «аномально много» нулей. Несколько позднее подобный результат был доказан им и для некоторых дзетa-функций квадратичных форм. Так родилось новое направление в теории дзета-функций, связанное с определением правильного порядка количества нулей, лежащих на критической прямой, арифметических рядов Дирихле, для которых гипотеза Римана заведомо не выполняется. С. М. Воронина интересовали самые разные проблемы математики. Прини- мая активное участие в работе семинара «Аналитическая теория чисел и при- ложения» в МГУ, он, помимо докладов о своих собственных оригинальных исследованиях, прочитал целый ряд больших обзорных докладов: «10-я пробле- ма Гильберта» (по работам Ю. В. Матиясевича и Ю. Робинсон); «Нули дзета- функции Римана на критической прямой» (по работам А. Сельберга, К. Зигеля и Н. Левинсона); «О приближении безгранично делимыми законами распределений» (по работам А. Н. Колмогорова и Ю. В. Прохорова); «О десятом дискриминанте» (по работе К. Хегнера); «О больших значениях полиномов Дирихле» (по работам Г. Монтгомери и М. Ютилы); «Риманова дзета-функция и его гипотеза» (по рабо- там А. Сельберга). Доклады носили творческий характер. Много усилий было приложено С. М. Ворониным к решению бинарных адди- тивных проблем теории чисел. Здесь одной из его идей была идея разложения характеристической функции интервала по характеристическим функциям ариф- метических прогрессий. Результаты этого направления исследований опубликова- ны им в двух больших статьях: «О круговом методе» и «О суммах Клоостермана». Начиная с 1978 г. С. М. Воронин занимается квадратурными формулами. Сна- чала он обдумывает преимущества и недостатки уже созданных методов, включая метод Монте-Карло. Затем в серии работ публикует свои собственные результаты, связанные с построением квадратурных и интерполяционных формул с помощью
Сергей Михайлович Воронин теории дивизоров в полях алгебраических чисел. В одной из последних работ эф- фективно построены квадратурные формулы на основе теории круговых полей. Эти формулы точны на полиномах Фурье и слабо зависят от размерности полиномов. Будучи профессором кафедры теории чисел МГПИ им. В. И. Ленина, С. М. Воронин читал оригинальные курсы по теории чисел и истории матема- тики. Особенно интересными были лекции по истории математики, в которых он поражал слушателей своими энциклопедическими знаниями в самых разных областях естественных и гуманитарных наук. Четыре ученика Сергея Михайловича — Р. T. Турганалиев, К. М. Эминян, С. Л. Захаров и С. Кожегельдинов — защитили кандидатские диссертации, а Н. Темиргалиев, Д. Исмоилов, В. И. Скалыга, научным консультантом которых был С. М. Воронин, защитили докторские диссертации. Работы С.М. Воронина об универсальности дзета-функции Римана, о нулях арифметических рядов Дирихле, о применении теории дивизоров в квадратурных формулах послужили созданию новых направлений исследований в математике, которые в настоящее время активно развиваются как в нашей стране, так и за рубежом. Идеи и методы Сергея Михайловича Воронина еще долгие годы будут востре- бованы учеными, а его имя достойно занимает одно из первых мест в ряду имен выдающихся математиков нашей страны. А. А. Карацуба, Г. И. Архипов, В. А. Исковских
Доступ онлайн
В корзину