Избранные труды: математика

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
им. В. А. СТЕКЛОВА РАН

Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2006

МАТЕМАТИКА

С.М. ВОРОНИН

ИЗБРАННЫЕ ТРУДЫ

Под редакцией А.А. Карацубы

УДК 511+517.5
ББК 22.13
В752

Р И

Издание
осуществлено
при
поддержке
Российского
фонда
фундаментальных
исследований
по
проекту
05-01-14010

Р Е Д К О Л Л Е Г И Я:
А. А. Карацуба, Г. И. Архипов, В. А. Исковских

Воронин С. М.
В752
Избранные труды: Математика / Под ред. А. А. Карацубы. — М.: Изд-во
МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2006. — 480 с. — ISBN 5-7038-2800-7.

В настоящее издание вошли все основные работы выдающегося русского
математика С. М. Воронина (1946–1997) по теории чисел и анализу, в частности
известная теорема об универсальности дзета-функции Римана.
Для математиков, интересующихся теорией чисел, теорией квадратурных и
интерполяционных формул, а также для аспирантов и студентов, специализирующихся в этих областях.
УДК 511+517.5
ББК 22.13

c⃝ С. М. Воронин, 2006
c⃝ Оформление. Издательство
ISBN 5-7038-2800-7
МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2006

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящее издание представляет собой сборник избранных работ выдающегося русского математика, крупного специалиста в области аналитической теории
чисел, ведущего научного сотрудника Математического института им. В. А. Стеклова РАН, доктора физико-математических наук, профессора Сергея Михайловича
Воронина (1946–1997).
К числу основных научных достижений С. М. Воронина относятся следующие
результаты:
— доказаны теоремы об универсальности дзета-функции Римана и L-функций
Дирихле, в которых утверждается, что сдвиги этих функций содержат в себе, по
существу, все аналитические функции;
— доказана дифференциальная и функциональная независимость класса дзетафункций полей алгебраических чисел, что является решением усиленного варианта проблемы Гильберта;
— опровергнута гипотеза Турана о нулях частичных сумм ряда Дирихле дзетафункции Римана;
— решена проблема Титчмарша о распределении нулей в критической полосе
дзета-функций Эпштейна, Дэвенпорта–Хейльбронна и подобных им функций;
— создано новое направление в теории дзета-функций, связанное с определением правильного порядка количества нулей, лежащих на критической прямой,
арифметических рядов Дирихле, для которых гипотеза Римана заведомо не выполняется;
— на основе теории дивизоров создан эффективный метод построения оптимальных многомерных квадратурных и интерполяционных формул.
Помимо научной работы в Математическом институте им. В. А. Стеклова,
С. М. Воронин преподавал, был профессором кафедры теории чисел в Московском педагогическом государственном университете им. В. И. Ленина. Он читал
обязательные и специальные курсы. Его лекции, особенно по истории математики, пользовались неизменным успехом не только у студентов, но и у самих преподавателей. Каждая работа С. М. Воронина является оригинальной и
получила развитие в исследованиях отечественных и зарубежных математиков.
Знакомство с работами С. М. Воронина будет полезно всем, кто интересуется
современными достижениями математики, в частности в области аналитической
теории чисел.
Приведем слова С. М. Воронина, которые популярно поясняют основные идеи
его собственных исследований, составляющих основное содержание настоящей
книги∗.
«Более двух столетий назад в работах Л. Эйлера возник метод производящих
функций. Первые его применения были связаны с задачами теории чисел и
комбинаторного анализа. В дальнейшем сфера приложений метода производящих

∗ Воронин С. М., Карацуба А. А. Дзета-функция Римана. — М.: Физматлит, 1994.

Предисловие

функций расширялась и сейчас охватывает алгебру, топологию и, весьма значительно, теорию вероятностей. В теории чисел, исходной области применений
метода, с ним связан ряд ярких ее достижений.
Отправной точкой метода производящих функций является сопоставление исследуемым объектам функций, причем отношения между объектами отражаются
в отношениях между функциями. К функциям же можно применять всю мощь
метода анализа бесконечно малых, что часто ведет к успеху в изучении исходной
задачи». И далее: «...объектом внимания является дзета-функция Римана, хотя в
определенной степени затрагиваются функции Дирихле и Гекке. Многие свойства
целых чисел отражаются в аналитических свойствах дзета-функции. Например,
представление дзета-функции в виде произведения Эйлера по простым числам
является отражением однозначности разложения целых чисел на простые числа.
Другие связи свойств целых чисел и аналитических свойств дзета-функции видны
не столь ясно, хотя внимательный анализ в ряде случаев выявляет эти связи».
Книга состоит из четырех разделов. В разделе I публикуется кандидатская
диссертация, в разделе II — докторская диссертация. В разделе III помещены
статьи, расположенные в хронологическом порядке, в разделе IV — небольшая по
объему книга «Простые числа» и две статьи, опубликованные в журнале «Квант».
Редколлегия приносит глубокую благодарность Российскому фонду фундаментальных исследований, финансовая поддержка которого позволила осуществить
настоящее издание.

СЕРГЕЙ МИХАЙЛОВИЧ ВОРОНИН

Сергей Михайлович Воронин родился 11 марта 1946 г. в городе Горно-Алтайске
в семье служащего. Отец Сергея Михайловича, Михаил Федорович Воронин, —
инженер-нефтяник, мать, Пелагея Ильинична Воронина (урожденная Маслова), —
учитель литературы в школе. С начала 1950-х годов семья Ворониных жила в
городе Бугуруслане Оренбургской области. В школе Сергей увлекался химией,
математикой, литературой. Занимался музыкой, окончил с отличием музыкальную
школу по классу фортепиано.
В 1963 г. после окончания 10-го класса средней школы и успешных выступлений на математических олимпиадах Сергей Воронин был приглашен в летнюю
математическую школу МГУ и остался завершать среднее образование в школеинтернате № 18 при МГУ. Это был первый год работы школы-интерната, создателем и руководителем которой стал академик А. Н. Колмогоров.
В 1964 г. С. М. Воронин поступил на механико-математический факультет
Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова. Занимаясь
теорией чисел, теорией функций, алгеброй, он выбрал узкую специализацию —
аналитическую теорию чисел. Уже с первого курса он стал размышлять над самыми разными проблемами теории чисел. Научным руководителем С. М. Воронина в
МГУ, а также в аспирантуре МИАН был профессор А. А. Карацуба.
Студенческие работы С. М. Воронина посвящены теории суммирования мультипликативных функций и дзета-функции Римана. В них Сергей Михайлович
придумал новый подход к решению задач об асимптотическом поведении сумматорных функций, вариант которого известен в теории чисел как аналитический
метод Адамара–Ландау.
В 1969 г. Сергей Михайлович поступил в аспирантуру Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР, а по ее окончании стал научным сотрудником
МИАН. В 1972 г. он блестяще защищает кандидатскую диссертацию «Исследование поведения дзета-функции Римана», в которой им решены две крупные
проблемы теории дзета-функции Римана: многомерная проблема распределения
значений дзета-функции Римана ζ(s) и ее производных в критической полосе и
проблема нулей начальных отрезков ряда Дирихле функции ζ(s).
Изучением распределения значений ζ(s) впервые начал заниматься Г. Бор
в 1914 г. Он доказал, в частности, что кривая γ = γ(t) = ζ(σ + it), где σ — фиксированное число, 1/2 < σ < 1, t ∈ (−∞, +∞), всюду плотна в C. В диссертации
С. М. Воронин решает проблему распределения значений векторов V1(t) и V2(t)
в Cn, где
V1(t) =
ζ(s1 + it), ζ(s2 + it), . . . , ζ(sn + it)
,

V2(t) = ζ(s + it), ζ′(s + it), . . . , ζ(n−1)(s + it)при фиксированных s1, . . . , sn, s; параметр t меняется в интервале (−∞, +∞).
Оказывается, что значения дзета-функции в точках s1 + it, s2 + it, . . . , sn + it

Сергей Михайлович Воронин

в определенном смысле независимы, если только sj ̸= sk при j ̸= k и 1/2 <
< Re sj ⩽ 1. Более точно: кривая V1(t) всюду плотна в Cn. Аналогичное утверждение справедливо и для V2(t). Из всюду плотности V2(t) в Cn следует утверждение о том, что не существует непрерывной функции F(z1, z2, . . . , zn) от n
комплексных переменных, не равной тождественно нулю и такой, что F(ζ(s + it),
ζ′(s + it), . . . , ζ(n−1)(s + it)) = 0 при фиксированном Re s = σ, 1/2 < σ ⩽ 1. Поэтому не существует «непрерывного динамического» дифференциального уравнения,
которому удовлетворяла бы дзета-функция Римана.
Вопрос о дифференциальных свойствах ζ-функции поставил в 1900 г. Д. Гильберт в своем докладе на Математическом конгрессе. Он отметил, что, используя
результат Гёльдера об алгебраической дифференциальной независимости гаммафункции и функциональное уравнение Римана для дзета-функции, можно доказать алгебраическую дифференциальную независимость ζ(s). В том же докладе

Гильберт сделал предположение, что функция ζ(s, x) =
∞
n=1
n−sxn не удовлет
воряет никакому алгебраическому дифференциальному уравнению с частными
производными. Это утверждение было доказано А. Островским в 1921 г. Позднее
подобные теоремы были доказаны для L-функций Дирихле, однако в них существенно используется алгебраичность дифференциального уравнения. Именно,
используется тот факт, что функциональное равенство нулю суперпозиции рядов
Дирихле и многочлена ведет к равенству нулю коэффициентов Дирихле в ряде
после формального раскрытия скобок. Поэтому всюду плотность V2(t) в Cn
дает возможность избегать в некоторых ситуациях использования алгебраичности
уравнений и, тем самым, рассматривать более широкие классы уравнений. Такие
уравнения и были рассмотрены в кандидатской диссертации С. М. Воронина как
для ζ(s), так и для ζ(s, x).
Другой проблемой, которая была решена С. М. Ворониным в кандидатской
диссертации,
является
проблема
нулей
сумм
fn(s)
вида
fn(s) = 1 + 2−s +
+ 3−s + . . . + n−s. В теории чисел известна гипотеза, высказанная П. Тураном
в 1948 г., о том, что fn(s) ̸= 0 при Re s > 1 и любых n ⩾ 1. Из этой гипотезы
следует гипотеза Римана о нулях дзета-функции. С. М. Воронин доказывает,
что fn(s) имеет нули при Re s > 1 для сколь угодно больших n. Он также
доказывает, что при 1/2 < σ1 < σ2 < 1 существует n1 такое, что при n ⩾ n1
функция fn(s) имеет бесконечно много нулей в полосе σ1 < Re s < σ2. Несколько
позднее С. М. Воронин уточняет свою теорему о нулях fn(s) и доказывает, что
существуют абсолютные постоянные c1 > 0 и n1 > 0 такие, что при n ⩾ n1
уравнение fn(s) = 0 имеет решение s = s1, где Re s1 > 1 + c1(log n)−1.
С большой энергией С. М. Воронин стал заниматься поисками подходов к
решению двух центральных проблем аналитической теории чисел: гипотезы Римана и бинарной проблемы Гольдбаха. В частности, много усилий он приложил
к тому, чтобы доказать, что почти все комплексные нули дзета-функции Римана
лежат на критической прямой. Последнее утверждение не доказано до сих пор.
Однако размышления над этим утверждением привели к знаменитой т е о р е м е
В о р о н и н а об универсальности функции ζ(s), доказанной им в 1975 г.: если
произвольная аналитическая в круге |s| ⩽ r < 1/4 функция f(s) не имеет нулей
в этом круге, то для всякого ε > 0 найдется t > 0 такое, что

|f(s) − ζ(s + 0,75 + it)| < ε

при всех |s| ⩽ r.

Сергей Михайлович Воронин
7

Теорема об универсальности дзета-функции, ее обобщения на L-ряды Дирихле,
дзета-функции алгебраических числовых полей, а также теоремы о нулях дзетафункции Эпштейна (дзета-функции квадратичных форм) составили содержание
докторской диссертации С. М. Воронина «Аналитические свойства производящих
функций Дирихле арифметических объектов», которую он защитил в 1977 г. в Математическом институте им. В. А. Стеклова. Теорема Воронина об универсальности стала широко известной и получила многочисленные обобщения в самых
разных направлениях. Особый интерес представляет работа американских математиков К. Битара, Н. Н. Кхури и Х. С. Рена, опубликованная в 1991 г., о вычислении
континуальных интегралов квантовой механики на основе теоремы Воронина об
универсальности дзета-функции Римана. Одной из теорем докторской диссертации
С. М. Воронина, относящейся к нулям дзета-функций, является следующая: пусть
1/2 < σ1 < σ2 < 1; если число классов дивизоров поля Q(
√

d ) больше одного,
то при T ⩾ T1 > 0 в области σ1 < Re s < σ2, 0 < Im s ⩽ T находится не меньше c1T нулей дзета-функции ζ(s, K) квадратичной формы K = ax2 + bxy + cy2,
где d = b2 − 4ac < 0,
c1 = c1(σ1, σ2) > 0.
В теории дзета-функций известны аналитические функции, которые задаются в правой полуплоскости рядом Дирихле, имеют функциональное уравнение
риманова типа и таковы, что для них гипотеза Римана не выполняется, т. е.
они имеют комплексные нули, не лежащие на критической прямой. Одной из
самых простых таких функций является функция Дэвенпорта–Хейльбронна, найденная ими в 1936 г. В 1980 г. С. М. Воронин доказывает теорему о том, что,
тем не менее, критическая прямая является «особым множеством» для нулей
функции Дэвенпорта–Хейльбронна, на этой прямой лежит «аномально много»
нулей. Несколько позднее подобный результат был доказан им и для некоторых
дзетa-функций квадратичных форм. Так родилось новое направление в теории
дзета-функций, связанное с определением правильного порядка количества нулей,
лежащих на критической прямой, арифметических рядов Дирихле, для которых
гипотеза Римана заведомо не выполняется.
С. М. Воронина интересовали самые разные проблемы математики. Принимая активное участие в работе семинара «Аналитическая теория чисел и приложения» в МГУ, он, помимо докладов о своих собственных оригинальных
исследованиях, прочитал целый ряд больших обзорных докладов: «10-я проблема Гильберта» (по работам Ю. В. Матиясевича и Ю. Робинсон); «Нули дзетафункции Римана на критической прямой» (по работам А. Сельберга, К. Зигеля и
Н. Левинсона); «О приближении безгранично делимыми законами распределений»
(по работам А. Н. Колмогорова и Ю. В. Прохорова); «О десятом дискриминанте»
(по работе К. Хегнера); «О больших значениях полиномов Дирихле» (по работам
Г. Монтгомери и М. Ютилы); «Риманова дзета-функция и его гипотеза» (по работам А. Сельберга). Доклады носили творческий характер.
Много усилий было приложено С. М. Ворониным к решению бинарных аддитивных проблем теории чисел. Здесь одной из его идей была идея разложения
характеристической функции интервала по характеристическим функциям арифметических прогрессий. Результаты этого направления исследований опубликованы им в двух больших статьях: «О круговом методе» и «О суммах Клоостермана».
Начиная с 1978 г. С. М. Воронин занимается квадратурными формулами. Сначала он обдумывает преимущества и недостатки уже созданных методов, включая
метод Монте-Карло. Затем в серии работ публикует свои собственные результаты,
связанные с построением квадратурных и интерполяционных формул с помощью

Сергей Михайлович Воронин

теории дивизоров в полях алгебраических чисел. В одной из последних работ эффективно построены квадратурные формулы на основе теории круговых полей. Эти
формулы точны на полиномах Фурье и слабо зависят от размерности полиномов.
Будучи
профессором
кафедры
теории
чисел
МГПИ
им.
В. И. Ленина,
С. М. Воронин читал оригинальные курсы по теории чисел и истории математики. Особенно интересными были лекции по истории математики, в которых
он поражал слушателей своими энциклопедическими знаниями в самых разных
областях естественных и гуманитарных наук.
Четыре ученика Сергея Михайловича — Р. T. Турганалиев, К. М. Эминян,
С. Л. Захаров и С. Кожегельдинов — защитили кандидатские диссертации, а
Н. Темиргалиев, Д. Исмоилов, В. И. Скалыга, научным консультантом которых
был С. М. Воронин, защитили докторские диссертации.
Работы С.М. Воронина об универсальности дзета-функции Римана, о нулях
арифметических рядов Дирихле, о применении теории дивизоров в квадратурных
формулах послужили созданию новых направлений исследований в математике,
которые в настоящее время активно развиваются как в нашей стране, так и за
рубежом.
Идеи и методы Сергея Михайловича Воронина еще долгие годы будут востребованы учеными, а его имя достойно занимает одно из первых мест в ряду имен
выдающихся математиков нашей страны.

А. А. Карацуба, Г. И. Архипов, В. А. Исковских