Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля

МАТЕМАТИКА
В ТЕХНИЧЕСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ


I divadV = I andS
        V         S

В.Р. Гаврилов, Е.Е. Иванова,
В.Д. Морозова



КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ





Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана

Математика в техническом университете

                       Выпуск VII

Серия удостоена Премии Правительства Российской Федерации в области науки и техники за 2003 год

Комплекс учебников из 21 выпуска


Под редакцией В. С. Зарубина и А.П. Крищенко

I. Введение в анализ
II. Дифференциальное исчисление функций одного переменного
III. Аналитическая геометрия
IV. Линейная алгебра
V.  Дифференциальное исчисление функций многих переменных
VI. Интегральное исчисление функций одного переменного
VII. Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля
VIII. Дифференциальные уравнения
IX. Ряды
X.  Теория функций комплексного переменного
XI. Интегральные преобразования и операционное исчисление XII. Дифференциальные уравнения математической физики
XIII. Приближенные методы математической физики XIV. Методы оптимизации
XV.  Вариационное исчисление и оптимальное управление
XVI.  Теория вероятностей
XVII. Математическая статистика
XVIII. Случайные процессы
XIX. Дискретная математика
XX.  Исследование операций
XXI. Математическое моделирование в технике

В.Р. Гаврилов, Е.Е. Иванова, В.Д. Морозова



КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ

Под редакцией д-ра техн, наук, профессора В.С. Зарубина и д-ра физ.-мат. наук, профессора А.П. Крищенко

Издание третье, исправленное

Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебника для студентов высших технических учебных заведений



Москва Издательство МГТУ им. И. Э. Баумана 2008

УДК 517.1(075.8)
ББК 22.161.1
     Г12
Рецензенты: проф. Д.В. Георгиевский, проф. А.П. Фаворский

     Гаврилов В.Р., Иванова Е.Е., Морозова В.Д.
Г12 Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля: Учеб, для вузов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищен-ко. - 3-е изд., исправл. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008. -496 с. (Сер. Математика в техническом университете; Вып. VII).
          ISBN 978-5-7038-3190-8 (Вып. VII)
          ISBN 978-5-7038-3022-2
          Книга является седьмым выпуском комплекса учебников в Математика в техническом университете¹¹. Она знакомит читателя с кратными, криволинейными и поверхностными интегралами и с методами их вычисления. В ней уделено внимание приложениям этих типов интегралов, приведены примеры физического, механического и технического содержания. В заключительных главах изложены элементы теории поля и векторного анализа.
          Содержание учебника соответствует курсу лекций, который авторы читают в МГТУ им. Н.Э. Баумана.
          Для студентов технических университетов. Может быть полезен преподавателям, аспирантам и инженерам.
Ил. 112. Табл. 5. Библиогр. 46 назв.

                                                     УДК 517.1(075.8)
                                                     ББК 22.161.1



ISBN 978-5-7038-3190-8 (Вып. VII)
ISBN 978-5-7038-3022-2

                                        © В.Р. Гаврилов, Е.Е. Иванова, В.Д. Морозова, 2001;
                                           2008, с изменениями
                                        © Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана, 2001;
                                           2008, с изменениями
  © Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001;
     2008, с изменениями

                ПРЕДИСЛОВИЕ




  При изучении физики, механики и при решении разнообразных инженерных задач часто возникает необходимость наряду с интегралами от действительной функции одного переменного рассматривать интегралы от функций многих переменных. Эти интегралы приходится вычислять по двумерным, трехмерным (и в общем случае многомерным) областям, по кривым и поверхностям. Такие интегралы играют важную роль при исследовании скалярных и векторных полей, задаваемых в пространстве действительными и векторными функциями векторного аргумента, составляющими предмет изучения теории поля и векторного анализа.
  Эта книга является седьмым выпуском серии учебников „Математика в техническом университете“. При отборе и изложении материала авторы старались учесть существующие различия в его объеме, характерные для программ подготовки по различным инженерным специальностям.
  Содержание книги тесно связано с материалом предшествующих выпусков: дифференциальным и интегральным исчислением функций одного действительного переменного, аналитической геометрией и линейной алгеброй. При ссылке в тексте на конкретный выпуск этой серии учебников его номер указан римской цифрой. Например, запись [1-2.4] означает ссылку на четвертый параграф второй главы первого выпуска. Ссылки в пределах этой книги набраны прямым полужирным шрифтом. Например, ссылка (см. 2.1) указывает на первый параграф второй главы, а (см. Д.7.2) отсылает ко второму дополнению главы 7. Определения, теоремы, замечания, примеры, формулы, рисунки и т.п. имеют двойную нумерацию. Например, теорема 1.2 — это вторая теорема в главе 1, (2.1) — первая формула в главе 2, рис. 7.3 — третий рисунок в главе 7.

ПРЕДИСЛОВИЕ

   Большинство используемых в этой книге обозначений введено в первом выпуске серии. В перечне основных обозначений данного выпуска наряду с их краткой расшифровкой указаны ссылки на разделы этого и других выпусков серии, в которых можно найти их более подробное объяснение. После этого перечня приведены написание и русское произношение входящих в формулы букв латинского и греческого алфавитов.
   В конце книги помещены список рекомендуемой литературы и предметный указатель, в который входят в алфавитном порядке (по существительному в именительном падеже) все термины, выделенные в тексте полужирным курсивом, с указанием страницы, где они определены или описаны. Выделение термина (при его первом упоминании в каждом параграфе) светлым курсивом означает, что в этом параграфе он отнесен к ключевым словам и читателю должно быть известно его значение. Уточнить смысл термина можно, найдя при помощи предметного указателя необходимую страницу, на которой используемый термин определен или описан. Если термин введен в другом выпуске, то его номер в предметном указателе обозначен римской цифрой перед номером страницы (например, 1-217). Светлым курсивом даны ссылки на страницы этого и других выпусков, указывающие некоторые пояснения или уточнения термина. Такое построение предметного указателя связывает материал всех выпусков серии „Математика в техническом университете “ единым справочным аппаратом, удобным для поиска нужной информации.
   Перед чтением этой книги предлагаем в целях самоконтроля выполнить следующие несложные задания. В конце каждого задания указан номер того выпуска, в котором при возникновении затруднений можно найти все необходимые сведения. Значения терминов, выделенных в тексте этих заданий прямым полужирным шрифтом, далее будем считать известными (в основном тексте книги эти термины не выделены и не входят в ее предметный указатель).

Задания для самопроверки


   1.   Запишите представления множеств целых Z и рациональных Q чисел при помощи множества N натуральных чисел. Что является элементом декартова произведения Ж² двух множеств Ж действительных чисел? Что такое объединение, пересечение и разность множеств? [I]

   2.    Убедитесь, что если для образов Yi С У и У2 С У отображения /: X н* У справедливо включение Ух С У2, то для их прообразов Xi = /⁻¹(Ух) С X и Ху = /⁻¹(У2) С X справедливо включение Хх С Х%. [I]
   3.    Перечислите свойства абсолютной величины (модуля) числа. Запишите неравенство треугольника. [I]
   4.    Каков ход доказательства по методу математической индукции? Что понимают под рекуррентным соотношением? [I]
   5.    Каковы свойства точных верхней и нижней граней ограниченного множества точек числовой прямой? [I]

   6.   Что называют е-окрестностью точки в Ж”? Является ли граничная точка множества его предельной точкой? Приведите пример множества в Ж”, не имеющего ни одной внутренней точки. Что называют диаметром, границей и внутренностью множества? Какие множества называют открытыми, замкнутыми, компактными (компактами), линейно связными? [I], [V]
   7.   Изобразите на плоскости с заданной прямоугольной декартовой системой координат Оху множество точек D = = {(ж;у): х Е (—1, 1], \/1 — .г² < у < 4 — ж²}. [I], [III]

   8.    Каков смысл символов о и О при сравнении бесконечно малых? Напишите формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и в форме Лагранжа. [I], [II]

   9.   Сформулируйте и запишите определение предела действительной функции действительного переменного в

ПРЕДИСЛОВИЕ

заданной точке. Перечислите свойства функций, имеющих в точке конечный предел. [I]

   10.   Сформулируйте и запишите определение предела векторной функции многих переменных в точке. Что можно

сказать о пределах в той же точке ее координатных функций? [V]

   11.  Сформулируйте определение функции многих пере
менных, непрерывной

в точке и непрерывной на мно

жестве. Перечислите свойства функций многих перемен

ных, непрерывных на компактах. Можно ли утверждать,

что функция многих переменных, непрерывная в области, ограничена в этой области? Что называют точкой разрыва функции многих переменных? [V]
   12.   Можно ли утверждать, что если все частные производные первого порядка функции непрерывны в точке, то функция дифференцируема в этой точке? В каком случае смешанные производные такой функции не зависят от порядка дифференцирования? Является ли дважды дифференцируемая в точке функция многих переменных непрерывной дифференцируемой функцией в этой точке? [V]
   13.   Что называют неявной функцией? Сформулируйте теорему о неявной функции. [II], [V]
   14.   Определите, для каких из следующих функций неопределенный интеграл относят к неберущимся интегралам: sin²s, sin(s²), хе~х², е~х², 1ns, . [VI]
   15.   Найдите градиент функции f(x,y) = 2х² + Зу в точке (1; 1) и производную этой функции в точке (1;1) по направлению вектора I = 3i — 4j. Изобразите линии уровня этой функции. Напишите уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности х² + Зу² + 2z² = 5 в точке (1;-1;1). [V]
   16.  Можно ли использовать формулу Ньютона — Лейб

ница для вычисления определенного интеграла с нижним а и верхним b пределами интегрирования от подынте-

тральной функции /(ж), если известна первообразная F(x) этой функции в полуинтервалах [а, с) и (с, &]? [VI]
   17.   Сформулируйте и запишите определение предела интегральных сумм функции У (ж) на отрезке [а, Ь]. [VI]
   18.   Что называют интегралом Римана? Приведите пример интегрируемой по Риману функции и пример неинтегрируемой функции. [VI]
   19.   Что называют квадрируемой плоской фигурой и кубируемым телом? Выразите при помощи определенного интеграла: а) длину плоской гладкой кривой, заданной параметрическими уравнениями х = ж(£), у = y(t); б) площадь плоской фигуры Р, заданной неравенствами а < х < Ь, fi (ж) < у < /2(ж); в) объем тела и площадь поверхности, образованных вращением вокруг оси абсцисс графика дифференцируемой на отрезке [а, Ь] функции f (ж). [VI]
   20.   Опишите суть основного подхода к проблеме численного интегрирования. Что называют квадратурной формулой и погрешностью квадратурной формулы? [VI]
   21.   Является ли кусочно гладкая плоская замкнутая кривая спрямляемой? [II]
   22.   Запишите канонические уравнения эллипса с большой а и малой b полуосями, гиперболы с действительной а и мнимой b полуосями и параболы с фокальным параметром р, прямого кругового конуса, трехосного эллипсоида и гиперболического параболоида. [III]
   23.   Какие геометрические векторы называют коллинеарными, компланарными, сонаправленными, противоположно направленными, ортогональными? Укажите какой-либо базис в V3. Какова ориентация этого базиса? [III]
   24.   Сформулируйте основные свойства скалярного произведения, векторного произведения и смешанного произведения. Что произойдет с каждым из этих произведений, если поменять местами два сомножителя? Запишите формулы