Теория вероятностей. Вып. 16

МАТЕМАТИКА
В ТЕХНИЧЕСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ


Р(А) = £Р(А\Нк)Р(Нк)

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ









Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана

Математика в техническом университете

Выпуск XVI

Серия удостоена Премии Правительства Российской Федерации в области науки и техники за 2003 год

Комплекс учебников из 21 выпуска


Под редакцией В. С. Зарубина и А.П. Крищенко

I. Введение в анализ
II. Дифференциальное исчисление функций одного переменного
III. Аналитическая геометрия
IV. Линейная алгебра
V.  Дифференциальное исчисление функций многих переменных
VI. Интегральное исчисление функций одного переменного
VII. Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля
VIII. Дифференциальные уравнения
IX. Ряды
X. Теория функций комплексного переменного
XI. Интегральные преобразования и операционное исчисление
XII. Дифференциальные уравнения математической физики
XIII. Приближенные методы математической физики
XIV. Методы оптимизации
XV.  Вариационное исчисление и оптимальное управление
XVI. Теория вероятностей
XVII. Математическая статистика
XVIII. Случайные процессы
XIX. Дискретная математика
XX.  Исследование операций
XXI. Математическое моделирование в технике

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Под редакцией д-ра техн, наук, профессора В.С. Зарубина и д-ра физ.-мат. наук, профессора А.П. Крищенко

Издание четвертое, стереотипное

Рекомендовано
Министерством образования Российской Федерации в качестве учебника для студентов высш,их технических учебных заведений






Москва Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана 2006

УДК 519.2.21(075.8)
ББК 22.17
      Т34

Рецензенты: проф. А.Д. Соловьев, проф. В.В. Рыков

Т34 Теория вероятностей: Учеб, для вузов. - 4-е изд., стереотип. / А.В. Печинкин, О.И. Тескин, Г.М. Цветкова и др.; Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. - 456 с. (Сер. Математика в техническом университете; Вып. XVI).

          ISBN 5-7038-2485-0 (Вып. XVI)
          ISBN 5-7038-2484-2

          Несмотря на большое количество учебных руководств по теории вероятностей, в том числе появившихся и в последние годы, в настоящее время отсутствует учебник, предназначенный для технических университетов с усиленной математической подготовкой. Отличительной особенностью данной книги является взвешенное сочетание математической строгости изложения основ теории вероятностей с прикладной направленностью задач и примеров, иллюстрирующих теоретические положения. Каждую главу книги завершает набор большого числа контрольных вопросов, типовых примеров и задач для самостоятельного решения.
          Содержание учебника соответствует курсу лекций, который авторы читают в МГТУ им. Н.Э. Баумана.
          Для студентов технических университетов. Может быть полезен преподавателям и аспирантам.

Ил. 68. Табл. 76. Библиогр. 29 назв.


ISBN 5-7038-2485-0 (Вып. XVI)
ISBN 5-7038-2484-2

            УДК 519.2.21(075.8) ББК 22.17

© А.В. Печинкин, О.И. Тескин, Г.М. Цветкова, П.П. Бочаров, Н.Е. Козлов, 1998;
   2004, с изменениями
© Московский государственный технический университет
   им. Н.Э. Баумана, 1998; 2004, с изменениями
© Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1998; 2004, с изменениями

ПРЕДИСЛОВИЕ


   Предлагаемая читателю книга является одним из выпусков полного курса математики для студентов высших технических заведений и учитывает специфику математической подготовки этих студентов.
   В основе выпуска лежит курс лекций по теории вероятностей, читавшийся на протяжении ряда лет студентам различных специальностей МГТУ им. Н.Э. Баумана, а также опыт проведения семинарских занятий по этому курсу.
   Построение книги имеет так называемую „ блочную “ структуру. После изложения теоретического материала в конце каждой главы представлены типовые примеры с решениями, а также контрольные вопросы и задачи для самостоятельного решения. Наличие большого количества примеров и задач позволяет использовать данную книгу не только как учебник, но и как задачник при проведении семинарских занятий.
   Естественно, что ограничения на объем привели и к жесткому отбору включаемого материала.
   Содержание материала и стиль его изложения определялись под углом зрения их практических приложений в различных областях инженерной практики. Более того, ряд приведенных задач и примеров ориентирован на дальнейшее изучение вероятностных дисциплин, таких, как математическая статистика, теория случайных процессов, математическая теория надежности и т.д.
   Авторы старались расположить излагаемый материал таким образом, чтобы на основе данной книги можно было строить курсы теории вероятностей различного уровня сложности. Так, при изложении стандартного 34-часового курса рекомендуется пропустить главу 8, параграфы 6.5, 6.6, 7.5 и 9.3, в параграфе 5.5 ограничиться только двумерным нормальным

ПРЕДИСЛОВИЕ

законом, а центральную предельную теорему из параграфа 9.4 приводить без доказательства, останавливаясь только на ее смысле.
   Применяемый в книге математический аппарат основан на втузовском курсе высшей математики и не использует сложных понятий функционального анализа, теории меры, интеграла Лебега. Тем не менее принят современный способ изложения теории вероятностей на основе введения пространства элементарных событий и системы аксиом А.Н. Колмогорова. Однако аксиомы вводятся лишь после рассмотрения классического, геометрического и статистического определений как естественное распространение получающихся при таких определениях свойств вероятностей случайных событий.
   Основное внимание авторы уделяют не строгим формальным доказательствам, а единству методического подхода, иллюстрируемого многочисленными приложениями. Именно такой подход к изучению теории вероятностей более всего полезен тем, кто ставит перед собой цель решение конкретных инженерных задач.
   Авторы предполагают, что читатель знаком с основными понятиями линейной алгебры, математического анализа, дифференциального и интегрального исчисления, теории рядов, теории функций комплексного переменного и преобразований Фурье.
   С целью уточнения того, что обязательно нужно знать из перечисленных разделов математики, в начале книги сформулированы вопросы для самопроверки. При этом в вопросах понятия и термины, которые нужно знать, выделены прямым полужирным шрифтом. Далее помещен список основных обозначений, содержащий часто встречающиеся в тексте символы и их расшифровку.
   В конце книги приведены таблицы некоторых распределений, список рекомендуемой литературы и предметный указатель, в который входят в алфавитном порядке (по существительному в именительном падеже) все выделенные в тексте

полужирным курсивом термины с указанием страниц, на которых они строго определены или описаны. Выделение термина светлым курсивом означает, что в данном параграфе он является одним из ключевых слов и читателю должно быть известно значение термина. Читатель может уточнить это значение, найдя при помощи предметного указателя необходимую страницу.
   Ссылки в тексте на номера формул и рисунков набраны обычным шрифтом (например, (1.5) — формула (1.5) в главе 1, рис. 3.2 — рис. 3.2 в главе 3), а на параграфы и таблицы приложений — полужирным (например, 1.3 — третий параграф в главе 1, табл. П.2 — таблица приложения 2). В квадратных скобках даны ссылки на другие выпуски данной серии, например [X] — на десятый выпуск.
   Работа над книгой между авторами распределилась следующим образом. Основной текст книги был написан А.В. Печин-киным и О.И. Тескиным, фактический материал подготовлен Г..VI. Цветковой при участии Н.Е. Козлова. Над обсуждением структуры книги и формы подачи материала работали П.П. Бочаров, А.В. Печинкин, О.И. Тескин, Г.VI. Цветкова.
   Авторы выражают благодарность Елене Беляковой за помощь, которую она оказала при подготовке рукописи к печати.

Задания для самопроверки

   1.   Что такое множество? подмножество? Какие множества называют конечными? счетными? Какие операции над множествами и подмножествами Вы знаете? Какими свойствами обладают эти операции? Что называют окрестностью точки? [I]
   2.   Какие величины называют биномиальными коэффициентами? [I]
   3.   Дайте определение числовой последовательности. Какую последовательность называют возрастающей? убывающей? Что называют пределом последовательности? [I]

ПРЕДИСЛОВИЕ

   4.  Дайте определение отображения. Дайте определение

действительной функции действительного переменно

го. Какую функцию называют монотонной? возраста

ющей? убывающей? неубывающей? четной? нечетной? Какую функцию называют обратной к данной? Какие функции называют элементарными? [I]
   5.  Что называют пределом функции /(ж) при х, стре

мящемся к so? к +оо? к —оо? Какую функцию называют непрерывной в точке? непрерывной слева в точке? в интервале? на отрезке? [I]
   6.   Дайте определение производной действительной функ

ции действительного переменного. Дайте определение производной n-го порядка. Запишите формулы Тейлора и
Маклорена. [II]
   7.   Запишите зависимость между декартовыми прямо

угольными и полярными координатами точки на плоскости. Какие кривые называют кривыми второго порядка? Запишите каноническое уравнение эллипса в декартовой прямоугольной системе координат. [III]
   8.   Какие поверхности называют поверхностями второго порядка. Запишите каноническое уравнение эллипсоида в декартовой прямоугольной системе координат. [III]
   9.   Что такое матрица? Какую матрицу называют транспонированной по отношению к данной? диагональной? единичной? симметрической? Что называют определителем квадратной матрицы? Дайте определение произведения двух матриц. Какую квадратную матрицу называют невырожденной? вырожденной? Опишите процедуру приведения невырожденной квадратной матрицы к диагональному виду. Какую квадратную матрицу называют обратной по отношению к данной? Как связаны между собой определители взаимообратных матриц? Сформулируйте необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы. Что называют рангом матрицы? Какую матрицу называют положительно определенной? [Ill], [IV]

10.   Что называют базисом линейного пространства? Какие векторы линейного пространства называют нормированными? Какое линейное пространство называют арифметическим? [IV]
   11.   Дайте определение собственного значения и собственного вектора квадратной матрицы. Как их можно вычислить? [IV]
   12.   Что такое квадратичная форма? Какую квадратичную форму называют положительно определенной? неотрицательно определенной? Что называют матрицей квадратичной формы? Запишите формулу преобразования квадратичной формы при линейной замене переменных. Какие способы приведения квадратичной формы к каноническому виду Вы знаете? В чем состоит метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду? [IV]
   13.   Дайте определение скалярной функции векторного аргумента (функции многих переменных). Что называют частной производной функции? Что такое смешанная производная? [V]
   14.   Какую функцию называют дифференцируемой в точке? Сформулируйте правило дифференцирования сложной функции. Что такое якобиан? [II], [V]
   15.   Дайте определение векторной функции векторного аргумента. Дайте определение экстремума функции. Сформулируйте необходимое и достаточное условия экстремума функции. [II], [V]
   16.   Что такое определенный интеграл? Сформулируйте теорему о производной интеграла с переменным верхним пределом. Сформулируйте условия и правило замены переменного в определенном интеграле. В чем состоит метод интегрирования по частям? [VI]
   17.   Дайте определение несобственного интеграла. Какой несобственный интеграл называют абсолютно сходящимся? [VI]