Математическая статистика. Вып. 17

МАТЕМАТИКА
В ТЕХНИЧЕСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ


МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

СТАТИСТИКА








Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана

Математика в техническом университете

                       Выпуск XVII

Серия удостоена Премии Правительства Российской Федерации в области науки и техники за 2003 год

Комплекс учебников из 21 выпуска


Под редакцией В.С. Зарубина и А.П. Крищенко

I. Введение в анализ
II. Дифференциальное исчисление функций одного переменного
III. Аналитическая геометрия
IV. Линейная алгебра
V. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
VI. Интегральное исчисление функций одного переменного
VII. Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля
VIII. Дифференциальные уравнения
IX. Ряды
X. Теория функций комплексного переменного
XI. Интегральные преобразования и операционное исчисление
XII. Дифференциальные уравнения математической физики
XIII. Приближенные методы математической физики XIV. Методы оптимизации
XV.  Вариационное исчисление и оптимальное управление
XVI. Теория вероятностей
XVII. Математическая статистика
XVIII. Случайные процессы
XIX. Дискретная математика
XX.  Исследование операций
XXI. Математическое моделирование в технике

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

СТАТИСТИКА

Под редакцией д-ра техн, наук, профессора В. С. Зарубина и д-ра физ.-мат. наук, профессора А. П. Крищенко

Издание третье, исправленное

Рекомендовано
Министерством образования Российской Федерации в качестве учебника для студентов высш,их технических учебных заведений









Москва Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана 2008

УДК 519.22(075.8)
ББК 22.172
      М34

Рецензенты: проф. Ю.Н. Тюрин, проф. Э.К. Лецкий

      Горяйнов В.Б.
М3 I Математическая статистика: Учеб, для вузов / В.Б. Горяйнов, И.В. Павлов, Г.М. Цветкова и др. Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. - 3-е изд., исправл. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008. - 424 с. (Сер. Математика в техническом университете; Вып. XVII).

          ISBN 978-5-7038-3191-5 (Вып. XVII)
          ISBN 978-5-7038-3022-2

          Предлагаемая книга, выпущенная в серии в Математика в техническом университете¹¹, знакомит читателя с основными понятиями математической статистики и некоторыми из ее приложений. Ее отличителвной особенноствю является взвешенное сочетание математической строгости с прикладной направленноствю задач. Каждую главу книги завершает болвшой набор типовых примеров, контролвных вопросов и задач для са-мостоятелвного решения.
          Содержание учебника соответствует курсу лекций, который авторы читают в МГТУ им. Н.Э. Баумана.
          Для студентов технических университетов. Может бытв полезен преподавателям, аспирантам и инженерам.

Ил. 28. Табл. 63. Библиогр. 35 назв.



УДК 519.22(075.8)
                                                      ББК 22.172


ISBN 978-5-7038-3191-5 (Вып. V)
ISBN 978-5-7038-3022-2

© В.Б. Горяйнов, И.В. Павлов, Г.М. Цветкова, О.И. Тескин, 2001; 2008, с изменениями
© Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана, 2001;
   2008, с изменениями
© Издателвство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001; 2008, с изменениями

ПРЕДИСЛОВИЕ


   Предлагаемая книга является выпуском XVII комплекса учебников „Математика в техническом университетеХочется надеяться, что она будет полезна при овладении прикладными методами теории математической статистики.
   Математическая статистика — раздел математики, который занимается разработкой методов получения научно обоснованных выводов о массовых явлениях и процессах по данным наблюдений или экспериментов. Например, по имеющейся информации о числе бракованных изделий в партии готовой ПРОДУКЦИИ надо сделать вывод о качестве используемого технологического процесса.
   Математическая статистика предполагает вероятностную природу данных наблюдений, поэтому она основана на понятиях и методах теории вероятностей. Задачи математической статистики в известной мере являются обратными к задачам теории вероятностей. Если в теории вероятностей мы считаем заданной вероятностную модель случайного явления и делаем расчет вероятностей интересующих нас событий, то в математической статистике исходим из того, что вероятностная модель не задана (или задана не полностью), а в результате эксперимента стали известны реализации каких-либо случайных событий. На основе статистических данных математическая статистика подбирает подходящую вероятностную модель для получения вывода о рассматриваемом явлении или процессе.
   Проиллюстрируем сказанное на примере. Постановка задачи теории вероятностей. Вероятность выпадения „герба“ при подбрасывании монеты известна и равна р. Какова вероятность того, что при п подбрасываниях монеты герб выпадет к раз, где 0 < к < п?

ПРЕДИСЛОВИЕ

   Постановка задачи математической статистики. Монету подбрасывали п раз, и ?;герб“ выпал к раз. Что можно сказать о вероятности выпадения герба при одном подбрасывании?
   Возможны и другие постановки задачи. Например, проверить, можно ли на основании полученных данных считать, что вероятность выпадения „герба“ при одном подбрасывании равна ро   В настоящее время математическая статистика — обширный раздел математики. В предлагаемой читателю книге рассмотрены основные понятия математической статистики и решаемые ею задачи: оценивание неизвестных параметров распределения вероятностей, проверка статистических гипотез, установление формы и степени связи между несколькими случайными переменными.
   Отличительной особенностью прелагаемого учебника является также изложение непараметрических методов математической статистики, приобретающих все большую популярность в технических приложениях. Непараметрические методы стали доступными в инженерной практике благодаря появлению персональных компьютеров и пакетов прикладных программ по математической статистике.
   Построение книги имеет блочную структуру. В каждой главе после изложения теоретического материала даны типовые примеры с решениями, а также контрольные вопросы и задачи для самостоятельного решения. Наличие большого количества примеров и задач позволяет использовать книгу не только как учебник, но и как задачник при проведении семинарских занятий.
   Место этого учебника среди многих других книг и руководств по математической статистике определяется желанием дать доступное для инженеров изложение основ теории, не перегруженное строгими выводами. Более требовательный читатель может обратиться к специальной литературе, используя имеющиеся в тексте ссылки.

Содержательная сторона статистических моделей разъясняется на конкретных примерах преимущественно из инженерной практики. Таким образом, по замыслу авторов, учебник должен заполнить пробел между руководствами по математической статистике, имеющими „ рецептурный “ стиль изложения, и университетскими курсами, требующими математической подготовки в объеме, не предусмотренном программами технических вузов.
   Следует отметить, что, поскольку книга рассчитана на читателей, впервые знакомящихся с математической статистикой, авторы старались не допускать двойственного толкования обозначений, как это принято в учебных пособиях и монографиях, предназначенных для подготовленного читателя.
   Для уточнения того, что нужно знать из других разделов математики для чтения учебника, в начале книги сформулированы вопросы для самопроверки. При этом понятия и термины, которые нужно знать и которые были введены в других выпусках серии „Математика в техническом университете“, в вопросах выделены прямым полужирным шрифтом. Далее помещен список основных обозначений, содержащий часто встречающиеся в тексте символы и их расшифровку.
   В конце книги приведены таблицы некоторых распределений, список рекомендуемой литературы и предметный указатель, в который входят в алфавитном порядке (по существительному в именительном падеже) все выделенные в тексте полужирным курсивом термины с указанием страниц, на которых они строго определены или описаны. Выделение термина светлым курсивом означает, что в данном параграфе он является одним из ключевых слов и читателю должно быть известно значение термина. Читатель может уточнить это значение, найдя при помощи предметного указателя необходимую страницу.
   Ссылки в тексте на номера формул, рисунков и таблиц набраны обычным шрифтом (например, (1.5) — пятая формула в главе 1; рис. 3.2 — второй рисунок в главе 3; табл. 1.4 —

ПРЕДИСЛОВИЕ

четвертая таблица в главе 1), а на параграфы и таблицы в приложениях — полужирным (например, 1.3 — третий параграф в главе 1, табл. П.2 — вторая таблица приложения). В квадратных скобках даны ссылки на другие выпуски серии, например [X] — ссылка на десятый выпуск.
   Авторы приносят глубокую благодарность И.К. Волкову, который оказал серьезную помощь при написании книги.



Задания для самопроверки


   1.   Что такое множество, подмножество? Какие множества называют конечными, счетными? Какие операции над множествами (подмножествами) Вы знаете? Какими свойствами обладают эти операции? Что такое отрезок, интервал, полуинтервал? [I]
   2.   Дайте определение отображения. Дайте определение действительной функции действительного переменного. Какую функцию называют монотонной, возрастающей, убывающей, неубывающей, четной, нечетной? Какую функцию называют обратной к данной? Какие функции называют полиномами? [I]
   3.   Что называют пределом функции /(ж) при х —> xq, при х —> +оо, при х —> —оо? Какую функцию называют непрерывной в точке, непрерывной слева в точке, в интервале, на отрезке? [I]
   4.   Дайте определение производной действительной функции действительного переменного. Дайте определение производной п-го порядка. [II]
   5.   Что такое матрица? Какую матрицу называют нулевой, диагональной, единичной, симметрической? Дайте

определение произведения двух матриц. Какую квадратную матрицу называют невырожденной, вырожденной, неотрицательно определенной? Какую матрицу называют обратной по отношению к данной? Что называют рангом

матрицы? В чем состоит операция транспонирования матриц? Что называют следом матрицы, алгебраическим дополнением? [III]
   6.   Запишите неравенство Коши — Буняковского. В каком случае оно обращается в равенство? [IV]
   7.   Что такое случайный эксперимент (опыт) и из чего состоит множество его (элементарных) исходов? Что называют пространством элементарных событий (исходов)? Какое событие называют случайным? Перечислите операции над событиями и сформулируйте их свойства. Дайте классическое, статистическое и аксиоматическое определения вероятности. Что называют вероятностным пространством? [XVI]
   8.   Дайте определение условной вероятности. Какие события называют независимыми? [XVI]
   9.   Какую схему повторных испытаний называют схемой Бернулли (биномиальной)? Запишите формулу Бернулли. [XVI]
   10.   Дайте определения (скалярной) случайной величины, n-мерного случайного вектора закона распределения (вероятностей) случайной величины и случайного вектора (векторной случайной величины). [XVI]
   11.   Что называют рядом распределения дискретной случайной величины? Дайте определения функции распределения (вероятностей) одномерной и n-мерной случайных величин (случайного вектора). Сформулируйте свойства функции распределения одномерной и n-мерной случайных величин. [XVI]
   12.   Дайте определения плотности распределения (вероятностей) одномерной и n-мерной (векторной) случайных величин. [XVI]
   13.   Дайте определение квантили уровня а (функции) распределения (случайной величины). [XVI]
   14.   Приведите определение математического ожидания (среднего значения) для дискретной и непрерывной случай