Физические основы механики. Колебания и волны. Элементы специальной теории относительности

Д.К. Веретимус, Н.К. Веретимус

Физические основы механики.  
Колебания и волны. 
Элементы специальной  
теории относительности

Учебное пособие

Под редакцией  А.Н. Морозова

Федеральное государственное бюджетное  
образовательное учреждение высшего образования  
«Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана 
(национальный исследовательский университет)»

УДК 531/534
ББК 22.2
 
В31

Издание доступно в электронном виде по адресу
http://ebooks.bmstu.press/catalog/70/book1854.html

Факультет «Фундаментальные науки»

Кафедра «Физика»

Рекомендовано 

Научно-методическим советом МГТУ им. Н.Э. Баумана 

в качестве учебного пособия

Веретимус, Д. К.

В31  
Физические основы механики. Колебания и волны. Элементы спе
циальной теории относительности : учебное пособие / Д. К. Веретимус, 
Н. К. Веретимус ; под ред. А. Н. Морозова. — Москва : Издательство 
МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2018. — 135 [1] с. : ил.

ISBN 978-5-7038-4931-6

Пособие предназначено для самостоятельного изучения студентами моду
ля 1 дисциплины «Физика». Рассмотрены теоретические основы следующих 
разделов физики: кинематика, динамика, колебания, волны, элементы специальной теории относительности. Приведены базовые понятия и определения. 
В каждом разделе даны примеры решения тематических задач и задачи для самостоятельного решения.

Для студентов МГТУ им. Н.Э. Баумана всех специальностей.

УДК 531/534
ББК 22.2

© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2018
© Оформление. Издательство 

ISBN 978-5-7038-4931-6 
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2018

Предисловие

Учебное пособие подготовлено в виде курса лекций для самостоятель
ной проработки студентами модуля 1 дисциплины «Физика», входящей в образовательную программу бакалавриата и специалитета МГТУ им. Н.Э. Баумана по всем направлениям подготовки.

В техническом вузе курс физики является фундаментом теоретической 

подготовки будущего инженера и позволяет в дальнейшем успешно осваивать различные технические дисциплины.

Рассматривая вопрос о повышении качества знаний студентов, обучаю
щихся в МГТУ им. Н.Э. Баумана, следует отметить, что в условиях сокращения более чем на треть количества лекционных аудиторных часов, отведенных на изучение курса физики, и увеличения доли самостоятельной работы 
студентов учебное пособие, в котором информативно, лаконично и при 
этом в достаточном объеме и доступно для восприятия изложен теоретический материал, сопровождаемый примерами решения задач, представляется 
единственно целесообразным средством избежать потери качества знаний 
о предмете.

Порядок изложения материала в пособии соответствует программе кур
са физики в МГТУ им. Н.Э. Баумана.

В пособии рассмотрены кинематика и динамика материальной точки 

и тела, законы Ньютона; законы сохранения импульса, момента импульса 
и механической энергии; гармонические, свободные затухающие и вынужденные колебания, явление механического резонанса. Помимо этого, рассмотрены упругие волны в стержнях, плоские гармонические, сферические 
и стоячие волны; вектор Умова, интерференция волн. В качестве элементов специальной теории относительности приводятся постулаты Эйнштейна, преобразования Лоренца и их кинематические следствия, объясняется 
понятие интервала, рассматриваются элементы релятивистской динамики.

В пособии курс «Физика» адаптирован для студенческой аудитории. По
сле изложения теоретических основ приводятся примеры решения задач по 
теме пройденного материала и задачи для самостоятельного решения.

Номера и условия иллюстрирующих лекционный курс примеров реше
ния задач, а также задач для самостоятельного решения взяты из пособия 
И.Е. Иродова «Задачи по общей физике» (М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2017. 431 с.).

Цель изучения дисциплины — получение целостной системы научных зна
ний об окружающем мире, овладение способностью на научной основе организовывать свой труд и с большой степенью самостоятельности оценивать 

результаты собственной деятельности, формирование навыков самостоятельной работы.

Методика проработки и освоения материала дисциплины состоит в после
довательном изучении понятий, явлений, закономерностей, приведенных 
в пособии.

Предусматривается также расширение представленного в пособии ма
териала на основании поиска во всех возможных источниках и анализа современной научной информации.

Предложенные задачи для самостоятельного решения необходимо про
работать, поскольку аналогичные задачи будут даны при текущем контроле 
усвоения материала дисциплины. Все задания следует выполнять строго по 
графику учебной работы, обсуждая результаты на семинарах и консультациях.

Планируемые результаты обучения. После изучения модуля 1 студенты 

смогут:

• объяснить не менее 20 понятий и терминов, связанных с физикой, 

дать их формулировки;

• описать основные физические явления и сформулировать основные 

законы физики, определить границы их применимости и назвать области их 
практического приложения;

• перечислить основные физические величины и физические констан
ты, привести их определения, объяснить смысл, указать способы и единицы 
их измерения;

• объяснить назначение и принципы действия важнейших физических 

приборов;

• получить представление о современной научной картине мира на ос
нове целостной системы естественно-научных и математических знаний;

• целенаправленно применять базовые знания в области математиче
ских и естественных наук в профессиональной деятельности;

• использовать основные общефизические законы и принципы для ре
шения технических 
.
задач

Ключевые слова: система отсчета, материальная точка, твердое тело, 

инерциальная система отсчета, механическая система, закон сохранения, 
скорость, ускорение, масса, сила, замкнутая система, консервативная система, колебания, частота, период.

Введение

Изучение курса физики в учебном процессе любого технического вуза 

имеет ключевое значение, так как освоение любого технического предмета 
базируется на знании именно этой дисциплины.

Важность предмета «Физика» сложно переоценить, ведь именно эта на
ука объясняет явления природы, с которыми человек постоянно сталкивается в жизни. Одно из определений гласит: «Физика — наука, изучающая простейшие и вместе с тем наиболее общие закономерности явлений природы, 
свойства и строение материи, законы ее движения. Понятия физики и ее законы лежат в основе всего естествознания. Физика относится к точным наукам и изучает количественные закономерности явлений (Физический энциклопедический словарь / гл. ред. А.М. Прохоров. М.: Сов. энцикл., 1983. 
928 с. С. 812).

Физика затрагивает практически все области знания. Однако получен
ных в школе знаний недостаточно для того, чтобы постигать все тонкости 
специальных предметов. Необходимо понимание законов физики на качественно ином уровне, основанном на использовании более сложного математического аппарата. Кроме того, физика расширяет кругозор, что позволяет делать междисциплинарные открытия.

Издревле знание законов физики ценилось крайне высоко. Великий ме
ханик Архимед был уважаемым человеком в его родном городе Сиракузы. 
Его изобретения позволяли горожанам противостоять хорошо обученной 
армии римлян. И в настоящее время использование закона Архимеда весьма 
актуально. Основы физики разрабатывали такие столпы науки, как И. Ньютон, Б. Паскаль, А. Эйнштейн и многие другие великие ученые. Диапазон 
областей знания, изучаемых физикой, огромен: от кинематики и динамики 
до тоннельной микроскопии и голографии.

В физике используют два равноправных метода исследований: экспери
ментальный, который дает основания для построения гипотез, теорий, и теоретический, который позволяет предварительно создать гипотезу, теорию, 
а затем обязательно подтвердить их экспериментально. В процессе обучения 
студент получает навыки и опыт как проведения теоретических разработок, 
так и экспериментального подтверждения базовых законов или констант. От 
студента требуется оценка полученных результатов.

1. КИНЕМАТИКА

1.1. Общие понятия

Механика — наука о механическом движении материи в пространстве 

и во времени.

Движение — способ существования материи; в самом общем виде изменение вообще, всякое взаимодействие материальных объектов.
Механическое движение — перемещение одних тел или частей тела относительно других.
Кинематика — раздел механики, в котором движение тел и сплошных 
сред (газа, жидкости, деформируемого тела) рассматривается без выяснения 
причин, вызвавших это движение. Размерности кинематических величин 
определяются размерностями длины и времени.

Основные виды движения твердого тела
1. Поступательное движение — движение, при котором прямая, соединяющая любые две точки тела, перемещается, оставаясь параллельной своему начальному положению.
2. Вращательное движение — движение, при котором все точки, лежащие на некоторой прямой, называемой осью вращения, остаются неподвижными, а траектории остальных точек являются окружностями или дугами окружностей.
Если размерами и формой тела в условиях данной задачи можно пренебречь, то это тело можно рассматривать как материальную точку.
Твердое, или абсолютно твердое, тело — система материальных точек, 
расстояния между которыми не меняются.
Твердое тело (или точка), которое служит для определения положения 
интересующего исследователя тела, называют телом (или точкой) отсчета. 
Тело отсчета, связанные с ним система координат и часы образуют систему 
отсчета.
В классической механике пространство, в котором рассматривается 
движение материальной точки, полагают трехмерным евклидовым пространством, для которого правомерны все аксиомы и теоремы геометрии 
Евклида, а время во всех системах отсчета изменяется одинаково, независимо от характера их движения.

1.2. Кинематика материальной точки

Существуют три способа описания движения материальной точки: векторный, координатный и естественный.
Выберем за начало отсчета неподвижную точку O. Тогда положение 
движущейся материальной точки M относительно точки O в каждый момент 
времени определяется радиусом-вектором r  (рис. 1). Если задана зависимость радиуса-вектора r  от времени t, то этим задано движение точки:



r
r t
= ( ). 
(1.1)

Уравнение (1.1) — уравнение движения в векторной форме.
Геометрическое место точек пространства, 

в которых частица М последовательно побывала 
за время своего движения, называется ее траекторией. При векторном способе описания движения траектория — кривая, образуемая концом 
радиуса-вектора r  во все моменты времени. Эту 
кривую называют годографом векторной функции r t( ).

При задании движения координатным способом, в проекциях на оси прямоугольной декартовой системы координат (

  
i j k
, ,
 — единичные орты осей 
x, y и z соответственно), радиус-вектор выражают следующим образом:






r t
r
t i
r
t j
r
t k
x
y
z
( ) =
( ) +
( )
+
( ) ,

где

r
t
x t
r
t
y t
r
t
z t
x
y
z
( ) =
( )
( ) =
( )
( ) = ( )
,
,
.

Движение точки считается заданным естественным способом, если: указана траектория, по которой движется точка; в виде явной функции времени представлено уравнение движения точки; выбрана точка на траектории — начало дуговой координаты s; указаны направления положительных 
и отрицательных значений дуговой координаты s 
(рис. 1.2) и выбраны единицы измерения расстояния и времени.
Таким образом, при естественном способе 
движение точки задается как

s
s t
= ( ),   или   

r t
r s t
( ) =
( )
[
].

Путь s
s t
= ( ) — расстояние, пройденное точкой вдоль траектории за время t (см. рис. 1.2).

Рис. 1.1. Задание положения точки М векторным 
способом

Рис. 1.2. Естественный 
способ задания движения 
точки M

Средняя скорость материальной точки при векторном задании движения




υ = ∆
∆

r
t ,

где ∆


r
r
r
=
−
2
1 — вектор перемещения точки за время ∆t, представляющий со
бой приращение радиуса-вектора r  за время ∆t.
Мгновенная скорость материальной точки:
при векторном способе задания движения




v = d

d ;
r
t  
(1.2)

при координатном способе, т. е. в проекциях на оси прямоугольной де
картовой системы координат, вектор скорости выражают как






v
v
v
v
=
+
+
x
y
z
i
j
k,

где

v
v
v
x
y
z
x
t

y
t

z
t
=
=
=
d
d ,
d
d ,
d
d .

Модуль скорости

v
v
v
v
v
=
=
+
+


x
y
z

2
2
2.

При естественном способе задания движения

v = d
d ,
s
t  
(1.3)

где s
s t
t

t
= ( ) = ∫vd

0

 — путь, пройденный точкой за время t (см. рис. 1.2).

Ускорение материальной точки при векторном способе задания движения





a
t
r
t
=
=
d
d
d
d
.
v
2

2  
(1.4)

При координатном способе, т. е. в проекциях на оси прямоугольной де
картовой системы координат, вектор ускорения выражают как






a
a i
a j
a k
x
y
z
=
+
+
,

где

a
t
a
t
a
t
x
x
y
y
z
z
=
=
=
d
d
,
d

d
,
d
d
.
v
v
v

Модуль ускорения

a
a
a
a
x
y
z
=
+
+
2
2
2.

При криволинейном движении материальной точки (на плоскости) и естественном способе задания движения полное ускорение (рис. 1.3)




a
a
a
n
=
+
τ,

где

a
R
a
t
n =
=
v
v
2
,
d
d
τ
 
(1.5)

— нормальное (центростремительное) и тангенциальное (касательное) ускорения соответственно; здесь R — радиус кривизны траектории.
Модуль полного ускорения точки

a
a
a
n
=
+
2
2
τ .  
(1.6)

Докажем равенство (1.5). Для этого рассмотрим, как с помощью естественного способа описания движения материальной точки можно определить ее скорость. Введем единичный вектор τ  (см. рис. 1.3), связанный 
с движущейся точкой M и направленный по касательной к траектории 
в сторону увеличения дуговой координаты s, т. е. в сторону движения точки. Ясно, что τ  — переменный вектор, так как его направление зависит от 
пути s, хотя длина этого вектора, направленного в сторону движения, остается неизменной. Вектор скорости v  точки M направлен по касательной 
к траектории, поэтому можно записать:



v
v
=
ττ,  
(1.7)

где vτ = d
d
s
t  — проекция вектора v  на направление вектора τ, причем  

vτ — величина алгебраическая; кроме того, она равна скорости частицы: 
v
v
v
=
=
τ
.

Рассмотрим ускорение a.  Для этого продифференцируем выражение 
(1.7) по времени и получим






a
t
t
t
=
=
+
d
d

d
d

d
d .
v
v
v
τ
τ  
(1.8)

Рис. 1.3. Скорость v  и ускорение a  при криволинейном движении материальной точки M 
(на плоскости)

Преобразуем второе слагаемое выражения (1.8):

v
v
v
d
d
d
d
d
d
d
d ,




τ
τ
τ

t
s
s
t
s
=
=
2

и в результате будем иметь





a
t
s
=
+
d
d
d
d .
v
v
τ
τ
2
 
(1.9)

Рассмотрим приращение вектора τ  на участке ds (рис. 1.4). Можно 
показать, что при стремлении точки 2 к точке 1 отрезок траектории между 
ними можно представить в виде дуги окружности с центром в некоторой 
точке O. Эту точку называют центром кривизны траектории в данной точке, 
а радиус R окружности — радиусом кривизны траектории в этой же точке. 
Как следует из рис. 1.4, при d
,
s → 0  d

τ
τ
⊥
 и малых углах δα между точками 
1 и 2 можно записать:

δα
τ
τ
=
=
d
d
,
s
R



откуда

d
d
.

τ
s
R
= 1  
(1.10)

Если ввести единичный вектор нормали n  к траектории в точке 1, направленный к центру кривизны, то равенство (1.10) будет иметь вид

d
d
.



τ
s

n
R
=
 
(1.11)

Рис. 1.4. Приращение вектора τ  на участке d s  траектории