Физика: учебное пособие для поступающих в вузы

1. Механика 

 
 

166
Учебное пособие 
для поступающих в вузы 
 
 
ФИЗИКА 
 
Под общей редакцией А.Ю. Луценко 
 
 
Рекомендовано Научно-методическим советом 
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебного пособия 
 
 
 

 
 
 
 

4-е издание 

УДК 53 
ББК 22.3 
        У91 
 
Авторы: 
А.Ю. Луценко, И.В. Кириллов, 
Ю.А. Струков, А.М. Хорохоров  
 
Рецензенты: 
д-р физ.-мат. наук, преподаватель физики  
Лицея научно-инженерного профиля 
 г. Королева Московской обл. А.А. Чухланцев; 
почетный работник общего образования Российской Федерации, 
учитель физики высшей квалификационной категории 
 МОУ «Лицей» г. Балашихи Московской обл. Т.Е. Слипченко 
 
 
Учебное пособие для поступающих в вузы. Физика : 
учебное пособие / [А. Ю. Луценко и др.] ; под общ. ред. 
А. Ю. Луценко. — 4-е изд. — Москва : Издательство МГТУ 
им. Н. Э. Баумана, 2018. — 364, [4] с. : ил. 
ISBN 978-5-7038-4824-1  
Приводятся основные физические законы и соотношения и 
даются общие указания по методике решения задач, составленных 
в соответствии с опытом вступительных испытаний в МГТУ им. 
Н.Э. Баумана. Типовые задачи и задачи повышенной сложности 
сопровождаются оригинальными методиками решений. Для проверки усвоения материала по каждой теме предлагаются контрольные работы.  
Подробное решение представленных в пособии контрольных 
работ и другие учебные материалы можно получить, зарегистрировавшись на учебном портале МГТУ им. Н.Э. Баумана (http:// 
www.cem.bmstu.ru/dot.htm). 
Для учащихся старших классов средних школ, гимназий, лицеев, слушателей подготовительных курсов, а также лиц, самостоятельно изучающих физику и готовящихся к вступительным испытаниям в технические вузы, в том числе по результатам физикоматематических олимпиад или ЕГЭ. 
 
                                                                                         УДК 53 
ББК 22.3 
 
                                                                             Оформление. Издательство 
 ISBN 978-5-7038-4824-1                                              МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2018 

У91 

 

Предисловие 

Пособие составлено на основании материалов, предлагаемых в 
последние годы на физико-математических олимпиадах и на вступительных испытаниях по физике в МГТУ им. Н.Э. Баумана.  
Тематика приведенных материалов охватывает практически 
все разделы физики, что позволяет использовать предлагаемое пособие при подготовке к вступительным испытаниям по физике в 
технический вуз любого профиля. 
Пособие включает шесть глав1, содержание которых обеспечивает успешное освоение курса физики средней школы и дальнейшее обучение в вузах инженерного и физического профиля. 
Приведенные темы совпадают с темами курса диагностических 
занятий, проводимых в университете с 2002 г. и подтвердивших 
свою эффективность. Пособие предназначено для школьников, 
готовящихся к поступлению в МГТУ им. Н.Э. Баумана, в том числе по результатам олимпиад, а также может быть использовано 
при подготовке к ЕГЭ. 
В пособие включены интересные и содержательные задачи из 
различных разделов физики, которые способствуют более полному 
и углубленному изучению физических законов, акцентируют внимание читателей на отдельных важных физических явлениях и 
процессах.  
В каждой главе кратко изложены основные теоретические сведения (физические законы, уравнения, соотношения и формулы), 
изучение которых необходимо для понимания соответствующей 
темы. Подробно рассмотрены наиболее характерные конкурсные 
задачи по темам с методическими указаниями к их решению, которые позволят читателю научиться применять законы физики для 
описания различных явлений. Изложены некоторые идеи и подходы 
к решению задач средней и повышенной сложности, составляющих 
основную часть задач, предлагаемых на физико-математических 
олимпиадах в МГТУ им. Н.Э. Баумана. Для решения таких задач 
помимо знания основных законов физики требуется также умение 
математически описать рассматриваемое физическое явление, составить и решить уравнение или систему уравнений. 
_____________ 

1 Разд. 1.1–1.4 написаны Ю.А. Струковым, А.Ю. Луценко, гл. 2 — 
И.В. Кирилловым, разд. 1.5, гл. 3–6 — А.М. Хорохоровым.  

Предисловие 

 
 

4 

Постановки и решения задач сопровождаются иллюстрациями, которые способствуют правильному и наиболее рациональному поиску решения. Особое внимание уделяется построению физических моделей с учетом необходимых для решения задачи приближений. 
В пособие включены задачи повышенной сложности и комбинированные задачи, решение которых основано на применении 
физических соотношений из различных разделов курса физики. 
При решении некоторых задач используются элементы дифференциального исчисления в рамках школьной программы по математике, в частности решение некоторых задач включает нахождение 
экстремума функций физических величин. 
Поскольку многие задачи по физике допускают различные 
способы их решения, в пособии приведены несколько способов 
решения задачи, что позволяет читателю выбрать наиболее понятный алгоритм решения. 
При решении задач рекомендуется после прочтения условия 
задачи самостоятельно найти ее решение. В случае неудачи следует подробно ознакомиться с методикой решения, изложенной в 
приведенных примерах. После того как решение разобрано и стало 
понятным, необходимо вновь самостоятельно по памяти воспроизвести алгоритм решения задачи. Такое повторение позволит закрепить навыки решения задач и обеспечит положительный результат в обучении. 
Для контроля степени усвоения материала, развития и закрепления навыков решения задач по каждой теме в конце разделов 
помещены контрольные работы для самостоятельного решения, 
состоящие из 10 задач каждая, сложность которых последовательно возрастает. В конце пособия приведены краткие ответы на задания контрольных работ. Для успешного усвоения материала рекомендуется решить все приведенные задачи. 
Авторы с благодарностью примут замечания и пожелания по 
структуре и содержанию предлагаемого пособия, которые можно 
направлять в Центр маркетинга образовательных услуг МГТУ 
им. Н.Э. Баумана. 

Предисловие 

 
 

5

Указания к решению задач 

1. Приступая к решению задачи, надо понять ее смысл и постановку вопроса. Установите, все ли данные, необходимые для 
решения задачи, приведены. Недостающие данные можно найти в 
любой таблице физических констант (например, если указан материал, из которого изготовлено плавающее в воде тело, то предполагается, что плотность тела можно определить, обратившись к 
справочнику). Если позволяет характер задачи, обязательно сделайте схематический рисунок, поясняющий ее суть, это во многих 
случаях облегчает решение.  
2. Каждую задачу решайте, как правило, в общем виде (т. е. в 
буквенных обозначениях), так, чтобы искомая величина была выражена через заданные величины. Ответ, полученный в общем виде, позволяет в значительной степени судить о правильности решения.  
3. Получив решение в общем виде, проверьте его размерность. 
Неверная размерность — явный признак ошибочного решения. 
Если возможно, исследуйте поведение решения в предельных частных случаях. Например, какой бы вид ни имело выражение для 
силы кулоновского взаимодействия между двумя заряженными 
телами, с увеличением расстояния между ними оно должно непременно переходить в закон взаимодействия точечных зарядов. 
В противном случае можно утверждать, что решение неверно.  
4. Приступая к вычислениям, помните, что числовые значения 
физических величин всегда являются приближенными. Поэтому 
при расчетах руководствуйтесь правилами действий с приближенными числами.  
5. Получив числовой ответ, оцените его правдоподобность. Такая оценка может в ряде случаев обнаружить ошибочность полученного результата. Так, например, скорость тела не может оказаться больше скорости света в вакууме, плотность газа при нормальных условиях — превысить плотность металла и т. д. Необходимо 
проверить, имеет ли полученный ответ физический смысл. Например, значение косинуса или синуса не может быть больше единицы, 
отрицательный корень квадратного уравнения, как правило, не является физическим решением, отрицательное значение тока или заряда на конденсаторе свидетельствует о неверном выборе направления тока или знаков зарядов на обкладках конденсатора.  

1. Механика 
6 

1. МЕХАНИКА  

1.1. Основные соотношения в кинематике 

Кинематика материальной точки. При движении материальной точки ее положение в пространстве определяется радиусвектором ,r  проведенным из точки O выбранной системы отсчета 
(рис. 1.1). Закон движения точки можно представить в виде векторного уравнения 
( ),
r
r t



 которому соответствуют алгебраические уравнения в проекциях на оси координат: х  х(t), у  у(t), z  
 z(t), либо в виде s  s(t), где s — путь вдоль траектории от некоторой точки, принятой за начало отсчета; t — время движения. 
 

 
Рис. 1.1 
 

Средняя скорость 
,
r
t


 
 где 
r
  — перемещение матери
альной точки за промежуток времени ∆t. 
Вектор 
 совпадает по направлению с r
  (рис. 1.2). 

Средняя скорость 
ср
,
s
t


 

 где ∆s — путь, пройденный точ
кой за промежуток времени ∆t. 

1.1. Основные соотношения в кинематике 

 
 

7

Мгновенная скорость 

                  

0
lim
.
t
r
dr
t
dt
 








 

Направление 
вектора 
мгновенной 
скорости в каждой точке траектории совпадает с направлением касательной к ней 
(см. рис. 1.2). 
Модуль скорости  

 
2
2
2 ,
x
y
z







 

где 
, 
, 
x
y
z
dx
dy
dz
dt
dt
dt






 — проекции вектора скорости на 

оси координат. 
Среднее ускорение 

 
,
a
t


 



 

где 


 — изменение скорости материальной точки за промежуток времени 
.t
  
Направление вектора a  совпадает с направлением векто
ра 
.

 
Мгновенное ускорение 

 

0
lim
.
t
d
a
t
dt
 








  

Модуль ускорения 

 
2
2
2,
x
y
z
a
a
a
a



 

где 
,   
,   
y
x
z
x
y
z
d
d
d
a
a
a
dt
dt
dt





  — проекции вектора ускорения 

a  на оси координат. 
При криволинейном движении материальной точки вектор ее ускорения a  в каждой точке траектории в общем случае наклонен 
под некоторым углом  к касательной, проведенной к траектории в 
этой точке (рис. 1.3). Вектор ускорения a  можно представить как 

 

Рис. 1.2 

1. Механика 

 
 

8 

сумму нормальной (центростремительной) 

n
a  и тангенциальной (касательной) a
  составляющих полного ускорения: 

                        
.
n
a
a
a







 

Составляющие 
n
a  и a

  характеризуют 
изменение вектора ускорения a  по модулю и направлению соответственно. Модули этих ускорений: 

 

2
;
n
a
R


 
;
d
a
dt




 
2
2 ,
n
a
a
a


 

где R — радиус кривизны в данной точке траектории. 
Уравнения равномерного плоского прямолинейного движения 
(    const) в векторной форме и в проекциях на оси координат: 

 

0

0

0

;

;

,

x

y

r
r
t

x
x
t

y
y
t



















 

где 
0,
r  x0, y0 — координаты, определяющие положение точки в начальный момент времени. 
Уравнения равнопеременного движения (
const)
a 

 в векторной форме: 

 

2

0
0

0

;
2
,

at
r
r
t

at




















 

где 
0
  — начальная скорость точки. 
В проекциях на оси координат эти уравнения имеют вид 

 

2
2

0
0
0
0

0
0

;   
;
2
2
;           
,

y
x
x
y

x
x
x
y
y
y

a t
a t
x
x
t
y
y
t

a t
a t




















 

где 
0
0
, 
, 
, 
x
y
x
y
a
a


 — проекции начальной скорости 
0
  и ускоре
ния a  на оси х и у соответственно. 

Рис. 1.3 

1.1. Основные соотношения в кинематике 

 
 

9

Уравнения движения в поле тяжести (ось х направлена горизонтально, а ось у — вертикально вверх, т. е. 
0,
x
a 
 

ya
g
 
): 

 

2

0
0
0
0

0
0

;  
;
2
;         
,

x
y

x
x
y
y

gt
x
x
t
y
y
t

gt


















 

где при начальной скорости 
0,

 направленной под углом  к оси х, 

 
0
0 cos ;
x 



    
0
0 sin .
y 



 

Сложение движений — одновременное участие материальной 
точки в двух движениях. 
Любое сложное движение можно рассматривать как результат 
сложения простых движений. Для описания такого движения целесообразно ввести дополнительную подвижную систему координат, 
связанную с телом отсчета, принятого условно за неподвижное. 
Движение точки относительно неподвижной системы координат (т. е. результирующее движение) называют абсолютным, а ее 
скорость 
абс

 — абсолютной скоростью движения. Движение точки относительно подвижной системы координат называют относительным, а скорость этого движения 
отн

 — относительной. Движение подвижной системы координат относительно неподвижной 
системы координат называют переносным движением, а его скорость 
пер

 — переносной скоростью. При сложении движений от
носительное перемещение точки 
отн
r
 и перемещение системы 
пер
r
 
можно представить суммой векторов: 

 
абс
отн
пер,
r
r
r





 

Относительную скорость точки и скорость системы отсчета 
также представляют суммой векторов: 

 
абс
отн
пер.








 

Аналогично представляют и линейное ускорение: 
 
абс
отн
пер,
а
а
а





 

где 
отн
а
 — относительное ускорение; 
пер
а
— переносное ускоре
ние (ускорение движущейся системы отсчета). 

1. Механика 

 
 

10

Кинематика твердого тела. Любое 
движение твердого тела можно представить 
как совокупность его поступательного движения и вращения вокруг неподвижной оси. 
Поступательное движение. При поступательном движении твердого тела любая 
прямая, связанная с телом, остается параллельной своему начальному положению. При 
поступательном движении все точки твердого тела совершают за 
один и тот же промежуток времени равные перемещения. Поэтому 
поступательное движение тел описывается теми же величинами и 
уравнениями, что и движение материальной точки. 
Вращение вокруг неподвижной оси. Кинематическими характеристиками вращательного движения тел служат угловое перемещение, угловая скорость и угловое ускорение. Угловым перемещением φ называют центральный угол, соответствующий дуге, 
пройденной произвольной точкой тела при его вращении. 
Уравнение вращательного движения: 
( ).
f t
 
 
Средняя угловая скорость 

 
,
t


 



 

где   — изменение угла поворота тела за промежуток времени
t
  (рис. 1.4). 
Мгновенная угловая скорость 

 

0
lim
.
t
d

t
dt
 



 


 

Среднее угловое ускорение 

 
,
t


 



 

где   — изменение угловой скорости за промежуток времени
.t
   
Мгновенное угловое ускорение 

 

0
lim
.
t
d

t
dt
 



 


 

Рис. 1.4