Термодинамика и электродинамика сплошных сред

Термодинамика  
и электродинамика  
сплошных сред

ФИЗИКА В ТЕХНИЧЕСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ

Серия основана в 2003 году

Научные редакторы: 
д-р физ.-мат. наук, проф. Л.К. Мартинсон, 
д-р физ.-мат. наук, проф. А.Н. Морозов

Москва 
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана 
2018

И.Н. Алиев

Термодинамика  
и электродинамика  
сплошных сред

ISBN 978-5-7038-4877-7

© Алиев И.Н., 2018 
© Оформление. Издательство
     МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2018

УДК 537.8
ББК 22.313
 
А50

Рецензенты:

кафедра общей физики МГОУ 

(зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. Д.Л. Богданов); 

д-р физ.-мат. наук, проф. П.П. Полуэктов

Рекомендовано Редакционно-издательским советом  
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебного пособия

Алиев, И. Н.
Термодинамика и электродинамика сплошных сред : учебное пособие / 

И. Н. Алиев. — Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2018. — 
406, [2] с. : ил.  — (Серия «Физика в техническом университете»). 

ISBN 978-5-7038-4877-7

Рассмотрены различные аспекты механики поляризованных и проводя
щих сплошных тел и сред с учетом магнитных, электрических и тепловых 
эффектов. Изложение ведется в рамках общего подхода, базирующегося на 
термо- и электромеханическом вариационных принципах, которые позволяют находить условия равновесия, что невозможно с помощью принципов 
Гиббса и Планка. Полученные результаты применены к теории неравновесных процессов при выводе определяющих соотношений, необходимых для 
замыкания систем термоэлектромагнитодинамических уравнений. Пособие 
снабжено большим количеством задач, часть из них дополняет соответствующие главы, а часть является кратким изложением проведенных научных 
исследований.

Содержание учебного пособия соответствует курсу лекций, которые ав
тор читает в МГТУ им. Н.Э. Баумана.

Для студентов и аспирантов технических университетов и вузов, препо
давателей высшей школы, научных сотрудников, занимающихся техникой и 
физикой сплошных сред.

УДК 537.8
ББК 22.313

А50

Предисловие

Настоящее учебное пособие написано на основании курса лекций, который автор читает студентам старших курсов в МГТУ им. Н.Э. Баумана. В основу пособия, посвященного изучению различных свойств сплошной среды,  
положена монография [1], ставшая библиографической редкостью сразу после 
выхода в свет. Поскольку эта работа предназначалась для  студентов выпускного курса механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова, имеющих высокий уровень математической подготовки, промежуточные  
(и непростые) расчеты в ней не приводились. Именно это обстоятельство, 
в первую очередь, побудило автора переработать материал монографии, 
адаптируя его для студентов технических университетов и вузов. Для этого 
практически все расчеты представлены более подробно (вплоть до взятия 
определенных интегралов), приведены новые (для студентов технического 
университета) приемы вычислений. Соответствующие разделы математического аппарата объединены в отдельные параграфы или вставлены фрагментами в основной текст, что, по мнению автора, более целесообразно. Приведено большое количество математических комментариев, особенно в разделах, 
которые не включены в систематическую математическую программу технических университетов. Автор исходил из того, что подробное изучение методов расчета необходимо при подготовке высококвалифицированных специалистов по направлению «Техническая физика», и рассчитывал максимально 
облегчить студентам усвоение современной физической теории. 
От аналогичных изданий, вышедших за последнее время, данное учебное 
пособие отличается наличием подробных математических выкладок. Следует 
при этом отметить отсутствие других учебников, в которых теория сплошной 
среды столь широко излагалась бы с помощью вариационных принципов.
Глава 1 с некоторыми изменениями взята из работы [2], выпущенной 
малым тиражом и предназначенной для внутреннего пользования в МГТУ  
им. Н.Э. Баумана. Ее можно рассматривать как введение в основной материал и рекомендовать также и для студентов младших курсов, уровень математической подготовки которых предполагает хотя бы в первом приближении знание основ вариационного исчисления. В связи с этим большинство 
математических преобразований в главе 1 проведено в координатной форме, тогда как  в остальных главах использована более удобная индексная запись. В главе 2 подробно обсуждается энергетическая концепция в механике 
сплошной среды. В главе 3 механическая теория дополнена нетрадиционно 
изложенными положениями феноменологической термодинамики. В главах 4 и 5 приведены теории постоянных электрических и магнитных полей.  

Предисловие 

Главы 6–8 посвящены введению в квантовую теорию свободных электронов  
в металлах, а также основам классической теории сверхпроводимости. В главе 9 
представлен довольно простой вариант электромагнитной теории медленно 
движущихся сред и тел. 
В конце большинства глав приведены задачи, которые различаются как 
по объему вычислений, так и по сложности. Блоки задач привязаны к отдельным главам, а не к отдельной теме, что кажется автору более целесообразным. При отборе задач автор старался в контекст каждой из них внести раздел 
теории, не вошедший в основной материал, или же показать новые математические приемы вычислений. Некоторые задачи, приведенные в учебном 
пособии, являются упрощенными вариантами законченных научных исследований. Небольшое количество задач не совпадает полностью по тематике с 
соответствующими главами, но в них или комментируются методы решений, 
или используются соответствующие физические интерпретации. Некоторые 
задачи являются оригинальными или взяты из задачников [3, 4], другие заимствованы из различных источников, причем в большинстве случаев истинных 
авторов указать невозможно.
Следует отметить, что в пособии использована Международная система 
единиц (СИ), хотя в главах, посвященных электромагнетизму, наиболее целесообразным было бы применение абсолютной (гауссовой) системы единиц, 
поскольку, по мнению автора, последняя гораздо больше соответствует современным представлениям о природе электромагнитных явлений. Электрическое и магнитное поля связаны между собой, более того, их можно считать 
симметричными характеристиками одного и того же физического объекта, но 
при этом размерности всех величин (напряженности и индукции этих полей) 
разные. Для преодоления этого несоответствия приходится вводить искусственные коэффициенты, обсуждение физического смысла которых продолжается и в настоящее время. Особенно это проявляется при введении понятия скалярного магнитного потенциала и соответствующего нормирующего 
множителя.
Основная работа по подготовке текста осуществлялась при постоянном 
руководстве В.В. Толмачева, идеи которого, изложенные в данном учебном 
пособии, послужили основанием для дальнейшего развития различных отраслей физики:  магнетизма, сверхпроводимости и т. п. Следует признать, что 
недостаточно подробны изложены некоторые важные с точки зрения технического применения разделы, такие как геометрическая акустика поверхностных волн, диспергирование заряженных капель, магнитная гидродинамика  
и др. Однако сравнительно краткое введение в теорию этих и других физических явлений позволит читателю получить первоначальное представление об 
объектах исследования. 
Описания экспериментов в учебном пособии не приведены, однако  
автор старался дать представление о  техническом применении излагаемых 
теоретических положений, исходя из того, что эффективные экспериментальные исследования в современной физике возможны только при глубоком 
понимании основ теории.

Предисловие

Автор выражает признательность заведующему кафедрой физики МГТУ 
им. Н.Э. Баумана профессору А.Н. Морозову за постоянное внимание к данной работе и помощь в ее издании, а также сотрудникам кафедры профессору 
А.М. Макарову за ценные замечания, сделанные им при обсуждении некоторых разделов учебного пособия, доценту С.О. Юрченко, постоянные обсуждения с которым рукописи позволили существенно улучшить изложение 
материала, и другим сотрудникам МГТУ им. Н.Э. Баумана, ознакомившимся 
с рукописным и электронным вариантами текста, за ряд ценных и полезных 
критических замечаний.
Рукопись учебного пособия подробно обсуждалась на кафедре общей 
физики Московского государственного областного университета, возглавляемой профессором Д.Л. Богдановым. Затем была проведена большая работа 
по редактированию текста. Последовавшие за этим критические замечания, 
несомненно, способствовали улучшению предлагаемого материала.
Особую признательность хотелось бы выразить безвременно ушедшему 
из жизни профессору П.П. Полуэктову, автору многих идей, приведенных  в 
этом пособии, за рецензирование данного издания.        
Автор также приносит искреннюю благодарность руководству и сотрудникам издательства МГТУ им. Н.Э. Баумана — А.А. Алиеву, без энергичной 
деятельности которого настоящая работа еще долго не увидела бы свет, и  
И.В. Мартыновой за поддержку во время подготовки рукописи и неутомимую 
помощь при редактировании.
Несмотря на то что даже и после переработки материал остается достаточно сложным для большинства студентов технических университетов, автор 
считает, что предлагаемое учебное пособие предназначено в первую очередь 
для студентов факультета «Фундаментальные науки» МГТУ им. Н.Э. Баумана. 
Кроме того, оно представляет интерес для студентов старших курсов и аспирантов соответствующих специальностей технических университетов, научных сотрудников и преподавателей высшей школы. 
Автор понимает, что предпринятая попытка объединения в одном сравнительно небольшого объема учебном пособии разных разделов физики не 
будет свободна от недостатков, и поэтому будет признателен читателям, приславшим свои замечания и предложения по адресу:
105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана. 

Основные обозначения

А 
— амплитуда; работа
А  
— векторный потенциал магнитного поля (магнитный потенциал)

а 
— поправка Ван-дер-Ваальса

a ps— оператор уничтожения

a ps+  — оператор рождения
B  
— индукция магнитного поля

b 
— прицельный параметр; поправка Ван-дер-Ваальса

C 
— электрическая емкость; молярная концентрация

с 
— скорость света; удельная теплоемкость; массовая концентрация;  

 
 постоянная Кюри
D  — электрическая индуктивность (электрическое смещение)
Е 
— полная энергия; модуль Юнга
E  — напряженность электрического поля
eij  — тензор скоростей деформаций
ei  — орты осей
F 
— число Фарадея; свободная энергия Гельмгольца
F  — сила, плотность поверхностных сил
f  
— массовая плотность сил

G 
— гравитационная постоянная

g 
— точечный магнитный заряд
g  
— объемная плотность импульса электромагнитного поля; ускоре- 

 
 ние свободного падения

gсв  — объемная плотность механического импульса сверхпроводящих 

 
 электронов; магнитный термодинамический потенциал

 
 Гиббса

H 
— гамильтониан
H  — напряженность магнитного поля

ˆH  — оператор Гамильтона

H кр  — критическая напряженность магнитного поля
h 
— массовая плотность энтальпии

hi  
— криволинейные коэффициенты Ламе

ℏ 
— постоянная Планка

I 
— плотность потока частиц; адиабатический инвариант;  

 
 сила тока; полный ток

I i  — инварианты тензора деформаций
i 
— плотность поверхностного тока

Основные обозначения

J 
— термодинамический поток
j  
— плотность объемного тока
jмол  — молекулярный ток намагничивания
jпр  — ток проводимости
j р  — плотность тока поляризованных зарядов
jQ  — плотность потока теплоты
js  — плотность потока энтропии
K 
— кинетическая энергия; коэффициент объемного сжатия

k 
— постоянная Больцмана
k  
— волновой вектор; орт оси Oz
L 
— функция Лагранжа; индуктивность; кривая интегрирования
L  
— момент импульса

Lnk  — кинетический коэффициент
M  — магнитная поляризация (намагниченность)
M 0  — спонтанная магнитная поляризация (намагниченность)
m 
— масса

N 
— число частиц

NA — число Авогадро
n 
— показатель преломления; число витков соленоида на единицу 

 
 длины; валентность; концентрация электронов
n  
— нормаль к поверхности

n ps— числа заполнения
P  
— вектор Пойнтинга; электрическая поляризация (поляризован- 

 
 ность диэлектрика)

Pik  — перестановочный оператор
P0  — спонтанная электрическая поляризация
p 
— давление

pF  — импульс Ферми
pij  — тензор напряжений
p  
— импульс
pm  — магнитный дипольный момент
ps  — канонический импульс сверхпроводящего электрона
Q 
— теплота; полный заряд; энергия, передаваемая единице объема  

 
 за единицу времени

Qim  — полный тензор внутренних напряжений
q 
— электрический заряд
q  
— вектор смещения

R 
— радиус; газовая постоянная; электрическое сопротивление

r0  
— внутреннее электрическое сопротивление источника ЭДС

Основные обозначения 

S 
— оптическая длина пути; площадь; функция действия; площадь  

 
 поверхности; энтропия

 s 
— длина пути; массовая плотность энтропии

 Т 
— период времени; абсолютная температура

Tкр  — критическая температура

Tim — тензор напряжений Максвелла (тензор натяжений)
 t 
— время

U 
— потенциал; потенциальная энергия; внутренняя энергия

U ij  — матрица преобразования координат
 u 
— фазовая скорость; скорость волны действия; массовая плотность 

 
 внутренней энергии

 V 
— объем, удельный объем
v  
— скорость

vгр  — групповая скорость волны

W 
— действие; статистический вес; энергия электрического  

 
 и магнитных полей

 w 
— объемная плотность электромагнитной энергии

 α 
— термический коэффициент объемного расширения; коэффици
 
 ент термоЭДС

 γ 
— коэффициент поверхностного натяжения

 ∆ 
— оператор Лапласа; толщина теплового пограничного слоя

 δ 
— оператор варьирования по Эйлеру; глубина проникновения  

 
 магнитного поля

δ
δ
( ),
( )
x
r
 
— дельта-функция Дирака

δ1  — оператор варьирования свободных токов
δ ∗  — оператор варьирования по Лагранжу
δ ij  — символ Кронекера

  — напряженность электрического поля
i  — ЭДС индукции
e  — ЭДС внешнего источника
F  — энергия Ферми
 ε 
— диэлектрическая проницаемость

εijk  — символ Леви-Чивита

ε0  — электрическая постоянная
 ζ 
— объемная вязкость

ζ( )
r  — множитель Лагранжа

 ς 
— термический коэффициент линейного расширения

 η 
— динамическая вязкость

ηik  — тензор деформаций
 θ 
— полярный угол; эмпирическая температура; энергетическая 

 
 температура