Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление

Московский государственный технический университет 
имени Н.Э. Баумана 
 

 

 

 

С.В. Галкин 
 

 

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО  

И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 

Допущено Учебно-методическим объединением вузов  
по университетскому политехническому 
образованию в качестве учебного пособия 
для студентов высших учебных заведений, 
обучающихся по машиностроительным специальностям 

Москва 
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана 
2011 

УДК 517.5(075.8) 
ББК 22.161.5 
Г16 

Рецензенты: С.А. Агафонов, В.А. Гречихин 

Галкин С.В. 
Г16 
Теория функций комплексного переменного и операционное 
исчисление: учеб. пособие для вузов / С.В. Галкин. — М. : 
Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011. — 240 с. : ил.  

 

Рассмотрены два раздела общего курса математики для технических университетов: «Теория функций комплексного переменного» и 
«Операционное исчисление», а также теория числовых рядов, теория 
поля, ряды Фурье и преобразование Фурье. 
Приведены основные понятия и теоремы, доказательства теорем, примеры.  
Для студентов 1–4-го курсов МГТУ им. Н.Э. Баумана всех факультетов. 

УДК 517.5(075.8) 
                                                                                         ББК 22.161.5 

 
 МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

В учебном пособии излагаются вопросы теории функций комплексного переменного и операционного исчисления. По этим дисциплинам написано довольно много хороших учебников и задачников. Это книги для студентов университетов (см., например, [1, 2]) и 
втузов (см., например, [3, 4]). Они написаны более 20 лет назад и 
стали библиографической редкостью. Сравнительно недавно коллективом профессоров и преподавателей МГТУ им. Н.Э. Баумана 
(научные редакторы, профессора В.С. Зарубин и А.П. Крищенко) 
написана серия учебников по математике для технических университетов, в ее выпусках X и XI [5, 6] подробно рассматриваются вопросы теории функций комплексного переменного и операционного 
исчисления.  
Сами по себе эти разделы очень интересны. Ведь по теореме 
Фробениуса только четыре алгебраические структуры (действительные числа, комплексные числа, кватернионы и октавы) являются единственными алгебрами над полем действительных чисел. 
В ассоциативных октавах — кентаврах [7] — прекрасно описывается окружающая нас реальность, а ее обобщение — в работе [8]. 
Поскольку умножение на кентавр — это движение, изменение состояния [8], кентавры можно считать «последней» структурой, 
обеспечивающей алгебраическую замкнутость, т. е. отсутствие 
влияния на внешнюю среду и, следовательно, отсутствие противодействия с ее стороны.  
Операционное исчисление, если его рассматривать с общих позиций, вовсе не имеет только того прикладного смысла, который придается ему со времен Хевисайда. Оно позволяет не только решать 
дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, но и 
превращать процессы (дифференцирование и интегрирование) в алгебраические операции.  
Чтобы осмыслить эти проблемы, студентам важно знать математические основы и связи этих основ. Основное в обучении и на

учной работе — умение выделять главное в его наибольшей простоте и подбирать наиболее простые, но достаточные для решения 
проблемы математические методы. Нужно уметь еще понять, насколько упрощена проблема в модели, и правильно оценить погрешность упрощения.  
Хотелось бы иметь учебник, кратко, но строго излагающий 
основные вопросы теории функций комплексного переменного и 
операционное исчисление, связи и идейные аналогии их с другими разделами математики, перспективы развития и возможные 
приложения. Попыткой создания такого учебника является настоящее учебное пособие, в котором наряду с основными вопросами функций комплексного переменного и операционного исчисления в приложениях рассматриваются тесно связанные с 
ними разделы — теория числовых рядов, теория поля, ряды Фурье и преобразование Фурье.  
Ряды в теории функций комплексного переменного основаны 
на числовых рядах функций действительных переменных, и часто 
исследование сходимости основано на тех же теоремах. А на рядах 
в теории функций комплексного переменного — теории аналитических функциях — основано все; сама аналитическая функция 
есть сумма степенного ряда. Теория вычетов и вычисление интегралов в комплексной области базируются на теореме Лорана, а 
она, в свою очередь, — на рядах. Поэтому в качестве первого приложения в учебное пособие включены числовые ряды.  
Теория поля, потенциальные и соленоидальные поля, характеристики скалярных и векторных полей, дивергенция, ротор, потенциал не только используются в теории функций комплексного 
переменного, но и служат основой дифференциального исчисления в функциях комплексного переменного и обобщениях — кватернионах и октавах. Например, произведение двух кватернионов 
содержит скалярное и векторное произведения, а применение к 
кватерниону оператора набла сводится к взятию градиента, ротора 
и дивергенции от составляющих кватернион скалярного и векторного полей. Кроме того, операции с комплексными потенциалами 
сводятся к операциям теории поля. Основные теоремы теории поля (теорема Остроградского — Гаусса и теорема Стокса) используются в доказательствах теорем и приложениях теории функций 
комплексного переменного. Поэтому в качестве второго приложения в учебное пособие включена теория поля. 

Операционное исчисление — второй основной раздел учебного 
пособия — связан и с рядами, и с интегральными преобразованиями. Задача о среднем квадратичном приближении функции приводит к рядам Фурье и далее к интегралу и преобразованию Фурье. 
Применяя преобразование Фурье к более широкому классу функций, возрастающих не быстрее, чем экспонента, приходим к операционному исчислению с его инженерными приложениями. Поэтому в качестве третьего приложения в учебное пособие 
включены основы рядов Фурье и преобразования Фурье. 
Цель учебного пособия состоит в том, чтобы наряду с усвоением рассматриваемых разделов студенты поняли связь различных 
разделов математики с этими основными разделами, единство математических методов и универсальность математики как языка 
естествознания и инструмента исследования. 
Весь материал в основной части и в приложениях учебного пособия изложен кратко и доходчиво. Поэтому оно может использоваться студентами при подготовке к экзаменам и в научной работе 
как справочное пособие. 

1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ  
АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 

1.1. Комплексные числа и операции над ними 

1.1.1. Три формы записи комплексных чисел 

Комплексное число — это совокупность двух действительных 
чисел, соединенных символом i: z = x + iy. Такая форма записи называется алгебраической формой комплексного числа. Здесь x = Re z — 
действительная часть комплексного числа, y = Im z — мнимая 
часть, i — мнимая единица (i2 = —1). Умножив мнимую единицу 
саму на себя, получим степени мнимой единицы: i0 = 1, i1 = i, i2 = —
1, i3 = —i, i4 = 1, i5 = i, i6 = —1, i7 = —i, i8 = 1… Значения степеней 
повторяются через 4, например: i23 = i20 i3 = —i, i61 = i60 i = i и т. д. 
Комплексное число можно изобразить точкой на комплексной 
плоскости — плоскости, в которой вводится декартова система 
координат. Действительную часть комплексного числа x откладывают на действительной оси (оси абсцисс), мнимую часть y — на 
мнимой оси (оси ординат).  
Введем в комплексной плоскости полярную систему координат 
и определим полярные координаты ,   через декартовы координаты x, y с помощью следующих соотношений:  

2
2

arctg
при
0;

arctg
при
0,
0;

;
arctg
при
0,
0;

,
0 при
0;
2
,
0 при
0.
2

y
x
x
y
x
y
x y
x
y
x
y
x
x
y

x
y





 




 

   







 





 

Декартовы координаты определяются через полярные координаты гораздо проще: 

cos ;
sin .
x
y

 


 
  

Используя координаты ,  , комплексное число можно запи
сать в тригонометрической форме: 


cos
sin
.
z
i
 
 
  
Комплексному числу, как точке на комплексной плоскости, 
можно поставить в соответствие ее радиус-вектор. Полярная коор
дината 
2
2
z
x
y
 


 — это модуль радиус-вектора 
,
z
 
 он 

называется модулем комплексного числа. Полярный угол 
(
,
]
 
  будем называть аргументом комплексного числа, 
(
arg )z
 
. 
Аргумент определяется так сложно, потому что arctg( )  имеет 

область значений 
,
,
2
2










 а для определения комплексного 

числа на всей комплексной плоскости необходимо обеспечить 
возможность изменения полярного угла в диапазоне 

,
.

  
П р и м е р. Записать комплексное число 
1
z
i
   в тригонометрической форме.  
Определив модуль и аргумент заданного комплексного числа 

2,
 
 
,
4

 
 запишем комплексное число в тригонометрической 

форме: 

2 cos
sin
.
4
4
z
i










 

П р и м е р. Записать комплексное число 
2
z    в тригонометрической форме.  
Имеем 


2,
,
2 cos
sin
z
i
 
  

 
 . 
В теории функций комплексного переменного часто используется формула Эйлера 
cos
sin .
ie
i
 
 
  Это одна из самых красивых и фундаментальных формул в математике. Достаточно ска

зать, что из нее следует равенство 
1
0,
ie   
 связывающее почти 
все основные математические константы: 0, 1, i, ,
.e

 
Используя формулу Эйлера, можно записать комплексное число в показательной форме: 
.
i
z
e 
 
 Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы — три формы записи комплексных чисел. 

1.1.2. Операции над комплексными числами 

Определим операции над комплексными числами. Сложение и 
вычитание комплексных чисел в алгебраической форме введем 
следующим образом: 





2
1
2
1
2
1
y
y
i
x
x
z
z





. 

Здесь оба числа записаны в алгебраической форме, например: 
(1
2 )
(1
2 )
2.
i
i




 Числа 
,
z
x
iy z
x
iy




 называются комплексно-сопряженными числами. Складывая их, получаем действительное число 2х, вычитая из числа z число ,z  получаем мнимое 
число 2 .
iy  
Сложение или вычитание комплексных чисел соответствует сложению или вычитанию их радиус-векторов и может быть проведено 
по «правилу параллелограмма» или «правилу треугольника».  
Умножение и деление комплексных чисел в алгебраической 
форме введем аналогично умножению многочленов следующими 
соотношениями:  








1 2
1
1
2
2
1 2
1 2
1 2
2 1
z z
x
iy
x
iy
x x
y y
i x y
x y







; 









1
1
2
2
1
1
1
1 2
1 2
1 2
1 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2

x
iy
x
iy
z
x
iy
x x
y y
y x
x y
i
z
x
iy
x
iy
x
iy
x
y
x
y















. 

Рассмотрим несколько примеров умножения и деления комплексных чисел в алгебраической форме: 

2
2
2
2
2
2
(
)(
)
zz
x
iy x
iy
x
i y
x
y
z








; 

(3
2 )( 1
)
( 3
2)
( 2
3)
5
;
i
i
i
i

 
  
  
  
 

1
(1
)(1
)
2
.
1
(1
)(1
)
2
i
i
i
i
i
i
i
i









 

Умножение или деление комплексных чисел оказывается более 
удобным выполнять в тригонометрической или показательной 
формах: 











1
2
1
2
1 2
1
2
1 2

1 2
1
2
1
2
cos
sin
;

i
i
i
z z
e
e
e

i

 


 

  


  
  

  
 









1
2
1
1
1
1
2
1
2
2
2
2
cos
sin
.
i
z
e
i
z

 




  

  


 

Из приведенных соотношений можно вывести правило: при 
умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются; при делении комплексных чисел их модули 
делятся, а аргументы вычитаются. 
Особенно удобно использовать тригонометрическую и показательную формы при возведении комплексного числа в степень: 



cos
sin
n
n in
n
z
e
n
i
n

 
 
 
 . Здесь правило умножения комплексных чисел применено n раз. В то же время из определения 

комплексного числа следует равенство 


cos
sin
.
n
n
n
z
i
 
 

 Из 
сопоставления этих выражений следует знаменитая формула Муавра:  



cos
sin
cos
sin
.
n
i
n
i
n
 


 
  

Ее удобно применять для выражения синусов и косинусов кратных 
углов через степени синусов и косинусов самого угла. Например, 
для тройного угла запишем 



3

3
2
2
3

cos3
sin3
cos
sin

cos
3 cos
sin
3cos sin
sin
.

i
i

i
i

 
 
 




 

 

 

 

Отделив действительные и мнимые части, получим формулы 
для косинуса и синуса тройного угла:  

3
2
2
3
cos3
cos
3cos sin
;
sin3
3cos
sin
sin
.
 
 


 

 
  

Приведем пример применения формулы Муавра:  

6
12
6
6
4
3
4
6
6
4

1
( 2)
cos3
sin3
1.
1
( 2)

i
i
i

i
i
e
e
e
i
i
e





 



 



 
  





 

Этот результат можно получить чисто алгебраически: 








6
6
6
6
1
1
1
2
1
1
1
1
2

i
i
i
i
i
i
i
i














 

















. 

Рассмотрим извлечение корня из комплексного числа. Определим операцию извлечения корня как операцию, обратную операции возведения в степень:  

.
n
n z
z
 
  
 

Пусть комплексные числа ,
  z  записаны в показательной форме: 

,
.
i
i
re
z
e


 
 
 

Возводя комплексное число   в n-ю степень, имеем 

;
n
n in
i
r e
e
z


 
 

 

2
,
,
0, 1, ...,
1.
n
k
r
k
n
n
  


 


 

Аргумент 
(
, ],
    поэтому 
(
,
]
n
n
n
 

 и к аргументу 
(
, ]
    надо добавлять 2
,
0, 1, ...,
1.
k
k
n



 Записав ком