Теория функций комплексного переменного. Вып. 10

Математика в техническом университете

                        Выпуск X

Серия удостоена Премии Правительства Российской Федерации в области науки и техники за 2003 год

Комплекс учебников из 21 выпуска


Под редакцией В.С. Зарубина и А.П. Крищенко

I. Введение в анализ
II. Дифференциальное исчисление функций одного переменного
III. Аналитическая геометрия
IV. Линейная алгебра
V. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
VI. Интегральное исчисление функций одного переменного
VII. Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля
VIII. Дифференциальные уравнения
IX. Ряды
X. Теория функций комплексного переменного
XI. Интегральные преобразования и операционное исчисление
XII. Дифференциальные уравнения математической физики
XIII. Приближенные методы математической физики XIV. Методы оптимизации
XV.  Вариационное исчисление и оптимальное управление
XVI. Теория вероятностей
XVII. Математическая статистика
XVIII. Случайные процессы
XIX. Дискретная математика
XX.  Исследование операций
XXI. Математическое моделирование в технике

В.Д. Морозова


ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Под редакцией
д-ра техн, наук, профессора В.С. Зарубина и д-ра физ.-мат. наук, профессора А.П. Крищенко

Издание третье, исправленное

Рекомендовано
Министерством образования Российской Федерации в качестве учебника для студентов высш,их технических учебных заведений





Москва Издательство МГТУ им. И. Э. Баумана 2009

УДК 517.3(075.8)
ББК 22.161.5
      М80

Рецензенты: проф. А.В. Манжиров, доц. Н.В. Копченова



      Морозова В.Д.
М80 Теория функций комплексного переменного: Учеб, для вузов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. - 3-е изд., исправл. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009. - 520 с. (Сер. Математика в техническом университете; Вып. X.)

          ISBN 978-5-7038-3189-2 (Вып. X)
          ISBN 978-5-7038-3022-2

          Книга является десятым выпуском комплекса учебников „Математика в техническом университете¹¹ и посвящена теории функций одного комплексного переменного. В ней уделено внимание вопросам, связанным с конформными отображениями, а также применению теории к решению прикладных задач. Приведены примеры и задачи из физики, механики и разных отраслей техники.
          Содержание учебника соответствует курсу лекций, который автор читает в МГТУ им. Н.Э. Баумана.
          Для студентов технических университетов. Может бытв полезен преподавателям, аспирантам и инженерам.

Ил. 174. Табл. 1. Библиогр. 26 назв.



                                                        УДК 517.3(075.8)
                                                        ББК 22.161.5


ISBN 978-5-7038-3189-2 (Вып. X)
ISBN 978-5-7038-3022-2

© Морозова В.Д., 2000; 2009, с изменениями
© Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана, 2000;
   2009, с изменениями
© Издателвство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000;
   2009, с изменениями

ПРЕДИСЛОВИЕ


   Эта книга посвящена теории функций комплексного переменного, являющейся ядром современной математики. Переход к рассмотрению функций комплексного переменного необходим в ряде вопросов и столь же естествен, как переход от действительных чисел к комплексным. Именно комплексные числа, согласно знаменитой теореме, сформулированной и доказанной немецким математиком Ф.Г. Фробениусом (1849-1917), дают единственно возможное расширение поля действительных чисел с сохранением алгебраических свойств. Для функций от комплексных чисел удается построить теорию, столь же полную и стройную, какой является теория, лежащая в основе математического анализа функций действительного переменного.
   Одной из отличительных и привлекательных черт теории функций комплексного переменного можно считать ее подлинную комплексность“ в том смысле, что она органически сочетает в себе аналитические и геометрические методы, уже ставшими классические подходы и вновь возникающие идеи. Наряду с достаточно конкретными и прикладными задачами в ней находят решение весьма общие и абстрактные проблемы. Понятия и конструкции теории функций комплексного переменного служат основными моделями, источниками и отправными пунктами как различных разделов математики, так и многих прикладных наук.
   Исходные идеи теории функций комплексного переменного возникли во второй половине XVIII в. и связаны они прежде всего с именем Л. Эйлера. Основной массив теории был создан в XIX в. главным образом трудами О. Коши, Б. Римана и К. Вейерштрасса. В наши дни классическая часть комплексного математического анализа — теория функций одного комплексного переменного — приобрела вполне завершенный

ПРЕДИСЛОВИЕ

вид. Однако и в этой области еще есть нерешенные проблемы, связанные как с новыми постановками математических задач, так и с прикладными вопросами.
   В учебной литературе существует немало удачных курсов теории функций одного комплексного переменного. Эта книга входит в серию выпусков „Математика в техническом университете“, что определило направленность в изложении материала и его адаптацию к особенностям математической подготовки студентов технических университетов.
   Автор выражает искреннюю благодарность всем, кто помогал в работе над книгой: научным редакторам профессору Зарубину В.С. и профессору Крищенко А.П., доцентам Е.А. Власовой и А.Н. Канатникову, прочитавшим рукопись книги и сделавшим поправки и ценные замечания. Глава 11 написана автором при непосредственном участии В.С. Зарубина.
   Используемые в этой книге сведения из линейной алгебры и математического анализа функций действительного переменного можно найти в предшествующих выпусках серии „Математика в техническом университете“. Ссылкой в тексте на конкретный выпуск этой серии служит его номер, записанный римскими цифрами и заключенный в квадратные скобки. Например, [1-4.3] означает ссылку на третий параграф четвертой главы в первом выпуске, где, кстати, изложены начальные сведения о поле комплексных чисел, тогда как (см. 1.2) отсылает читателя ко второму параграфу первой главы, а (см. Д.5.1) — к первому дополнению пятой главы этой книги. Ссылки в тексте на номера формул и рисунков набраны обычным шрифтом (например, (2.1) — первая формула в главе 2, (рис. 1.5) — пятый рисунок в главе 1).
   Большинство используемых в этой книге обозначений введено в первом выпуске серии. Они помещены в следующем за предисловием перечне основных обозначений, где наряду с их краткой расшифровкой указаны глава и параграф, в которых можно найти более подробное объяснение каждого обозначения. После этого перечня приведены написание и русское про

изношение входящих в формулы букв латинского и греческого алфавитов.
   В конце книги помещены список рекомендуемой литературы и предметный указатель, в который входят в алфавитном порядке (по существительному в именительном падеже) все выделенные в тексте полужирным курсивом термины с указанием страницы, где они строго определены или описаны. Выделение термина светлым курсивом означает, что в данном параграфе он отнесен к ключевым словам и читателю для понимания излагаемого материала должно быть известно значение этого термина. Читатель может уточнить это значение, найдя при помощи предметного указателя необходимую страницу. Если перед номером страницы стоит римская цифра, то определение или пояснение этого термина следует искать в соответствующем выпуске. Например, 1-215 означает страницу 215 первого выпуска, а IX — девятый выпуск (соответствующее место в этом выпуске можно найти по его предметному указателю). В этих случаях курсивом указан номер страницы этой книги, где можно найти некоторые сведения о значении данного термина.
   Перед чтением этой книги предлагаем в целях самоконтроля выполнить следующие несложные задания. При возникновении затруднений все необходимые сведения можно найти в предшествующих выпусках, номера которых указаны в конце каждого задания. Значения терминов, выделенных в тексте этих заданий прямым полужирным шрифтом, далее будем считать известными (в основном тексте книги эти термины не выделены и не входят в предметный указатель).

Задания для самопроверки

   1.   Из каких чисел состоят множества N, Z, Q, Ж, R\Q и С? Что такое абсолютная величина (модуль) числа? [I]
   2.   Каков ход доказательства по методу математической индукции? [I]

ПРЕДИСЛОВИЕ

   3.   Запишите обозначения промежутков числовой прямой: интервала, отрезка, полуинтервала, бесконечных интервала и полуинтервала. [I]
   4.   Изобразите на числовой прямой окрестности конечной (радиуса г) и бесконечной точек расширенной числовой прямой. В чем отличие этих окрестностей от проколотых окрестностей и полуокрестностей? [I]
   5.   Сформулируйте определение и дайте геометрическую интерпретацию предела последовательности действительных чисел {хга}. Являются ли сходящимися последовательности {2”}; {1/n²}; {cos(7rn/2)J? Есть ли среди них бесконечно большая последовательность? [I]
   6.   Укажите области определения (существования) и значений и постройте графики однозначных ветвей многозначной функции у² = 1/х². [I]
   7.   Сформулируйте определения предела, производной и дифференциала скалярной функции действительного переменного в точке. В каком случае такую функцию называют непрерывной и дифференцируемой в точке, в промежутке? Как вычислить производные сложной и обратной функций и функции, заданной параметрическим способом? [I], [II]
   8.   При каком изменении аргумента функции sins и 1/х являются бесконечно малыми, а функции х² и ctgs — бесконечно большими? Приведите примеры бесконечно малых при х Н* а функций: а) одного порядка; б) более высокого порядка малости; в) первого порядка малости; г) несравнимых; д) эквивалентных. [I]
   9.   Напишите выражения для производной и дифференциала логарифмической функции действительного переменного. Что такое полное приращение функции многих переменных в точке и ее частная и смешанная производные? Каков геометрический смысл частных производных и производной по направлению функции двух переменных? [I], [II], [V]

10.   В чем различие между первообразной функции и неопределенным интегралом от этой функции? Каковы условия применения формулы Ньютона — Лейбница? Чему равны производные определенного интеграла по переменным верхнему и нижнему пределам? [VI]
   11.   Каковы основные свойства и правила вычисления криволинейного интеграла? В каком случае его значение не зависит от пути интегрирования? [VII]
   12.   Перечислите свойства суммы и частичной суммы сходящегося числового ряда. Сформулируйте необходимое условие сходимости числового ряда и достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов: признаки сравнения, Даламбера и Коши (радикальный и интегральный). [IX]
   13.  Выясните, применйм ли к числовому ряду

2 ⁺ 2 4 ⁺ 3  6 ⁺  ⁺ п 2п ⁺
признак сходимости Лейбница. [IX]
   14.   Сформулируйте теорему Абеля для степенных рядов с действительными членами. Как может вести себя такой ряд в граничных точках интервала сходимости? [IX]
   15.   При каких условиях функцию /(ж) можно представить в виде суммы ряда Тейлора? Запишите ряды Тейлора для ех. coss, sins, ln(l + s), (1 + s)m и укажите их радиусы сходимости. Сформулируйте критерий Коши и признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда. [IX]

                ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ





◄ и ► — начало и окончание доказательства
  Ф — окончание примера, замечания, теоремы без доказательства
а Е А — элемент а принадлежит множеству А 1-1.1
АсВ — множество А включено в множество В 1-1.2
А = {а, Ь, с} — множество А состоит из элементов а, Ь, с 1-1.1

А = {ж: ...} — множество А состоит из элементов х, обладающих свойством, указанным после двоеточия 1.1

0      — пустое множество 1.1

А => В — из высказывания А следует В 1-1.5

А -<=> В — высказывания АиВ равносильны 1-1.5

N
Z

С

       —  множество натуральных чисел 1-1.3
       —  множество целых чисел 1-1.3
       —  множество рациональных чисел 1-1.3
       — множество действительных чисел 1-1.3
       — множество комплексных чисел 1.1, 1-4.3

[а, Ь] — отрезок с концами в точках а и b 1-1.3
(а, Ь) — интервал с концами в точках а и b 1-1.3
[а, Ь), (а, Ь] — полуинтервалы с концами в точках а и b 1-1.3

п
Е ак
к=1

       — бесконечно удаленная точка расширенной комплексной плоскости 1-1.3
— сумма п слагаемых ...,     ...,   1-2.6

 п
П flm — произведение п сомножителей ах, ..., ата, ..., ап
п=1       1-2.6