Стохастические системы в физике и технике

УДК 519.21 (075.8)
ББК 22.171
Б91
Рецензенты: кафедра бионики и статистической радиофизики
Нижегородского государственного университета им. Н. И. Лобачевского,
зав. кафедрой, д-р физ.-мат. наук, проф. А. А. Мальцев;
зав. отделом Института проблем информатики РАН,
д-р техн. наук, проф. И. Н. Синицын
Бункин Н. Ф.
Б91
Стохастические системы в физике и технике : учеб. пособие /
Н. Ф. Бункин, А. Н. Морозов –– М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана,
2011. –– 366, [2] с. : ил. (Физика в техническом университете / науч.
ред. Л. К. Мартинсон, А. Н. Морозов.)
ISBN 978-5-7038-3368-1
Рассмотрены подходы к изучению случайных величин и случайных
процессов, линейные системы, марковские процессы и случайные поля
электромагнитного и оптического излучений. Особое внимание уделено
методам стохастической радиофизики и оптики, применяемым в задачах
дистанционного зондирования объекта исследования, недоступного для
проведения контактных измерений в условиях помех и шумов, а также
априорной неопределенности параметров и динамических уравнений, характеризующих развитие процессов во времени и пространстве.
Содержание учебного пособия соответствует курсу лекций, который авторы читают в МГТУ им. Н. Э. Баумана.
Для студентов 5-го курса, обучающихся по направлению магистерской
подготовки «Техническая физика»; может быть полезно студентам и аспирантам.
УДК 519.21 (075.8)
ББК 22.171
ISBN 978-5-7038-3368-1
c
⃝Бункин Н. Ф., Морозов А. Н., 2011
c
⃝Оформление. Издательство МГТУ
им. Н. Э. Баумана, 2011

ПРЕДИСЛОВИЕ
Стохастические процессы возникают в различных физических
явлениях. Примерами служат диффузия, броуновское движение,
флуктуации в оптических и радиотехнических системах и многие
другие явления. Системы, в которых эти процессы наблюдаются,
называют стохастическими системами. Для них характерно наличие
единых методов описания и, как следствие, использование общего
математического аппарата.
Цель настоящего пособия –– ознакомить читателя с методами
и подходами к описанию стохастических систем, используемыми
при разработке высокотехнологичных систем и приборов для исследования различных физических процессов. К общим особенностям
таких процессов относятся их случайный характер и априорная
неопределенность измеряемых параметров.
Учебное пособие предназначено для студентов старших курсов,
обучающихся по направлению подготовки «Техническая физика»,
аспирантов, а также инженеров-исследователей и математиков-прикладников, работающих в области информационных технологий.
Оно написано на основе курса лекций, читаемого авторами студентам Московского государственного технического университета
имени Н. Э. Баумана.
Предполагается, что читатель достаточно хорошо ориентируется в методиках прямого и обратного преобразований Фурье и Лапласа, имеет представление о специальных функциях математической физики и владеет методами теории функции комплексного
переменного, кроме того, знаком с основами радиотехники и теории колебаний.
Авторы благодарны профессору Л. К. Мартинсону и доценту
О. С. Еркович за обсуждение рассматриваемых в пособии вопросов,
а также доценту А. В. Скрипкину за помощь в разработке методов
описания немарковских процессов.
5

Особую признательность и благодарность авторы выражают
кафедре бионики и статистической радиофизики Нижегородского
государственного университета имени Н. И. Лобачевского, возглавляемой профессором А. А. Мальцевым, где рукопись была прошла
всестороннее рецензирование. Большая работа по рецензированию
рукописи выполнена профессором И. Н. Синицыным. Авторы благодарны рецензентам за их критические замечания и пожелания,
которые способствовали улучшению учебного пособия.

ВВЕДЕНИЕ
Долгое время в исследованиях физических явлений преобладали детерминистические принципы, опирающиеся на аппарат дифференциальных уравнений с фиксированными начальными и граничными условиями. Однако, как оказалось, с их помощью нельзя
полностью описать реальные явления. Так, для многих процессов,
при изучении которых применяли традиционные методы математической физики, для более глубокого изучения потребовалось
использовать вероятностный подход, т. е. отказаться от точного
описания. В связи с этим наряду с классической механикой возникла статистическая механика, а наряду с квантовой механикой ––
квантовая статистика. В радиотехнике для изучения процессов преобразования сигналов также широко применяют вероятностные
методы, что обусловлено случайным характером шумов, сопутствующих работе всех устройств, а также статистической структуре
обработки (шифровки и дешифровки, модуляции и демодуляции
и др.) радиосигналов. Таким образом, случайный процесс стал
основной математической моделью сигналов –– переносчиков информации.
Естественно, что отказ от детерминистических принципов способствовал развитию соответствующего математического аппарата.
Например, использование теории вероятностей при изучении физических процессов послужило мощным толчком в развитии различных областей физики. Методы теории вероятностей применимы
только к таким испытаниям, которые могут быть повторены бесконечное число раз, поэтому статистическое определение вероятности
связано с частотой появления события. Следовательно, такие понятия, как частота и вероятность появления события, неразделимы.
Вероятность появления события, характеризуемая каким-либо числом, соответствует относительной частоте появления данного события при большом числе опытов.
7

Статистические методы применяют в том случае, когда, минуя
детальное изучение отдельного явления, можно непосредственно
обратиться к вероятностным закономерностям, наблюдаемым в эксперименте и отражающим случайный характер процесса. Эмпирическое исследование таких закономерностей связано с установлением некоторых исходных вероятностных соотношений, на основе
которых можно вывести более сложные с использованием математических правил вычисления. Найденные таким образом априорные закономерности сложных явлений могут быть подтверждены
или опровергнуты только статистической обработкой результатов
наблюдения, т. е. следует помнить, что необходима апостериорная
обработка данных.
Анализ вероятностных априорных моделей и статистические
апостериорные выводы при описании физических процессов составляют предмет настоящего учебного пособия. В книге приводится множество примеров из статистической физики: диффузия,
броуновское движение, тепловые шумы в радиофизических системах и т. д.
Методы статистической обработки сигналов различной физической природы базируются на теории стохастических систем, а также на анализе и синтезе систем передачи данных. При анализе
передачи сигналов по заданным характеристикам системы и процесса, действующего на входе, определяют характеристики процесса на выходе системы. Синтез системы по характеристикам
процесса на входе и характеристикам того же процесса на выходе связан с выбором системы, преобразующей процесс с заданной
характеристикой в процесс с желаемой характеристикой.
В статистической радиофизике к объектам исследования относятся
различные
сигналы
и
помехи,
представляющие
собой
реализации случайных процессов (и лишь в частных случаях ––
детерминированных). Ясно, что задачи анализа фактически заключаются в определении необходимых вероятностных характеристик
процессов на выходе линейных и нелинейных систем при условии,
что характеристики системы заданы и описаны процессы на входе.
Примером такого анализа может служить вычисление отношения
мощности сигнала к мощности шума на выходе системы, которое
иногда используется в качестве показателя помехозащищенности.
В первой главе учебного пособия приведены сведения из теории
вероятностей, рассмотрены схема Бернулли, биномиальное распределение и его асимптотики: нормальное распределение (теорема
8

Муавра –– Лапласа) и распределение Пуассона. Вводится понятие
функции распределения и плотности распределения случайной величины. Даны определения моментов случайных величин, характеристической функции и кумулянтов (семиинвариантов). Приведена
(без доказательства) теорема Марцинкевича.
Вторая глава посвящена многомерныем распределениям вероятностей. Вводятся понятия совместного распределения, многомерной характеристической функции, корреляционной матрицы и коэффициента корреляции. Рассмотрены статистически независимые
случайные величины (как частный случай), процедура перехода
от одних переменных к другим для плотности распределения вероятностей. Приводятся доказательства теоремы Винера –– Хинчина,
иллюстрирующей связь между корреляционными и спектральными
характеристиками случайных процессов, и теоремы Котельникова.
В третьей главе рассмотрены линейные системы, на входе которых действуют случайные процессы. Приведен анализ отклика
линейной системы на шумовое воздействие. Изучаются немаловажный случай узкополосного стационарного шума и шумовые колебания в линейном осцилляторе как нестационарный случайный
процесс.
В четвертой главе исследуются собственные шумы линейных
систем. Рассмотрены совместное действие сигнала и шума на линейную систему, задача выделения сигнала из шума и, кроме того,
частный случай узкополосного гауссова процесса и корреляционные свойства его комплексной амплитуды.
Пятая глава посвящена марковским процессам. Приведены выводы уравнений Смолуховского и Эйнштейна –– Фоккера –– Планка.
Вводится понятие случайной функции с независимыми приращениями. Рассмотрены импульсные случайные процессы и важный
пример фотоотсчетов в случайном поле электромагнитного излучения. Изучена статистика фотоотсчетов в поле теплового и лазерного
излучений.
Шестая глава посвящена стохастическим дифференциальным
уравнениям. В качестве иллюстрации метода стохастических дифференциальных уравнений приведено описание броуновского движения как марковского случайного процесса. Рассмотрена диффузия под действием пуассоновского случайного процесса.
В седьмой главе проанализированы немарковские процессы
в физике и технических системах. Сформулированы общие проблемы описания немарковских процессов. Приведено описание
9

немарковских процессов с помощью линейного интегрального преобразования. Рассмотрен пример применения уравнения Вольтерра
второго рода для описания немарковских процессов. Описано движение броуновской частицы в терминах немарковского случайного
процесса.
Восьмая глава посвящена описанию случайных полей. Рассмотрены такие понятия, как пространственная и временная когерентность. Для частотного углового спектра сформулирована и доказана теорема Винера –– Хинчина. Введено понятие структурной
функции.
Большое влияние на написание этого пособия оказали книги
С. А. Ахманова, Ю. Е. Дьякова, А. С. Чиркина «Введение в статистическую радиофизику и оптику» и В. С. Пугачева, И. Н. Синицына
«Стохастические дифференциальные системы», являющиеся фундаментальными трудами в области разработки методов описания
случайных процессов, анализа и синтеза стохастических систем.
При написании части материала данного пособия использовался
конспект лекций по курсу статистической радиофизики, прочитанному на физическом факультете МГУ им. М. В. Ломоносова профессором Ю. Е. Дьяковым, что существенно повлияло на изложение
материала глав 1–5 и 8. Главы 6 и 7 написаны А. Н. Морозовым,
причем содержание главы 7 является оригинальным и ранее в учебной литературе не публиковалось.

1. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
И ПРОЦЕССЫ
В главе приведены основные понятия теории стохастических
систем. По сути, она посвящена постановке задач статистической
радиофизики и статистической механики и знакомству читателя
с вычислительным аппаратом, который используется при решении этих задач. Сформулированы понятия функции распределения
и плотности распределения (вероятностей), моментов высшего порядка и центрального момента, характеристической функции случайной величины, кумулянты и др.
1.1. Схема Бернулли
Рассмотрим основы теории случайных процессов, являющихся частным случаем случайных функций. Теорией случайных процессов называется раздел математики, изучающий закономерности
случайных явлений в динамике их развития. Ключевыми понятиями этой теории являются корреляционные функции и спектральные распределения. Теория случайных процессов служит мощным
математическим аппаратом, широко и плодотворно используемым
в естественных науках и технике.
В главе представлен тот минимум знаний по теории случайных процессов, который необходим для полноценного понимания
природы стохастичности. Поэтому существенно задействован аппарат теории вероятностей. Это сделано для того, чтобы подчеркнуть
генетическую связь между имеющими частный характер задачами
стохастической физики и общими подходами к их решению, сформулированными в математической статистике. В качестве примера
рассмотрим классическую задачу Бернулли о последовательности
независимых испытаний, которые можно свести к математической
схеме.
11