Ряды. Вып. 9

МАТЕМАТИКА В ТЕХНИЧЕСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ


СЮ

РЯДЫ












Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана

Математика в техническом университете

Выпуск IX

Серия удостоена Премии Правительства Российской Федерации в области науки и техники за 2003 год

Комплекс учебников из 21 выпуска


Под редакцией В.С. Зарубина и А.П. Крищенко

I. Введение в анализ
II. Дифференциальное исчисление функций одного переменного
III. Аналитическая геометрия
IV. Линейная алгебра
V. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
VI. Интегральное исчисление функций одного переменного
VII. Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля
VIII. Дифференциальные уравнения
IX. Ряды
X. Теория функций комплексного переменного
XI. Интегральные преобразования и операционное исчисление
XII. Дифференциальные уравнения математической физики
XIII. Приближенные методы математической физики XIV. Методы оптимизации
XV.  Вариационное исчисление и оптимальное управление
XVI. Теория вероятностей
XVII. Математическая статистика
XVIII. Случайные процессы
XIX. Дискретная математика
XX.  Исследование операций
XXI. Математическое моделирование в технике

Е.А. Власова





РЯДЫ

Под редакцией д-ра техн, наук, профессора В.С. Зарубина и д-ра физ.-мат. наук, профессора А.П. Крищенко


Издание третье, исправленное

Рекомендовано
Министерством образования Российской Федерации в качестве учебника для студентов высших технических учебных заведений








Москва Издательство МГТУ им. И. Э. Баумана 2006

УДК 517.5.52(075.8)
ББК 22.16

     В58


Рецензенты: чл.-корр. РАН Е.И. Моисеев, проф. В.И. Богачев

     Власова Е.А.
В58 Ряды: Учеб, для вузов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Кри-щенко. - 3-е изд., исправл. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. - 616 с. (Сер. Математика в техническом университете; Вып. IX).


          ISBN 5-7038-2884-8 (Вып. IX)
          ISBN 5-7038-2484-2


          Книга является девятым выпуском комплекса учебников в Математика в техническом университете “ и знакомит читателя с основными понятиями теории числовых и функционалвных рядов. В книге представлены степенные ряды, ряды Тейлора, тригонометрические ряды Фурве и их приложения, а также интегралы Фурве. Изложена теория рядов в банаховых и гилвбертовых пространствах, и в объеме, необходимом для ее изучения, рассмотрены вопросы функционалъного анализа, теории меры и интеграла Лебега. Теоретический материал сопровождается подробно разобранными примерами, рисунками и болыпим количеством задач разного уровня сложности.
          Содержание учебника соответствует курсу лекций, который автор читает в МГТУ им. Н.Э. Баумана.
          Для студентов технических университетов. Учебник может бытъ полезен преподавателям и аспирантам.

Ил. 55. Библиогр. 44 назв.



                                                      УДК 517.5.52(075.8)
                                                      ББК 22.16


©

                                            Е.А. Власова, 2000;
                                            2006, с изменениями

©

                                           Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана, 2000;
                                           2006, с изменениями

ISBN 5-7038-2884-8 (Вып. IX)
ISBN 5-7038-2484-2

©

          Издателъство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000; 2006, с изменениями

ПРЕДИСЛОВИЕ


   Предлагаемая читателю книга является девятым выпуском комплекса учебников „Математика в техническом университете В учебнике систематически изложен курс теории рядов — важный раздел математического анализа, широко применяемый в различного рода исследованиях и вычислениях как в самой математике, так и во многих ее приложениях. Под общим термином „ряд" объединены определенные математические конструкции, применяемые к элементам совершенно различной природы: действительным и комплексным числам, действительным и комплексным функциям, элементам произвольных нормированных пространств.
   В главе 1 рассмотрены простейшие примеры рядов — числовые ряды. Функциональные ряды, в том числе степенные ряды, ряды Тейлора, тригонометрические ряды Фурье и их приложения, представлены в главах 2 и 3. В главе 4 изложена теория интеграла Фурье — важного обобщения тригонометрического ряда Фурье. Главы 5-7 знакомят читателя с теорией рядов в нормированных пространствах. В этих же главах в связи с потребностями теории в необходимом объеме развиты теория меры и интеграл Лебега.
   Содержание учебника логически разбито на две части. Первая часть (главы 1-4) относится к основному курсу высшей математики, традиционно излагаемому студентам технических вузов. Материал второй части учебника (главы 5-7) входит в программы повышенного уровня подготовки и предназначен для студентов технических университетов, обучающихся по специальности „Прикладная математика⁴⁴.
   Изучение курса теории рядов требует от читателя определенного уровня подготовки. Предполагается, что читатель владеет материалом первых восьми выпусков комплекса учебников „Математика в техническом университете⁴⁴. В тексте

ПРЕДИСЛОВИЕ

книги имеются ссылки на другие выпуски комплекса учебников. Такой ссылкой служит номер выпуска. Например, [1-7.5] означает ссылку на пятый параграф седьмой главы в первом выпуске. Ссылки без римских цифр относятся только к этому, девятому, выпуску. Так, (см. 1.2) отсылает читателя ко второму параграфу первой главы, а (см. Д.3.1) — к первому дополнению третьей главы этой книги. Ссылки в тексте на номера формул и рисунков набраны обычным шрифтом (например, (2.1) — первая формула в главе 2, рис. 1.5 — пятый рисунок в главе 1).
   Большинство используемых обозначений помещено в перечне основных обозначений. В нем наряду с их краткой расшифровкой указаны глава и параграф, в которых можно найти их более подробное объяснение. Кроме того, приведены таблицы с написанием и русским произношением букв латинского и греческого алфавитов.
   В конце книги помещены список рекомендуемой литературы и предметный указатель, в котором расположены в алфавитном порядке (по существительному в именительном падеже) все выделенные в тексте полужирным курсивом термины с указанием страницы, где они строго определены или описаны. Выделение термина светлым курсивом, означает, что в данном параграфе он отнесен к ключевым словам и читателю должно быть известно значение этого термина. Читатель может уточнить это значение, найдя при помощи предметного указателя необходимую страницу, на которой используемый термин определен или описан. Если термин введен в другом выпуске, то дана ссылка на этот выпуск (например, I означает ссылку на первый выпуск, 1-217 — на страницу 217 первого выпуска), а также указана курсивом страница предлагаемой книги, на которой имеются некоторые пояснения, относящиеся к этому термину.
   Глава 2 учебника написана совместно с Г.В. Гришиной. Большую помощь в подготовке издания учебника автору оказали научные редакторы В.С. Зарубин и А.П. Крищенко, а также

А.Н. Канатников и Ю.И. Малов. Всем им автор выражает глубокую благодарность.
   Перед чтением книги в целях самоконтроля предлагается выполнить приведенные ниже задания. В тексте заданий прямым полужирным шрифтом выделены термины, значение которых должно быть известно читателю, а в конце каждого задания указана ссылка на номер выпуска, в котором можно найти соответствующие разъяснения.


Задания для самопроверки


   1.    Найдите точные верхнюю и нижнюю грани множества (О, 1]. [I]
   2.    Для всякого п Е N вычислите точную верхнюю и точную нижнюю грани функции хп на отрезке [0, 1]. Докажите, что sup ж²/(1 — х) = +оо и inf х²/(1 — х) = — оо. [I]
    же[о,1)               же(1,2]
   3.    Докажите, что счетное объединение счетных множеств является счетным множеством. Какие множества име

ют мощность континуума? [I]
   4.  Докажите, что абсолютная величина (модуль) дей

ствительного или комплексного числа обладает следующим свойством: |ж + у| < |ж| + |у|. [I]

  5.   Приведите примеры различных промежутков число
вой прямой:

конечных и бесконечных интервала и полу

интервала, отрезка. Какие точки являются граничными, внутренними для промежутка (0, 1]? [I]
   6.  В чем отличие проколотой окрестности точки от окрестности точки? [I]
   7.  Найдите действительную, мнимую части и модуль комплексного числа z = (3 — г)/(4 + Зг). Изобразите на комплексной плоскости множество комплексных чисел, удовлетворяющих неравенству |г — 1 + г| < 1. Является ли это множество точек открытым (замкнутым)? Укажите его границу. [I]

ПРЕДИСЛОВИЕ

  8.   Какие функции называют периодическими? [I]
  9.   Докажите, пользуясь методом математической ин
дукции, что для любого натурального числа п справедливо равенство 1 + <■/ Ч-kg”⁻¹ = (1 — g”)/(l — g), </г 1- [I]
   10.   Выпишите первые пять членов числовой последовательности           с общим членом ап = (1 + 1/п)п. Докажите, что последовательность      является возрастающей и ограниченной. [I]
   11.   Сформулируйте и запишите в символическом виде определения конечного и бесконечного пределов числовой

последовательности. Какие последовательности называ

ют сходящимися, расходящимися? Перечислите свойства

сходящихся последовательностей. [I]
   12.  Для числовой последовательности        докажите
справедливость утверждения: lim ап = 0 ■<=> lim |ага|=0. [I] та—юо                                    та—юо
   13.    Сформулируйте признак Вейерштрасса сходимости ограниченной монотонной последовательности. [I]
   14.    Докажите утверждение: если числовая последовательность {.г;, сходится к числу Ь, то любая ее подпоследовательность также сходится к числу b. [I]
   15.  Запишите выражение для первого замечательного

предела. [I]
   16.  Используя второй замечательный предел, вычисли-„ г™ (%п-3\⁵п ГТ₁
те Inn -----  .  1
   та—юо\8п + 1/
   17.   Сформулируйте и запишите определения (по Коши) двустороннего и односторонних (левого и правого) пределов действительной функции действительного переменного в точке а Е Ж. [I]
   18. Сформулируйте теоремы об эквивалентных беско

нечно больших и бесконечно малых функциях (последовательностях). [I]
   19.   Докажите, что функция яД, (3 > 0, является бесконечно большой более высокого порядка роста по сравнению с функцией 1п“х, а > 0, при х -Ч +оо. [I]

20.   Докажите, что функция х@, Д > 0, является бесконечно большой более низкого порядка роста по сравнению с функцией ах. а > 1, при х Н* +оо. [I]
   21.   Каковы свойства непрерывных функций в точке, на отрезке? [I]
   22.  Является ли точка х = 0 точкой разрыва первого рода функции у = |х|/ж? [I]
   23.  Найдите производную n-го порядка функции у = = 1п(1 + ж). [II]
   24.  Что понимают под левой и правой производными функции в точке? [II]
   25.  Является ли функция у = х² непрерывно дифференцируемой на отрезке [0, 1]? [II]
   26.   Докажите, что производная нечетной дифференцируемой функции является четной функцией. [I], [II]
   27.  Запишите формулы Тейлора и Маклорена с остаточным членом в форме: а) Пеано; б) Лагранжа. [II]
   28.  Сформулируйте достаточные условия убывания (возрастания) дифференцируемой функции. [II]
   29.   Приведите необходимые и достаточные условия существования экстремума дифференцируемой функции. [II]
   30.   Является ли функция у = 1ns строго выпуклой вверх в области определения? Постройте ее график. [II]
   31. Найдите первообразную функции sin5s. [VI]
   32.    Сформулируйте свойства определенного интеграла. Запишите формулу Ньютона — Лейбница вычисления определенного интеграла. Является ли функция cos ж интегрируемой на отрезке [0, л]? [VI]
   33. Используя правило интегрирования по частям, тг/5
вычислите интеграл f (х² + 2х + 3) cosbxdx. [VI]