Методы моделирования денежных потоков для оптимизации порядка выполнения заказов

МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ 
ДЕНЕЖНЫХ ПОТОКОВ 
ДЛЯ ОПТИМИЗАЦИИ ПОРЯДКА 
ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАКАЗОВ

Г.Л. БРОДЕЦКИЙ
В.Д. ГЕРАМИ
И.Г. ШИДЛОВСКИЙ

Москва
ИНФРА-М
2023

МОНОГРАФИЯ

УДК 658.15(075.4)
ББК 65.291.21
 
Б88

Бродецкий Г.Л.
Б88 
 
Методы моделирования денежных потоков  для оптимизации порядка вы-
полнения заказов : монография /  Г.Л. Бродецкий, В.Д. Герами, И.Г. Шидлов-
ский. — Москва : ИНФРА-М, 2023. — 293 с. — (Научная мысль).

ISBN 978-5-16- 017707-6 (print)
ISBN 978-5-16- 110353-1 (online)
В монографии рассмотрены методы моделирования денежных потоков 
для выбора оптимального порядка выполнения сформированного компанией 
портфеля заказов, обеспечивающего наилучшую экономическую эффектив-
ность.
Оптимизация порядка выполнения заказов реализуется на основе двух подхо-
дов: 1) для снижения суммарных издержек на обслуживание заказов; 2) для уве-
личения суммарного дохода от реализации заказов к определенному моменту 
времени в будущем. Представленные стратегии выбора оптимального порядка за-
казов позвол ют менеджерам в сфере управления цепями поставок эффективно ис-
пользовать скрытый резерв снижения операционных издержек. В настоящем ис-
следовании уделяется особое внимание специфике процедур формализации, ана-
лиза и оптимизации моделей соответствующих бизнес-процессов с учетом ряда 
факторов, представляющих важность для практической деятельности компании.
В частности, рассматриваются алгоритмы моделирования денежных пото-
ков, при которых учитываются дополнительные издержки на обслуживание 
заказов и особенности принципов их начисления, риски изменения размера 
издержек, риски потери части доходов (например, из-за срыва заранее огово-
ренных сроков поставок), а также сроки осуществления платежей по контрак-
там и риски их переноса.
Представлен подход к применению специального метода оптимизации стра-
тегии обслуживания портфеля заказов с учетом указанных особенностей («ме-
тода перестановки аргументов», который используется в  теории сетей обслу-
живания ). Соответствующие оптимизационные модели формализуются и ана-
лизируются применительно к разным ситуациям, когда при моделировании 
денежных потоков от реализации портфеля заказов учет временной ценности 
денег для перечисленных выше издержек осуществляется как на основе прин-
ципа простых процентов, так и на основе непрерывного начисления процентов.

УДК 658.15(075.4)
ББК 65.291.21

Р е ц е н з е н т ы:
С.М. Резер — доктор технических наук, профессор, академик Российской 
академии транспорта, заслуженный деятель науки и техники Российской Фе-
дерации, почетный работник транспорта России, генеральный директор Ин-
ститута проблем транспорта и логистики;
О.А. Косоруков — доктор технических наук, профессор, профессор факуль-
тета «Высшая школа управления и инноваций» Московского государственного 
университета имени М.В. Ломоносова, действительный член Международной 
академии информатизации, действительный член Всемирной академии наук 
комплексной безопасности 

ISBN 978-5-16- 017707-6 (print)
ISBN 978-5-16- 110353-1 (online)
© Бродецкий Г.Л., Герами В.Д., 
Шидловский И.Г., 2022

Предисловие

Цель данной книги — найти скрытые резервы повышения эффек-
тивности работы компаний через решения по оптимизации порядка 
выполнения портфеля заказов на основе специальных моделей, 
разработанных в рамках «теории сетей обслуживания». При этом 
в монографии будут представлены разработки, выполненные авто-
рами в Высшей школе бизнеса Национального исследовательского 
университета «Высшая школа экономики» (НИУ ВШЭ).
Эффективная организация бизнеса предполагает, в частности, 
сокращение финансовых затрат, связанных с реализацией бизнес-
процессов. Анализ эффективности конкретного бизнес-процесса 
зачастую сопряжен с необходимостью правильного выбора или 
упорядочения моментов совершения тех или иных действий и операций. 
В частности, порядка выполнения портфеля заказов, сформированного 
компанией.
Предмет представленного в настоящей монографии исследования — 
минимизация суммы издержек, связанных с выполнением 
заказов с учетом специфики как соответствующих моделей оптимизации (
с учетом важных для практики целевых функций), так и специфики 
процедур обслуживания заказов (обусловливаемой, в том 
числе, и структурой денежного потока от реализации таких заказов).
Рассматриваются модели в формате заданного набора условий 
процесса обслуживания заказов (например, выполнения требуемого 
количества грузоперевозок), в которых разным стратегиям 
выбора порядка выполнения заказов будут соответствовать разные 
суммы финансовых издержек, затрат или потерь.
При этом в данном исследовании выделено два типа моделей 
с различными критериями оптимизации: 1) минимизация общей 
суммы ожидаемых издержек на обслуживание портфеля заказов; 
либо 2) максимизация дохода / прибыли от выполнения портфеля 
заказов, накапливаемого на (условном) депозите к определенному 
моменту времени в будущем.
В подобных моделях с каждым из заказов (в составе рассматриваемого 
портфеля) могут быть связаны «свои» конкретные издержки. 
В теории сетей обслуживания их часто формализуют 
на основе концепции так называемых «штрафов» [24]. В формате 
соответствующих исследований такие издержки, в частности, надо 
учитывать за каждую единицу времени обработки заказа (начиная 
с некоторого момента времени, который даже может быть случайным). 
Кроме того, могут иметь место и дополнительные затраты 
на хранение товаров, материалов, заготовок и т.п.

Такие финансовые издержки по заказам из моделируемого 
портфеля, в свою очередь надо будет учитывать на основе контрактных 
денежных сумм. При этом учтено, что указанные в модели 
суммы могут выплачиваться в разные моменты времени: например, 
в момент завершения обслуживания заказа (пост-оплата) или в моменты 
времени начала такого обслуживания (предоплата). Таким 
образом, изменения порядка обслуживания заказов повлекут и изменение 
структуры моделируемого денежного потока и экономического 
результата (который, как отмечалось выше, можно задавать в виде накапливаемой 
к определенному моменту времени суммы на депозите).
В монографии будут представлены эффективные подходы 
к определению оптимальных стратегий выбора порядка выполнения 
портфеля заказов (в рамках моделей, основанных на теории 
сетей обслуживания), позволяющих минимизировать затраты 
на обслуживание таких заказов.
Книга содержит два раздела, включающие семь глав. В первом 
разделе (главы 1—4) рассмотрены модели, в которых принимается 
линейная зависимость суммарных издержек на обслуживание заказов 
от длительности ожидания момента начала обслуживания 
заказа. 
В главе 1 (параграф 1.1) для «традиционной» модели указанного 
типа [24] учет анализируемых издержек реализуется на основе 
так называемых «функций штрафов» и дано обоснование 
структуры соответствующей оптимальной стратегии. Это сделано, 
чтобы появилась возможность представить особый метод анализа, 
называемый методом «перестановки аргументов». На основе дан-
ного метода доказано, что с учетом указанной специфики модели 
(далее называемой «базовой») оптимальную стратегию выбора по-
рядка выполнения заказов надо определять, используя известное 
для теории сетей обслуживания правило, которое называют опти-
мальным сµ-правилом [24].
В формате такого правила, используются параметры сi, которые 
представляют интенсивность штрафов (в единицу времени) по име-
ющимся i–заказам (т.е. заказов с порядковым номером i в очереди 
на обслуживание) в составе моделируемого портфеля. Кроме того, 
используются специальные параметры µi, представляющие частоту 
обслуживания таких i–заказов. При этом упорядочение заказов 
реализуется по убыванию специального числового индекса Ii, ко-
торый для каждого i–заказа определяется равенством Ii = сi ∙ µi (что 
обусловило вышеупомянутое название правила).
В параграфе 1.2 дополнительно представлено обобщение «ба-
зовой» модели, учитывающее воздействие двух типов таких фак-

торов дополнительных издержек (отметим, что в реализуемом под-
ходе их может быть произвольное число).
При этом на практике могут иметь место задержки требуемого 
срока завершения заказов. Кроме того, заказы могут также разли-
чаться и величиной других дополнительных издержек, которые 
могут иметь место при получении того или иного заказа (в ходе 
формирования портфеля). Поэтому для каждого заказа соответ-
ствующая модель может потребовать свои специальные состав-
ляющие сумм «штрафов».
Применительно к новым модифицированным моделям (учиты-
вающим указанные дополнительные издержки) доказан следующий 
результат: оптимальную стратегию выбора порядка выполнения 
заказов надо определять таким же образом, как и в формате «ба-
зовой» модели, т.е. используя принцип оптимального сµ-правила.
В параграфе 1.3 результаты настоящего исследования, в свою 
очередь, обобщаются в рамках еще более важного для практики 
формата модели, требующего учета ситуации, когда существует 
риск случайного изменения величины моделируемых «штрафов». 
Доказано, что несмотря на такую специфику модели, в реальных 
ситуациях предпочтительную стратегию выполнения заказов также 
надо будет определять на основе оптимального сµ-правила. Соот-
ветственно роль параметров сi при определении отмеченных выше 
индексов Ii, как раз, будут выполнять средние ожидаемые показа-
тели для таких случайных сумм штрафов.
При этом, если анализируется модифицированная модель, учи-
тывающая специальные дополнительные затраты / потери (ко-
торые были перечислены выше), то, как показано в параграфе 1.4, 
оптимальную стратегию выбора порядка заказов в такой ситуации 
уже надо будет определять, используя специальную модификацию 
«традиционного» оптимального сµ-правила.
Обратим также внимание на то, что в параграфе 1.5 рассмотрена 
специальная модификация указанной «традиционной» модели 
по выбору порядка выполнения портфеля заказов, которая учиты-
вает специальный формат начисления издержек (в виде штрафов) 
по заказам, и в которой начисление соответствующих издержек 
реализуется с определенной задержкой во времени, одинаковой 
для всех заказов в рамках моделируемого портфеля (а не с момента 
начала обслуживания, как это принимается для «традиционной мо-
дели» в теории сетей обслуживания).
Далее в главе 2 (см. параграф 2.1) проведен анализ оптимальной 
стратегии для другого специального формата модели, когда анали-
зируемый экономический результат представляется через контрак-

тные денежные суммы (в виде доходов Pi по i-заказам портфеля, 
получаемых в моменты окончания выполнения соответствующих 
i-заказов). При этом целевая функция модели — максимизация 
суммарного дохода, накапливаемого на депозите к некоторому за-
данному моменту времени в будущем (к которому все заказы в со-
ставе портфеля уже будут выполнены с вероятностью 100%).
Разумеется, при анализе моделей такого типа учитывается кон-
цепция временной ценности денег (ВЦД). Поскольку при этом надо 
учитывать специфику моделей, рассматриваемых в первом разделе 
(предполагающих линейную зависимость издержек на обслужи-
вание заказов от длительности ожидания заказом начала своего об-
служивания), то учет временной ценности денег реализуется на ос-
нове метода простых процентов.
Доказано, что новый модифицированный принцип оптимизации 
порядка выполнения заказов будет полностью эквивалентен тра-
диционной базовой модели, представляемой на основе «функций 
штрафо»в. При этом роль «штрафов» выполняют заданные в мо-
дели контрактные цены Pi по соответствующему i-заказу. Полу-
ченный теоретический результат, модифицирующий и обобща-
ющий «традиционное» оптимальное сµ-правило для указанной 
модели (где экономический результат определяется на основе кон-
трактных доходов) называется оптимальным Pµ-правилом.
Далее в параграфе 2.2 представлено обобщение рассматри-
ваемой выше модели учета контрактных цен при оптимизации 
порядка выполнения заказов, которое учитывает также и специ-
альные дополнительные издержки по заказам портфеля, которые 
не отражались в исходной «базовой» модели на основе оптималь-
ного Pµ-правила.
Часть таких затрат надо будет соотносить при постановке за-
дачи оптимизации с моментом времени формирования портфеля 
заказов. Это может быть обусловлено, например, особыми затра-
тами на поставку / перевозку конкретных товаров или материалов 
по таким заказам и т.д.
Кроме того, как уже отмечалось, заказы в составе моделиру-
емого портфеля могут также различаться и величиной издержек, 
возникающих в момент окончания выполнения заказов. Например, 
при наличии процедур обслуживания, связанных с перевозкой со-
ответствующих грузов, переоценке контрактных сумм по выпол-
ненным заказам из-за претензий к качеству и т.п.
В исследовании было доказано, что соответствующую оп-
тимальную стратегию по выбору порядка выполнения заказов 
для такой модифицированной модели надо определять таким 

же образом, как и в формате «базовой» модели, используя опти-
мальное Pµ-правило.
При этом в ситуациях, когда анализируются только специ-
альные дополнительные затраты, возникающие в момент форми-
рования портфеля заказов (случайные потери такого типа для i-за-
казов обозначены 
(1)
i
α
), параметры оптимального Pµ-правила будут 
соответствовать своим исходно формализованным показателям.
Тем не менее, в ситуациях, когда потребуется анализировать 
потери или затраты, соотносимые с моментом завершения выпол-
нения заказов (случайные потери такого типа для i-заказов обо-
значаются 
(2)
i
α
), параметры оптимального Pµ-правила придется 
модифицировать. В таких ситуациях вместо использования показа-
телей Pi (вводимых для традиционного формата задачи) надо будет 
принимать решения на основе математических ожиданий для по-
казателей, которые будут определяться соответственно разностью 
(Pi – 
(2)
i
α
).
В параграфах 2.3—2.4 для моделей оптимизации, в которых 
целевая функция задается на основе указанных контрактных 
сумм, будут получены специальные обобщения с учетом рисков 
отклонения доходов от реализованных заказов портфеля, а также 
с учетом возможных дополнительных финансовых потерь или за-
трат.
Специальные исследования, которые представлены далее в главе 2 
(параграфы 2.5—2.6) также относятся к важным для практики ситу-
ациям. В частности, в параграфе 2.5 рассматриваются процедуры 
упорядочения потоков платежей, производимых заказчиками в мо-
менты выполнения заказов, причем с учетом инфляции. Показано, 
что для модели, в которой концепция инфляции реализована на ос-
нове схемы простых процентов, оптимальный порядок выполнения 
портфеля заказов надо определять на основе простого оптималь-
ного Рµ-правила.
Как уже было отмечено, в представленном исследовании рас-
смотрены, в частности, следующие два типа задачи оптимизации 
порядка выполнения портфеля заказов, при которых целевая 
функция задается на основе контрактных сумм. Первый тип, как 
раз, соответствует стремлению максимально быстро использовать 
получаемую прибыль для минимизации последствий инфляции 
(например, когда получаемая прибыль направляется на приобре-
тение необходимых материалов). Другой тип отражает стремление 
нарастить как можно большую сумму на депозитном счете к нуж-
ному моменту времени в будущем.

Доказано, что в обоих таких «крайних» случаях оптимальная 
стратегия выбора порядка обслуживания заказов будет одина-
ковой. Более того, показано, что структура данной стратегии со-
впадает с традиционным простым оптимальным Рµ-правилом (как 
уже отмечалось, по аналогии с оптимальным сµ-правилом в теории 
сетей массового обслуживания). Соответственно, и в любых других 
«промежуточных» случаях (когда часть получаемой прибыли пла-
нируется направить на приобретение материалов, а оставшуюся 
часть — для накопления) вышеописанная стратегия также будет 
оптимальной.
Указанная модель по определению порядка выбора заказов 
в условиях инфляции, также модифицируется и для случая, когда 
требуется дополнительно учитывать специальные издержки / 
потери, соотносимые с моментами завершения выполнения i-за-
казов (для их случайных значений снова используется обозна-
чение 
(2)
i
α
). В таком случае параметры указанного оптимального 
Pµ-правила придется модифицировать. Соответствующий опти-
мальный порядок обслуживания заказов получается, если в фор-
мате Pµ-правила дополнительно заменить все исходно заданные по-
казатели Pi на математические ожидания специальных показателей 
указанного ранее вида (Pi – 
(2)
i
α
).
В параграфе 2.6 представлена важная для практики модифи-
кация рассмотренной ранее модели упорядочения потоков пла-
тежей, предполагающая произведение заказчиками выплат в мо-
менты выполнения заказов и обеспечивающая возможность учета 
срочности отдельного заказа (или группы заказов).
В главе 3 рассмотрены оптимизационные модели, учитывающие 
особенности и специфику различных регламентов учета «штрафов» 
(включая структуру промежутков времени, в ходе которых реали-
зуется учет издержек). В частности, в параграфе 3.1 обоснована 
структура оптимальной стратегии для различных моделируемых 
регламентов учета штрафов на промежутках времени реализации 
заказов, которая более адекватна различным практическим ситуа-
циям при управлении цепями поставок.
Доказано, что, несмотря на ряд особенностей различных вре-
менных интервалов для учета «штрафов», начисляемых на проме-
жутках времени обслуживания заказов (например, их учет только 
в начале временного интервала; при случайных длительностях 
таких начальных фрагментов временного интервала; по специ-
альным схемам, «облегчающим» или «утяжеляющим» величины 
«штрафов» и т.д.), сохранится структура оптимальной стратегии 
на базе отмеченного выше оптимального сµ-правила.

Кроме того, профильному менеджеру должно быть понятно, 
что применительно к указанным моделям обслуживания портфеля 
заказов величины «штрафов», возникающих во время ожидания 
обслуживания заказа, и «штрафов», возникающих во время реали-
зации заказов, могут различаться. Поэтому в параграфе 3.2 пред-
ставлены обобщения и модификации для оптимальных стратегий 
выбора порядка обслуживания заданного портфеля заказов, сво-
дящих к минимуму суммарные издержки с учетом вышеуказанных 
принципов их начисления.
В настоящем исследовании первые обоснована структура оп-
тимальной стратегии при различных регламентах учета дополни-
тельных «штрафов» в ходе реализации заказов. Более того, дока-
зано, что несмотря на произвольный характер таких регламентов, 
для оптимальной стратегии, тем не менее, будет иметь место отме-
ченное выше оптимальное сµ-правило. Таким образом найденные 
стратегии позволят менеджерам учитывать специфику регламентов 
начисления дополнительных «штрафов» (издержек и/или потерь) 
на промежутках реализации заданий в звеньях цепей поставок.
В главе 4 изложены обобщения моделей с представлением эко-
номического результата на основе контрактных сумм. Проведен 
анализ для случая, когда требуется учесть специфику задержек вы-
плат контрактных сумм, формализуемых в виде отсрочек денежных 
поступлений. При этом впервые обоснована структура оптимальной 
стратегии при стохастическом характере моментов выплаты кон-
трактных сумм (с учетом рисков различных случайных или заранее 
принимаемых задержек в их выплате). Доказано, что несмотря 
на случайные значения моментов получения доходов, связанных 
с реализацией заказов портфеля в таких моделях, для алгоритма 
нахождения оптимальной стратегии будет иметь место аналог оп-
тимального Рµ-правила, как и для модели, когда указанные риски 
задержек выплат не учитываются.
Проведен также анализ и для случая, когда требуется учесть 
специфику сроков выплаты контрактных сумм, представляемых 
в виде «рент». При этом авторами впервые обоснована структура 
оптимальной стратегии для таких моделей, и результаты проделан-
ного в настоящем исследовании анализа позволят учитывать риски 
возможных случайных изменений величин упущенного дохода. 
Доказано, что несмотря на стохастический характер указанных 
атрибутов, связанных с такой модификацией модели, для алго-
ритма нахождения оптимальной стратегии выбора порядка заказов 
в рамках портфеля, тем не менее, сохранится аналог оптимального 
Рµ-правила, как и для соответствующей исходной модели.

Проведен отдельный анализ и для случая, когда требуется 
учесть риски задержек сроков выплаты контрактных сумм. Для мо-
делей указанного типа авторами также впервые обоснована структура 
оптимальной стратегии, позволяющая также учитывать риски 
упущенного дохода и риски срыва заданных сроков платежей. Аналогичным 
образом доказано, что, несмотря на стохастический характер 
указанных атрибутов модели, применительно к реальным 
практическим ситуациям для оптимального алгоритма снова будет 
применимо оптимальное Рµ-правило.
Во втором разделе книги (главы 5—7) рассмотрены модели, 
аналогичные тем, что были проанализированы в первом разделе, 
но в формате которых принимается, что имеет место нелинейная 
зависимость накапливаемых издержек на обработку заказа от длительности 
времени ожидания заказом начала своего обслуживания.
Это означает, что в указанных специальных моделях соответствующие 
тарифы издержек / «штрафов» надо будет рассматривать 
как функции времени. В частности, они будут зависеть от длительности 
ожидания заказом начала обслуживания. При этом модель 
учета издержек потребует использования других схем, принимающих 
во внимание концепцию временной ценности денег на основе 
принципа непрерывного начисления процентов или его специальных 
аналогов.
Кстати, учет ВЦД в указанном формате потребовал разработки 
в данном разделе книги специальных дополнительных понятий 
и показателей, которые потребуются, чтобы находить соответствующие 
вспомогательные усредненные показатели, когда 
для моделируемых денежных потоков учитываются непрерывные 
проценты (или их аналог, рассматриваемый при оптимизации). Поэтому 
во втором разделе книги также предложены новые подходы, 
позволяющие реализовать оценку следующих усредненных показателей.

А) Вспомогательные показатели вида сi (mod) = М(
iS

ic eδ
⋅
) или сi 
(mod) = М(
iS

ic e−δ
⋅
), характеризующие заданные значения средних 
величин «штрафов» (усредненных применительно к времени обслуживания 
каждого заказа — чтобы отразить специфику увеличения, 
либо снижения размера таких «штрафов» во времени) при учете 
для моделируемых денежных потоков концепции ВЦД на основе 
непрерывных процентов (или их аналога).
Б) Вспомогательные показатели вида µi (mod) = /
(
1)
iS
M eδ
δ
−
 
или вида µi (mod) = 
/
(1
)
iS
M
e−δ
δ
−
, характеризующие переоцененные 
с учетом ВЦД (на основе непрерывных процентов) усредненные 
показатели интенсивности обслуживания заказов (также