Методы моделирования денежных потоков для оптимизации порядка выполнения заказов

МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ 
ДЕНЕЖНЫХ ПОТОКОВ 
ДЛЯ ОПТИМИЗАЦИИ ПОРЯДКА 
ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАКАЗОВ

Г.Л. БРОДЕЦКИЙ
В.Д. ГЕРАМИ
И.Г. ШИДЛОВСКИЙ

Москва
ИНФРА-М
2023

МОНОГРАФИЯ

УДК 658.15(075.4)
ББК 65.291.21
 
Б88

Бродецкий Г.Л.
Б88 
 
Методы моделирования денежных потоков  для оптимизации порядка выполнения заказов : монография /  Г.Л. Бродецкий, В.Д. Герами, И.Г. Шидловский. — Москва : ИНФРА-М, 2023. — 293 с. — (Научная мысль).

ISBN 978-5-16- 017707-6 (print)
ISBN 978-5-16- 110353-1 (online)
В монографии рассмотрены методы моделирования денежных потоков 
для выбора оптимального порядка выполнения сформированного компанией 
портфеля заказов, обеспечивающего наилучшую экономическую эффективность.
Оптимизация порядка выполнения заказов реализуется на основе двух подходов: 1) для снижения суммарных издержек на обслуживание заказов; 2) для увеличения суммарного дохода от реализации заказов к определенному моменту 
времени в будущем. Представленные стратегии выбора оптимального порядка заказов позвол ют менеджерам в сфере управления цепями поставок эффективно использовать скрытый резерв снижения операционных издержек. В настоящем исследовании уделяется особое внимание специфике процедур формализации, анализа и оптимизации моделей соответствующих бизнес-процессов с учетом ряда 
факторов, представляющих важность для практической деятельности компании.
В частности, рассматриваются алгоритмы моделирования денежных потоков, при которых учитываются дополнительные издержки на обслуживание 
заказов и особенности принципов их начисления, риски изменения размера 
издержек, риски потери части доходов (например, из-за срыва заранее оговоренных сроков поставок), а также сроки осуществления платежей по контрактам и риски их переноса.
Представлен подход к применению специального метода оптимизации стратегии обслуживания портфеля заказов с учетом указанных особенностей («метода перестановки аргументов», который используется в  теории сетей обслуживания ). Соответствующие оптимизационные модели формализуются и анализируются применительно к разным ситуациям, когда при моделировании 
денежных потоков от реализации портфеля заказов учет временной ценности 
денег для перечисленных выше издержек осуществляется как на основе принципа простых процентов, так и на основе непрерывного начисления процентов.

УДК 658.15(075.4)
ББК 65.291.21

Р е ц е н з е н т ы:
С.М. Резер — доктор технических наук, профессор, академик Российской 
академии транспорта, заслуженный деятель науки и техники Российской Федерации, почетный работник транспорта России, генеральный директор Института проблем транспорта и логистики;
О.А. Косоруков — доктор технических наук, профессор, профессор факультета «Высшая школа управления и инноваций» Московского государственного 
университета имени М.В. Ломоносова, действительный член Международной 
академии информатизации, действительный член Всемирной академии наук 
комплексной безопасности 

ISBN 978-5-16- 017707-6 (print)
ISBN 978-5-16- 110353-1 (online)
© Бродецкий Г.Л., Герами В.Д., 
Шидловский И.Г., 2022

Предисловие

Цель данной книги — найти скрытые резервы повышения эффективности работы компаний через решения по оптимизации порядка 
выполнения портфеля заказов на основе специальных моделей, 
разработанных в рамках «теории сетей обслуживания». При этом 
в монографии будут представлены разработки, выполненные авторами в Высшей школе бизнеса Национального исследовательского 
университета «Высшая школа экономики» (НИУ ВШЭ).
Эффективная организация бизнеса предполагает, в частности, 
сокращение финансовых затрат, связанных с реализацией бизнеспроцессов. Анализ эффективности конкретного бизнес-процесса 
зачастую сопряжен с необходимостью правильного выбора или 
упорядочения моментов совершения тех или иных действий и операций. В частности, порядка выполнения портфеля заказов, сформированного компанией.
Предмет представленного в настоящей монографии исследования — минимизация суммы издержек, связанных с выполнением 
заказов с учетом специфики как соответствующих моделей оптимизации (с учетом важных для практики целевых функций), так и специфики процедур обслуживания заказов (обусловливаемой, в том 
числе, и структурой денежного потока от реализации таких заказов).
Рассматриваются модели в формате заданного набора условий 
процесса обслуживания заказов (например, выполнения требуемого количества грузоперевозок), в которых разным стратегиям 
выбора порядка выполнения заказов будут соответствовать разные 
суммы финансовых издержек, затрат или потерь.
При этом в данном исследовании выделено два типа моделей 
с различными критериями оптимизации: 1) минимизация общей 
суммы ожидаемых издержек на обслуживание портфеля заказов; 
либо 2) максимизация дохода / прибыли от выполнения портфеля 
заказов, накапливаемого на (условном) депозите к определенному 
моменту времени в будущем.
В подобных моделях с каждым из заказов (в составе рассматриваемого портфеля) могут быть связаны «свои» конкретные издержки. В теории сетей обслуживания их часто формализуют 
на основе концепции так называемых «штрафов» [24]. В формате 
соответствующих исследований такие издержки, в частности, надо 
учитывать за каждую единицу времени обработки заказа (начиная 
с некоторого момента времени, который даже может быть случайным). Кроме того, могут иметь место и дополнительные затраты 
на хранение товаров, материалов, заготовок и т.п.

Такие финансовые издержки по заказам из моделируемого 
портфеля, в свою очередь надо будет учитывать на основе контрактных денежных сумм. При этом учтено, что указанные в модели 
суммы могут выплачиваться в разные моменты времени: например, 
в момент завершения обслуживания заказа (пост-оплата) или в моменты времени начала такого обслуживания (предоплата). Таким 
образом, изменения порядка обслуживания заказов повлекут и изменение структуры моделируемого денежного потока и экономического 
результата (который, как отмечалось выше, можно задавать в виде накапливаемой к определенному моменту времени суммы на депозите).
В монографии будут представлены эффективные подходы 
к определению оптимальных стратегий выбора порядка выполнения портфеля заказов (в рамках моделей, основанных на теории 
сетей обслуживания), позволяющих минимизировать затраты 
на обслуживание таких заказов.
Книга содержит два раздела, включающие семь глав. В первом 
разделе (главы 1—4) рассмотрены модели, в которых принимается 
линейная зависимость суммарных издержек на обслуживание заказов от длительности ожидания момента начала обслуживания 
заказа. 
В главе 1 (параграф 1.1) для «традиционной» модели указанного типа [24] учет анализируемых издержек реализуется на основе так называемых «функций штрафов» и дано обоснование 
структуры соответствующей оптимальной стратегии. Это сделано, 
чтобы появилась возможность представить особый метод анализа, 
называемый методом «перестановки аргументов». На основе данного метода доказано, что с учетом указанной специфики модели 
(далее называемой «базовой») оптимальную стратегию выбора порядка выполнения заказов надо определять, используя известное 
для теории сетей обслуживания правило, которое называют оптимальным сµ-правилом [24].
В формате такого правила, используются параметры сi, которые 
представляют интенсивность штрафов (в единицу времени) по имеющимся i–заказам (т.е. заказов с порядковым номером i в очереди 
на обслуживание) в составе моделируемого портфеля. Кроме того, 
используются специальные параметры µi, представляющие частоту 
обслуживания таких i–заказов. При этом упорядочение заказов 
реализуется по убыванию специального числового индекса Ii, который для каждого i–заказа определяется равенством Ii = сi ∙ µi (что 
обусловило вышеупомянутое название правила).
В параграфе 1.2 дополнительно представлено обобщение «базовой» модели, учитывающее воздействие двух типов таких фак

торов дополнительных издержек (отметим, что в реализуемом подходе их может быть произвольное число).
При этом на практике могут иметь место задержки требуемого 
срока завершения заказов. Кроме того, заказы могут также различаться и величиной других дополнительных издержек, которые 
могут иметь место при получении того или иного заказа (в ходе 
формирования портфеля). Поэтому для каждого заказа соответствующая модель может потребовать свои специальные составляющие сумм «штрафов».
Применительно к новым модифицированным моделям (учитывающим указанные дополнительные издержки) доказан следующий 
результат: оптимальную стратегию выбора порядка выполнения 
заказов надо определять таким же образом, как и в формате «базовой» модели, т.е. используя принцип оптимального сµ-правила.
В параграфе 1.3 результаты настоящего исследования, в свою 
очередь, обобщаются в рамках еще более важного для практики 
формата модели, требующего учета ситуации, когда существует 
риск случайного изменения величины моделируемых «штрафов». 
Доказано, что несмотря на такую специфику модели, в реальных 
ситуациях предпочтительную стратегию выполнения заказов также 
надо будет определять на основе оптимального сµ-правила. Соответственно роль параметров сi при определении отмеченных выше 
индексов Ii, как раз, будут выполнять средние ожидаемые показатели для таких случайных сумм штрафов.
При этом, если анализируется модифицированная модель, учитывающая специальные дополнительные затраты / потери (которые были перечислены выше), то, как показано в параграфе 1.4, 
оптимальную стратегию выбора порядка заказов в такой ситуации 
уже надо будет определять, используя специальную модификацию 
«традиционного» оптимального сµ-правила.
Обратим также внимание на то, что в параграфе 1.5 рассмотрена 
специальная модификация указанной «традиционной» модели 
по выбору порядка выполнения портфеля заказов, которая учитывает специальный формат начисления издержек (в виде штрафов) 
по заказам, и в которой начисление соответствующих издержек 
реализуется с определенной задержкой во времени, одинаковой 
для всех заказов в рамках моделируемого портфеля (а не с момента 
начала обслуживания, как это принимается для «традиционной модели» в теории сетей обслуживания).
Далее в главе 2 (см. параграф 2.1) проведен анализ оптимальной 
стратегии для другого специального формата модели, когда анализируемый экономический результат представляется через контрак

тные денежные суммы (в виде доходов Pi по i-заказам портфеля, 
получаемых в моменты окончания выполнения соответствующих 
i-заказов). При этом целевая функция модели — максимизация 
суммарного дохода, накапливаемого на депозите к некоторому заданному моменту времени в будущем (к которому все заказы в составе портфеля уже будут выполнены с вероятностью 100%).
Разумеется, при анализе моделей такого типа учитывается концепция временной ценности денег (ВЦД). Поскольку при этом надо 
учитывать специфику моделей, рассматриваемых в первом разделе 
(предполагающих линейную зависимость издержек на обслуживание заказов от длительности ожидания заказом начала своего обслуживания), то учет временной ценности денег реализуется на основе метода простых процентов.
Доказано, что новый модифицированный принцип оптимизации 
порядка выполнения заказов будет полностью эквивалентен традиционной базовой модели, представляемой на основе «функций 
штрафо»в. При этом роль «штрафов» выполняют заданные в модели контрактные цены Pi по соответствующему i-заказу. Полученный теоретический результат, модифицирующий и обобщающий «традиционное» оптимальное сµ-правило для указанной 
модели (где экономический результат определяется на основе контрактных доходов) называется оптимальным Pµ-правилом.
Далее в параграфе 2.2 представлено обобщение рассматриваемой выше модели учета контрактных цен при оптимизации 
порядка выполнения заказов, которое учитывает также и специальные дополнительные издержки по заказам портфеля, которые 
не отражались в исходной «базовой» модели на основе оптимального Pµ-правила.
Часть таких затрат надо будет соотносить при постановке задачи оптимизации с моментом времени формирования портфеля 
заказов. Это может быть обусловлено, например, особыми затратами на поставку / перевозку конкретных товаров или материалов 
по таким заказам и т.д.
Кроме того, как уже отмечалось, заказы в составе моделируемого портфеля могут также различаться и величиной издержек, 
возникающих в момент окончания выполнения заказов. Например, 
при наличии процедур обслуживания, связанных с перевозкой соответствующих грузов, переоценке контрактных сумм по выполненным заказам из-за претензий к качеству и т.п.
В исследовании было доказано, что соответствующую оптимальную стратегию по выбору порядка выполнения заказов 
для такой модифицированной модели надо определять таким 

же образом, как и в формате «базовой» модели, используя оптимальное Pµ-правило.
При этом в ситуациях, когда анализируются только специальные дополнительные затраты, возникающие в момент формирования портфеля заказов (случайные потери такого типа для i-заказов обозначены 
(1)
i
α
), параметры оптимального Pµ-правила будут 
соответствовать своим исходно формализованным показателям.
Тем не менее, в ситуациях, когда потребуется анализировать 
потери или затраты, соотносимые с моментом завершения выполнения заказов (случайные потери такого типа для i-заказов обозначаются 
(2)
i
α
), параметры оптимального Pµ-правила придется 
модифицировать. В таких ситуациях вместо использования показателей Pi (вводимых для традиционного формата задачи) надо будет 
принимать решения на основе математических ожиданий для показателей, которые будут определяться соответственно разностью 
(Pi – 
(2)
i
α
).
В параграфах 2.3—2.4 для моделей оптимизации, в которых 
целевая функция задается на основе указанных контрактных 
сумм, будут получены специальные обобщения с учетом рисков 
отклонения доходов от реализованных заказов портфеля, а также 
с учетом возможных дополнительных финансовых потерь или затрат.
Специальные исследования, которые представлены далее в главе 2 
(параграфы 2.5—2.6) также относятся к важным для практики ситуациям. В частности, в параграфе 2.5 рассматриваются процедуры 
упорядочения потоков платежей, производимых заказчиками в моменты выполнения заказов, причем с учетом инфляции. Показано, 
что для модели, в которой концепция инфляции реализована на основе схемы простых процентов, оптимальный порядок выполнения 
портфеля заказов надо определять на основе простого оптимального Рµ-правила.
Как уже было отмечено, в представленном исследовании рассмотрены, в частности, следующие два типа задачи оптимизации 
порядка выполнения портфеля заказов, при которых целевая 
функция задается на основе контрактных сумм. Первый тип, как 
раз, соответствует стремлению максимально быстро использовать 
получаемую прибыль для минимизации последствий инфляции 
(например, когда получаемая прибыль направляется на приобретение необходимых материалов). Другой тип отражает стремление 
нарастить как можно большую сумму на депозитном счете к нужному моменту времени в будущем.

Доказано, что в обоих таких «крайних» случаях оптимальная 
стратегия выбора порядка обслуживания заказов будет одинаковой. Более того, показано, что структура данной стратегии совпадает с традиционным простым оптимальным Рµ-правилом (как 
уже отмечалось, по аналогии с оптимальным сµ-правилом в теории 
сетей массового обслуживания). Соответственно, и в любых других 
«промежуточных» случаях (когда часть получаемой прибыли планируется направить на приобретение материалов, а оставшуюся 
часть — для накопления) вышеописанная стратегия также будет 
оптимальной.
Указанная модель по определению порядка выбора заказов 
в условиях инфляции, также модифицируется и для случая, когда 
требуется дополнительно учитывать специальные издержки / 
потери, соотносимые с моментами завершения выполнения i-заказов (для их случайных значений снова используется обозначение 
(2)
i
α
). В таком случае параметры указанного оптимального 
Pµ-правила придется модифицировать. Соответствующий оптимальный порядок обслуживания заказов получается, если в формате Pµ-правила дополнительно заменить все исходно заданные показатели Pi на математические ожидания специальных показателей 
указанного ранее вида (Pi – 
(2)
i
α
).
В параграфе 2.6 представлена важная для практики модификация рассмотренной ранее модели упорядочения потоков платежей, предполагающая произведение заказчиками выплат в моменты выполнения заказов и обеспечивающая возможность учета 
срочности отдельного заказа (или группы заказов).
В главе 3 рассмотрены оптимизационные модели, учитывающие 
особенности и специфику различных регламентов учета «штрафов» 
(включая структуру промежутков времени, в ходе которых реализуется учет издержек). В частности, в параграфе 3.1 обоснована 
структура оптимальной стратегии для различных моделируемых 
регламентов учета штрафов на промежутках времени реализации 
заказов, которая более адекватна различным практическим ситуациям при управлении цепями поставок.
Доказано, что, несмотря на ряд особенностей различных временных интервалов для учета «штрафов», начисляемых на промежутках времени обслуживания заказов (например, их учет только 
в начале временного интервала; при случайных длительностях 
таких начальных фрагментов временного интервала; по специальным схемам, «облегчающим» или «утяжеляющим» величины 
«штрафов» и т.д.), сохранится структура оптимальной стратегии 
на базе отмеченного выше оптимального сµ-правила.

Кроме того, профильному менеджеру должно быть понятно, 
что применительно к указанным моделям обслуживания портфеля 
заказов величины «штрафов», возникающих во время ожидания 
обслуживания заказа, и «штрафов», возникающих во время реализации заказов, могут различаться. Поэтому в параграфе 3.2 представлены обобщения и модификации для оптимальных стратегий 
выбора порядка обслуживания заданного портфеля заказов, сводящих к минимуму суммарные издержки с учетом вышеуказанных 
принципов их начисления.
В настоящем исследовании первые обоснована структура оптимальной стратегии при различных регламентах учета дополнительных «штрафов» в ходе реализации заказов. Более того, доказано, что несмотря на произвольный характер таких регламентов, 
для оптимальной стратегии, тем не менее, будет иметь место отмеченное выше оптимальное сµ-правило. Таким образом найденные 
стратегии позволят менеджерам учитывать специфику регламентов 
начисления дополнительных «штрафов» (издержек и/или потерь) 
на промежутках реализации заданий в звеньях цепей поставок.
В главе 4 изложены обобщения моделей с представлением экономического результата на основе контрактных сумм. Проведен 
анализ для случая, когда требуется учесть специфику задержек выплат контрактных сумм, формализуемых в виде отсрочек денежных 
поступлений. При этом впервые обоснована структура оптимальной 
стратегии при стохастическом характере моментов выплаты контрактных сумм (с учетом рисков различных случайных или заранее 
принимаемых задержек в их выплате). Доказано, что несмотря 
на случайные значения моментов получения доходов, связанных 
с реализацией заказов портфеля в таких моделях, для алгоритма 
нахождения оптимальной стратегии будет иметь место аналог оптимального Рµ-правила, как и для модели, когда указанные риски 
задержек выплат не учитываются.
Проведен также анализ и для случая, когда требуется учесть 
специфику сроков выплаты контрактных сумм, представляемых 
в виде «рент». При этом авторами впервые обоснована структура 
оптимальной стратегии для таких моделей, и результаты проделанного в настоящем исследовании анализа позволят учитывать риски 
возможных случайных изменений величин упущенного дохода. 
Доказано, что несмотря на стохастический характер указанных 
атрибутов, связанных с такой модификацией модели, для алгоритма нахождения оптимальной стратегии выбора порядка заказов 
в рамках портфеля, тем не менее, сохранится аналог оптимального 
Рµ-правила, как и для соответствующей исходной модели.

Проведен отдельный анализ и для случая, когда требуется 
учесть риски задержек сроков выплаты контрактных сумм. Для моделей указанного типа авторами также впервые обоснована структура оптимальной стратегии, позволяющая также учитывать риски 
упущенного дохода и риски срыва заданных сроков платежей. Аналогичным образом доказано, что, несмотря на стохастический характер указанных атрибутов модели, применительно к реальным 
практическим ситуациям для оптимального алгоритма снова будет 
применимо оптимальное Рµ-правило.
Во втором разделе книги (главы 5—7) рассмотрены модели, 
аналогичные тем, что были проанализированы в первом разделе, 
но в формате которых принимается, что имеет место нелинейная 
зависимость накапливаемых издержек на обработку заказа от длительности времени ожидания заказом начала своего обслуживания.
Это означает, что в указанных специальных моделях соответствующие тарифы издержек / «штрафов» надо будет рассматривать 
как функции времени. В частности, они будут зависеть от длительности ожидания заказом начала обслуживания. При этом модель 
учета издержек потребует использования других схем, принимающих во внимание концепцию временной ценности денег на основе принципа непрерывного начисления процентов или его специальных аналогов.
Кстати, учет ВЦД в указанном формате потребовал разработки в данном разделе книги специальных дополнительных понятий и показателей, которые потребуются, чтобы находить соответствующие вспомогательные усредненные показатели, когда 
для моделируемых денежных потоков учитываются непрерывные 
проценты (или их аналог, рассматриваемый при оптимизации). Поэтому во втором разделе книги также предложены новые подходы, 
позволяющие реализовать оценку следующих усредненных показателей.
А) Вспомогательные показатели вида сi (mod) = М(
iS

ic eδ
⋅
) или сi 
(mod) = М(
iS

ic e−δ
⋅
), характеризующие заданные значения средних 
величин «штрафов» (усредненных применительно к времени обслуживания каждого заказа — чтобы отразить специфику увеличения, 
либо снижения размера таких «штрафов» во времени) при учете 
для моделируемых денежных потоков концепции ВЦД на основе 
непрерывных процентов (или их аналога).
Б) Вспомогательные показатели вида µi (mod) = /
(
1)
iS
M eδ
δ
−
 
или вида µi (mod) = 
/
(1
)
iS
M
e−δ
δ
−
, характеризующие переоцененные с учетом ВЦД (на основе непрерывных процентов) усредненные показатели интенсивности обслуживания заказов (также