Механика в общем курсе физики

Н.А. Гладков, А.Н. Морозов, Ю.А. Струков

Механика  
в общем курсе физики

Учебное пособие

Федеральное государственное бюджетное  
образовательное учреждение высшего образования  
«Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана  
(национальный исследовательский университет)»

ISBN 978-5-7038-5028-2 

© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2019
© Оформление. Издательство  
 
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2019

УДК 53(075)
ББК 22.3
 
Г52 

Издание доступно в электронном виде по адресу
ebooks.bmstu.press/catalog/70/book1965.html

Факультет «Фундаментальные науки» 
Кафедра «Физика»

Рекомендовано Научно-методическим советом 
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебного пособия

 
Гладков, Н. А. 
Г52 
 
Механика в общем курсе физики : учебное пособие / Н. А. Гладков, А. Н. Морозов, Ю. А. Струков. — Москва : Издательство МГТУ 
им. Н. Э. Бау мана, 2019. — 122, [2] с.: ил.
ISBN 978-5-7038-5028-2

В издании компактно изложены все темы первого раздела общего курса физики — механики: кинематика точки и твердого тела, динамика поступательного 
и вращательного движения, работа и энергия, механические колебания и волны, 
а также специальная теория относительности. Теоретический материал дополнен 
примерами с решениями.
Содержание пособия соответствует курсу лекций, читаемому авторами в 
МГТУ им. Н.Э. Баумана. 
Для студентов технических университетов. 
УДК 53(075)
ББК 22.3

Предисловие

Современными образовательными стандартами предписывается повышение роли самостоятельной работы студентов. Вследствие этого при составлении учебных планов сокращают время на аудиторную работу и большое значение придают практическим занятиям студентов. В современных 
условиях актуальной задачей стало создание курса лекций, в котором материал, предусмотренный программой, был бы изложен в более сжатой, удобной для усвоения форме. Предлагаемое учебное пособие в определенной 
степени позволяет решить эту задачу. Материал пособия представлен в виде 
курса лекций. 
Механика является первым разделом в общем курсе физики, читаемом 
студентам первого курса технического университета всех специальностей, 
обучающимся по программам бакалавриата, специалитета, магистратуры.
Цель изучения данного курса лекций — формирование глубоких знаний 
в области классической механики и специальной теории относительности 
при использовании математического аппарата дифференциального и интегрального исчисления.
Курс лекций составлен в соответствии с учебной программой МГТУ 
им. Н.Э. Баумана и содержит основы классической и релятивистской механики. В нем представлены основные темы механики: кинематика точки 
и твердого тела, динамика поступательного и вращательного движения, работа и энергия, механические колебания и волны. Значительное место отведено рассмотрению специальной теории относительности. 
На практике авторам часто приходится сталкиваться с тем, что вновь 
вводимые понятия или физические определения трудны для понимания 
студентами. В связи с этим авторы уделили особое внимание логически 
точному определению физических понятий и формулированию физических 
законов и принципов. 
Курс лекций написан информативно, простым лаконичным языком, не 
содержит усложненных доказательств и объяснений. В пособии приведены 
систематизированное изложение основных физических закономерностей 
и выводы важнейших формул. Некоторые теоретические зависимости получены авторами с использованием нового, более простого методического 
подхода к доказательству. Для лучшего понимания отдельных теоретических 
положений приведены примеры с решениями.
Авторы считают, что методика изложения материала наиболее приемлема с точки зрения понимания и усвоения изучаемого курса, а разбиение 
его на главы и параграфы позволяет лучше ориентироваться в изучаемом 
материале. Трудные для усвоения положения курса предлагается отметить 
каким-либо способом и вернуться к их изучению после разбора этого мате

риала на практическом занятии или после проведения лабораторной работы 
по соответствующей тематике.
При желании более глубоко изучить отдельные законы или физические 
явления студенты могут обратиться к другим источникам, указанным в списке литературы.
Данный курс лекций окажет существенную помощь студентам в их самостоятельной работе, при выполнении домашних заданий, написании рефератов, подготовке к лабораторным работам и практическим занятиям. 
Предполагается, что результатом изучения данного курса лекций явятся более глубокое понимание сути физических явлений, законов динамики 
поступательного и вращательного движения, законов сохранения, законов 
механических колебаний и волновых процессов, а также глубокое понимание и освоение положений специальной теории относительности. 
Все это будет способствовать успешной сдаче модуля 1 и экзамена по 
общему курсу физики. 
Глубокое изучение представленного материала послужит базой для освоения последующих специальных дисциплин, таких как теоретическая 
механика, сопротивление материалов, электротехника, теория механизмов 
и машин и многих других. 

Принятые сокращения

ИСО — инерциальная система отсчета
МС — механическая система 
МТ — материальная точка 
ОТО — общая теория относительности 
ПСК — прямоугольная система координат 
РД 
— ракетный двигатель
СО 
— система отсчета 
СТО — специальная теория относительности 

Введение

Основоположником физической теории считается выдающийся английский физик и математик И. Ньютон. Ньютоновская, или классическая, механика представляет собой учение о движении материи. Механика включает 
в себя три раздела: кинематику, статику и динамику. Кинематика изучает 
движение тел независимо от причин, которые вызвали это движение. В статике рассматриваются условия равновесия тел. Динамика изучает движение 
тел и причины, вызывающие это движение. 
Ньютоновская механика представлялась настолько могущественной, 
что, казалось, любое физическое явление можно объяснить с помощью законов Ньютона. Но на каждой ступени развития наши познания обусловлены исторически достигнутым уровнем науки и не могут считаться окончательными, полными. Они нуждаются в дальнейшем развитии, уточнении, 
проверке. 
Противоречивость результатов опытов побудила А. Эйнштейна пересмотреть считавшиеся со времен Ньютона очевидными представления о пространстве и времени. Это привело к созданию релятивистской механики, 
в частности специальной теории относительности. В рамках этой теории 
уравнения движения тел, скорости которых сопоставимы со скоростью света, существенно отличаются от уравнений классической механики. Однако 
развитие науки не перечеркнуло ньютоновскую механику, а только установило пределы, в которых справедливы ее законы и положения. Таким образом, классическая механика, рассматривающая движение тел с небольшими скоростями (
),
v << c
 является частным случаем теории относительности 
(релятивистской механики). 

1. КИНЕМАТИКА

1.1. Кинематика точки

Кинематика — это раздел механики, в котором движение тел и сплошных сред (газа, жидкости, деформируемого тела) рассматривается без выяснения причин, вызывающих изменение этого движения. В связи с этим 
в кинематике не встречаются понятия силы и массы. Единицы кинематических величин определяются единицами длины L и времени t. 
В зависимости от условий движения и свойств физического объекта 
в кинематике выделяют кинематику точки, кинематику твердого тела, кинематику сплошной среды. В этом пособии будут рассмотрены кинематика 
точки и кинематика твердого тела. 
Тело можно рассматривать как материальную точку (МТ) — точечное 
тело. Но, поскольку масса МТ в кинематике не играет никакой роли, будем 
изучать движение точки.
Движение физических тел происходит в пространстве и во времени. 
В классической, или ньютоновской, механике пространство считается однородным и изотропным, а время является абсолютной категорией. Но для 
того чтобы изучать это движение, необходимо выбрать систему отсчета, состоящую из системы координат и часов, связанных с некоторым физическим телом (условно считаемым неподвижным), по отношению к которому 
будет рассматриваться изучаемое движение. После выбора системы отсчета положение движущейся точки в произвольный момент времени t можно 
определить с помощью радиуса-вектора: 

 


r
r t
= ( ), 
(1.1)

проведенного из начала прямоугольной системы координат (ПСК) в подвижную точку.
Зависимость (1.1) определяет векторный 
способ задания движения точки (рис. 1.1). 
Выразим r  через его проекции, например на оси ПСК: 






r t
r t i
r t j
r t k
x
y
z
( )
( )
( )
( ) ,
=
+
+

где 

  
i
j k
, ,
 — единичные векторы (орты); 
rx(t) = x(t), ry(t) = y(t), rz(t) = z(t) — проекции 
радиуса-вектора на соответствующие оси.
Рис. 1.1

Зависимости

 
x
x t
y
y t
z
z t
=
=
=
( ),
( ),
( )  
 (1.2)

определяют координатный способ задания движения точки.
Последовательные положения конца радиуса-вектора r  в зависимости от времени t 
определяют траекторию точки. Расстояние, 
отсчитываемое вдоль траектории, есть путь s, 
пройденный точкой.
Если известна траектория движения точки по отношению к системе отсчета, то в этом случае удобно использовать 
естественный способ задания движения точки (рис. 1.2): 

 
s = s(t). 
(1.3)

Векторное уравнение (1.1) или равносильные ему три скалярных уравнения (1.2), а также уравнение (1.3) являются кинематическими уравнениями 
точки.
Другие кинематические характеристики точки — скорость и ускорение.

Cкорость точки

Движение точки вдоль траектории в течение интервала времени ∆t можно определить с помощью вектора перемещения, который соединяет предыдущее и последующее положения точки на этой траектории (см. рис. 1.2):

∆
∆



r t
r t
t
r t
( )
(
)
( ).
=
+
−

Тогда вектор

 




v =
=

→
lim
∆

∆
∆
t
r
t

dr
dt
0
 
(1.4)

определяет мгновенную скорость (или просто 
скорость) точки.
Таким образом, производная от радиуса-вектора точки по времени равна вектору ее скорости. 
В соответствии с формулой (1.4) вектор скорости 
всегда будет направлен по касательной к траектории (рис. 1.3).
В точках траектории 1–3 на рисунке показаны векторы скорости, соответствующие этим 
точкам. 

Рис. 1.2

Рис. 1.3

Ускорение точки

При движении точки вдоль траектории ее вектор скорости в общем случае изменяется как по значению, так и по направлению (рис. 1.4). Это изменение характеризуется приращением вектора v  за интервал времени ∆ t:

∆
∆



v
v
v
( )
(
)
( ).
t
t
t
t
=
+
−

Вектор 
мгновенного 
ускорения 
(или просто ускорения) точки определяют следующим образом:

 




a
t

d
dt
t
=
=

→
lim
.

∆

∆
∆
0

v
v  
(1.5)

Итак, вектор ускорения равен производной от вектора скорости по времени. Как видно на рис. 1.4, вектор v  направлен в сторону вогнутости 
траектории. Поэтому и вектор a, согласно формуле (1.5), будет всегда, за 
исключением точек перегиба, направлен в сторону вогнутости траектории 
(рис. 1.5). 

Рис. 1.5

В точках траектории 1–3 на рисунке показаны векторы его скорости 
и ускорения, соответствующие этим точкам. 

Разложение векторов

Векторы скорости v  и ускорения a  можно выразить в виде суммы составляющих векторов. Например, если выбрана ПСК, то 

 








v
v
v
v
v
v
v
=
+
+
=
+
+
x
y
z
x
y
z
i
j
k, 
(1.6)

 








a
a
a
a
a i
a j
a k
x
y
z
x
y
z
=
+
+
=
+
+
, 
(1.7)

где проекции векторов определяют через соответствующие производные: 

 
vx
dx
dt
=
, vy
dy
dt
=
,  vz
dz
dt
=
,  
(1.8)

Рис. 1.4

a
d
dt
d x
dt
x
x
=
=
v
2

2 ,  a
d
dt
d y
dt
y
y
=
=
v
2

2 ,  a
d
dt

d z
dt
z
z
=
=
v
2

2 . 
(1.9)

Докажем справедливость, например, формул (1.8). Действительно, поскольку

 









v =
=
+
+
=
+
+
dr
dt
d
dt xi
yj
zk
dx
dt i
dy
dt j
dz
dt k
(
)
, 
(1.10)

то, сравнивая формулы (1.6) и (1.10), приходим к краткой записи составляющих вектора скорости (1.8). Аналогично доказывается и справедливость 
формул (1.9). Модули векторов v  и a, согласно формулам (1.6) и (1.7), будут 
иметь вид 

v
v
v
v
=
+
+
x
y
z

2
2
2,

a
a
a
a
x
y
z
=
+
+
2
2
2.

Разложение вектора на составляющие 
можно провести также по осям подвижной 
системы координат 
′
O n
nb
τ
 (рис. 1.6), где ось 

′
O τ  c единичным вектором τ  направлена по 
касательной к траектории, ось 
′
O n с единичным вектором n  — по внутренней главной 
нормали к траектории, ось 
′
O nb  с единичным вектором nb  — перпендикулярно плоскости, образованной векторами 
n  и τ.  В этом случае 

 


v
v
= τ,  
(1.11)

а поскольку dr
ds


=
τ,  согласно формулам (1.4) и (1.11), формула 

 
v = ds
dt  
(1.12)

определяет величину скорости как производную по времени от пути s(t), 
пройденного точкой вдоль траектории (см. рис. 1.6).
Вектор полного ускорения a  лежит в соприкасающейся с траекторией 
точки плоскости, проходящей через главную нормаль и касательную к траектории. При разложении его на составляющие, параллельные осям подвижной системы координат, вектор полного ускорения 

 





a
a
a
a
a n
n
n
=
+
=
+
τ
ττ
,  
(1.13)

где aτ  — касательное (тангенциальное) ускорение; an  — нормальное ускорение; aτ, an  — проекции вектора a  на векторы τ  и n  соответственно. 
Рис. 1.6 иллюстрирует соотношение (1.13). 

Рис. 1.6