Методы численного анализа математических моделей

М.П. Галанин, Е.Б. Савенков

МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО

АНАЛИЗА

МАТЕМАТИЧЕСКИХ

МОДЕЛЕЙ

2-е издание, исправленное

 

УДК 519.6
ББК 22.193

Г15

Рецензенты: член-кор. РАН М.А. Гузев;

проф. А.В. Гулин

Галанин, М. П.

Г15
Методы численного анализа математических моделей / М. П. Галанин,

Е. Б. Савенков. – 2-е изд., испр. – Москва : Издательство МГТУ им.
Н. Э. Баумана, 2018. – 591 [1] с. : ил.

ISBN 978-5-7038-4796-1

Книга отражает актуальный уровень развития численных методов и алгорит
мов, ориентированных на применение современной вычислительной техники и
позволяющих проводить количественный анализ математических моделей широкого класса реальных природных, социальных и технических объектов.

Изложены методы решения задач линейной алгебры, систем нелинейных

алгебраических уравнений, интерполяция функций, методы численного интегрирования и дифференцирования, численные методы решения задачи Коши и
краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Приведены основы общей теории разностных схем и ее применение к построению
и анализу методов численного решения эллиптических, параболических и гиперболических уравнений, а также численные методы решения интегральных
уравнений. Представлены методы генерации сеток для многомерных задач математической физики, многосеточные методы решения, численные методы для
решения уравнения переноса и уравнений газовой динамики, алгоритмические
основы метода конечных элементов.

Для студентов старших курсов технических университетов, аспирантов и

инженеров. Может быть полезна преподавателям и научным работникам.

УДК 519.6
ББК 22.193

ISBN 978-5-7038-4796-1

c⃝ Галанин М. П., Савенков Е. Б., 2010

c⃝ Галанин М. П., Савенков Е. Б., 2018,

с изменениями

c⃝ Оформление. Издательство

МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2018

За время, прошедшее с выхода первого издания, опубликовано много
доступных монографий и учебников, в которых рассмотрены вопросы
численного анализа математических моделей. Среди них есть как руководства общего характера, так и специализированные, посвященные
детальному изучению отдельных вопросов теории и практики численных методов. Приведем краткую информацию о подобных публикациях.
Она заведомо неполна, то тем не менее важна для существенного расширения знаний, отраженных в данном издании.
Важными для нас представляются три тома «Математического моделирования в низкотемпературной плазме» [205–207]. Несмотря на
свое очень «специализированное» название, по существу это энциклопедия современных методов математического и численного моделирования самых разнообразных процессов и явлений.
Общие вопросы взаимосвязи функционального анализа и вычислительной математики вместе с анализом многих алгоритмов рассмотрены в [40]. Базовые вопросы современной теории и практики численных
методов представлены в [89, 90, 95]. За последнее время вышли новые
и очень содержательные задачники по численным методам и вычислительной математике [7,8,64]. Их использование в особенности полезно
при проведении практических занятий по курсу со студентами.
Укажем монографию [152], в которой рассмотрены современные методы численного решения больших разреженных систем линейных алгебраических уравнений, в том числе с использованием параллельных
вычислений. Книга является переводом современного классического
учебника по методам крыловских подпространств и методам предобуславливания.
Изложению современных и классических алгоритмов для задач линейной алгебры с заполненными матрицами посвящена монография
[69]. Книга содержит изложение как прикладных вопросов, так и глубокий теоретический анализ алгоритмов. Автор книги является основным
разработчиком пакета Lapack, де факто являющегося мировым стандартом для вычислений с заполненными матрицами.

издании исправлены замеченные опечатки и другие
огрехи, имеющиеся в первом
дарить

настоящем
В
издании. Авторы хотели бы поблаговсех читателей, указавших на подобные недостатки.

Предисловие ко второму изданиюЮЮЮ

Новые материалы в теории и практике многосеточных методов
представлены в [120].
Вопросы вычислительной газо- и гидродинамики остаются одними
из самых актуальных. Много новых и важных для теории и практики
алгоритмов представлены в книгах [35,58,144].

Вышла из печати монография [115], посвященная построению и
использованию разностных сеток для решения задач современной математической физики в сложных пространственных областях.

Предисловие ко второму изданию
4

180-летию МГТУ
им. Н.Э. Баумана
посвящается

В настоящее время методы численного анализа широко применяются в самых разнообразных областях научной и технической деятельности.
Данная книга выходит в серии «Математическое моделирование в
технике и в технологии». В ней приведены фундаментальные сведения
о методах и приемах численного моделирования, а также рассмотрены области применения прикладной вычислительной науки и пути ее
развития.
Книга состоит из двух частей: первая часть представляет интерес
для начинающих изучать методику численного моделирования и технологию вычислительного эксперимента, вторая — полезна для опытных
специалистов.
Нумерация глав по всей книге сквозная. Параграфы имеют двойную нумерацию (например, 2.1 — первый параграф в главе 2). Ссылки
в тексте на параграфы и главы набраны полужирным шрифтом (например, см. 2.1 или см. 2). Аналогично пронумерованы формулы, рисунки,
определения, леммы и теоремы (например, (2.3) — третья формула в
главе 2, рис. 3.1 — первый рисунок в главе 3). В квадратные скобки
заключены номера библиографических источников из помещенного в
конце книги списка литературы.
Каждый термин, выделенный в тексте полужирным курсивом,
представлен в предметном указателе (в алфавитном порядке по существительному в именительном падеже) с указанием страницы, на
которой он определен или описан. В начале каждой главы и параграфа
светлым курсивом выделены термины, отнесенные к ключевым словам, т. е. для понимания излагаемого материала читатель должен знать
значение этих терминов. Читатель может уточнить это значение, найдя с помощью предметного указателя необходимую страницу.
После предисловия помещен список основных обозначений, где наряду с краткой расшифровкой указаны параграфы, в которых можно
найти более подробное их объяснение. Принятая структура справочного аппарата книги позволяет читателю знакомиться с интересующим
его материалом отдельно взятого параграфа.

Предисловие к
изданиюЮЮЮ
первому

Надеемся, что данная книга будет интересна как студентам и аспирантам, так и опытным исследователям.
Авторы благодарны главному редактору серии «Математическое
моделирование в технике и в технологии» И.Б. Федорову и членам
редакционного совета за предоставленную возможность издания книги,
а также рецензентам за благосклонное отношение к нашему труду.

Предисловие к
изданию
первому

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

x ∈ X
— элемент x принадлежит множеству X

∀
— квантор всеобщности

∃
— квантор существования

n = 1,N, n = 1, 2, ..., N — число n ∈ N принимает последовательно все
значения из множества N натуральных чисел от 1 до N
включительно

X \ Y
— разность множеств X и Y

∪
— символ операции объединения множеств

∩
— символ операции пересечения множеств

X ⊂ Y
— подмножество X включено в множество Y (Y включает X)

X ⊆ Y
— подмножество X включено в множество Y или совпадает с
ним

| · |
— абсолютное значение числа или модуль вектора

(·)т
— символ транспонирования матрицы

∇
— градиент вектора или функции (дифференциальный оператор Гамильтона)

∆, ∇2
— дифференциальный оператор Лапласа

∆2
— бигармонический дифференциальный оператор

grad = ∇ — символ дифференциальной операции вычисления градиента

div = ∇· — символ дифференциальной операции вычисления дивергенции

A : X → Y — оператор A отображает множество X на (или в) множество Y

A : x → y — оператор A отображает элемент x в элемент y

X×Y
— декартово произведение множеств X и Y

D(A)
— область определения оператора A 1.1.2

im(A)
— область значений оператора A 1.1.2

∅
— пустое множество

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

R
— множество действительных чисел (числовая прямая)

[a,b], (a,b) — отрезок и интервал с концами в точках a, b ∈ R

inf
x∈X f(x) — точная нижняя грань множества {f(x), x ∈ X} ⊂ R числовой оси

sup
x∈X
f(x) — точная верхняя грань множества {f(x), x ∈ X} ⊂ R числовой оси

a∗, y∗
— приближенное значение величины a и приближенное значение функции y∗ = y(x∗) В.3.1, В.3.3

∆(a∗), ∆(y∗) — абсолютная погрешность приближенного значения величины a и линейная абсолютная оценка погрешности функции y В.3.1, В.3.3

δ(a∗)
— относительная погрешность приближенного значения величины a В.3.1

X ⊕ Y
— прямая сумма подпространств X и Y 1.1.1

∥x∥, ∥A∥ — норма элемента x некоторого линейного нормированного
пространства и норма оператора либо матрицы A 1.1.1,
1.1.2

∥x∥V
— норма элемента x линейного нормированного пространства
V 1.1.1

∥x∥A = (Ax,x)1/2 — энергетическая норма (A-норма) элемента x линейного нормированного пространства, соответствующая
симметричному положительно определенному оператору A
1.1.3, 16.3.1

∥x∥∞, ∥A∥∞ — кубическая норма вектора x ∈ Rn и матрицы A = An×n
1.1.5

∥x∥1, ∥A∥1 — октаэдрическая норма (1-норма) вектора x ∈ Rn и матрицы A = An×n 1.1.5

∥x∥2, ∥A∥2 — евклидова (сферическая, шаровая) норма (2-норма) вектора x ∈ Rn и матрицы A = An×n 1.1.5

∥A∥s
— спектральная норма матрицы A 1.1.5

∥A∥M
— максимальная норма матрицы A 1.1.5

(x,y)
— скалярное произведение элементов x и y унитарного (евклидова) пространства 1.1.1

(x,y)A = (Ax,y) — энергетическое скалярное произведение элементов
x и y унитарного (евклидова) пространства, соответствующее самосопряженному положительно определенному оператору A 1.1.3

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
9

x⊥y, x⊥X — элемент x унитарного (евклидова) пространства ортогонален элементу y и элемент x унитарного (евклидова)
пространства ортогонален подпространству X 1.1.1

kerA
— ядро оператора A 1.1.2

ρ(A)
— спектральный радиус оператора A 1.1.2

¯ρ(A)
— числовой радиус оператора A 1.1.2

A∗
— оператор, сопряженный оператору A 1.1.3

Pn(x)
— алгебраический полином степени n 3.2
˜f
— тот или иной интерполянт заданной функции f 3.1

Ln(x)
— алгебраический интерполяционный полином степени n 3.2.1

Hn(x)
— алгебраический интерполяционный полином Эрмита степени n 3.2.3

Tn(x)
— полином Тейлора степени n 3.2.3

Qn(x)
— тригонометрический полином порядка n 3.3.5

Sn(x)
— интерполяционный сплайн степени n 3.4

Ih
— квадратурная формула для вычисления интеграла I 4.1

y¯x
— разностная производная сеточной функции назад (левая) 4.7

yx
— разностная производная сеточной функции вперед (правая)
4.7

y◦x
— центральная разностная производная сеточной функции 4.7

y¯xx
— вторая разностная производная сеточной функции 4.7

Φ[u]
— значение функционала Φ на элементе u 6.3.1

yi = y(xi) — значение сеточной функции y в пространственной точке xi 7.1.2

yj = y(tj) — значение сеточной функции y во временной точке tj 7.1.2

yj
i = y(xi,tj) — значение сеточной функции y в точке (xi,tj) 7.1.2

Ωh
— сеточная область, соответствующая пространственно-временной области Ω 7.1.2

Ah
— разностная аппроксимация оператора A 7.1.2

ph
— оператор проектирования на сетку 7.1.2

uh = phu — проекция функции u на сетку 7.1.2

ˆy
— значения сеточной функции y на следующем временном
слое: ˆy(xi) = y(xi,tj+1) 7.2

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

ˇy
— значения сеточной функции y на предыдущем временном
слое: ˇy(xi) = y(xi,tj−1) 7.2
ψh
— погрешность аппроксимации разностной схемы и численного алгоритма 7.2
hi = xi+1 − xi — расстояние (шаг сетки) между узлами xi+1 и xi 7.3.2
xi+1/2 = (xi + xi+1)/2 — координаты грани разностных ячеек с центрами в узлах xi+1 и xi 7.3.2
ℏi = (xi+1/2 − xi−1/2)/2 — расстояние между гранями ячейки разностной сетки с центром в узле xi 7.3.2
y(σ)
— взвешенное с весом σ по двум временным слоям значение
сеточной функции y, y(σ) = σˆy + (1 − σ)y 8.1
#
— окончание примера
◀ и ▶
— начало и конец доказательства