Математика: учебное пособие для поступающих в вузы

Учебное пособие для поступающих в вузы



Е.А. Власова, Т.В. Облакова

МАТЕМАТИКА

Рекомендовано Научно-методическим советом МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебного пособия
2-е издание, исправленное






Москва ИЗДАТЕЛЬСТВО МГТУ им. Н. Э. Баумана
2018

УДК 51(075.8)
ББК 22.151.0
     В58

Рецензенты:
О.Г. Макарова, Л.П. Бородина
     Власова, Е. А.
В58      Учебное пособие для поступающих в вузы. Математика : учеб      ное пособие / Е. А. Власова, Т. В. Облакова. — 2-е изд., испр. — Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2018. - 303, [1] с. : ил.
          ISBN 978-5-7038-4956-9
          Рассмотрены основные разделы школьного курса математики. Приведен необходимый справочный теоретический материал, достаточно полно изложены основные методы решения задач разного уровня сложности. Большинство представленных задач предлагалось на физикоматематических олимпиадах, проводимых МГТУ им. Н.Э. Баумана. Большое внимание уделено освоению таких тем, как «Решение задач с параметром» и «Решение стереометрических задач». Для проверки усвоения материала по каждой теме предложены контрольные работы и приведены ответы на них.
          Для учащихся старших классов средних школ, гимназий, лицеев, слушателей подготовительных курсов, выпускников средних специальных учебных заведений, а также лиц, самостоятельно изучающих математику и готовящихся к вступительным испытаниям в технические вузы (в частности, по результатам ЕГЭ и физико-математических олимпиад).
УДК 51(075.8)
ББК 22.151.0


Учебное издание
     Власова Елена Александровна, Облакова Татьяна Васильевна
Учебное пособие для поступающих в вузы Математика

     Оригинал-макет подготовлен в Издательстве МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Подписано в печать 25.06.2018. Формат 60x90 1/16.
Усл. печ. л. 19.0. Тираж 1200 экз.
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана. 105005, Москва, 2-я Бауманская, 5. press@bmstu.ru www.baumanpress.ru
Отпечатано в типографии МГТУ им. Н.Э. Баумана. 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5. baumanprint@gmail.com

© Власова Е.А., Облакова Т.В., 2012
                                    © Власова Е.А., Облакова Т.В., 2018, с изменениями
                                    © Оформление. Издательство
ISBN 978-5-7038-4956-9                МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2018

                ПРЕДИСЛОВИЕ





   Пособие предназначено для школьников старших классов и выпускников средних специальных учебных заведений, предполагающих участвовать в физико-математических олимпиадах МГТУ им. Н.Э. Баумана и других технических вузов.
   Пособие разработано на основе материалов тренировочных занятий, проводившихся в течение ряда лет Центром маркетинга образовательных услуг МГТУ им. Н.Э. Баумана для учащихся 11-х классов с целью их подготовки к участию в олимпиадах абитуриентов и успешной сдаче ЕГЭ по математике . В настоящее время подготовительный цикл состоит из 14 занятий, посвященных отдельным темам школьного курса алгебры и геометрии.
   Пособие включает шестнадцать глав.
   В каждой главе наряду с изложением основных методов решения задач по приведенной тематике содержится необходимый справочный теоретический материал и рассмотрены задачи разного уровня сложности. Большинство представленных задач предлагались на физико-математических олимпиадах, проводимых в МГТУ им. Н.Э. Баумана. Значительное внимание уделено освоению таких сложных для школьников тем, как «Решение задач с параметром» (гл. 6, 7 14) и «Решение стереометрических задач» (гл. 8-11). Некоторые главы (1, 2, 4, 6, 7, 14) доступны школьникам 9-х и 10-х классов.
   Каждая глава завершается контрольной работой, содержащей, как правило, от 5 до 10 задач по рассмотренной теме, причем для каждой задачи указан уровень сложности в баллах. Учащийся имеет возможность после проработки материала соответствующей главы и выполнения контрольной работы сверить полученные им ответы с ответами, приведенными в конце пособия, и оценить уровень своих знаний по данной теме по 100-бальной шкале. Если задача решена с ошибками или частично, она также может быть оценена некоторым баллом с учетом характера ошибок. Каждая контрольная работа рассчитана на 5 академических часов и не предполагает при ее выполнении использования методических и справочных пособий.

Предисловие


   В соответствии с наработанным опытом успешной (зачетной) считается работа, за которую получено 35 баллов и более. Это дает основание полагать, что материал данного раздела усвоен учащимся в объеме, достаточном для дальнейшего обучения в техническом вузе. Оценка работы 50-60 баллов означает хороший уровень подготовки.
   Авторы с благодарностью примут замечания и пожелания по структуре и содержанию предлагаемого пособия, которые можно направить в Центр маркетинга по адресу МГТУ им. Н.Э. Баумана.

                1. ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ




            1.1. Задачи на движение


   При решении задач на движение, как правило, весь процесс движения можно разбить на конечное число этапов, на каждом из которых движение происходит с постоянной скоростью, т. е. справедлива формула s = v ■ t (s - пройденный путь, v - скорость движения, t - время движения). Данные задачи удобно сразу заносить в таблицу, где в каждом столбике величины должны быть приведены в заранее выбранных единицах измерения (например, табл. 1.1 и 1.2).

Автомобиль, скорость которого на 40 км/ч больше скорости велосипедиста, на путь из пункта A в пункт B и обратно затрачивает на 2 ч меньше, чем велосипедист на путь из A в B. Определите скорости каждого из них.

   Решение.


    Пусть x - скорость велосипедиста, x + 40 - скорость автомо
биля. В задаче сравниваются движения автомобиля из пункта A

в пункт B и обратно и велосипедиста из пункта A в B . Составим следующую таблицу (табл. 1.3).
   Необходимо определить x+ 40 и x. Согласно формуле

Таблица 1.3

v, км/ч t, ч  s, км
x + 40    t    240 
   x    t + 2  120 

s = v ■ t, каждая строчка таблицы является уравнением. Имеем си

стему двух уравнений с двумя неизвестными x и t :

1. Текстовые задачи

                       t = 240
f( x + 40) t = 240,     x + 40,
5                ^ 5 Z           X       ^
[ x⁽t + 2) =¹²⁰     x (240 + 2 V120
I x + 40 J
^ 240x + 2x(x + 40) = 120(x + 40) ^ x² +100x - 2400 = 0 ^ ^ x₁/₂ =-50 ± V2500 + 2400 = -50 ± 70.

   Так как x > 0, то x = 20, x + 40 = 60.
   Ответ: 60 км/ч, 20 км/ч.
   Задача 1.2. Один автомобиль проходит в минуту на 240 м больше, чем другой, поэтому затрачивает на прохождение одного километра на 12,5 с меньше. На сколько метров увеличивается расстояние между первым и вторым автомобилями за время, пока второй проходит 1 км?
   Решение.

    Если выбрать за единицу измерения скорости 1 м/мин и обозначить через x скорость второго автомобиля, то (x + 240) м/мин 
Таблица 1.4

v, м/мин  t, мин  s, м
x + 240     t     1000
   x     t + 5/24 1000

скорость первого автомобиля. В задаче сравниваются движения автомобилей при прохождении ими 1 км, т. е. 1000 м. Отметим, что для согласования размерностей необходимо также 12,5 с перевести в минуты: 12,5 с =

  125  5
  600 = — мин. Составим следующую таблицу (табл. 1.4).


   Необходимо определить, на сколько метров увеличивается расстояние между первым и вторым автомобилями за время, пока второй автомобиль проходит 1000 м. Второй автомобиль проходит

1000 м за время

1000
, x

первый автомобиль за это время пройдет

расстояние

1000         240 000
(x + 240)----= 1000 +-------
Таким образом, иско
x

x

1.1. Задачи на движение

7

мое расстояние равно ^м® ^м® м. Имеем систему двух уравнений x
с двумя неизвестными x и t :

'(x + 240) t = 1000,
: Г 5 I
x I t + — 1 = 1000
   I 24 J

1000 t =-----,
   x+240

1000
x + 240

+ -5-| ₌ 1000
  24 J

^ 24 000x + 5x(x + 240) = 24 000(x + 240) ^

^ x² + 240x -1152 000 = 0 ^ x₁/₂ = -120 ± ^/14 400 +1152 000 =

= -120±1080.

Так как x > 0, то x = 960. Окончательно имеем

240 000
x

240 000
960

=250 м.

^

   Ответ: на 250 м.
   Задача 1.3. Два лыжника стартовали друг за другом с интервалом 15 мин. Второй лыжник догнал первого на расстоянии 15 км от старта. Достигнув отметки 50 км, второй лыжник повернул обратно и встретил первого на расстоянии 5 км от поворота. Найдите скорости лыжников.
   Решение.

    Пусть x - скорость первого лыжника, a y - скорость второго лыжника. Движение лыжников разобьем на два этапа: первый - от начала движения каждого лыжника до момента обгона, второй -от момента обгона до момента встречи. Каждый этап можно описать двумя строчками в табл. 1.5 (одна строчка описывает движение первого лыжника на данном этапе, вторая - движение второго лыжника). Отметим, что на первом этапе время движения до отметки 15 км первого лыжника на 15 мин, или на 1/4 часа, больше, чем второго, а на втором этапе время движения у них одинаково, но пройденные пути разные.

1. Текстовые задачи

Таблица 1.5

v, км/ч  t, ч        s, км      
   x    t + 1/4        15       
   У       t           15       
   x      t 1   30 = 50 - 15 - 5
   У      t 1   40 = 50 - 15 + 5

   Необходимо определить x и y . Имеем систему четырех урав
нений с четырьмя неизвестными x,y,t и t₁ :

' x (t +1/4) = 15,
  yt = 15,
1
  xt1 = 30,
^ yti = 40

15 t = —
y

15 1

y4

x3

15xx
---+ v = 15, y4

x3

y4

^ 1

^

y4


         45 +x =60,

        ^1 x 3             ^ x = 15, y = 20.

    y4


   Ответ: 15 км/ч, 20 км/ч.
   Иногда приходится решать задачи, которые сводятся к системам, где число неизвестных больше, чем число уравнений.
   Задача 1.4. Из пунктов A и B одновременно выехали навстречу друг другу два велосипедиста. Когда второй велосипедист проехал половину пути, первому оставалось проехать до пункта B 14 км. А когда первый велосипедист прибыл в пункт B , второй находился от пункта A на расстоянии 10,5 км. На каком расстоянии от пункта A велосипедисты встретились?
   Решение.
   Пусть x - скорость первого велосипедиста, а y - скорость второго велосипедиста, 5 - расстояние между пунктами A и B . В условии задачи оговариваются три момента движения. К перво

1.1. Задачи на движение

9

му моменту второй велосипедист проехал половину пути


s
2, пер
вый не доехал до пункта B 14 км, т. е. проехал расстояние s - 14. Ко второму моменту первый велосипедист преодолел расстояние s, второй не доехал до пункта Таблица ₁.₆
A 105 км т. е. проехал рас
стояние 5 -10,5. Третий мо-   v, км/ч t, ч  5, Км  
мент - это момент их встречи.    x    t 1   5 - 14 
Первый велосипедист до           У    t 1    5 /2  
встречи преодолел неизвестное    x     t2     5    
расстояние 51, а второй -        У     t2  5 - 10,5
5 - 51. Составим табл. 1.6 из    x     t3     51   
                                 У     t3   5 - 51 

шести строк.

   Необходимо определить s₁ . Согласно данным табл. 1.6, получим систему шести уравнений с семью неизвестными. Путем де

ления первого уравнения на второе, третьего на четвертое, пятого на шестое получим систему-следствие, которая будет содержать три уравнения с тремя неизвестными —, 5, 51. Таким образом, y
приходим к стандартной ситуации:



xt\ = 5 -14, 5
 л=-,
J xt2 = 5, yt- = 5 - 10,5, xt3 = ⁵1, , yt3 = 5 - 51

   x   2(5 -14)
   — =---------,
   У ⁵
J — = _5_, ^ y ⁵ ⁻¹⁰,⁵
   — = ⁵1
   , У ⁵ ⁻ ⁵1

     5    = 2( 5 -14)
  5 -10,5       5    ’
J                     ^
   '' =      ⁵
_5 - 51 5 - 10,5

5² - 495 + 2 • 21-7 = 0,

< > J 51

5-5₁

5
5 -10,5,

L 49 ± 35
<     2 ’
   '•  __5

5>14,
^

5- 5₁   5 - 10,5

^

1. Текстовые задачи

^

s = 42, s₁

42 -s₁

   42     ^ 51 = 24.
42 -10,5,

   Ответ: на расстоянии 24 км от пункта A.
   Уменьшить число неизвестных можно и за счет выбора единиц измерения.
   Задача 1.5. Пассажирский поезд вышел из пункта A в пункт B. Через 26 ч навстречу ему из пункта B вышел скорый поезд и еще через 4 ч поезда встретились. За сколько часов каждый поезд проходит путь между этими пунктами, если известно, что скорому поезду для этого требуется на 12 ч меньше, чем пассажирскому?
   Решение.

   За единицу измерения расстояния примем расстояние между пунктами A и B . Пусть x, AB /ч, - скорость пассажирского поезда,

Таблица 1.7

v, АВ /ч  t, ч  s, АВ
   x       30     s  
у          4    1 - s
x        t + 12 1    
у          t    1    

а у, AB /ч, - скорость скорого поезда. В табл. 1.7 отметим движение поездов до момента их встречи, а также прохождение каждым поездом всего пути между пунктами A и B.
   Необходимо определить t + 12 и t. В результате выбора единиц

измерения имеем систему четырех уравнений с четырьмя неиз



вестными:



        30 x = s,        4 у = 1 - 30 x,

4y=1-5,

x(t+12)=1, yt = 1

     1
x =----,
   t+12
   1
y=7

4 =1 - 30
t ~ t +12

^

        ^ t* ² - 22t - 48 = 0 ^ t = 24.


   Ответ: 36 ч, 24 ч.