Линейная алгебра
Покупка
Автор:
Попов Владимир Семенович
Год издания: 2016
Кол-во страниц: 256
Дополнительно
Вид издания:
Учебное пособие
Уровень образования:
ВО - Бакалавриат
ISBN: 978-5-7038-4305-5
Артикул: 804532.01.99
Учебное пособие написано на основе цикла лекций, читаемых автором в МГТУ им. Н.Э. Баумана, и охватывает основные разделы базового курса по линейной алгебре. Содержит большое количество подробно разобранных примеров. Каждый раздел заканчивается набором контрольных вопросов по изложенной теории и решением задач по изучаемой теме.
Для студентов и преподавателей технических университетов.
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
- ВО - Бакалавриат
- 00.03.06: Математика
- 01.03.01: Математика
- 01.03.02: Прикладная математика и информатика
- 01.03.04: Прикладная математика
- ВО - Специалитет
- 00.05.06: Математика
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов
Предисловие 1 В.С. Попов Линейная алгебра Учебное пособие
[Введите текст] УДК 517.1 ББК 22.151.5 П58 Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/245/book1347.html Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Прикладная математика» Рекомендовано Редакционно-издательским советом МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебного пособия Рецензенты: д-р физ.-мат. наук, профессор, зав. кафедрой математического анализа и геометрии Московского государственного областного университета А.В. Латышев; канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры математического моделирования МГТУ им. Н.Э. Баумана А.Ф. Грибов Попов, В. С. П58 Линейная алгебра : учебное пособие / В. С. Попов. — Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2016. — 251, [5] с. : ил. ISBN 978-5-7038-4305-5 Учебное пособие написано на основе цикла лекций, читаемых автором в МГТУ им. Н.Э. Баумана, и охватывает основные разделы базового курса по линейной алгебре. Содержит большое количество подробно разобранных примеров. Каждый раздел заканчивается набором контрольных вопросов по изложенной теории и решением задач по изучаемой теме. Для студентов и преподавателей технических университетов. УДК 517.1 ББК 22.151.5 Попов В.С., 2016 Оформление. Издательство ISBN 978-5-7038-4305-5 МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2016
Предисловие Учебное пособие по линейной алгебре написано на основе цикла лекций, читаемых автором в МГТУ им. Н.Э. Баумана, и предназначено для студентов инженерно-технических специальностей высших учебных заведений. Университетская подготовка предполагает фундаментальность в образовании, в основе которой лежит принцип глубокой проработки теоретических положений, сопровождаемых решением большого количества задач. Среди фундаментальных математических идей, понятий и алгоритмов особое место занимают понятия линейного пространства, базиса, линейного отображения, собственного элемента и собственного значения, матрицы линейного оператора и квадратичной формы, определителя и ранга матрицы. Все эти важные понятия рассматриваются в курсе линейной алгебры — одном из весьма трудных разделов высшей математики. Линейная алгебра с ее методами предоставляет аппарат для единообразного изучения различных линейных физических и математических процессов. С помощью методов линейной алгебры изучаются и нелинейные задачи на основе линеаризации; многие нелинейные методы испытывают на линейных моделях. Линейная алгебра позволяет установить связь между различными разделами математики. По сути, пособие представляет собой учебно-методический комплекс, который соответствует образовательному стандарту на основе модульно-рейтинговой (или блочно-модульной) системы обучения. Эта система предполагает непрерывность контроля успеваемости студентов в течение всего срока обучения, она призвана активизировать и систематизировать учебную работу студентов, усилить мотивацию к получению знаний и поднять их уровень, способствовать повышению качества образования. Пособие охватывает основные разделы базового курса линейной алгебры. Назначение пособия — помочь студентам в изучении
Предисловие и активном усвоении сложного материала. Структура пособия подчинена решению именно этих задач. Каждый раздел разбит на подразделы, которые содержат теоретический материал: основные понятия и определения; теоремы и их доказательства; поясняющие примеры и комментарии в виде замечаний. Каждый подраздел заканчивается контрольными вопросами и заданиями, а также примерами решения задач по изучаемой теме. Количество разобранных примеров варьируется в зависимости от объема и важности изложенного теоретического материала. Начало и конец доказательства теоремы, решения задачи или примера отмечены знаками ◄ и ► соответственно, а окончание замечания и примера без доказательства и решения — знаком ■. В приложениях приведены материалы, связанные с подготовкой к контролю по модулям, типовые варианты рубежного контроля и экзаменационные вопросы по курсу линейной алгебры. Такое построение пособия, на наш взгляд, даст возможность студенту усвоить теоретический материал курса линейной алгебры и приобрести практические навыки решения многочисленных задач. При подборе задач и примеров использовались различные источники, в том числе известные задачники по линейной алгебре, учебные пособия по решению задач, а также методические пособия, написанные преподавателями кафедр высшей математики МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор посвящает эту книгу памяти доцента В.Д. Морозовой. Ее методические указания, доброжелательные замечания и советы способствовали созданию этого пособия. Автор выражает искреннюю признательность профессору А.Н. Канатникову за полезное обсуждение первоначального текста рукописи и благодарит всех сотрудников кафедры прикладной математики МГТУ им. Н.Э. Баумана, особенно профессора В.И. Ванько и доцента Е.А. Власову, за ценные замечания, поддержку и помощь.
Памяти В.Д. Морозовой посвящается Глава 1 Линейные пространства 1.1. Определение и свойства линейного пространства Понятие линейного пространства Множеством в математике принято называть совокупность объектов, объединенных некоторым общим признаком. Эти объекты называют элементами множества. Множество, состоящее из конечного числа элементов, называют конечным, а содержащее бесконечно много элементов — бесконечным. Среди всевозможных множеств выделяют такие множества, над элементами которых выполняются некоторые операции, причем, вопервых, все эти операции определены и однозначны для любых элементов из данного множества и, во-вторых, результат выполнения этих операций принадлежит элементам того же множества. Пусть задано некоторое множество. Говорят, что на заданном множестве определена алгебраическая операция, если указан закон, по которому любой паре элементов a и b из этого множества однозначным образом ставится в соответствие некоторый третий элемент c того же множества (результат этой операции). Это может быть операция сложения, и тогда элемент c называется суммой элементов a и b (обозначение: ), c a b или операция умножения, и тогда c называется произведением элементов a и b (обозначение: ). c ab Такого рода б и н а р н ы е алгебраические операции — сложение и умножение — в различных множествах определяются поразному. Например, в множестве векторов (направленных отрезков) двум векторам по правилу параллелограмма ставится в соот
ГЛАВА 1. Линейные пространства ветствие вектор, называемый их суммой, а вектору а и числу — вектор а, называемый произведением а и . В множестве матриц одних и тех же размеров операция сложения вводится как матрица, элементы которой равны суммам соответствующих элементов слагаемых; операция умножения матрицы на число определяется как матрица, элементами которой являются произведения элементов исходной матрицы и этого числа. Однако эти операции имеют одни и те же свойства: коммутативность и ассоциативность сложения, дистрибутивность умножения на число по отношению к сложению чисел и др. Поэтому если при исследовании множеств, основанном на свойствах операций, получается некоторый результат, он имеет место во всех множествах, операции в которых обладают такими же свойствами. При этом как элементы, так и операции над ними могут быть различной природы. Определение 1.1. Полем называют множество P произвольной природы, на котором заданы две б и н а р н ы е алгебраические операции — сложение и умножение, подчиняющиеся аксиомам поля. Аксиомы поля: А. Операции сложения: 1) a b b a — сложение коммутативно; 2) ( ) ( ) a b c a b c — сложение ассоциативно; 3) существует единственный н у л е в о й элемент P θ такой, что a a для любого элемента ; P a 4) для каждого элемента P a существует единственный п р о т и в о п о л о ж н ы й элемент ( ) a такой, что ( ) . a a В. Операции умножения: 5) ab ba — умножение коммутативно; 6) ( ) ( ) ab c a bc — умножение ассоциативно; 7) существует единственный е д и н и ч н ы й элемент e такой, что ae ea a для любого ; P a 8) для каждого ненулевого элемента P a существует единственный о б р а т н ы й элемент 1 a такой, что 1 1 . aa a a e
1.1. Определение и свойства линейного пространства 7 С. Совместные операции сложения и умножения: 9) ( ) a b c ac bc — умножение дистрибутивно относительно сложения. Аксиомы поля позволяют оперировать его элементами так же, как и числами. В качестве поля P чаще всего рассматривают поле действительных чисел и поле комплексных чисел . Рассмотрим теперь множество V и поле P произвольной природы. Определение 1.2. Множество V элементов x, y, z, … любой природы называют линейным пространством над полем , P если выполнены следующие условия: • на множестве V определена операция сложения элементов, т. е. каждой паре элементов x и y из V поставлен в соответствие элемент z из V, обозначаемый z x y и называемый суммой элементов x и y; • для элементов множества V определена операция умножения на действительное число, т. е. каждому элементу x из V и каждому числу поставлен в соответствие элемент z из V, обозначаемый z x и называемый произведением элемента x и числа (действительного) ; • указанные (л и н е й н ы е) операции подчиняются аксиомам линейного пространства. Аксиомы линейного пространства: А. Аксиомы сложения: 1) x + y = y + x — коммутативность (переместительность) операции сложения; 2) (x + y) + z = x + (y + z) — ассоциативность (сочетательность) операции сложения; 3) в множестве V существует нулевой (нейтральный) элемент такой, что для любого элемента x из V выполняется равенство x + = x; 4) для любого элемента x из V в множестве V существует такой элемент ,х что , x x х — противоположный для x элемент, обозначаемый (–х). В. Аксиомы умножения: 5) 1 x x — произведение любого элемента x из V и единицы равно этому элементу (особая роль числового множителя 1);
ГЛАВА 1. Линейные пространства 6) ( ) ( ) x x — ассоциативное свойство числовых множителей. С. Аксиомы, связывающие операции сложения и умноже- ния: 7) ( ) x x x — дистрибутивность (распределительность) операции умножения на число относительно суммы числовых множителей; 8) ( ) x y x y — дистрибутивность (распределительность) операции умножения на число относительно суммы элементов множества V. Важно подчеркнуть следующее: а) при введении понятия линейного пространства происходит отвлечение не только от природы элементов множества V, но и от алгебраического смысла операций сложения элементов и умножения элемента на число; б) множество V з а м к н у т о относительно операций сложения элементов и умножения элемента на число, т. е. эти операции не выводят элементы за пределы множества V; в) элементы x, y, z, … линейного пространства часто называют векторами, и поэтому линейное пространство называют также векторным пространством. В дальнейшем будем использовать как термин «элемент», так и термин «вектор». Замечание 1.1. В зависимости от конкретно заданного поля P пользуются следующей терминологией: если P — поле действительных чисел, то говорят о линейном пространстве над полем действительных чисел; если P — поле комплексных чисел, говорят о линейном пространстве над полем комплексных чисел. ■ Примеры линейных пространств: 1. Множество 3 V 2 ( ) V всех свободных векторов в пространстве (на плоскости) с линейными операциями над векторами — линейное пространство, так как верны все аксиомы линейного пространства. 2. Можно говорить о линейном пространстве nP многочленов степени не выше n с вещественными коэффициентами. 3. Множество матриц размера , m n элементами которых являются действительные числа, с линейными операциями над матрицами удовлетворяют всем аксиомам линейного пространства.
1.1. Определение и свойства линейного пространства 9 4. Совокупность упорядоченных наборов 1 ( ,..., ) n из n действительных чисел. Операции сложения и умножения на действительное число вводятся так: а) сложение — 1 1 1 1 ( ,..., ) ( ,..., ) ( ,..., ); n n n n б) умножение на число — 1 1 ( ,..., ) ( ,..., ). n n Обозначение: n (n-мерное вещественное координатное пространство). Свойства линейного пространства Непосредственно из аксиом линейного пространства можно вывести ряд его простейших свойств. 1°. Нулевой элемент определен однозначно. ◄ Пусть 1 и 2 — нулевые элементы пространства V. Рассмотрим сумму 1 2. Вследствие того что 2 — нулевой элемент, из аксиомы 3 линейного пространства получаем, что 1 2 1, а поскольку элемент 1 также нулевой, то 1 2 2 1 2, т. е. 1 2. ► 2°. Для любого элемента x противоположный ему элемент (–x) определен однозначно. ◄ Пусть для некоторого x существуют два противоположных элемента x и . x Покажем, что они равны. Рассмотрим сумму . x x x Пользуясь аксиомами 1–3 линейного пространства и тем, что элемент x противоположен элементу ,x получаем ( ) . x x x x x x x x Аналогично убеждаемся в том, что ( ) . x x x x x x x x ► 3°. В произвольном линейном пространстве нулевой (нейтральный) элемент равен произведению произвольного элемента x и числа 0; для каждого элемента x противоположный ему элемент равен произведению x и действительного числа (–1). ◄ Пусть x — произвольный элемент линейного пространства, x — противоположный ему элемент. Применяя аксиомы линейного пространства, получаем
ГЛАВА 1. Линейные пространства 0 0 0 ( ) 0 1 (0 1) 1 0 . x x x x x x x x x x x x x x x Пусть x — произвольный элемент, ( 1) . y x Используя аксиомы линейного пространства и доказанное свойство 0 , x получаем ( 1) 1 ( 1) [1 ( 1)] 0 . x y x x x x x x ► 4°. Для любого вещественного числа и выполняется равенство . ◄ Действительно, ( ) . Прибавляя к левой и правой частям равенства , получаем . ► 5°. Из равенства x следует, что либо 0, либо . x ◄ В самом деле, пусть 0, тогда 1 1 1 1 ( ) . θ θ x x x x ► Определение 1.3. Разностью x y элементов x и y называют такой элемент ,z что . x y z Легко заметить, что ( ). x y x y Контрольные вопросы и задания 1. Дайте определение линейного пространства. Приведите примеры линейных пространств. 2. Перечислите свойства линейного пространства. 3. Является ли линейным пространством пустое множество? 4. Могут ли в линейном пространстве существовать два противоположных элемента для некоторого элемента х? 5. Являются ли линейным пространством следующие множества с обычными операциями сложения их элементов и умножения элементов на действительные числа: а) непрерывные функции на сегменте [ , ]; a b б) векторы трехмерного пространства, ортогональные данной прямой; в) последовательности действительных чисел, имеющие конечный предел? 6. Что понимается под операцией вычитания в линейном пространстве?