Приближенные методы математической физики. Вып. 13

МАТЕМАТИКА В ТЕХНИЧЕСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ


Аи = f => (Au, v) = (f, v) \/vEH

E.A. Власова, В.С. Зарубин, Г.Н. Кувыркин


ПРИБЛИЖЕННЫЕ
МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ФИЗИКИ




Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана

Математика в техническом университете

Выпуск XIII

Серия удостоена Премии Правительства Российской Федерации в области науки и техники за 2003 год

Комплекс учебников из 21 выпуска


Под редакцией В. С. Зарубина и А.П. Крищенко

I. Введение в анализ
II. Дифференциальное исчисление функций одного переменного
III. Аналитическая геометрия
IV. Линейная алгебра
V.  Дифференциальное исчисление функций многих переменных
VI. Интегральное исчисление функций одного переменного
VII. Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля
VIII. Дифференциальные уравнения
IX. Ряды
X. Теория функций комплексного переменного
XI. Интегральные преобразования и операционное исчисление
XII. Дифференциальные уравнения математической физики
XIII. Приближенные методы математической физики
XIV. Методы оптимизации
XV.  Вариационное исчисление и оптимальное управление
XVI. Теория вероятностей
XVII. Математическая статистика
XVIII. Случайные процессы
XIX. Дискретная математика
XX.  Исследование операций
XXI. Математическое моделирование в технике

Е.А. Власова, В.С. Зарубин, Г.Н. Кувыркин


ПРИБЛИЖЕННЫЕ
МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ФИЗИКИ
Издание второе, стереотипное

Под редакцией д-ра техн, наук, профессора В.С. Зарубина и д-ра физ.-мат. наук, профессора А.П. Крищенко

Рекомендовано
Министерством образования Российской Федерации в качестве учебника для студентов высш,их технических учебных заведений



Москва Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана 2004

УДК 517.1(075.8)
ББК 22.193

     В58


Рецензенты: проф. М.П. Галанин, проф. Д.В. Георгиевский

В58 Власова Е.А., Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики: Учеб, для вузов. - 2-е изд., стереотип. / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. -704 с. (Сер. Математика в техническом университете; Вып. XIII).


        ISBN 5-7038-1768-4 (Вып. XIII)
        ISBN 5-7038-1270-4


          Книга является тринадцатым выпуском серии учебников „Математика в техническом университете Последователвно изложены математические модели физических процессов, элементы прикладного функционалвного анализа и приближенные аналитические методы решения задач математической физики, а также широко применяемые в научных исследованиях и инженерной практике численные методы конечных разностей, конечных и граничных элементов. Рассмотрены примеры исполвзования этих методов в прикладных задачах.
          Содержание учебника соответствует курсам лекций, которые авторы читают в МГТУ им. Н.Э. Баумана.
          Для студентов технических университетов. Может бытв полезен преподавателям, аспирантам и инженерам.


Ил. 76. Табл. 3. Библиогр. 81 назв.






                                                        УДК 517.1(075.8)
                                                        ББК 22.193

©

©

ISBN 5-7038-1768-4 (Вып. XIII)
ISBN 5-7038-1270-4

                                          Е.А. Власова, В.С. Зарубин, Г.Н. Кувыркин, 2001
                                          Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана, 2001

©

          Издателвство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001

                              К 175-летию
МГТУ им. Н.Э. Баумана





                ПРЕДИСЛОВИЕ




  Точное аналитическое решение задач математической физики обычно требует интегрирования дифференциальных уравнений с частными производными, включающих искомые функции. Эти уравнения в общем случае необходимо проинтегрировать в некоторой пространственно-временной области, на границе которой искомые функции подчинены заданным краевым условиям.
  Реализация такого подхода связана обычно с большими и не всегда преодолимыми трудностями. Но с прикладной точки зрения наряду с аналитической формой точного решения задачи не меньшее значение имеет получение приближенного аналитического решения или приближенных числовых значений искомых величин. Математические модели ряда физических процессов содержат интегральные или интегро-дифференциальные уравнения, в которых искомые функции входят и под знак интеграла. Точное аналитическое решение таких уравнений возможно лишь в редких случаях, что также подчеркивает значимость приближенных методов решения.
  Дифференциальные уравнения, описывающие законы сохранения и переноса физических субстанций и используемые при постановке задач математической физики (они приведены в первой части книги), можно рассматривать как операторные, действующие в тех или иных функциональных пространствах. В связи с этим во второй части кратко изложены необходимые сведения из функционального анализа и рассмотрены свойства некоторых операторов, характерных для таких задач. Эти сведения использованы затем при изложении приближенных

ПРЕДИСЛОВИЕ

аналитических и численных (в третьей и четвертой частях) методов решения задач математической физики.
   Значительное число примеров, иллюстрирующих рассматриваемые методы, связаны с процессами теплопроводности в твердом теле. В силу прозрачности физической постановки таких задач и предсказуемости качественного характера решения они являются хорошим „ полигоном “ для проверки эффективности методов и сопоставления различных подходов к получению количественного решения краевых задач, описываемых дифференциальными уравнениями эллиптического и параболического типов. Методы, применяемые для решения краевых задач, описываемых уравнениями гиперболического типа, проиллюстрированы на примерах, связанных с волновым уравнением.
   Ссылкой в тексте на конкретный выпуск комплекса учебников „Математика в техническом университете“ является его номер, записанный римскими цифрами. Например, [1-7.5] означает ссылку на пятый параграф седьмой главы в первом выпуске, тогда как (см. 1.2) отсылает читателя ко второму параграфу первой главы этой книги, а (см. Д.4.1) — к первому дополнению четвертой главы этой книги. Ссылки в тексте на номера формул и рисунков набраны обычным шрифтом (например, (2.1) — первая формула в главе 2, рис. 1.5 — пятый рисунок в главе 1).
   За предисловием следует перечень основных обозначений, где наряду с их краткой расшифровкой даны ссылки на разделы этого или других выпусков серии, в которых можно найти более подробное объяснение каждого обозначения. После этого перечня приведены написание и русское произношение букв латинского и греческого алфавитов.
   В конце книги помещены список рекомендуемой литературы и предметный указатель, в который входят в алфавитном порядке (по существительному в именительном падеже) все выделенные в тексте полужирным курсивом термины с указанием страницы, где они строго определены или описаны. Выделение термина светлым курсивом, означает, что в данном

параграфе он отнесен к ключевым словам и читателю для понимания излагаемого материала должно быть известно значение этого термина. Читатель может уточнить это значение, найдя при помощи предметного указателя необходимую страницу, на которой используемый термин определен или описан. Если термин введен в другом выпуске, то указан его номер римской цифрой. Курсивом в предметном указателе даны ссылки, указывающие на дополнительную информацию о термине.
   Изучение приближенных методов математической физики опирается на знание практически всех разделов общего курса высшей математики. Поэтому перед чтением этой книги необходимо в целях самоконтроля выполнить следующие несложные задания. В конце каждого задания приведена ссылка на тот выпуск, в котором при возникновении затруднений можно найти все необходимые сведения. Значения терминов, выделенных в тексте этих заданий прямым полужирным шрифтом, далее будем считать известными (в основном тексте книги эти термины не выделены и не входят в предметный указатель).


Задания для самопроверки


   1. Как определить множества целых Z и рациональ

ных Q чисел при помощи множества N натуральных чисел? Что такое абсолютное значение действительного числа

и модуль комплексного числа? Каковы свойства точ

ных верхней и нижней граней подмножества множества

действительных чисел К? [I]

   2.   Из каких этапов состоят доказательства от противного и по методу математической индукции? [I]
   3.   Что такое объединение, пересечение, разность и прямое (декартово) произведение множеств (подмножеств), дополнение множества? [I]
   4. Какие точки множества в Ж” называют внутренни

ми, граничными, предельными, изолированными? Что

такое открытое, замкнутое, ограниченное, компактное

ПРЕДИСЛОВИЕ

множества в n-мерном евклидовом арифметическом пространстве Ж”? [V]

   5. Запишите с помощью неравенств условия принадлежно

сти точки х промежуткам числовой прямой: отрезку

[а, Ь], интервалу (а, Ь), полуинтервалу (а, Ь], бесконечному интервалу (—оо, Ь) и бесконечному полуинтервалу
[а,+оо). [I]

   6.    Изобразите на числовой прямой окрестности конечной и бесконечной точек расширенной числовой прямой. В чем отличие этих окрестностей от проколотых окрестностей и полуокрестностей? [I]

   7. Какими свойствами обладает взаимно однозначное

отображение двух множеств? Чему равна композиция

прямого и обратного отображений двух множеств? [I]

   8. Приведите примеры составной и периодической дей

ствительных функций действительного переменного и

укажите их области определения (существования) и значений. Как расположены относительно начала координат графики четной и нечетной функции? [I]

   9.   Сколько нулей имеет многочлен степени п? В чем различие между простым и кратным нулем? [I]
   10.   Сформулируйте определения предела, производной и дифференциала действительной функции действитель

ного переменного в точке. Всякая ли функция, непрерывная в точке, является дифференцируемой в этой точке? Приведите примеры функций, имеющих точки: а) устранимого разрыва; б) разрыва первого рода; в) разрыва второго рода. Каковы свойства функции, непрерывной (дифференцируемой) на отрезке? Как вычислить производную сложной функции? Что называют вектор-функцией? [I], [II]

   11.   Является ли сходящаяся числовая последовательность ограниченной? В чем различие между монотонной и строго монотонной последовательностью? Сформу

лируйте признак Вейерштрасса сходимости последовательности. [I]
   12.   В каких точках числовой оси функции sins, 1/х являются бесконечно малыми, а функции ж², ctgs — бесконечно большими? [I]
   13.   В чем различие между монотонной и строго монотонной в некотором промежутке функциями? Каковы условия существования в нем непрерывной и строго монотонной функции, обратной заданной функции? Изобразите графики возрастающей, убывающей, невозрастающей и неубывающей в промежутке функций. [I]
   14.   Приведите примеры бесконечно малых при х Н* а функций: а) одного порядка; б) первого порядка малости одной относительно другой; в) несравнимых; г) эквивалентных. Каковы свойства эквивалентных бесконечно малых функций? В каком случае главную часть функции, бесконечно малой при х Н* а, можно представить степенной функцией? Каков смысл символов о малое“ и О большое“? [I]
   15.   Что такое абсолютная и относительная погрешности? [II]
   16.   Каковы правила вычисления скалярного, векторного и смешанного произведений векторов? Что такое нулевой, единичный и коллинеарные векторы, радиус-вектор точки в пространстве? [Ш], [IV]
   17.   Что такое квадратная, прямоугольная, блочная, симметрическая, нулевая, единичная, верхняя (нижняя) треугольная, вырожденная матрица? Что представляют собой транспонированная и обратная матрицы по отношению к данной матрице? Как вычислить ранг матрицы? Чему равен определитель диагональной матрицы? При каком условии однородная квадратная система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) имеет ненулевое решение? [III]
   18.   Перечислите аксиомы линейного пространства, которым подчиняются линейные операции в этом простран