Некоторые аналитические проблемы теории бесконечномерных вероятностных распределений

О. B. Пугачёв

Некоторые аналитические проблемы
теории бесконечномерных
вероятностных распределений

Москва
2012

УДК 519.21
ББК 22.171
П88

Рецензент –– заведующий кафедрой высшей математики Ростовского государственного строительного университета д-р физ.-мат. наук,
проф. И. В. Павлов

Пугачёв О. В.
П88
Некоторые аналитические проблемы теории бесконечномерных
вероятностных распределений / О. В. Пугачёв. –– М. : Изд-во МГТУ
им. Н. Э. Баумана, 2012. –– 137, [3] с. : ил.

ISBN 978-5-7038-3625-5

Решена одна давняя проблема замыкаемости форм Дирихле. Получены
условия слабой сходимости конечномерных распределений сингулярных
диффузионных процессов в терминах порожденных ими форм Дирихле.
Доказана плотность емкостей, порожденных классами Соболева различных
порядков в локально выпуклых пространствах, а также в пространствах
конфигураций. В этих пространствах построены и изучены поверхностные
меры на множествах уровня соболевских функций.
В работе применяются методы теории бесконечномерных вероятностных распределений и функционального анализа; используется ряд оригинальных конструкций автора.
Работа носит теоретический характер. Ее методы и результаты могут
быть использованы в теории случайных процессов, теории дифференциальных уравнений с частными производными на бесконечномерных пространствах, математической физике, геометрической теории меры.
Для студентов старших курсов, аспирантов и преподавателей высших
учебных заведений с углубленным изучением математики.

УДК 519.21
ББК 22.171

ISBN 978-5-7038-3625-5

c⃝ Пугачёв О. В., 2012
c⃝ Оформление. Издательство
МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2012

ВВЕДЕНИЕ

Работа посвящена аналитическим проблемам теории бесконечномерных вероятностных распределений, привлекающим аппарат
теории емкостей и форм Дирихле для изучения распределений
случайных процессов, функционалов от них, а также сходимости
случайных процессов. Это направление, активно развивающееся в последнюю четверть XX в., в идейном отношении восходит
к классическим работам Ю. В. Прохорова и Г. Шоке, отличительной
особенностью которых явился синтез аналитического и топологического подходов. В последующие годы развитие аналитического
направления привело к созданию двух важных областей в теории
бесконечномерных вероятностных распределений –– теории дифференцируемых мер Фомина и исчисления Маллявэна (см. [4]).
Первая общая конструкция поверхностной меры на бесконечномерном пространстве была предложена А. В. Скороходом и развита
А. В. Углановым, который получил важные приложения этой теории к решению бесконечномерных дифференциальных уравнений
с частными производными. Однако метод А. В. Угланова требует топологических ограничений на рассматриваемые поверхности
(непрерывности некоторых производных). В случае гауссовских
мер эти ограничения удалось снять П. Маллявэну. В. И. Богачев
предложил схему построения поверхностных мер, порожденных
негауссовскими гладкими мерами, с использованием исчисления
Маллявэна. Этот подход был развит автором настоящей монографии, что позволило снять топологические ограничения также для
общих дифференцируемых мер и построить по ним поверхностные
меры на множествах уровня соболевских функций. От этих функций не требуется даже непрерывность (таковы типичные функции,
появляющиеся в теории случайных процессов и задаваемые с помощью стохастических интегралов).
В геометрической теории меры и стохастическом анализе часто возникает потребность в более тонкой характеристике малости
множества, чем сама мера. Важным примером такой характеристики является емкость. Свойства емкостей, порожденных классами
Соболева на бесконечномерных пространствах, рассматривались
в работах М. Рёкнера, М. Фукусимы, В. И. Богачева и других как
для гауссовских, так и для некоторых негауссовских мер, однако

Введение

для общих дифференцируемых мер до сих пор имелись лишь отдельные результаты, а случай пространства конфигураций ранее
вообще не исследовался.
Одной из наиболее принципиальных и просто формулируемых
(но, как правило, трудных) проблем с емкостями, порожденными
классами Соболева, является проблема их плотности, т. е. существования компактов со сколь угодно малыми емкостями дополнений. Эта проблема весьма актуальна и в стохастическом анализе,
и в теории меры. Вопрос о плотности классических соболевских
емкостей на Rn решен положительно. В бесконечномерном случае
появляется широкое разнообразие пространств, мер и определений
соболевских классов. Плотность емкостей C1,2 важна при построении диффузионных процессов. Кроме того, плотность емкостей,
порожденных классами Wr,p, является существенной деталью предлагаемой конструкции поверхностных мер на бесконечномерных
пространствах. С вероятностной точки зрения оценки емкости различных множеств важны для понимания диффузионных процессов,
например возможности попадания в эти множества.
Один из важнейших объектов в этих исследованиях –– формы
Дирихле. Этот аналитический объект тесно связан с целым спектром вероятностных понятий и проблем, относящихся к сходимости
случайных процессов. Замыкаемости и сходимости форм Дирихле
и свойствам связанных с ними диффузионных процессов и классов
Соболева посвящено множество исследований, из которых особенно важны работы В. В. Жикова, У. Моско, С. Альбеверио и М. Рёкнера. Чтобы квадратичная форма Дирихле могла быть ассоциирована
с некоторым диффузионным процессом, необходима ее замыкаемость. В случае, когда вероятностная мера
на Rd задана дифференцируемой (в соболевском смысле) плотностью ϱ, существует
диффузионный процесс
t, имеющий стационарное распределение
d
= ϱ dx. Генератор L переходной полугруппы этой диффузии име
ет вид L f = Δf +
∇ϱ

ϱ , ∇ f
. Квадратичная форма этого оператора

есть форма Дирихле E( f) =
∇ f
2 d
. Оказывается, что E( f) может
быть замыкаемой и для мер с недифференцируемыми плотностями
(таким способом строятся диффузии с сингулярными коэффициентами сноса). Этому направлению принадлежит один из основных
результатов данной работы –– решение давней проблемы существования такой замыкаемой градиентной формы Дирихле на плоскости, что частные формы не являются замыкаемыми.

Введение
5

Наконец, еще одно активно развивающееся современное направление в теории бесконечномерных вероятностных распределений, к которому относится ряд основных результатов данной
работы, связано с изучением одной разновидности бесконечномерных многообразий, а именно пространств конфигураций, т. е.
пространств локально-конечных наборов точек из данного фазового пространства, например, риманова многообразия. Пространства
конфигураций возникают во многих теоретических и прикладных
задачах. На них строятся меры, представляющие собой различные
обобщения распределения Пуассона. На пространствах конфигураций имеется естественная и очень интересная структура бесконечномерного многообразия. В данной работе строятся соболевские
классы любых порядков на пространстве конфигураций с мерой
Пуассона; изучается проблема плотности порожденных ими емкостей. Кроме того, оцениваются емкости различных порядков для
множества конфигураций, имеющих кратные точки. Эти вопросы
ранее не изучались.
Последняя группа результатов связана с преобразованиями мер
на пространствах конфигураций.

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

[A] –– замыкание множества A

Aт –– транспонированная матрица A

[a; b] –– отрезок прямой, соединяющий точки a и b

Br –– замкнутый шар радиуса r

h –– логарифмическая производная меры
вдоль вектора h
(см. опр. 1.4)

B(X) –– борелевская
-алгебра множеств в пространстве X

C –– сокращенное обозначение класса гладких функций, выбранного для данного пространства

Cb(Rd) –– класс ограниченных непрерывных функций в Rd

C∞(Rd) –– класс бесконечно дифференцируемых функций в Rd

C∞
o (Rd) –– класс бесконечно дифференцируемых функций с ограниченным носителем в Rd

Ck
b(Rd) –– класс ограниченных функций с непрерывными ограниченными производными до k-го порядка в Rd

C∞
b (Rd) –– класс ограниченных бесконечно дифференцируемых
функций с ограниченными производными в Rd

Cr,p –– емкость, порожденная классом Wr,p (см. опр. 2.3)

Ck(M) –– класс функций на многообразии M, непрерывно дифференцируемых k раз

Ck
0(M) –– класс функций из Ck(M) с ограниченными носителями

Ck(M, T M) –– класс векторных полей на M, непрерывно дифференцируемых k раз

Ck
0(M, T M) –– класс векторных полей из Ck(M, T M) с ограниченными носителями

C0(U) –– класс непрерывных функций с ограниченными носителями в U

(C) –– специальное условие гладкости, накладываемое на многообразие M (см. раздел 4.4)

Основные обозначения
7

D(A) –– область определения оператора или функционала A
dh

–– производная меры
по вектору h (см. опр. 1.4)

d
/d
–– плотность меры
относительно меры
div v –– дивергенция векторного поля v относительно меры Лебега или римановского объема
distM(x, y) –– расстояние между точками x, y ∈ M

x –– мера Дирака, сосредоточенная в точке x

v –– дивергенция векторного поля v относительно заданной меры (см. опр. 2.1, 4.10).
ei –– i-й базисный вектор евклидова или гильбертова пространства
E( f), E( f, g) –– квадратичная форма Дирихле и соответствующая
билинейная форма (см. опр. 1.1)
∥ · ∥E –– норма,
порожденная
квадратичной
формой
E
(см.
опр. 1.2)

ess sup f –– существенный супремум функции, т. е.

sup
t:
{ f ⩾ t} > 0
E
–– математическое ожидание случайной величины
EA

–– условное математическое ожидание
относительно
-алгебры A

F ––
-алгебра множеств
F−1(a) –– множество уровня функции F, т. е. {x: F(x) = a}

F−1(A) –– прообраз множества A при отображении F, т. е.

{x: F(x) ∈ A}

F C∞
0 (X) –– класс гладких цилиндрических функций в пространстве X (см. формулу (1.7))
F C∞
b (X, E) –– класс гладких цилиндрических функций в пространстве X со значениями в пространстве E (см. формулу (2.4))

F C∞
b (¨Γ) –– класс гладких цилиндрических функций в пространстве конфигураций (см. опр. 4.5)

F C∞
b (T n ¨Γ) –– класс гладких цилиндрических тензорных полей
n-го порядка в пространстве конфигураций (см. опр. 4.8)

Основные обозначения

⟨ f,
⟩ –– сокращенное обозначение для
f(x)(dx)
g ◦ f –– композиция функций: g ◦ f(x) = g( f(x))

g ·
–– (знакопеременая) мера с плотностью g относительно меры
¨Γ = ¨ΓM –– пространство
конфигураций
с
кратными
точками
на многообразии M (см. опр. 4.1)

Γ = ΓM –– пространство конфигураций без кратных точек (см.
опр. 4.4)

H, | · |, ⟨·, ·⟩ –– гильбертово пространство, норма и скалярное произведение в нем

H() –– обобщение пространства Камерона –– Мартина для негауссовской меры
(см. формулу (2.5))

1A –– индикаторная функция множества A
H1(H, E) –– класс операторов Гильберта –– Шмидта из гильбертова пространства H в гильбертово пространство E (см. формулу (2.2))

Hn(H, E) –– класс операторов Гильберта –– Шмидта n-го порядка
из пространства H в пространство E (см. формулу (2.3))

jH –– отображение, сопоставляющее ковектору из X∗ вектор
из H ⊂ X (см. формулу (2.1))

kg(t) –– плотность образа меры gпри отображении на числовую ось

L –– генератор полугруппы (см. формулу (1.3))
Lp() –– класс функций, интегрируемых в степени p по мере
Lp
loc() –– класс функций, локально интегрируемых в степени p
по мере
Lp(U) –– класс функций, интегрируемых в степени p на множестве U по мере Лебега

Lp(, Y) –– класс функций, принимающих значение в нормированном пространстве Y, с нормой из класса Lp()

Lp(, T n ¨Γ) –– класс тензорных полей n-го порядка на пространстве конфигураций, нормы которых принадлежат Lp()

L –– локализующее семейство функций (см. опр. 3.1)

n –– n-мерная мера Лебега

Основные обозначения
9

lim
n→∞
xn –– нижний предел последовательности, т. е. lim
k→∞ inf
n⩾k xn

lim
n→∞xn –– верхний предел последовательности, т. е. lim
k→∞ sup
n⩾k
xn

M –– гладкое риманово многообразие

h –– сдвиг меры
на вектор h

(· | F = t) –– условная мера на множестве уровня F = t, порожденная мерой
, т. е.
(A) =
(A | F = t) dt

◦ F−1 –– образ меры
при отображении F, т. е.

◦ F−1(A) =
(F−1(A))

|K –– сужение меры
на подмножество K, т. е.

|K (A) =
(A ∩ K)

|| –– модуль знакопеременной меры
∥∥ –– вариация (знакопеременной) меры
: ∥∥ = ||(X)

∞
n=1

n –– произведение мер
n

∗
–– свертка мер
и
:
∗
(A) =
(A − x)(dx).

(a) –– поверхностная мера на множестве уровня F−1(a) (см.
опр. 3.3)

a –– нормированная поверхностная мера на множестве уровня
F−1(a) (см. формулу (3.6))

n(x) –– единичный (по норме H) вектор нормали поверхности
в точке x (см. формулу (3.7))

[·, ·]n, | · |n –– скалярное произведение и норма в касательном тензорном пространстве T nMn (см. формулу (4.5))

≪
–– мера
абсолютно непрерывна относительно меры
∇H –– градиент вдоль подпространства H

∇k
H –– градиент k-го порядка вдоль подпространства H

∇M –– ковариантный градиент на многообразии M

∇k
M –– ковариантный градиент k-го порядка на многообразии M

Основные обозначения

¨∇k –– градиент k-го порядка функции или векторного или тензорного поля на пространстве конфигураций (см. опр. 4.7)

N
i=1
Li –– ортогональная сумма линейных пространств Li

Ω –– пространство элементарных событий
(Ω, F , P) –– вероятностное пространство

P –– вероятность
PL –– проекция на подпространство L

–– пуассоновская мера с интенсивностью
(см. опр. 4.3)

(a)

–– поверхностная мера на множестве уровня F−1(a) (см. теорему 5.2)

a

–– нормированная поверхностная мера на F−1(a) (см. формулу (5.6))
{ V
t } –– 1) группа диффеоморфизмов многообразия M, заданных (4.6); 2) порожденная ею группа (4.7) диффеоморфизмов пространства конфигураций ¨ΓM
Rd –– d-мерное евклидово пространство

span{...} –– линейная оболочка векторов

supp f –– носитель функции f, т. е. замыкание множества { f 0}
supp
–– носитель меры
, т. е. минимальное замкнутое множество, вне которого
≡ 0.
{Tt}t⩾0 –– полугруппа преобразований, порожденная диффузией
(см. формулу (1.2)) или векторным полем (см. формулу (5.17))
T M –– векторное расслоение над многообразием M

TxM –– касательное пространство в точке x ∈ M
(·, ·)TxM –– скалярное произведение касательных векторов в точке
x ∈ M
T nMn, [·, ·]n, | · |n –– тензорное (при n = 1 –– векторное) расслоение n-го порядка над M, скалярное произведение и норма в нем
(см. формулу (4.4))

T1 ⊗ T2 –– тензорное произведение
T n

¨Γ –– касательное тензорное (при n = 1 –– векторное) пространство n-го порядка в точке
∈ ¨Γ (см. опр. 4.6)